新人教版高中數(shù)學(xué)（必修五） （全冊知識點考點梳理、重點題型分類鞏固練習(xí)）（家教、補習(xí)、復(fù)習(xí)用）

1、新人教版高中數(shù)學(xué)（必修五）重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習(xí)正弦定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過對直角三角形邊角間數(shù)量關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)正弦定理，初步學(xué)會運用由特殊到一般的思維方法發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律；2.會利用正弦定理解決兩類解三角形的問題；（1）已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角（從而求出其它邊角）. 【要點梳理】要點一、學(xué)過的三角形知識1.中（1）一般約定：中角A、B、C所對的邊分別為、；（2）；（3）大邊對大角，大角對大邊，即； 等邊對等角，等角對等邊，即；（4）兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即，.2.中，（1），（2）（3），；，要點二、

2、正弦定理及其證明正弦定理：在一個三角形中各邊和它所對角的正弦比相等，即：直角三角形中的正弦定理的推導(dǎo)證明：， ， ，即：， 斜三角形中的正弦定理的推導(dǎo)證明：法一：向量法（1）當(dāng)為銳角三角形時過作單位向量垂直于，則+= 兩邊同乘以單位向量，得(+)=，即， ，同理：若過作垂直于得： ，（2）當(dāng)為鈍角三角形時設(shè)，過作單位向量垂直于向量，同樣可證得：法二：構(gòu)造直角三角形（1）當(dāng)為銳角三角形時如圖，作邊上的高線交于，則:在中, ，即，在中, ,即,，即.同理可證（2）當(dāng)為鈍角三角形時如圖，作邊上的高線交于，則:在中, ，即，在中, ,即,，即.同理可證法三：圓轉(zhuǎn)化法（1）當(dāng)為銳角三角形時如圖，圓O是的

3、外接圓，直徑為，則，（為的外接圓半徑）同理：，故：（2）當(dāng)為鈍角三角形時如圖，.法四：面積法任意斜中，如圖作，則同理：，故，兩邊同除以即得：要點詮釋：（1）正弦定理適合于任何三角形；（2）可以證明（為的外接圓半徑）；（3）每個等式可視為一個方程：知三求一。 （4）利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題： = 1 * GB3 已知兩個角及任意邊，求其他兩邊和另一角； = 2 * GB3 已知兩邊和其中邊的對角，求其他兩個角及另一邊。要點三、解三角形的概念一般地，我們把三角形的各內(nèi)角以及它們所對的邊叫做三角形的幾何元素.任何一個三角形都有六個元素：三邊、和三角.在三角形中，由已知三角形的某些邊和

4、角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形.有了關(guān)于解三角形的有關(guān)定理（如勾股定理、三角形的內(nèi)角和定理、正弦定理，還有即將學(xué)習(xí)的余弦定理等），三角學(xué)特別是測量學(xué)得到了一次飛躍，它可以由已知的三角形的邊和角來推斷未知的邊和角.要點四、正弦定理在解三角形中的應(yīng)用利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角；要點詮釋：已知a，b和A，用正弦定理求B時的各種情況；(1)若A為銳角時：如圖：(2)若A為直角或鈍角時：判斷三角形形狀判斷三角形形狀的思路通常有以下兩種：（1）化邊為角；（2）化角為邊.對條件實施轉(zhuǎn)化時，考慮

5、角的關(guān)系，主要有：(1)兩角是否相等？(2)三個角是否相等？（3）有無直角、鈍角？考查邊的關(guān)系，主要有：（1）兩邊是否相等？（2）三邊是否相等要點詮釋：對于求解三角形的題目，一般都可有兩種思路。但要注意方法的選擇，同時要注意對解的討論，從而舍掉不合理的解。比如下面例2兩種方法不同，因此從不同角度來對解進行討論。此外，有的時候還要對邊角關(guān)系（例如，大邊對大角）進行討論從而舍掉不合理的解.【典型例題】類型一：正弦定理的簡單應(yīng)用：【正弦定理 例1】例1已知在中，求和B.【解析】， ， ，又，【總結(jié)升華】1. 正弦定理可以用于解決已知兩角和一邊求另兩邊和一角的問題；2. 數(shù)形結(jié)合將已知條件表示在示意圖

6、形上，可以清楚地看出已知與求之間的關(guān)系，從而恰當(dāng)?shù)剡x擇解答方式.舉一反三：【變式1】中，BC3，則的周長為（ ）A BC D【答案】由正弦定理得：， 得bcsinBsin(B)故三角形的周長為：3bc，故選D【總結(jié)升華】由于本題是選擇題也可取ABC為直角三角形時，即B，周長應(yīng)為33，故排除A、B、C而選D【變式2】在中，已知，求、.【答案】，根據(jù)正弦定理，.【變式3】（2016 岳陽校級模擬改編）在中，A:B:C=1:2:3,則a:b:c等于（ ） 【答案】在中，若，又 所以. 由正弦定理可知： 。 . 例2在，求：和，【解析】由正弦定理得：，（方法一）， 或，當(dāng)時，（舍去）；當(dāng)時，（方法二）

7、， ， 即為銳角， ，【總結(jié)升華】1. 正弦定理也可用于解決已知兩邊及一邊的對角，求其他邊和角的問題。2. 在利用正弦定理求角時，因為，所以要依據(jù)題意準(zhǔn)確確定角的范圍，再求出角.3.一般依據(jù)大邊對大角或三角形內(nèi)角和進行角的取舍.舉一反三：【正弦定理 例3】【變式1】在中， ，求和【答案】， ， 或當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，或【變式2】在中，, , 求.【答案】由正弦定理，得., ，即 類型二：正弦定理的綜合運用例3. （2015 湖南高考）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且B為鈍角。(1)證明：（2）求的取值范圍。【答案】（1）詳見解析；（2）（，.【思路點撥】（1）利用正弦定理，將條件

