2015年12月03日旋轉(zhuǎn)解答題

1、jyeoo.con2015年12月03日旋轉(zhuǎn)解答題參考答案與試題解析一.解答題（共30小題）1. （2015湖北）如圖，A ABC 中，AB=AC=1, Z BAC=45, AEF 是由 ABC 繞點 A 按 順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE、CF相交于點D.（1）求證：BE=CF；（2）當四邊形ACDE為菱形時，求BD的長.【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：勾股立理：菱形的性質(zhì).【專題】計算題：證明題.【分析】（1）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=AB, AF=AC, Z EAF=Z BAC,則Z EAF+Z BAF=Z BAC+Z BAF,即Z EAB=Z FAC,利用 AB=AC 可得 AE=AF,于是根據(jù) 旋轉(zhuǎn)

2、的左義， AEB可由 AFC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到 BE=CD：（2）由菱形的性質(zhì)得到DE=AE=AC=AB=1, ACII DE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得 ZAEB=ZABE,根據(jù)平彳亍線得性質(zhì)得Z ABE=ZBAC=45。，所以Z AEB=Z ABE=45,于是 可判斷ZiABE為等腰直角三角形，所以BE=V2AC=V2,于是利用BD=BE - DE求解.【解答】（1）證明：厶AEF是由 ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的， AE=AB, AF=AC, Z EAF=Z BAC, z EAF+Z BAF=Z BAC+Z BAF,即Z EAB=Z FAC, AB二AC

3、,. AE=AF,AEB可由 AFC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到， BE=CF：（2）解：.四邊形ACDE為菱形，AB=AC=1,DE=AE=AC=AB=1, AC II DE, Z AEB=Z ABE, Z ABE=Z BAC=45/. Z AEB=Z ABE=45%ABE為等腰直角三角形， be=Vsc=V2， BD=BE - DE=V2 - 1 菁優(yōu)網(wǎng)vur k背枚同優(yōu)秀學子【點評】本題考査了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等：對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線 段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角：旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了菱形的性質(zhì).2. （2014咸寧）如圖，在RtA ABC中.Z ACB=90% Z B

4、=30%將 ABC繞點C按碩時針 方向旋轉(zhuǎn)n度后，得到ADEC，點D剛好落在AB邊上.（1）求n的值：（2）若F是DE的中點，判斷四邊形ACFD的形狀，并說明理由.【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線；菱形的判泄.【專題】幾何圖形問題.【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得岀AC=CD,進而得出厶ADC是等邊三角形，即可得出Z ACD 的度數(shù)：（2）利用直角三角形的性質(zhì)得岀FC=DF,進而得岀AD=AC=FC=DF,即可得岀答案.【解答】解:（1）在RtA ABC中，Z ACB=90% z B=30,將 ABC繞點C按順時針方 向旋轉(zhuǎn)n度后，得到aDEC, AC二DC,

5、Z A=60%ADC是等邊三角形， Z ACD=60,/. n的值是60：（2）四邊形ACFD是菱形：理由:V Z DCE=Z ACB=90 F 是 DE 的中點， FC=DF=FE, Z CDF=Z A=60DFC是等邊三角形， DF=DC=FC,ADC是等邊三角形，AD=AC=DC （1）判斷線段DE、FG的位宜關(guān)系，并說明理由:（2）連結(jié)CG,求證：四邊形CBEG是正方形.【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：正方形的判定：平移的性質(zhì)【專題】幾何圖形問題.【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)和平移可得Z DEB=Z ACB, Z GFE=Z A,再根據(jù)Z ABC=90可得 Z A+Z ACB=90%進而得到Z DEB+

6、Z GFE=90%從而得到DE、FG的位置關(guān)系是垂直：（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)和平移找出對應(yīng)線段和角，然后再證明是矩形，后根據(jù)鄰邊相等可得四邊形 CBEG是正方形.【解答】（1）解：FG丄ED.理由如下： ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。至厶DBE后， z DEB=Z ACB,把厶ABC沿射線平移至 FEG,z GFE=Z A z ABC=90, Z A+Z ACB=90, z DEB+Z GFE=90 z FHE=90A FG丄ED：（2）證明：根據(jù)旋轉(zhuǎn)和平移可得Z GEF=90% Z CBE=90% CGII EB, CB=BE,T CGII EB, z BCG=z CBE=90四邊形BCGE是矩形，

7、CB二BE,四邊形CBEG是正方形.【點評】此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)和平移，關(guān)鍵是掌握新圖形中的每一點，都是由原圖形 中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點.連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等.菁優(yōu)網(wǎng)4. （2014黔南州）兩個長為2cm,寬為1cm的長方形，擺放在直線1上（如圖），CE=2cm, 將長方形ABCD繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)a角，將長方形EFGH繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn)相同的角 度.C E圖A G圖（1）當旋轉(zhuǎn)到頂點D、H重合時，連接AE. CG,求證： AED學 GCD （如圖）（2）當a=45。時（如圖），求證：四邊形MHND為正方形.【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：全等三角形的判泄與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)

