邱枝枝《用字母表示數(shù)》教學(xué)實(shí)踐記錄

1、用字母表示數(shù)教學(xué)實(shí)踐不確定（未知）情況可用字母表示1.表征對(duì)象從確定到不確定（如上圖）出示問(wèn)題情境，學(xué)生嘗試表達(dá)，然后依次呈現(xiàn)出一些典型表征方式。師：（提出關(guān)鍵問(wèn)題）老師看了同學(xué)們的作業(yè)后，發(fā)現(xiàn)前兩幅圖大家表示一致： 3和5，而第三幅存錢(qián)罐的表示卻不同，這是為什么？生：前面的硬幣個(gè)數(shù)確定，是 3和5；存錢(qián)罐里的是未知、不確定的。師：看來(lái)同學(xué)們都認(rèn)為前兩幅圖的硬幣個(gè)數(shù)是確定的，可用數(shù)表示；而存錢(qián)罐的硬幣個(gè)數(shù)無(wú)法確定，是未知的，所以大家的表示方法就各不相同。2.聚焦未知表征的對(duì)比師：（提出關(guān)鍵問(wèn)題）存錢(qián)罐里用“8” “未知”“x”這三種方法， 你欣賞哪一種，為什么？生：我喜歡第二種， “8”只表示

2、了一種，而用文字寫(xiě)的意思很明白。生：我選第三種， “8”表示一種，但還有很多可能，用文字寫(xiě)較麻煩，字母較為簡(jiǎn)單。生：我也選第三種， “8”是確定的，而存錢(qián)罐里的錢(qián)是未知的、 不確定的，字母可以表示多種情況，又簡(jiǎn)潔。師：通過(guò)討論可知，確定的情況用數(shù)表示，不確定的情況可用字母表示。反思：用字母表示未知量， 人教版教材沒(méi)這個(gè)環(huán)節(jié)，之所以安排，是因?yàn)闅v史發(fā)生原理指出， 學(xué)生應(yīng)經(jīng)歷 “記數(shù)未知一類(lèi)” 這三個(gè)步驟。更為重要的是，從記數(shù)到未知的過(guò)渡，其關(guān)鍵是表示的對(duì)象發(fā)生變化，即從“確定”到 “不確定”，隨之表示的意義也發(fā)生變化。確定情況用數(shù)來(lái)表示，學(xué)生已積累較為豐富的經(jīng)驗(yàn)，但對(duì)“不確定情況怎么表示？為什么

3、用字母表示比較好？”等問(wèn)題知之甚少。實(shí)踐中用兩個(gè)對(duì)比，讓學(xué)生思辨其內(nèi)在原理。對(duì)比一：通過(guò)圈內(nèi)確定的硬幣數(shù)與存錢(qián)罐內(nèi)不確定的硬幣數(shù)對(duì)比。不確定情況下，再用“具體的數(shù)”表示，就有其不足之處，即具體數(shù)只能表示出一種具體情況，所以要選用其他的方 法；對(duì)比二：“未知表征”形式的對(duì)比。通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，具體數(shù)、文字、 字母三種典型的表征方式，每一種都有其優(yōu)缺點(diǎn)，其中字母因?yàn)楹?jiǎn)潔、 又具有不確定性，用來(lái)表示未知、不確定情況最為合理。字母表示一個(gè)集合中的任意情況1.具體與抽象的對(duì)比師：剛才大家認(rèn)為，存錢(qián)罐里的1元硬幣數(shù)是未知的、多種情況的，所以用字母來(lái)表示， x 可以是0個(gè)，也能是1個(gè)、 2個(gè)， 最多是200個(gè)。

4、（指這個(gè)存錢(qián)罐最多放的1元硬幣數(shù)）那用1與 x 表示存錢(qián)罐里的硬幣數(shù)有什么不同呢？生：1只能表示一種情況， x 能表示存錢(qián)罐里所有可能硬幣數(shù)中的任意一種情況，如0200中的任意一個(gè)數(shù)。2. 特殊與一般的對(duì)比（如上圖）師： 4與a都可表示小紅的年齡， 4與a有什么不同？生： 4只表示一年的年齡， a表示任何一年的年齡，也就是從出生到死亡的任何一個(gè)年齡。師： 432與a32都可表示爸 爸的年齡，這兩個(gè)又有什么區(qū)別？生： 432只表示爸爸36歲一 年的年齡， a32則可以表示32歲以上的任何一年年齡。反思：從字母表示數(shù)意義的 “未知量”階段過(guò)渡到 “一類(lèi)量” 階段，其主要的問(wèn)題是表示“對(duì)象” 的意義