8、中的式子等價變形為sinB=sin（+A），從而得證；（2）利用（1）中的結(jié)論，以及三角恒等變形，將轉(zhuǎn)化為只與有關(guān)的表達式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【解析】（1）由a=btanA及正弦定理，得,所以sinB=cosA，即sinB=sin（+A）.又B為鈍角，因此+A（，A），故B=+A，即B-A=；（2）由（I）知，C=-（A+B）=-(2A+)=-2A0，所以A，于是sinA+sinC=sinA+sin（-2A）= sinA+cos2A=-2A+sinA+1 =-2（sinA-）+，因為0A,所以0sinA,因此sin B，則AB；若AB，則sin Asin B都成立D在ABC中，eq

9、 f(a,sin A)eq f(bc,sin Bsin C)4若eq f(sin A,a)eq f(cos B,b)eq f(cos C,c)，則ABC是()A等邊三角形B直角三角形，且有一個角是30C等腰直角三角形D等腰三角形，且有一個角是305. （2016 中山市校級模擬）已知中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若 ,則是（ ）A.等邊三角形 B.銳角三角形 C.等腰直角三角形 D.鈍角三角形二、填空題6（2015 重慶高考）在ABC中，B=，AB=，A的角平分線AD=,則AC=_.7.（2015 新課標(biāo)卷）在平面四邊形ABCD中，A=B=C=75，BC=2，則AB的取值范圍是 。

10、8. 在ABC中，ax，b2，B45，若ABC只有一解，則x的取值集合為_三、解答題9. 在ABC中，A60，b1，求的值。10.在ABC中，已知，B=45.求A、C及c.11在中，若，求.12. 在中，求B及C.13. （2016 長沙二模）在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且，(1)求角C的大??；（2）求 的最大值。14BDCA圖如圖,D是直角ABC斜邊BC上一點,AB=AD,記CAD=,ABC=.（1）證明 ;（2）若AC=DC,求的值.15. （2015 浙江高考文）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（1）求的值；（2）若，求ABC的面積. 【答案

11、與解析】1. 答案: C解析：，即, 由正弦定理 得： 故選：C。2. 答案：C解析：由于sin Beq f(bsin A,a)eq f(r(3),2)，故B60或120.當(dāng)B60時，C90時，c30.ceq r(a2b2)2eq r(5)；當(dāng)B120時，C30，caeq r(5).3. 答案：B解析：由正弦定理知A、C、D正確，而sin 2Asin 2B，可得AB或2A2B，ab或a2b2c2，故B錯誤4. 答案：C解析：在ABC中，由正弦定理：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，代入eq f(sin A,a)eq f(cos B,b)eq f(cos C,c)得：eq f

12、(sin A,2Rsin A)eq f(cos B,2Rsin B)eq f(cos C,2Rsin C)，eq f(sin B,cos B)eq f(sin C,cos C)1.tan Btan C1，BC45.ABC是等腰直角三角形5. 答案：C解析：， 由正弦定理可得：，而，當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號。 ，即 ，又 ，故可得： 。又 可得，故三角形為等腰三角形，故選：C 6.答案：解析：由正弦定理得，即，解得，從而，所以，.7. 答案：（，）解析：如圖所示，延長BA，CD交于E，平移AD，當(dāng)A與D重合與E點時，AB最長，在BCE中，B=C=75，E=30，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平

13、移AD ，當(dāng)D與C重合時，AB最短，此時與AB交于F，在BCF中，B=BFC=75，F(xiàn)CB=30，由正弦定理知，即，解得BF=，所以AB的取值范圍為（，）.8. 答案：x|0 x2或x2eq r(2) 解析：sin Aeq f(asin B,b)eq f(xf(r(2),2),2)eq f(r(2),4)x，當(dāng)x2eq r(2)時，sin A1，ABC有一解；又當(dāng)ab時，即x2時，A為銳角，ABC只有一解9. 答案：解析：由已知可得。由正弦定理，得。.10.解析：解法1：由正弦定理得：A=60或120當(dāng)A=60時，C=75 ，；當(dāng)A=120時，C=15，.解法2：設(shè)c=x，由余弦定理將已知條件

14、代入，整理：解之：當(dāng)時，從而A=60 ，C=75；當(dāng)時，同理可求得：A=120 ，C=15.11.解析：， ，或當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以或12. 解析：由正弦定理得且 B有兩解，得或或13. 解析：（1） ，即，則 因為，又，進而,所以,故 故 （2）又正弦定理及（1）得 = 故當(dāng) 取到最大值2. 14.解析：(1)如圖， 即（2）在中，由正弦定理得由(1)得，即15. 解析：（1）由，得，所以.（2）由可得，.a=3，由正弦定理知：.又，所以.余弦定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握余弦定理的內(nèi)容及證明余弦定理的向量方法； 2.熟記余弦定理及其變形形式，會用余弦定理解決兩類基本解三角形問題； 3.通過三角函

15、數(shù)，余弦定理，向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系，理解事件之間的聯(lián)系與辨證統(tǒng)一的關(guān)系. 【要點梳理】要點一、學(xué)過的三角形知識1.中（1）一般約定：中角A、B、C所對的邊分別為、；（2）；（3）大邊對大角，大角對大邊，即； 等邊對等角，等角對等邊，即；（4）兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即，.2.中，（1），（2）（3），；，要點詮釋：初中討論的三角形的邊角關(guān)系是解三角形的基本依據(jù)要點二、余弦定理及其證明三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即：余弦定理的推導(dǎo)已知：中，及角，求角的對應(yīng)邊.證明：方法一：向量法（1）銳角中（如圖）， ，即： (*)同理可得

