12.11近似法計算自振頻率

1、12.11 近似法計算自振頻率近似法通常有三種途徑： (1) 能量法：對體系的振動形式給以簡化假設(shè)，但不改變結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量分布，然后根據(jù)能量守恒原理求得自振頻率。(2) 集中質(zhì)量法：將體系的質(zhì)量分布加以簡化，以集中質(zhì)量代替分布質(zhì)量，用有限自由度體系代替無限自由度體系求頻率。(3) 迭代法：采用近似算法求解，算出自振頻率。12.11.1 能量法求第一自振頻率瑞利(Rayleigh)法瑞利法適用于求第一自振頻率；瑞利里茲(Rayleigh-Ritz)法是其推廣形式，可用于求最初幾個頻率。1.出發(fā)點(依據(jù))瑞利法的出發(fā)點是能量守恒原理，即一個無阻尼的彈性體系自由振動時，它在任一時刻的總能量(應(yīng)變能

2、U與動能T之和)應(yīng)當(dāng)保持不變，即機械能=應(yīng)變能(U)+動能(T)=常數(shù)2.位移表達(dá)式 梁的動能:其最大值為:4.梁的彎曲應(yīng)變能 其最大值為5.應(yīng)用能量守恒原理根據(jù)能量守恒原理，可知Tmax=Umax由此，求得計算頻率的公式為 (12-124) 上式就是瑞利法求自振頻率的公式。6.能量法的關(guān)鍵能量法的關(guān)鍵是假設(shè)振型函數(shù) ：1) 若假設(shè)的位移形狀函數(shù)正好與第i個主振型相符，則可求得該wi的精確值。此法一般用于計算第一自振頻率w1。 2) 振型函數(shù) 的假定原則：應(yīng)滿足邊界條件 兩端位移邊界條件(必須滿足)3) 通常對 作如下選擇：其一，選取某個靜力荷載q(x)(例如結(jié)構(gòu)自重)作用下的彈性曲線作為 的

3、近似表示式，由式（12-124）即可求得第一頻率的近似值。此時，應(yīng)變能可用相應(yīng)荷載q(x)所做的功來代替，即因而式(12-124)可改寫為 (12-125) 其二，選取結(jié)構(gòu)自重作用下的變形曲線作為 的近似表達(dá)式(注意，如果考慮水平振動，則重力應(yīng)沿水平方向作用)，則應(yīng)變能可用重力所做的功來代替，即于是式(12-124)可改寫為(12-126)【例12-34】試用瑞利法計算圖12-93所示等截面兩端固定梁的第一自振頻率。設(shè)EI常數(shù)，梁單位長度的質(zhì)量為。解： (1) 假設(shè)振幅曲線 為滿足幾何邊界條件和力的邊界條件中梁端彎矩非零的要求，但梁端剪力為零則與實際情況不符。(a)將式(a)代入式（12-12

4、4），得故第一自振頻率與精確值 相比，其誤差為+1.9%。(2)改取均布荷載q作用下的撓度曲線作為振型函數(shù)，這時， 滿足全部邊界條件。將式(b)代入式（12-125），得(b)故第一自振頻率與精確值相比，其誤差為+0.4%?！居懻摗坑梢陨辖Y(jié)果可以看出：所選的兩種振型函數(shù)，或是大部或是全部符合邊界處位移和力的實際情況，因此所得結(jié)果誤差都很小。由于第二種振型函數(shù)更接近第一振型，所得結(jié)果精度更高。 【例12-35】試用瑞利法計算圖12-94a所示三層剛架的第一自振頻率。解： (1) 選擇自重作用下的彈性曲線作為振型曲線（注意：應(yīng)在各樓層水平方向分別施加自重m1g、m2g、m3g)，如圖所示。于是，可

5、得(2)求 ：(3)求Umax(用外力所做的功來代替)：(4)求Tmax：(5)由Tmax=Umax求第一頻率：由式(12-126)，可得 故第一自振頻率精確解為13.46s-1，其誤差為+1.56%?！咀ⅰ坎捎萌鹄ㄓ嬎鉾1，其計算結(jié)果一般均高于精確值。這是因為假設(shè)某一與實際振型有出入的特定曲線作為振型曲線，即相當(dāng)于給體系加上某種約束，增大了體系的剛度，使其變形能增加，從而使計算的自振頻率偏大。因此，用這種方法所求的基本頻率為真實頻率的高限。在對用此法求得的近似結(jié)果加以選擇時，應(yīng)取頻率最低者。 12.11.2 集中質(zhì)量法求自振頻率如果把體系中的分布質(zhì)量換成集中質(zhì)量，則體系即由無限自由度換成單

6、自由度或多自由度。關(guān)于質(zhì)量的集中方法很多，諸如：1) 靜力等效的集中質(zhì)量法；2) 動能等效的集中質(zhì)量法；3) 轉(zhuǎn)移質(zhì)量法等。下面，著重介紹靜力等效的集中質(zhì)量法。根據(jù)靜力等效原則，把無限自由度換成單自由度或多自由度，使集中后的重力與原來的重力互為靜力等效(它們的合力彼此相等)。例如，每段分布質(zhì)量可按杠桿原理換成位于兩端的集中質(zhì)量。 【例12-36】用集中質(zhì)量法求圖a所示簡支梁自振頻率。解： (1) 求最小自振頻率：將原簡支梁簡化為單自由度體系，如圖所示，得其精確解為 ，故誤差為-0.7%。(a)(b)(2)計算前兩個自振頻率：將體系簡化為兩個自由度體系，如圖所示，此時的頻率方程為式中， ，柔度系數(shù)為代入頻率方程，可解得其精確解 ，故此時w1和