5、發(fā)生“質(zhì)變” ，即從特定量（特 殊）到變量（一般）。數(shù)只能表示一 個(gè)特定的情況，字母不僅能表示特定一種情況，還能表示一個(gè)集合中任意一個(gè)值的量。這是兩者的本質(zhì)區(qū)別，也是字母表示數(shù)的優(yōu)勢(shì)所在，即能一般化的表示一類(lèi)量。它是從算術(shù)思維過(guò)渡到代數(shù)思維 “質(zhì)”的飛躍的重要標(biāo)志。在教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷兩次“具體數(shù)” 與 “字母”的對(duì)比思辨，從而理解字母是表示一個(gè)集合中的任意一個(gè)數(shù)。 實(shí)踐中，學(xué)生對(duì)字母表示未知量“x”意義的理解處在不同的水平層次。經(jīng)過(guò)對(duì)比、思辨、交流 等數(shù)學(xué)活動(dòng)，促使學(xué)生對(duì)字母表示數(shù)的意義理解從低水平層次向高水平層次轉(zhuǎn)變，較為深刻的理解字母表示變量的意義，也進(jìn)一步體會(huì)到字母表示數(shù)的優(yōu)越性。也為

6、用字母式表示具體情境中的數(shù)量關(guān)系（變量），及辯論 “432”與“a32”的不同，鋪墊了理解的基礎(chǔ)。字母式既表示關(guān)系又表示數(shù)1.重構(gòu)“”意義，感悟“式”表示數(shù)（如上圖）師：這些算式中 “”表示的是什么意思？生：小紅年齡32等于爸爸的年齡。師：左邊的1+32與右邊爸爸 的年齡33是相等的。那 “1+32” 算式可以表示爸爸的歲數(shù)嗎？生：可以表示，因?yàn)樽笥蚁嗟取煟耗悄阆矚g用1+32還是喜歡用33來(lái)表示爸爸的年齡呢？生：我喜歡33，因?yàn)樗芮逦?。生?+32，能看出爸爸的年 齡，還知道比小紅大32。2.遷移比較，感悟“字母式” 表示數(shù)（如上圖）師：看數(shù)學(xué)信息，知道了什么？生：賈老師比小紅大28歲。師

7、：你是怎么知道的？生： a+28，是用小紅年齡a加 28得到的。師：這么說(shuō)， a28不僅表示賈老師的年齡，還表示賈老師與小紅年齡間的大小關(guān)系。那剛才的a32又表示了什么呢？生： a32不僅表示了爸爸的年齡，還可看出爸爸比小紅大32 歲這個(gè)關(guān)系。師：根據(jù)剛才的經(jīng)驗(yàn)，想一想 “（a32）30” 會(huì)是誰(shuí)的年齡？生：爺爺歲數(shù)， a+32是爸爸年齡，爺爺比爸爸還要大30歲。生：只要比爸爸（a+32）大30歲的人都有可能。師：（ a32）30表示了什么意思？生：表示比爸爸大30歲的歲數(shù)，又表示比爸爸大30歲的關(guān)系。反思：能理解字母式既能表示關(guān)系（過(guò)程），又能表示對(duì)象（結(jié)果）是理解字母表示一類(lèi)量意義的重要的

8、標(biāo)志。在代數(shù)中，如字母 式a+32，既表示a與32相加這一個(gè)過(guò)程操作，又表示為對(duì)象、結(jié)構(gòu)， 即a+32的結(jié)果就是a+32。然而正是這種既表示過(guò)程又表示對(duì)象的“二重性”特征，給學(xué)生造成了主要的理解障礙。它之所以難，不僅僅是因?yàn)樗旧砭哂械某橄笮裕€在于對(duì)它的建構(gòu)，要抵制已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的強(qiáng)烈負(fù)遷移。因?yàn)?“式” （如2+32）算術(shù)中，具有操作性的、表示過(guò)程的，目的是求結(jié)果，學(xué)生潛意識(shí)中要把232計(jì)算為34；而在代數(shù)運(yùn)算中是結(jié)構(gòu)性的，是形式變換，關(guān)注結(jié)構(gòu)，注重關(guān)系，此時(shí)的“式”除了體現(xiàn)過(guò)程外，更多是關(guān)系結(jié)構(gòu)的形式化。 為突破，先重構(gòu)“”意義，鋪墊理解基礎(chǔ)。Booth提出 “如果學(xué)生不能理解兩個(gè)集合（假定分別 含有5個(gè)和8個(gè)）物件的總數(shù)可以寫(xiě)成5+8，那么要他們理解a+ b表示了兩個(gè)集合（分別含有a 個(gè)和b個(gè)）物件的總數(shù)就更不可能了。”然要改造學(xué)生已有的經(jīng) 驗(yàn)，要結(jié)合“”意義重構(gòu)一起進(jìn) 行，因?yàn)椤霸健痹谒阈g(shù)中，代表運(yùn)算 得到結(jié)果，是具有方向性、程序性 的。而在代數(shù)中， “”代表一種等價(jià)關(guān)系，因此“”左右兩邊需有同樣的大小，沒(méi)有方向性，具有結(jié)構(gòu)性。先認(rèn)識(shí)到33與1垣32是等 價(jià)的，都能表示爸爸的年齡，且 132還能看出與小紅的關(guān)系，有了這樣的理解基礎(chǔ)，遷移到a32 表示爸爸的年齡就簡(jiǎn)單多了。為突破，再類(lèi)比推理，思辨說(shuō)理中加深理解。從