16、：,要點詮釋：（1）推導(dǎo)（*）中，與的夾角應(yīng)通過平移后得到，即向量的起點應(yīng)重合，因此與的夾角應(yīng)為，而不是.（2）鈍角三角形情況與銳角三角形相同。（3）對于直角三角形中時，, ，也滿足余弦定理。方法二：幾何法（1）當(dāng)為銳角三角形時如圖，作邊上的高根據(jù)勾股定理有：，中， = 即：.（2）當(dāng)為鈍角三角形且C為鈍角時如圖，作邊上的高 根據(jù)勾股定理有：，.中， 即：仍然成立。（3）在直角中，當(dāng)時，, ，也滿足余弦定理。方法三：解析幾何方法利用兩點間距離公式這里我們只討論銳角三角形的情形，對于直角三角形和鈍角三角形的情形的討論相同。如圖所示建立坐標(biāo)系.則點，由、兩點間的距離可知，即整理得到.余弦定理的變形

17、公式：要點三、利用余弦定理解三角形1.利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題： 已知三角形的兩條邊及夾角，求第三條邊及其他兩個角； 已知三角形的三條邊，求其三個角。要點詮釋：在余弦定理中，每一個等式均含有四個量，利用方程的觀點，可以知三求一.2.解斜三角形的基本問題：已知條件解法解的情況一邊和兩角（例如a,B,C)1利用A+B+C=180，求A2應(yīng)用正弦定理求b,c唯一解兩邊和夾角（例如a,b,C）1應(yīng)用余弦定理求邊c2應(yīng)用正弦定理求a,b中較短的邊所對的角（該角一定是銳角）3利用A+B+C=180，求第三個角.唯一解三邊（例如a,b,c)法一:1、應(yīng)用余弦定理先求任意兩個角2用A+B+C=

18、180，求第三個角法二:1、應(yīng)用余弦定理求a,b,c中最長邊所對的角2、應(yīng)用正弦定理求余下兩個角中的任意一個（該角一定是銳角）3、利用A+B+C=180，求第三個角唯一解兩邊及其中一邊的對角（例如a,b,A)此類問題首先要討論解的情況1應(yīng)用正弦定理，求另一邊的對角（即角B）2、利用A+B+C=180，求第三個角3、應(yīng)用正弦或余弦定理求第三邊兩解、一解或無解要點詮釋：對于求解三角形的題目，一般都可有兩種思路。但要注意方法的選擇，同時要注意對解的討論，從而舍掉不合理的解。比如下面例2兩種方法不同，因此從不同角度來對解進行討論。此外，有的時候還要對邊角關(guān)系（例如，大邊對大角）進行討論從而舍掉不合理的

19、解。4、判斷三角形形狀余弦定理、正弦定理與三角形中的三角變換結(jié)合在一起，運用三角函數(shù)的變換公式進行三角函數(shù)式的變形轉(zhuǎn)化，在三角形中，解決有關(guān)含有邊角關(guān)系的問題時，可以運用余弦定理完成邊角互化，通過變形轉(zhuǎn)化成三角形三邊之間的關(guān)系，判斷三角形的形狀.判斷三角形形狀有兩條思考路線：其一是化邊為角，再進行三角恒等變換，求出三個角之間的關(guān)系式；其二是化角為邊，再進行代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關(guān)系式，兩種轉(zhuǎn)化主要應(yīng)用正弦定理和余弦定理.【典型例題】類型一：余弦定理的簡單應(yīng)用：例1（2016 涼山州模擬改編）在中，角所對的三邊長分別為，若，求中最大的角【思路點撥】已知三角形三邊或三邊的比例，一般首先考慮

20、用余弦定理?！窘馕觥吭O(shè)，邊c對應(yīng)的角最大根據(jù)余弦定理得：，【總結(jié)升華】 1.中，若知道三邊的長度或三邊的關(guān)系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理時，要注意公式中的邊角位置關(guān)系.舉一反三：【變式1】已知中, , , 求角.【答案】根據(jù)余弦定理：， 【變式2】（2016 蘭州模擬）已知中，角A,B,C的對邊分別是,若，則 = 【答案】 ，則 【余弦定理 題一】【變式3】在中，若，則角等于（ ）.A. B. C. D. 或【答案】， ， 類型二：余弦定理的綜合應(yīng)用例2（2015 天津高考文）在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知ABC的面積為，bc=2，.（）求a和sin

21、C的值；（）求的值.【答案】（）8 （）【思路點撥】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦、余弦公式、兩角和的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識.【解析】（）在ABC中，由，可得.由，得bc=24，又bc=2，解得b=6，c=4.由a2=b2+c22bc cosA，可得a=8.由，得.（）【總結(jié)升華】熟練掌握正余弦定理，綜合運用正弦定理和余弦定理實現(xiàn)邊角之間的轉(zhuǎn)化。舉一反三：【變式1】(2015 安徽高考理) ABC中，點D在BC邊上，ADBD，求AD的長。 【答案】設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c；由余弦定理得18+36-(-36)90，所以又由正弦定理得

