三重積分及其計算和多重積分

1、il三重積分和多重積分方法在第三節(jié)中我們討論了二重積分，本節(jié)將之推廣到一般的n維空間中去.類似于第三節(jié)，我們先定義一個R3中集合的可求體積性.同樣可以給出一列類似的結(jié)論.讀者自己推廣.這里將不再贅述.、引例設(shè)一個物體在空間R3中占領(lǐng)了一個有界可求體積的區(qū)域V，它的點密度為f(x,y,z),現(xiàn)在要求這個物體的質(zhì)量.假設(shè)密度函數(shù)是有界的連續(xù)函數(shù)，可以將區(qū)域V分割為若干個可求體積的小區(qū)域V,V，,V，其體積分別是，V,V,.,V，直徑分別是d,d，,d,12n12n12n即dsuplWQIIW,QeV,(i=l,2,，n),IWQI表示W(wǎng),Q兩點的距離.設(shè)二maxd,d,.,d，則當(dāng)很小時，f(x,

2、y,z)在V上的變化也很小.可以用這個小l2ni區(qū)域上的任意一點(x,y,z)的密度f(x,y,z)來近似整個小區(qū)域上的密度，這樣我們可iiiiii以求得這個小的立體的質(zhì)量近似為f(x,y,z)，V，所有這樣的小的立體的質(zhì)量之和即為iiii這個物體的質(zhì)量的一個近似值.即mu工f(x,y,zky.當(dāng)T0時，這個和式的極限存在，就是物體的質(zhì)量.即MlimtO從上面的討論可以看出，整個求質(zhì)量的過程和求曲頂柱體的體積是類似的，都是先分割，再求和，最后取極限.所以我們也可以得到下面一類積分.二、三重積分的定義設(shè)f(x,y,z)是空間R3中的一個有界可求體積的閉區(qū)域V上的有界函數(shù)，將V任意分割為若干個可求

3、體積的小閉區(qū)域V,V，,V，這個分割也稱為V的分劃，記為P：V,V，,V.l2nl2nVocVoO(空，ij),其體積分別是，V,V,.,V，直徑分別是d,d，,d.設(shè)ijl2nl2n二maxd,d,.,d,或記為IIPII.在每個小區(qū)域中任意取一點(x,y,z)eV，作和l2niiiiXf(x,y,ziV(稱為Riemann和)，若當(dāng)0時，這個和式的極限存在，則稱其極限為函數(shù)fC,y,z)在區(qū)域v上的三重積分，記為,f(x,y,zbv.并稱函數(shù)f(x,y,z)在區(qū)域V上可積.f(x,y,z)稱為被積函數(shù),x,y,z稱為積分變量V稱為積分區(qū)域.特別地，在直角坐標(biāo)系下，可以記為HIf(x,y,z

4、)dxdydz.V我們同樣可以引入Darboux大,小和來判別可積,也有同樣的結(jié)論(略).1.若f(x,y,z)是有界閉區(qū)域V上的連續(xù)函數(shù)，則函數(shù)f(x,y,z)在區(qū)域V上可積.2.若f(x,y,z)=l時，Bldxdydz二V的體積.V3.若f(x,y,z)在有界閉區(qū)域V上的間斷點集合是0體積時，f(x,y,z)在V可積.三重積分有著與二重積分類似的性質(zhì)下面簡單敘述一下1.2.可積函數(shù)的和(或差)及積仍可積.和(差)的積分等于積分的和(差)可積函數(shù)的函數(shù)k倍仍可積.其積分等于該函數(shù)積分的k倍.3.設(shè)是可求體積的有界閉區(qū)域，fCy,z)在上可積，分為兩個無共同內(nèi)點的可求體積的閉區(qū)域,之并，則f

5、(x,y,z)在,上可積，并有1212HIf(x,y,z)dV=1,1f(x,y,z)dV+HIf(x,y,z)dV.等等.、三重積分的計算方法同二重積分一樣,我們這里給出三重積分的計算方法,理論上的證明讀者自己完成.1.利用直角坐標(biāo)系計算三重積分先給一個結(jié)論.定理12.14若函數(shù)f(x,y,z)是長方體V=a,bxc,dxe,h上的可積，記D=c,dxe,h對任意xCa,b,二重積分I(x)=f(x,y,z)dydzdx(記為,dx,f(x,y,z)dydz)存在，貝I,I(x)dx=,f(x,y,zl/ydzaDaD也存在,且,f(x,y,z)dV二,dx,f(x,y,z)dydz二,dx