8、：正方形的判泄.【專題】幾何綜合題.【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS證得： AEg GCD （如圖）；（2）通過判定四邊形MHND四個角是90。，且鄰邊DN=NH來判左四邊形MHND是正方 形.【解答】證明：（1）如圖，由題意知，AD=GD, ED=CD, Z ADC=Z GDE=90% z ADC+z CDE=z GDE+z CDE,即z ADE=Z GDC,在厶AED與厶GCD中，；W=GD ZADE=ZGDC,ED 二 CD AED竺 GCD （SAS）；（2）如圖（3）, Va=45% BCII EH,/. z NCE=Z NEC=45% CN=NE,z CNE=90%z D

9、NH=90% z D=z H=90%四邊形MHND是矩形， CN二NE,DN=NH,矩形MHND是正方形.【點評】本題考査旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判左以及正方形的判左的方法.（旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)： 對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等.正方 形的判建的方法：兩鄰邊相等的矩形是正方形.）5. （2013*畢節(jié)地區(qū)）四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點，且 DE=BF,連接 AE、AF. EF.（1）求證： ADE字 ABF；（2）填空： ABF可以由 ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A 點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90 度得到;（3）若 BC=8, DE=6,求

10、AEF 的而積.【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：全等三角形的判立與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).【專題】證明題.【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=AB, Z D=Z ABC=90,然后利用“SAS易證得 ADE竺 ABF：（2）由于 ADE更 ABF 得z BAF=Z DAE,則Z BAF+Z BAE=90 即z FAE=90,根據(jù) 旋轉(zhuǎn)的左義可得到 ABF可以由aADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度得到；（3）先利用勾股泄理可計算岀AE=10,再根據(jù)aABF可以由AADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點，按 順時針方向旋轉(zhuǎn)90度得到AE=AF, z EAF=90然后根據(jù)直角三角形的而積公式計算即可.【解答】（1）證明：

11、T四邊形ABCD是正方形，AD=AB, Z D=Z ABC=90,而F是CB的延長線上的點，Z ABF=90,飪ADE和厶ABF中血AD【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距禽相等：對 應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考査了全等三角形的判左與性質(zhì)以及勾股泄 理.6. (2013崇左)如圖所示，正方形ABCD中，E是CD 一點，F(xiàn)在CB的延長線上，且 DE=BF.求證： ADE空 ABF：問：將AADE順時針旋轉(zhuǎn)多少度后與AABF重合，旋轉(zhuǎn)中心是什么？【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：直角三角形全等的判左；正方形的性質(zhì).【專題】證明題：操作型.【分析】(1)根據(jù)SAS

12、定理，即可證明兩三角形相似：(2)將AADE順時針旋轉(zhuǎn)后與AABF重合，A不變，因而旋轉(zhuǎn)中心是A, ZDAB是旋轉(zhuǎn) 角，是90度.【解答】(1)證明：在正方形ABCD中，Z D=Z ABC=90% Z ABF=90 Z D=Z ABF=90,又 DE=BF, AD=AB . ADE字 ABF.(2 )解：將aADE順時針旋轉(zhuǎn)90后與aABF重合，旋轉(zhuǎn)中心是點A.【點評】本題主要考查了三角形全等的判左方法，以及旋轉(zhuǎn)的定義，正確理解旋轉(zhuǎn)的左義是 解決本題的關(guān)鍵.7. (2013*婁底)某校九年級學習小組在探究學習過程中，用兩塊完全相同的且含60。角的 直角三角板ABC與AFE按如圖(1)所示位置放

13、置放置，現(xiàn)將RtA AEF繞A點按逆時針方 向旋轉(zhuǎn)角a (0a(2)當旋轉(zhuǎn)角a=30時，四邊形ABPF是什么樣的特殊四邊形？并說明理由.【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：全等三角形的判龍與性質(zhì)；菱形的判泄.【專題】壓軸題.【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB=AF, Z BAM=Z FAN,進而得出厶ABM旻 AFN得 出答案即可；(2)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出Z FAB=120, Z FPC=Z B=60即可得出四邊形ABPF是平行四 邊形，再利用菱形的判定得出答案.【解答】(1)證明：.用兩塊完全相同的且含60。角的直角三角板ABC與AFE按如圖(1) 所示位置放置放置，現(xiàn)將RtA AEF繞A點按逆時針方向旋