22、，由題設(shè)知，所以在ABD中，由正弦定理得【變式2】在中，已知，求及.【答案】由余弦定理得：=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（法一：余弦定理） ，（法二：正弦定理） 又，即【變式3】在中，已知角所對的三邊長分別為，若，求角和【答案】根據(jù)余弦定理可得： ， ；由正弦定理得：.類型三：判斷三角形的形狀例3在ABC中，已知sinA=2sinBcosC, 試判斷該三角形的形狀【思路點撥】本題可以用正弦定理、余弦定理化簡成單一的邊的關(guān)系，然后判斷.【解析】由正弦定理及余弦定理，得，所以整理得，因為所以，因此ABC為等腰三角形【總結(jié)升華】已知三角形中的邊角關(guān)系式，判斷三角形的形狀，有兩條思路：其一

23、化邊為角，再進行三角恒等變換求出三個角之間的關(guān)系式；其二化角為邊，再進行代數(shù)恒等變換求出三條邊之間的關(guān)系式.舉一反三：【變式1】在ABC中，若2cos Bsin Asin C，則ABC的形狀是_【答案】等腰三角形【解析】由題設(shè)和正、余弦定理得2，化簡得a2b20，即ab.【余弦定理 題六】【變式2】 三角形ABC中滿足下列條件 ；試判斷三角形的形狀.【答案】利用余弦定理得，化簡得，所以三角形為等腰三角形.【鞏固練習(xí)】一、選擇題1(2015 廣東)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c若a=2，且bc，則b=（ ）A B2 C D32在ABC中，下列關(guān)系式asin Bbsin Aabco

24、s Cccos Ba2b2c22abcos Cbcsin Aasin C一定成立的有()A1個 B2個C3個 D4個3（2016春 武漢校級期中）在中，則的取值范圍是（ ） D. 4已知ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c.若ac，且A75，則b()A2 B42C42 D. 5. ABC的三內(nèi)角所對邊的長分別為設(shè)向量,若,則角的大小為A B C D. 6. 銳角三角形ABC中，a、b、c分別是三內(nèi)角A、B、C的對邊，如果B2A，則的取值范圍是()A(2,2) B(0,2)C(，) D(，2)7在ABC中，sin Asin Bsin C324，則cos C的值為()A. BCD. 二、填空

25、題8. (2015 北京)在ABC中，a=4，b=5，c=6，則 9. 在ABC中，A，B，C是三個內(nèi)角，C30，則sin2Asin2B2sin Asin Bcos C的值是_10. （2015秋 曲阜市期中）在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為,若ABC的面積為S=(a2b2c2)，那么角C_.11. 若鈍角三角形三邊長為、，則的取值范圍是 三、解答題12在ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，求A的大小13. 在ABC中，已知sin C，試判斷三角形的形狀14（2016 新課標(biāo) = 1 * ROMAN I理）的內(nèi)角A，B

26、，C的對邊分別為a，b，c，已知 （ = 1 * ROMAN I）求C；（ = 2 * ROMAN II）若的面積為，求的周長15. （2015 新課標(biāo)理）中，是上的點，平分，面積是面積的2倍() 求；()若，求和的長 【答案與解析】1. 答案：B解析：由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，所以，即b26b+8=0，解得：b=2或b=4，因為bc，所以b=2。故選：B2. 答案：C 解析：由正、余弦定理知一定成立，對于由正弦定理知sin Asin Bcos Csin Ccos Bsin(BC)，顯然成立對于由正弦定理sin Bsin Csin Asin Asin C2sin Asin

27、C，則不一定成立3. 答案：B解析：利用正弦定理化簡得： ，變形得：，又為三角形的內(nèi)角，A的取值范圍是。 4. 答案：A解析：ABC中，易知B30，由余弦定理知b2a2c22accos 30，=4b2.5. 答案：B解析：，利用余弦定理可得，即，故選擇答案B。6. 答案：C解析：，又ABC是銳角三角形，30A0)，根據(jù)余弦定理得，.8. 答案：1解析：由余弦定理可得由正弦定理和二倍角公式可得，故答案為：19. 答案：解析：sin2Asin2B2sin Asin Bcos C(a2b22abcos C)sin2C.10. 答案：解析：根據(jù)三角形面積公式得，Sabsin C(a2b2c2)sin

28、C.又由余弦定理：cos C，sin Ccos C，C.11. 答案： 解析：由可得12.解析：由已知，根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c即a2b2c2bc由余弦定理得a2b2c22bccos A，cos AA(0，)，A120.13. 解析：sin C，由正弦定理得c(cos Acos B)ab，再由余弦定理得，ccab，a3a2bac2bc2b3ab20，(ab)(c2a2b2)0，c2a2b2，故三角形為直角三角形.14.解析：（I）由已知及正弦定理得，故可得，所以（ = 2 * ROMAN II）由已知， 又 ，所以 由已知及余弦定理得， 故 從而 所以 的周長為 15. 解

29、析：（）因為SABD=2SADC，BAD=CAD，所以AB=2AC.由正弦定理可得 . ()因為，所以在ABD和ADC中，由余弦定理得，由()知AB=2AC，所以AC=1正弦、余弦定理在三角形中的應(yīng)用 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.進一步鞏固正弦定理和余弦定理，并能綜合運用兩個定理解決三角形的有關(guān)問題；2.學(xué)會用方程思想解決有關(guān)三角形的問題，提高綜合運用知識的能力和解題的優(yōu)化意識.【要點梳理】要點一：正弦定理和余弦定理的概念正弦定理公式：（其中R表示三角形的外接圓半徑）余弦定理公式： 第一形式：第二形式：要點二：三角形的面積公式 ； ；要點三：利用正、余弦定理解三角形已知兩邊和一邊的對角或已知兩角及一邊時，