6、,dy,f(x,y,z)dz.aDace這時右邊稱為三次積分或累次積分,即三重積分化為三次積分.證明分別中a,bc,de,h插入若干個分點a二xxxx二b；012ncyyy012yd；mezzz012zhs作平面xx,yy,zZ,(i=0,l,2,n;,ji=0,l,2,m;k=0,l,2,s,)得到V的一個分ijk劃P.令vx,xXy,yxz,Z,(i=1,2,n;,ji=1,2,m;k=1,2,s,),ijki-1ij-1jk-1kmAyAzijkjkJ!f&iM,m分別是fx,y,z)在v上的上，下確界.那么在D=y,yxz,z上有ijkijkijkjkj，1jk，1k,y,z)dydz

7、MAyAzijkjkjk其中Ax.,=xi-xi-1,A廠=yj-yj_1,Azk,=zk-zk-1,(i=1,2,n;,ji=1,2,m;k=1,2,s,).工J!f(g.,y,z)dydz二J!f(giiij,kDDjk工I(g)Axii工mAxAyAzijkijki,j,ki1工MAxAyAzijkijki,j,k若函數(shù)fx,y,z）在v上的可積，那么JJJfx,y,z)dVJdzJJfx,y,z)dxdyeDz面給出一般三重積分的具體計算方法，理論證明讀者可參照二重積分自己完成設(shè)函1數(shù)f(x，y,z)在有界閉區(qū)域上連將它在區(qū)間zCx,y),z(x,y)|上積分得到12J*z2Cx，y)

8、f(x,y,z)dz.ZG,y)顯然這個結(jié)果是X,y的函數(shù)，再把這個結(jié)果在平面區(qū)域D上做二重積分xyDxy面給出一般三重積分的具體計算方法，理論證明讀者可參照二重積分自己完成設(shè)函1面給出一般三重積分的具體計算方法，理論證明讀者可參照二重積分自己完成設(shè)函1在利用二重積分的計算公式便可以得到所要的結(jié)果.若平面區(qū)域D可以用不等式xyaxb,y(x)yy(x)表示,2面給出一般三重積分的具體計算方法，理論證明讀者可參照二重積分自己完成設(shè)函1面給出一般三重積分的具體計算方法，理論證明讀者可參照二重積分自己完成設(shè)函1ffff(x,y,z)dVJdxJy2(x,dyjz2(x,y,f(x,y,z)dz.ay

9、i(X，也,y，這個公式也將三重積分化為了三次積分.如果積分區(qū)域是其他的情形，可以用類似的方法計算例1計算三重積分xdV,其中Q是由三個坐標(biāo)面和平面x+y+z，1所圍的立體區(qū)域解積分區(qū)域如圖所示，可以用不等式表示為0 x1,0y1一x,0z1一x一y，所以積分可以化為xdV，J1dxj1-xdy1_xyxdz000，J1dxj1-xx(L-x-yby00=J1丄xG-x)2dx02111，一x4一x3+x2834,124四、三重積分的積分變換和二重積分的積分變換一樣定理12.15設(shè)V是uvw空間R3中的有界可求體積的閉區(qū)域，T：z=z(u,v,w)，是V到xyz空間R3中的映射，它們有一階連續(xù)

10、偏導(dǎo)數(shù),有如下的結(jié)果:x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),并且Q(x,y,z),dxdudydxdzdyd(u,v,w)dudzdzdzdudz如果f(x,y,z)是T(V)上的可積函數(shù)，那么豐0,(u,v,w)eV(稱為Jacobi).T(V)f(x,y,z)dxdydz，f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)Xy,Zdudvdwd(u,v,w)在R3中有兩種重要的變換柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo).1.利用柱面坐標(biāo)計算三重積分前面我們可以看到，由于積分區(qū)域與被積函數(shù)的特點，二重積分可以用極坐標(biāo)來計算同樣對于三重積分可以用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計算我們先討論用柱面坐標(biāo)來計算三重積分