14、轉(zhuǎn)角a (0a90), AB=AF, Z BAM二Z FAN,在厶ABM和 AFN中，rZFAN=ZBAM當點D，恰好落在EF邊上時，求旋轉(zhuǎn)角a的值；（2）如圖2, G為BC中點，且0a圏(2)（1）將aBEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90。，如圖（2）,則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和 位宜關(guān)系？請直接寫出你的猜想.（2）將aBEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)180。，如圖（3）,則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系 和位宜關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明.【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì). 【專題】壓軸題.【分析】從圖（1）中尋找證明結(jié)論的思路：延長FE交DC邊于M,連MG.構(gòu)造出 GF

15、E里 GMC.易得結(jié)論：在圖（2）、（3）中借鑒此解法證明.【解答】解:（1） EG=CG, EG丄CG.(2) EG=CG, EG丄CG證明：延長FE交DC延長線于M,連MG./ Z AEM=90, Z EBC=90, Z BCM=90% 四邊形BEMC是矩形.BE=CM, z EMC=90%由圖(3)可知，BD 平分zABC, Z ABC=90% z EBF=45%又EF丄AB, BEF為等腰直角三角形BE=EF, z F=45EF=CM/ z EMC=90% FG=DG, MG=-iFD=FG 2 BC=EM, BC=CD,EM=CD EF=CM, FM=DM,又. FG=DG,z CM

16、G=lz EMC=45,2z F=Z GMC.Pg 二 mg在厶GFE與厶GMC中， ZF=ZGMC ,EF=CM GFE旻心 GMC (SAS)./. EG=CG, Z FGE=Z MGC/ Z FMC=90, MF=MD, FG=DG,MG丄FD, z FGE+Z EGM=90% z MGC+Z EGM=90%即 z EGC=90%EG 丄 CG【點評】此題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判斷和性質(zhì)，如何構(gòu)造全等的三角形是 難點，因此難度較大.11. （2011達州）如圖，A ABC的邊BC在直線m上,AC丄BC,且AC=BC, A DEF的邊 FE也在直線mJb 邊DF與邊AC重合，且

17、DF=EF（1）在圖（1）中，請你通過觀察、思考，猜想并寫岀AB與AE所滿足的數(shù)量關(guān)系和位宜 關(guān)系；（不要求證明）（2）將 DEF沿直線m向左平移到圖（2）的位置時，DE交AC于點G,連接AE, BG.猜 想厶BCG與厶ACE能否通過旋轉(zhuǎn)重合？請證明你的猜想. 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：全等三角形的判立與性質(zhì)：等腰直角三角形.【專題】幾何綜合題.【分析】（1）根據(jù)題意，BC=AC=DF=EF,且AC丄BC,可知 ABC, DEF為等腰直角三 角形，得出結(jié)論；（2）將ZkBCG繞點（2順時針旋轉(zhuǎn)90。后能與2ACE重合.已知BC=AC,由（1）可知Z DEF=45可知ZkCEG為等腰直角三角形，則CG

18、=CE,利用SAS證明 BCG旻 ACE, 得出結(jié)論. 曲耳松XI優(yōu)秀竽了【解答】解：（1）AB二AE, AB丄AE；（2）將厶BCG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。后能與 ACE重合（或?qū)?ACE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。后能與 BCG重合），理由如下：V AC丄BC, DF丄EF, B、F、C、E 共線， z ACB=Z ACE=Z DFE=90%又AC：=BC, DF=EF, z DEF=Z D=45%在aCEG 中，Z ACE=90% z CGE+Z DEF=90 z CGE=Z DEF=45CG=CE,在厶BCG和厶ACE中，BC二AC ZACB=ZACE,CG=CE BCG空 ACE （SAS）

19、,/.將厶BCG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90。后能與 ACE重合（或?qū)?ACE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。 后能與 BCG重合）.【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判泄與性質(zhì).關(guān)鍵 是熟練運用等腰直角三角形的性質(zhì)解題.12. （2011 呼和浩特）如圖所示，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點且z AEF=90 EF交正方形外角平分線CF于點F,取邊AB的中點G,連接EG.（1）求證:EG=CF；（2）將aECF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90。，請在圖中直接畫出族轉(zhuǎn)后的圖形，并指出旋轉(zhuǎn)后CF 與EG的位置關(guān)系.【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：全等三角形的判立與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).【專題】證明題

20、.【分析】（1）G、E分別為AB、BC的中點，由正方形的性質(zhì)可知AG=EC, BEG為等腰 直角三角形，則z AGE=180-45=135% 而Z ECF=90+45=135% 得Z AGE=Z ECF,再利 用互余關(guān)系，得Z GAE=90Z AEB=Z CEF,可證 AGE旻心ECF,得出結(jié)論；（2）旋轉(zhuǎn)后，Z C/AE=Z CFE=Z GEA，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可判斷旋轉(zhuǎn)后CF 與EG平行.【解答】（1）證明：.正方形A BCD，點G, E為邊AB、BC中點，AG=EC, BEG為等腰直角三角形，jyeoo.con/. Z AGE=180 - 45=135%又TCF為正方形外角平