30、通常選擇正弦定理來解三角形；已知兩邊及夾角或已知三邊時，通常選擇余弦定理來解三角形.特別是求角時盡量用余弦定理來求，盡量避免分類討論.在中，已知和A時，解的情況主要有以下幾類：若A為銳角時： 一解 一解 兩解 無解 若A為直角或鈍角時：要點四：三角形的形狀的判定特殊三角形的判定：（1）直角三角形 勾股定理：，互余關(guān)系：，；（2）等腰三角形，；用余弦定理判定三角形的形狀（最大角的余弦值的符號）（1）在中，；（2）在中，；（3）在中，；要點五：解三角形時的常用結(jié)論在中，（1）在中（2）互補關(guān)系：，；（3）互余關(guān)系：，.【典型例題】類型一：利用正、余弦定理解三角形例1. ABC中，A=45，a=2，

31、求b和B，C.【思路點撥】本題已知邊邊角，用正弦定理比較簡單，但要注意結(jié)合三角形中大邊對大角定理以及有解、無解的圖形來考慮?！窘馕觥拷夥ㄒ?：正弦定理由若C=60，則B=75，若C=120，則B=15，解法二：余弦定理若若解法三：正余弦定理若bca，所以BCA，所以B=75，C=60；若cab，所以CAB，所以B=15，C=120.【總結(jié)升華】解三角形時，對于求解三角形的題目，一般都可有兩種思路.但要注意方法的選擇，同時要注意對解的討論.解三角形時，要留意三角形內(nèi)角和為180、同一個三角形中大邊對大角等性質(zhì)的應(yīng)用。舉一反三：【變式1】在中，若，求角和【答案】根據(jù)余弦定理：， ，?！咀兪?】（2

32、015 天津高考）在 中，內(nèi)角 所對的邊分別為 ，已知的面積為 ， 則的值為 .【答案】因為，所以，又，解方程組得，由余弦定理得，所以.例2ABC的內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c()若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sinAsinC2sin(AC)；()若a，b，c成等比數(shù)列，求cosB的最小值【思路點撥】(1)因為a，b，c成等差數(shù)列，所以a+c=2b,利用正弦定理用角表示邊。（2）因為a，b，c成等比數(shù)列，所以ac=b2,利用余弦定理用邊表示角，然后利用基本不等式求解?！敬鸢浮?)見解析； ()【解析】()a，b，c成等差數(shù)列，2bac，利用正弦定理化簡得：2sinBsinAsinC

33、，sinBsin(AC)sin(AC)，sinAsinC2sinB2sin(AC)；()a，b，c成等比數(shù)列，b2ac，當(dāng)且僅當(dāng)ac時等號成立，cosB的最小值為【總結(jié)升華】對于三角形中邊角的最大值或最小值問題可以運用正弦定理或余弦定理建立所求變量與三角形的角或邊之間的函數(shù)關(guān)系，利用正、余弦函數(shù)的有界性、二次函數(shù)或基本不等式的知識解決問題。舉一反三：【變式】在中，三內(nèi)角滿足的方程有兩個相等的根。求證：角B不大于當(dāng)角B取最大值時，判斷的形狀【答案】（1）由韋達定理得即，由正弦定理，有2b=a+c由余弦定理得（2）當(dāng)角B取最大值時，且a=c，易知為正三角形類型二：正、余弦定理的綜合應(yīng)用例3在ABC

34、中，根據(jù)下面條件決定三角形形狀.【思路點撥】題目中給的是角與邊的混合關(guān)系式，可用正弦定理化簡成單一的角的關(guān)系，然后判斷.【解析】,，由正弦定理得：,中，, ,即，或,即：或，是等腰三角形或直角三角形.【總結(jié)升華】（1）要判斷三角形的形狀特征，必須深入研究邊與邊的大小關(guān)系：是否兩邊相等？是否三邊相等？是否符合勾股定理？還要研究角與角的大小關(guān)系：是否兩個角相等？是否三個角相等？有無直角或鈍角？（2）解題的思想方法是：從條件出發(fā)，利用正、余弦定理等進行代換、轉(zhuǎn)化、化簡、運算，找出邊與邊的關(guān)系或角與角的關(guān)系，從而作出正確判斷。（3）一般有兩種轉(zhuǎn)化方向：要么轉(zhuǎn)化為邊，要么轉(zhuǎn)化為角。（4）判斷三角形形狀時

35、，用邊做、用角做均可。一般地，題目中給的是角，就用角做；題目中給的是邊，就用邊做，邊角之間的轉(zhuǎn)換可用正弦定理或余弦定理。（5），不要丟解。舉一反三：【變式】已知ABC 中，試判斷ABC的形狀.【答案】方法一：用余弦定理化角為邊的關(guān)系由得，整理得，即， 當(dāng)時，為等腰三角形； 當(dāng)即時，則為直角三角形； 綜上：為等腰三角形或直角三角形。方法二：用正弦定理化邊為角的關(guān)系由正弦定理得：即，即 或，即或故為等腰三角形或直角三角形。例4.(2016 平果縣模擬)已知在銳角中, 為角A,B,C 所對的邊,且 (1)求角A的值;(2)若,則求的取值范圍.【答案】 （1）（2） 【思路點撥】（1）在銳角中，根據(jù)條

36、件利用正弦定理可得，化簡可得，由此可得A的值。（2）由正弦定理可得，可得， 再由，求得B的范圍，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得的取值范圍。 【解析】（1）在銳角中，根據(jù) 利用正弦定理可得 ，即 ，即，即 若 則由正弦定理可得， =。由于，求得 舉一反三：【變式】（2016 唐山一模）在如圖所示的四邊形ABCD中， 記 （1）求用含 的代數(shù)式表示DC；（2）求面積S的最小值 【答案】（1）在中， 由正弦定理可得 ，即 ，于是： （2）在中，由正弦定理得 即 由（1）知： = = 故，S取得最小值為。 【正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用 377477 例1】例5在中，a,b,c分別是角A,B,C的對

37、邊,.求若且求c【解析】（1）又，解得.C是銳角，（2）,【總結(jié)升華】本題中應(yīng)注意整體代換思想，及向量的夾角問題舉一反三：【變式】在中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，設(shè)a,b,c滿足條件，求A和tanB的值.【答案】利用余弦定理可求，利用正弦定理可求tanB=【鞏固練習(xí)】一、選擇題1（2016 新課標(biāo)文）在中，BC邊上的高等于,則( ) A. B. C. D.2在ABC中，A120，b1，SABC，則角A的對邊的長為()A. B. C. D. 3. 在中, ，則等于() 4. 在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c2(ab)26，C，則ABC的面積是()ABCD35中，

38、三邊a、b、c與面積S的關(guān)系式為，則C=（ ）。 A、 B、 C、 D、6.在中,的對邊分別為,且,，則角的取值范圍為( )A.B.C.D.二、填空題7.銳角ABC的面積為，BC4，CA3，則AB_.8.在ABC中，三邊a，b，c與面積S的關(guān)系式為a24Sb2c2，則角A為_9.（2016 撫順一模）已知的周長為，面積為 ，且，則角C的值為 10中三邊分別為a,b,c,若則角A的大小_11若ABC的內(nèi)角滿足sinAsinB2sinC，則cosC的最小值是三、解答題12.已知的三角內(nèi)角、有2B=A+C，三邊、滿足，求證：.13.（2015 四川高考文）已知A、B、C為ABC的內(nèi)角，tanA、ta

39、nB是關(guān)于方程x2pxp10(pR)兩個實根.(I)求C的大小(II)若AB1，AC，求p的值14在ABC中，ab10，cos C的值是方程2x23x20的一個根，求三角形周長的最小值15. （2015 北京西城二模數(shù)學(xué)理）在銳角中，角 所對的邊分別為，已知 （1）求角A的大小；（2）求的面積。【答案與解析】1. 答案：D解析：設(shè)邊上的高線為，則，所以由正弦定理，知，即，解得 ，故選D.2. 答案：C解析：由SABCbcsin A得1csin 120c4由余弦定理，a2b2c22bccos Aa21242214cos 12021a，故選C.3. 答案：B；解析：, ， 由余弦定理有， 由正弦定

40、理有，且，.4. 答案：C解析：由題意得，c2a2b22ab6，又由余弦定理可知，c2a2b22abcosCa2b2ab，2ab6ab，即ab6SABC故選：C5. 答案：B； 解析： ，即， ， 故6. 答案：C；解析：，即，又， ，故7. 答案：解析：由三角形面積公式得34sin C，sin C.又ABC為銳角三角形C60.根據(jù)余弦定理AB216924313.AB.8. 答案：45 解析：a2b2c22bccos A，又已知a24Sb2c2，故Sbccos Abcsin A，從而sin Acos A，tan A1，A45.9. 答案： 解析： 解得， 10. 答案：解析：由可得，由正弦定理

41、得：又11. 答案：解析：由正弦定理得ab2c，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，故答案為：12. 解析：且，, ，即， 又， ，即 ， ， , ，即，故.13. 解析：(I)由已知，方程x2pxp10的判別式(p)24(p1)3p24p40所以p2或p由韋達定理，有tanAtanBp，tanAtanB1p于是1tanAtanB1(1p)p0從而tan(AB)所以tanCtan(AB)所以C60(II)由正弦定理，得sinB解得B45或B135(舍去)于是A180BC75則tanAtan75tan(4530)所以p(tanAtanB)(21)114.解析：設(shè)三角形的另一邊是c，方程2x23x20的根是x或x

42、2.cos C1，cos C.由余弦定理得c2a2b22abcos Ca2b22ab(ab)2ab100ab100a(10a)100a210a75(a5)2.要使三角形的周長最小，只要c最小當(dāng)a5時，c2最小，c最小，c的最小值是三角形周長的最小值是10.15. 解析：（1）在中，由正弦定理，得 即 又因為 解得 因為為銳角三角形，所以 （2）在中，由余弦定理 得 即 解得 或 當(dāng)時，因為 所以角B為鈍角，不符合題意，舍去；當(dāng)時，因為，且 所以為銳角三角形，符合題意。所以的面積 解三角形應(yīng)用舉例【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能夠利用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的問題；2.提高運

43、用所學(xué)知識解決實際問題的能力，并初步掌握數(shù)學(xué)建模的思想方法；3.掌握運用正弦定理、余弦定理解決幾何計算問題的方法.【學(xué)習(xí)策略】解斜三角形的知識主要用于測量及航海兩大類型問題.實際應(yīng)用中，首先要弄清題意，畫出直觀示意圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，再確定是哪類解三角形問題，即應(yīng)用哪個定理來解決.【要點梳理】要點一、解三角形應(yīng)用題的步驟解三角形在實際中應(yīng)用非常廣泛，如測量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識，解題時應(yīng)認(rèn)真分析題意，并做到算法簡練，算式工整，計算正確.其解題的一般步驟是：(1)準(zhǔn)確理解題意，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語；明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系；(2)