21、分線， z ECF=90445=135Z AGE=Z ECF z AEF=90 z GAE=90 - Z AEB=Z CEF, AGE竺 ECF, EG=CF：（2）解：畫圖如圖所示, 旋轉(zhuǎn)后CF與EG平行.【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì).全等三角形的判左與性質(zhì).關(guān)鍵是根據(jù)正 方形的性質(zhì)尋找判泄三角形全等的條件.13. （2011仙桃）兩個大小相同且含30。角的三角板ABC和DEC如圖擺放，使直角頂點 重合.將圖中aDEC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)30。得到圖，點F、G分別是CD、DE與AB 的交點，點H是DE與AC的交點.（1）不添加輔助線，寫岀圖中所有與ABCF全等的三角形；（2）將圖中

22、的ADEC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)45Wa DiEiC,點F、G、H的對應(yīng)點分別為 Fi、Gi、Hi，如圖.探究線段D|F|與AH之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出推理過程；（3）在（2）的條件下，若DiEi與CE交于點I,求證：GiI=CI.【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：全等三角形的判立與性質(zhì).【專題】幾何綜合題;壓軸題.【分析】（1）觀察圖形，根拯全等三角形的判左立理，即可得與ABCF全等的有aGDF、 GAH、 ECH；（2）利用SAS即可判定 AFid D|H|C,則可得對應(yīng)線段相等，即可求得DFi=AH|：（3）首先連接CGi,利用AAS即可證得DiGiFi里 AGiHi.然后可證得 CGiF* CGiHi.又由

23、平行線的性質(zhì)即可求得答案.【解答】解：（1）圖中與ABC F全等的有GDF、A GAH. ECH.（2）DiFi=AHi，證明：.在aAFiC 與 D1H1C 中，rZA=ZD1=30 CA 二CD,ZFCH二 AFiC旻 DiHiC./. FiC=HiC,又 CDi=CA, CDi - FiC=CA - HiC即 DiFi=AHi：（3）連接 CGi.在厶DiGiFi和厶AGiHi中，2珥二厶；ZDtG二D1F1=AH1/. DGF岸 AGiHi./. GiFi=GiHi,又HiC=FiC, GiC=GiC, CGiF岸 CGiHi. z 1=Z 2./ z B=60% z BCF=30z

24、BFC=90又Z DCE=90%z BFC=z DCE, BAII CE,z l=z GCE,Z 2=z GiCEtGiI=CIfiWmEH 枚 hl 優(yōu)奔學 f【點評】此題考查了全等三角形的判立與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識.此題 綜合性較強，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，準確構(gòu)造輔助線給解題會帶來事半功 倍的效果.14. （2011*丹東）己知：正方形ABCD.（1）如圖1，點E、點F分別在邊AB和AD上，且AE=AF.此時，線段BE、DF的數(shù)量 關(guān)系和位置關(guān)系分別是什么？請直接寫出結(jié)論.（2）如圖2,等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉(zhuǎn)Z a,當0a90時，連接 B

25、E、DF,此時（1）中的結(jié)論是否成立，如果成立，請證明：如果不成立，請說明理由.（3）如圖3,等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉(zhuǎn)Z a,當a=90。時，連接BE、 DF,猜想溝AE與AD滿足什么數(shù)量關(guān)系時，直線DF垂直平分BE.請直接寫出結(jié)論.（4）如圖4,等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉(zhuǎn)Z a,當90a在。尸人和厶BEA中， z DAF=90。- z FAB, z BAE=90 z FAB, z DAF=z BAEtX AB=AD AE=AF,. DFA竺 BEA,?. BE=DF： Z ADF=Z ABE.BEJLDF：AE= (2- 1) AD：（4）正方形.【點評】本

26、題考査了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判立和性質(zhì)、線段的垂直平分線及正方形的 性質(zhì)，本題的綜合性較強，掌握并熟練應(yīng)用以上性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.15. （2011婁底）如圖，在直角三角形ABC中，Z ACB=90% AC=BC=10,將 ABC繞點 B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到 AiBCi（1） 線段AiCi的長度是一 10 , z CBAi的度數(shù)是一 135。（2）連接CCH求證：四邊形CBAiCi是平行四邊形.【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：等腰直角三角形；平行四邊形的判立.【專題】幾何綜合題：壓軸題.【分析】（1）由于將 ABC繞點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到 AiBCi，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可 以得到ACi=A