44、根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出，將實際問題抽象成解三角形模型；(3) 分析與所研究的問題有關(guān)的一個或幾個三角形，正確運用正弦定理和余弦定理，有順序的求解；(4)將三角形的解還原為實際問題，注意實際問題中的單位及近似計算要求，回答實際問題.要點二、解三角形應(yīng)用題的基本思路實際問題 畫圖 數(shù)學(xué)問題 解三角形 數(shù)學(xué)問題的解 檢驗 實際問題的解要點三、實際問題中的一些名詞、術(shù)語仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時叫俯角，如圖所示：坡角和坡度坡面與地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做

45、坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。方位角與方向角：方位角：一般指正北方向線順時針到目標(biāo)方向線的水平角。方位角的取值范圍為0360。如圖，點的方位角是。方向角：一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角(一般指銳角)，通常表達成北(南)偏東(西)多少度。如圖為南偏西方向（指以正南方向為始邊，向正西方向旋轉(zhuǎn)）；如圖為北偏東方向（指從正北開始向正東方向旋轉(zhuǎn)）. 東南方向：指經(jīng)過目標(biāo)的射線是正東與正南的夾角平分線.依此可類推西南方向、西北方向等；要點四、解三角形應(yīng)用中的常見題型正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型有：1.測量距離問題：這類問題的

46、情景一般屬于“測量有障礙物相隔的兩點間的距離”，在測量過程中，要根據(jù)實際需要選取合適的基線長度，測量工具要有較高的精確度.2.測量高度問題：這類問題的情景屬于“測量底（頂）部不能到達的物體的高度”.測量過程中，要注意選取適量不同的測量點，使測量有較高的精確度.3.測量角度問題：這類問題的情景屬于“根據(jù)需要，對某些物體定位”.測量數(shù)據(jù)越精確，定位精度越高【典型例題】類型一：距離問題例1如圖，某公司要在A、B兩地連線上的定點C處建造廣告牌CD，其中D為頂端，AC長35米，CB長80米，設(shè)點A、B在同一水平面上，從A和B看D的仰角分別為和(1)設(shè)計中CD是鉛垂方向，若要求2，問CD的長至多為多少(結(jié)

47、果精確到0.01米)？(2)施工完成后，CD與鉛垂方向有偏差，現(xiàn)在實測得38.12，18.45，求CD的長(結(jié)果精確到0.01米)【答案】(1) 28.28米.(2) 26.93米.【思路點撥】(1)這是一道關(guān)于求兩點之間的距離問題。題目條件告訴了邊AC、CB的長以及以A、C為頂點的兩個角，根據(jù)正切函數(shù)的定義及性質(zhì)得到一個關(guān)于x的不等式，解之得到CD的長度。（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和正弦定理，解得CD的長?！窘馕觥?1)設(shè)CD的長為x米，則tan，tan，tantan2，即，解得0，即CD的長至多為28.28米(2)設(shè)DBa，DAb，CDm，則ADB180123.43，由正弦定理得，即，答

48、：CD的長為26.93米【總結(jié)升華】1. 此題雖為解三角形問題的簡單應(yīng)用，但關(guān)鍵是把未知邊所處的三角形找到，在轉(zhuǎn)換過程中應(yīng)注意排除題目中非數(shù)學(xué)因素的干擾，將數(shù)量關(guān)系從題目準(zhǔn)確地提煉出來.2. 解三角形的應(yīng)用題時，通常會遇到兩種情況：（1）已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。3. 在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計算方式。舉一

49、反三：【變式1】如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從A點測得M點的仰角MAN60，C點的仰角CAB45以及MAC75；從C點測得MCA60已知山高BC100m，則山高MNm【答案】ABC中，BAC45，ABC90，BC100，AC100AMC中，MAC75，MCA60，AMC45，由正弦定理可得，即 ，解得AM100RtAMN中，MNAMsinMAN100sin60150(m)，故答案為：150【變式2】為了開鑿隧道，要測量隧道上D、E間的距離，為此在山的一側(cè)選取適當(dāng)點C，如圖，測得CA=400m，CB=600m， ACB=60，又測得A、B兩點到隧道口的距離AD=8

50、0m，BE=40m(A、D、E、B在一條直線上)，計算隧道DE的長.【答案】在ABC中，CA=400m，CB=600m， ACB=60，由余弦定理得 答：隧道長約為409.2m.【變式3】（2016春 邢臺校級期中）張曉華同學(xué)騎電動自行車以24 kmh的速度沿著正北方向的公路行駛，在點A處望見電視塔S在電動車的北偏東30方向上，15 min后到點B處望見電視塔在電動車的北偏東75方向上，則電動車在點B時與電視塔S的距離是（ ）Akm Bkm Ckm Dkm【答案】如圖，由已知可得，在ABS中，BAS=30，AB=6，ABS=18075=105，ASB=45由正弦定理可得故選B 類型二：測量高度

51、問題【解三角形應(yīng)用舉例377493 例2】例2 某人在塔的正東沿著南偏西的方向前進40米后，望見 塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為，求塔高.【思路點撥】畫出空間圖形后，先尋找可解的三角形，進而解目標(biāo)所在三角形?！窘馕觥坑缮蠄D所示，過B做于點E,由題意知在E點測得塔的最大仰角，在.由正弦定理，得在中，在中，（米）故所求塔高為米【總結(jié)升華】 測量高度是在與地面垂直的豎直平面內(nèi)構(gòu)造三角形，在依條件結(jié)合正弦定理和余弦定理來解，解決測量高度的問題時，常出現(xiàn)仰角與俯角的問題，要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系.舉一反三：【變式1】（2016 綿陽校級模擬）如圖，無人機在離地面高200 m的A處，觀測到山頂M處的