27、C, Z CBCi=90,而AABC是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì) 即可求出Z CBAi的度數(shù)；（2）由Z A,CiB=Z CiBC=90nJ以得到AQIIBC,又AiCI=AC=BC.利用評選四邊形的 判定即可證明題目的問題.【解答】（1）解：.將 ABC繞點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到aAiBCi.AiCi=10, Z CBCi=90%而 ABC是等腰直角三角形，/. Z ABC=45,jyeoo.con z CBAi=135；（2）證明:VZ AiCiB=zCiBC=90,AiCill BC又 AiCi=AC=BC,四邊形CBAiCi是平行四邊形.【點評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的

28、性質(zhì)，也考査了平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn) 的性質(zhì)得到相等的相等和相等的角，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)加減問題.16. （2010山西）如圖1,已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接（1）試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論：（2）將正方形DEFG繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點E落在BC邊上，如圖2,連接AE 和GC.你認為（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，給岀證明：若不成立，請說明理由.【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：直角三角形全等的判定；正方形的性質(zhì).【專題】證明題：壓軸題；探究型.【分析】（1）觀察圖形，AE、CG的位置關(guān)系可能是垂直，下而著手證明.由于四邊

29、形ABCD、 DEFG都是正方形，易證得AADE竺ACDG,則z l=z 2,由于z 2、Z 3互余，所以z 1. Z3互余，由此可得AHICG.（2）題（1）的結(jié)論仍然成立，參照（1）題的解題方法，可證 ADd CDG,得Z 5=Z 4, 由于Z4. Z 7互余，而Z5. Z6互余，那么Z 6=z 7：由圖知z AEB=zCEH=9（r-z6,即 Z 7+z CEH=90,由此得證.【解答】解：（1）答：AE丄GC：證明：延長GC交AE于點H,在正方形ABCD與正方形DEFG中，AD=DC, Z ADE=Z CDG=90DE=DG, ADE竺 CDG,z l=z 2； z 2+z 3=90,

30、 z 1+z 3=90, z AHG=180- （Z 1+Z 3） =180 - 90=90,/. AE丄GC.（2）答：成立：證明：延長AE和GC相交于點H,在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD=DC, DE=DG, Z ADC=Z DCB=Z B=z BAD=Z EDG=90% Z 1=Z 2=90 - Z 3； ADE空 CDG,z 5=z 4：又 Z 5+Z 6=90, Z 4+Z 7=180 - Z DCE=180 - 90=90z 6=z 7,又 Z 6+Z AEB=90, z AEB=Z CEH, z CEH+Z 7=90% z EHC=90%AE丄GC【點評】本題主要考查旋

31、轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判左和性質(zhì).需要注意的是：旋轉(zhuǎn)變化 前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變.17. （2009萊蕪）已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF丄BD交BC 于F,連接DF, G為DF中點，連接EG, CG.（1）求證：EG=CG：（2）將圖中厶BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45,如圖所示，取DF中點G,連接EG, CG.問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明：若不成立，請說明理由：（3）將圖中ABEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中 的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得岀什么結(jié)論（均不要求證明）.圖囹囹【考點】

32、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判左與性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線：正方形的性質(zhì).【專題】壓軸題.【分析】（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG.（2）結(jié)論仍然成立，連接AG,過G點作MN丄AD于與EF的延長線交于N點：再證 明厶DAG更 DCG,得出AG=CG；再證出 DMG更 FNG,得到MG=NG：再證明 AMG更“ENG,得出AG=EG；最后證出CG=EG（3）結(jié)論依然成立.還知道EG丄CG.第1頁（共1頁）【解答】(1)證明：四邊形ABCD是正方形， z DCF=90%在FCD中,TG為DF的中點， cg-Ifd,2同理，在DEF中，EG)FD,2/. CG=EG

33、(2)解：(1)中結(jié)論仍然成立，即EG=CG.證法一：連接AG,過G點作MN丄AD于與EF的延長線交于N點. 在厶DAG與厶DCG中，TAD二CD, ZADG=ZCDG, DG=DG, DAG更 DCG (SAS),AG=CG；在厶DMG與AFNG中， z DGM=Z FGN, FG=DG, z MDG=Z NFG, DMG竺 FNG (ASA), MG=NG： z EAM=Z AEN=Z AMN=90,四邊形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN,在厶AMG與aENG中， AM=EN, Z AMG=Z ENG, MG=NG, AMG竺心ENG (SAS),AG=EGEG=CG證法二：延

34、長CG至使MG=CG,連接 MF, ME, EC,在厶DCG與厶FMG中， FG=DG, Z MGF=Z CGD. MG=CG, DCG更厶FMG MF=CD, z FMG=z DCG, MFII CDII AB,EF丄MF在 Rb MFE 與 RCBE 中， MF=CB, Z MFE=Z EBC, EF=BE,. MFE空 CBE z MEF=z CEB z MEC=Z MEF+Z FEC=Z CEB+Z CEF=90第1頁(共頁)AS.#,. f氯菁優(yōu)網(wǎng)yz - MEC為直角三角形. MG=CG.EG 卻 C,(3)解:(1)中的結(jié)論仍然成立理由如下：過F作CD的平行線并延長CG交于M點，

35、連接EM、EC,過F作FN垂直于AB于N. 由于G為FD中點，易證 CDG旻心MFG,得到CD=FM,又因為 BE=EF,易證Z EFM=Z EBC,則厶 EFM竺 EBC, z FEM=z BEC, EM=EC / z FEC+Z BEC=90% /. z FEC+z FEM=90% 即Z MEC=90% MEC是等腰直角三角形，G為CM中點，EG=CG, EG丄CG圖閤(一)【點評】本題利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、全等三角形的判泄和 性質(zhì).,. f氯菁優(yōu)網(wǎng)yz -18. （2009雞西）已知 Rt/kABC 中，AC=BC, Z C=90, D 為 AB 邊的中點，Z

36、 EDF=90% ZEDF繞D點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB （或它們的延長線）于E、F.（1）當ZEDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE丄AC于E時（如圖1）,易證Sa def+Sa cefSa abc；圖2直角三角形全等的判定.（2）當ZEDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論 是否成立？若成立，請給予證明：若不成立，Sa def、Sacef、Sa abc又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 請寫岀你的猜想，不需證明.圖1【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：【專題】綜合題.【分析】先作岀恰當?shù)妮o助線，再利用全等三角形的性質(zhì)進行解答.【解答】解：（1）顯然aAED, a DEF, a ECF, aBDF都

37、為等腰直角三角形，且全等, 則 SA def+Sa cef=-Sa abc：2（2）圖2成立；圖3不成立.圖 2 證明：過點 D 作 DM丄 AC, DN丄BC,則z DME=Z DNF=Z MDN=90又Z C=90, DM II BC, DNII AC,YD為AB邊的中點， 由中位線立理可知：dnAac, mdAbc,2 2 AC=BC, MD=ND, z EDF=90 z MDE+Z EDN=90, z NDF+Z EDN=90, z MDE=Z NDF,在厶DME DNF中，rZDME=ZDNF:* MD二ND,ZMDE=ZNDF DME更 DNF (ASA), Sa DME=Sa D

38、NF,/. S 刃邊形 dmcn=S 囚邊形 decf=Sa def+Sa cef， 由以上可知S網(wǎng)邊形DMCNSa ABC，2,. f氯菁優(yōu)網(wǎng)yz -二 SA DEF+Sa CEF=-Sa ABC.2圖3不成立，連接DC,證明： DEC旻 a DBF (ASA, Z DCE=Z DBF=135) Sa DEFS 邊彬DBFEC，=Sa CFE+Sa dbc，=Sa CFE+saabc2 Sa DEF - Sa cfe-saabc2故 Sa def、Sa cef、Sa abc 的關(guān)系是:【點評】利用作岀的輔助線將不規(guī)則的三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形進行解決.19. （2009襄陽）如圖所示,在RtA

39、 ABC中，Z ABC=90.將Ru ABC繞點C順時針方 向旋轉(zhuǎn)60。得到aDEC，點E在AC上，再將RtA ABC沿著AB所在直線翻轉(zhuǎn)180。得到 A ABF.連接AD（1）求證：四邊形AFCD是菱形；（2）連接BE并延長交AD于G,連接CG,請問：四邊形ABCG是什么特殊平行四邊形, 為什么？【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判左：平行四邊形的判左: 菱形的判定：矩形的判定.【專題】幾何綜合題.【分析】（1）需證明 ACD是等邊三角形、AAFC是等邊三角形，即可證明四邊形AFCD 是菱形.（2）可先證四邊形ABCG是平行四邊形，再由Z ABC=90,可證四邊形ABC

40、G是 矩形.菁優(yōu)網(wǎng)vur k背枚同優(yōu)秀學子【解答】（1）證明：RtA DEC是由RtA ABC繞C點旋轉(zhuǎn)60。得到， AC二DC, Z ACB=Z ACD=60:e ACD是等邊三角形，AD=DC=AC. （1 分）又 RtA ABF是由RtA ABC沿AB所在直線翻轉(zhuǎn)180。得到, AC=AF, Z ABF=Z ABC=90% Z ACB=Z ACD=60% AFC是等邊三角形，AF=FC=AC, （3 分） AD=DC=FC=AF,四邊形AFCD是菱形.（4分）（2）四邊形ABCG是矩形.（5分）證明：由（1）可知：A ACD, A AFC是等邊三角形，A ACB AFB, Z EDC=Z