52、仰角為15、山腳C處的俯角為45，已知MCN=60，則山的高度MN為_m。 【答案】在RtABC中，ACB=DAC=45，ABC=90，AB=200，MCN=60，ACM=180MCNACN=75，MAC=15+45=60，AMC=180MACACM=45。在MAC中，由正弦定理得，即解得。，。故答案為：300?！咀兪?】在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進30m，至點C處測得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進10m至D點，測得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。【答案】所求角，建筑物高度為15m。類型三：方位角問題例3 如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處

53、時測得公路南側(cè)遠處一山頂D在西偏北的方向上,行駛后到達B處,測得此山頂在西偏北的方向上,仰角為,求此山的高度CD.【思路點撥】欲求出CD，只需在BCD中求出BD或BC，而在BCD中先求BC邊比較適合；或設(shè)CD=x,列方程解答.【解析】方法一：在ABC中, ，,根據(jù)正弦定理： = ,有， .方法二：設(shè)CD=x，則，根據(jù)正弦定理： = ,有，解得，即.【總結(jié)升華】正確地畫出其空間示意圖是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏西30，燈塔B在觀察站C南偏西60，則A、B之間的距離為 ；【答案】；如圖，。【變式2】如圖示，已知兩座燈塔A和

54、B與海洋觀察站C的距離都等于，燈塔A在觀察站C的北偏東20，燈塔B在觀察站C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B的距離為( )A. B. C. D.【答案】B 類型四：航海問題【解三角形的應(yīng)用舉例377493 例3】例4如圖所示，在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A為()km的B處有一艘走私船.在A處北偏西75方向，距A為2 km的C處的緝私船奉命以km/h的速度追截走私船.此時走私船正以10km/h的速度從B處向北偏東30方向逃竄，則緝私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的時間.【思路點撥】這里必須弄清楚三個概念：(1)方位角；(2)沿什么方向追，即按什么方位角航行；(3)最快追上，即應(yīng)理

55、解為按直線航行，且兩船所用時間相等，畫出示意圖，即可求出CD的方位角及由C到D所需航行的時間.【解析】設(shè)緝私船追上走私船需，則，.由余弦定理，得 ，由正弦定理，得，而，.，即， 答：緝私船向東偏北方向，只需便能追上走私船.【總結(jié)升華】航海問題中關(guān)鍵是方向角的表示，最好要參照方向坐標(biāo)，準(zhǔn)確的畫出圖形.舉一反三：【變式1】如圖A，B是海面上位于東西方向相距5(3)海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東45，B點北偏西60的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，求該救援船到達D點需要多長時間？【答案】由題意知AB5(3)

56、海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105，在DAB中，由正弦定理得DB10 (海里)又DBCDBAABC30(9060)60BC20海里在DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 20021020900CD30(海里)，則需要的時間t1(小時)答：救援船到達D點需要1小時【解三角形應(yīng)用舉例377493 變式演練3】【變式2】如圖所示，海中小島A的周圍38海里內(nèi)有暗礁，某船正由北向南航行，在B處測得小島A在船的南偏東，航行30海里后，在C處測得小島A在船的南偏東，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無觸礁危險？【答案】船繼續(xù)向南航

57、行，有無觸礁的危險，取決于A到直線BC的距離與38海里的大小.于是，只要先算出AC(或AB)，再算出A到BC所在直線的距離，將它與38海里比較即得問題的解.在中，由正弦定理知：，于是A到BC所在直線的距離為(海里)它大于38海里，所以繼續(xù)向南航行無觸礁危險.【鞏固練習(xí)】選擇題1如圖，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在A所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105后，就可以計算出A，B兩點的距離為()A mB mC m D. m2（2016春 孝感期中）如圖，從地面上C，D兩點望山頂A，測得它們的仰角分別為45和30，已知CD=100米，點C位于BD上，

58、則山高AB等于（ ）A100米 B米 C米 D米3如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B、C的俯角分別為75、30，此時氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于()A240(1)mB180(1)mC120(1)mD30(1)m4如右圖，為了測量隧道口AB的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量時應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù)()A，a，b B，aCa，b， D，b5.有一長為10m的斜坡，傾斜角為，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，要通過加長坡面的方法將它的傾斜角改為，則坡底要延長（ ）A.5m B.10m C.m D.m6.（2016 遂寧模擬改編）海輪“和諧號”從A處以每小時21海里的速度出發(fā)，海輪“奮斗號”在A處北偏東45

59、的方向，且與A相距10海里的C處，沿北偏東105的方向以每小時9海里的速度行駛，則海輪“和諧號”與海輪“奮斗號”相遇所需的最短時間為（ ）小時。A. B. C. D.1 填空題7. 一艘船以的速度向正北方向航行,船在處看見燈塔在船的東北方向上,后船在處看見燈塔在船的北偏東的方向上,這時,船與燈塔的距離 ；8. (2015 湖北高考)如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD=_m. 9. 如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67，30，此時

60、氣球的高是46m，則河流的寬度BC約等于 m(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位參考數(shù)據(jù)：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，1.73)解答題10如圖所示，已知A、B兩點的距離為100海里，B在A的北偏東30處，甲船自A以50海里/小時的速度向B航行，同時乙船自B以30海里/小時的速度沿方位角150方向航行問航行幾小時，兩船之間的距離最短？11為保障高考的公平性，高考時每個考點都要安裝手機屏蔽儀，要求在考點周圍1千米處不能收到手機信號，檢查員抽查某市一考點，在考點正西約1.732千米有一條北偏東60方向的公路，在此處檢查員用手機接通電話，以每小時12千米的