41、 BAC丄 FAC=30,且厶ABC為直角三角形， BCAC,2 EC=CB, EC）AC,2.E為AC中點，DE丄AC,AE=EC, （6 分） AG II BCZ EAG=Z ECB, Z AGE=Z EBC AEG旻 CEB,/. AG=BC, （7 分）/.四邊形ABCG是平行四邊形，/ Z ABC=90, （8 分）四邊形ABCG是矩形.AG八【點評】此題主要考查菱形和矩形的判宦，綜合應(yīng)用等邊三角形的判左、全等三角形的判左 等知識是解題的關(guān)鍵.20. （2009隨州）如圖，已知 ABC是等腰宜角三角形，Z BAC=90,點D是BC的中 點.作正方形DEFG,使點A, C分別在DG和D

42、E上，連接AE, BG.jyeoo.con（1）試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系請直接寫出你得到的結(jié)論：（2）將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)一立角度后（旋轉(zhuǎn)角度大于0。，小于或等于 360。），如圖，通過觀察或測量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請 予以證明；如果不成立，請說明理由；（3）若BC=DE=2,在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中，當AE為最大值時，求AF的值.圖圖【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：全等三角形的判泄與性質(zhì)；勾股左理：正方形的性質(zhì) 【專題】綜合題；探究型.【分析】（1）在Rb BDG與EDA：根拯邊角邊龍理易得RU BDG旻RtA EDA：故BG二AE；（2）連接AD,根據(jù)直角

43、三角形與正方形的性質(zhì)可得RtA BDG RtA EDA；進而可得BG=AE；【解答】解:圖圖（1）BG=AE,證明：ABC是等腰直角三角形，AD丄BC,BD=DA又正方形 DEFG 中：GD=DE, z GDB=Z EDA：/. RtA BDG空 RtA ADE：BG=AE：(2)成立:證明：連接AD,V RtA BAC中，D為斜邊BC的中點,AD=BD, AD丄BC, z ADG+Z GDB=90, h耳松XI優(yōu)秀竽了EFGD為正方形， DE=DG,且zGDE=90。, Z ADG+Z ADE=90,Z BDG=Z ADE, 在厶BDG和厶ADE中, PD 二 AD 在厶ADQ與厶ABM中，

44、“AD 二 ABZADQ=ZABM,DQ二 ADQ旻厶 ABM (SAS), z DAQ=Z BAM, Z QAN=Z MAN. 在厶AMN和厶AQN中， 工Q 二 AM ZQAN=ZNANAN二 AN AMN竺心 AQN (SAS),MN=QN,DNBM=MN.【點評】本題考査了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決此類問題的關(guān)鍵是正確的利用旋轉(zhuǎn)不變量.22. （2008廣東）（I）如圖1,點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD 的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD,連接AC和BD,相交于點E,連接BC.求 Z AEB的大??；（2 ）如圖2.AOAB固左不動，保持 OCD的形狀和大小不變，將

45、OCD繞點O旋轉(zhuǎn)（ OAB 和厶OCD不能重疊），求Z AEB的大小.【專題】計算題：壓軸題.【分析】（1）根據(jù)等邊三角形和外角的性質(zhì)，可求Z AEB=60；（2）方法同一，只是z AEB=z 8 - Z 5,此時已不是外角，但仍可用外角和內(nèi)角的關(guān)系解 答.【解答】解：（1）如圖3, DOC和厶ABO都是等邊三角形，且點O是線段AD的中點，OD=OC=OB=OA, Z 1=Z 2=60%. z 4=z 5又 z 4+z 5=z 2=60。，z 4=30同理z 6=30. hi耳松 XI 優(yōu)秀竽了. Z AEB=Z 4+Z 6, Z AEB=60.(2)如圖4 DOC和厶ABO都是等邊三角形，O

46、D=OC, OB=OA, Z 1=Z 2=60.又OD=OA,OD=OB, OA=OC,z 4=z 5, z 6=z 7.T z DOB=z 1+z 3,z AOC=z 2+z 3,. z DOB=z AOC. Z 4+Z 5+Z DOB=180% Z 6+Z 7+Z AOC=180 2z 5=2z 6,z 5=z 6.又T Z AEB=Z 8 - Z 5, Z 8=Z 2+Z 6,z AEB=z 2+Z 6 - z 5=z 2+z 5 - z 5=z 2,z AEB=60【點評】此題主要考查等邊三角形和外角的性質(zhì).23. （2008大慶）如圖，四邊形AEFG和ABCD都是正方形，它們的邊長分

47、別為a, b （b2a）,且點F在AD上（以下問題的結(jié)果均可用a, b的代數(shù)式表示）.（1）求 Sa DBF：（2）把正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。得圖，求圖中的SA dbf：（3）把正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，Sa dbf是否存在最大值、最小值? 如果存在，直接寫出最大值、最小值；如果不存在，請說明理由.,. f氯菁優(yōu)網(wǎng)yz -【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：正方形的性質(zhì).【專題】壓軸題.【分析】（1）根據(jù)圖形的關(guān)系，可得AF的長，根據(jù)三角形而積公式，可得ADBF的面積;（2）連接AF,由題意易知AFII BD： DBF與 ABD同底等高，故而積相等：（3）分析可得：當F點

48、到BD的距離取得最大.最小值時，Sabfd取得最大.最小值：分 兩種情況討論可得其最大最小值.【解答】解：（1）點F在AD上,/. AF2=a2+a2,即 AF=Ja,/. DF=b -dbf=1dFxAB=X (b - V2a) xb=Ab2 -警b；（2）連接DF, AF,由題意易知AFII BD, 四邊形AFDB是梯形，ADB卩與厶ABD等高同底，即BD為兩三角形的底, 由AFll BD，得到平行線間的距離相等，即髙相等，（3）正方形AEFG在繞A點旋轉(zhuǎn)的過程中，F(xiàn)點的軌跡是以點A為圓心，AF為半徑的圓, 第一種情況：當b2a時，存在最大值及最小值，因為BFD的邊BD=V2b,故當F點到

49、BD的距離取得最大、最小值時，Sabfd取得最大、 最小值.如圖所示DF丄BD時，!%BFD 的最大tfi=SA Bro=V2t）*（工+V%）=上-乎也,Sa bfd 的最小(J*L=Sa bfd/2b* ( - - V2a) 2 2 2第二種情況：當b=2a時，存在最大值，不存在最小值.（如果答案為4#或b?也可）.,. f氯菁優(yōu)網(wǎng)yz -【點評】解答本題要充分利用正方形的特姝性質(zhì)，注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞 淸楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提髙解題速度和準確率.24. （2008隨州）如圖1,在正方形ABCD的邊AB上取一點P （不與端點A, B重合）， 以

50、AP為一邊作正方形APEF,連接BE, DE,觀察圖形，有如下三個結(jié)論成立：BE=DE：BP二DF：BP丄DF.如圖2,將正方形APEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a （0a （2）如圖2,若四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中是否總有BP=DP? 若是，請給予證明：若不是，請用反例加以說明；（3）試選取正方形ABCD的兩個頂點，分別與四邊形PECF的兩個頂點連接，使得到的兩 條線段在四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中長度始終相等，并證明你的結(jié)論.【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的判泄.【專題】幾何綜合題.【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可證 AB幽 ADP,

51、即BP=DP；（2）當四邊形PECF的點P旋轉(zhuǎn)到BC邊上時，DPDCBP,此時BP=DP不成立:（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證 BEd DFC,即BE=DF.【解答】（1）證明：證法一：在厶ABP與厶ADP中， AB=ADZ BAC=Z DAC AP=AP,. ABP學 ADP,BP=DP（2分）證法二：利用正方形的軸對稱性，可得BP=DP（2分）（2）解：不是總成立.（3分）當四邊形PECF的點P旋轉(zhuǎn)到BC邊上時，DPDCBP,此時BP=DP不成立, 是當P點在AC的延長線上時，BP=DP, 說明：未用舉反例的方法說理的不得分.（3）解：連接BE、DF,則BE與DF始終相等,在圖1中，

52、由正方形ABCD可證: AC 平分Z BCD, PE丄BC, PF丄CD,PE=PF, Z BCD=90,四邊形PECF為正方形.（7分） CE=CF,T z DCF=z BCE,BC=CD, BEC竺 DFC,jyeoo.conBE=DF（8分）【點評】本題考査了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判泄，以及正方形的性質(zhì).27. （2007廣州）已知：在 RtA ABC 中，AB=BC,在 ADE 中，AD=DE.連接 EC, 取EC的中點M,連接DM和BM（1）若點D在邊AC上，點E在邊AB 且與點B不重合，如圖1,探索BM. DM的關(guān) 系并給予證明：（2）如果將圖1中的 ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)小于4

53、5啲角，如圖2,那么（1）中的結(jié)論 是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，諳給予證明.圖1圖2【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的判定：等腰三角形的性質(zhì).【專題】壓軸題.【分析】（1）要求BM和DM的關(guān)系，可從角的度數(shù)入手，由題意，BM是直角三角形CBE 斜邊上的中線，因此BM=CM, Z MCB=Z MBC同理可得：Z AFB=45； AB=AC, EC二ED, Z BAC=Z CED, ABC- EDC,Z ACB=Z ECD,些半，DC ECZ BCD=Z ACEt BCD- ACE,z CBD=z CAE, z AFB=180 - z CAE - Z BAC - Z ABD,= 180 Z BAC - Z ABC=Z ACB,T AB=AC Z BAC=a, Z ACB=90 -la，2 h耳松XI優(yōu)秀竽了 Z AFB=90 -a 2故答案為：Z APB期討d.圖 4 中:Z AFB=90 -丄 CU2圖 5 中：Z AFB=90+i a 2Z AFB=90 -2口的證明如下：2AB=AC. EC=ED,