11、設(shè)空間中有一點M(x,y,z)，其在坐標(biāo)面xoy上的投影點M的極坐標(biāo)為(r,)，這樣三個數(shù)z,r,就稱為點M的柱面坐標(biāo)(如圖12-4-4).0r+1Z1zn/0/V/12-4-4M，092兀,z+注意到，當(dāng)r=常數(shù)時，表示以z軸為中心軸的一個柱面.當(dāng)9=常數(shù)時，表示通過z軸，與平面xoy的夾角為9的半平面.當(dāng)z=常數(shù)時，表示平行于平面xoy,與平面xoy距離為z的平面.空間的點的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)之間的關(guān)系，即是R3到R3的映射：x=rcos9，y=rsin9.z=z9srsin9所以其Jacobi為(X,y,z)(r，9,z)sin9rco9s故容易得到：如果fx,y,z)是R3中的有界可求

12、體積的閉區(qū)域V上的可積函數(shù)，則Jf(x,y,z)dVf(rcos9,rsin9,z)rdrd9dz,VV其中，變換前后區(qū)域都用V表示.我們也可以從幾何直觀的意義來描述這個公式的由來.用三組坐標(biāo)面r=C,9=C,z=C將積分區(qū)域劃分為若干個小區(qū)域，考慮其中有代113表性的區(qū)域，如圖12-4-5所示的區(qū)域可以看成是由底面圓半徑為r和r+dr兩個圓柱面，極角為9和9+d9的兩個半平面，以及高度為z和z+dz的兩個平面所圍成的.它可以近似的看作一個柱體，其底面的面積為rdrd9，高為dz.所以其體積為柱面坐標(biāo)下的體積元素，即dV=rdrd9dz.再利用兩種坐標(biāo)系之間的關(guān)系，可以得到,f(x,y,z)d

13、V-,f(rcos,rsin,z)rdrddzVV在柱面坐標(biāo)下的三重積分的計算也是化為三次積分.(、例2計算三重積分JJJx2+y2力V,其中是由橢圓拋物面z二4x2+y2加平面z二4所圍成的區(qū)域.解如圖所示，積分區(qū)域在坐標(biāo)面xoy上的投影是以=)r1,02兀,4r2z4.于是BlC+y2V=,r2rdrddz=J2Kd,r2rdr,dz4d,4r34r5)dr=-兀0032利用球面坐標(biāo)計算三重積分我們知道球面坐標(biāo)用數(shù)廠,申來表示空間的一個點.M(x,y,z),點M在坐標(biāo)面xoy上的投影M,其中r=1OMI,為x軸到射線OM轉(zhuǎn)角.P為向量OM與z軸的夾角如圖12-4-7規(guī)定三個變量的變化范圍是

14、0r+02兀.0甲兀我們可以看到,注意到，當(dāng)r=常數(shù)時，表示以原點為球心的球面.當(dāng)=常數(shù)時，表示通過z軸的半平面.當(dāng)9=常數(shù)時，表示以原點為頂點，z軸為中心的錐面.兩種坐標(biāo)系之間的關(guān)系如下：x=rsin9cosy=rsin9sin.z=rcos9sin9cos(兀y二)=sin9sincos9rcos9sin一rsin9sinrcos9cosrsin9cos=r2sin9,一rsin90即又是一個即是R3到R3的映射.它的Jacobi是由一般的重積分變換公式容易得到:如果f(R3中的有界可求體積的閉區(qū)域V上的可積函數(shù)，則幾z)dV=,f(rsincos,rsinsin,rcos)r2sinVV

15、其中，變換前后區(qū)域都用V表示.用幾何直觀的意義可以如下理解：已知fx,y,z)閉區(qū)域V上的可積函數(shù).用三組坐標(biāo)r=常數(shù)，二常數(shù)，二常數(shù)，將積分區(qū)域V劃分為若干個小的區(qū)域.考慮其中有代表性的區(qū)域，此小區(qū)域可以看成是有半徑為r和r+dr的球面，極角為和+d的半平面，與中心軸夾角為和9+d的錐面所圍成，它可以近似的看作邊長分別是dr,rd,rsin9d的小長方體，從而得到球面坐標(biāo)系下的體積元素為dV二r2sindrdd.再由直角坐標(biāo)系與球面坐標(biāo)之間的關(guān)系，可以得到下面的公式,f(x,y,z)dV二川f(rsincos,rsinsin,rcos丄2sindrdd.VV例3計算三重積分fff(x2+y2

16、1/V,其中Q是右半球面x2+y2+z20所圍成的區(qū)域解在球面坐標(biāo)下，積分區(qū)域可以表示為0二0ra,0K,09所以+y2vr2sin29r2sin9drdd9d,nd,ar4sin39dr000=,nd,n00兀-5a5cos-1/sin3r5d01_COS334=na5150與二重積分,三重積分一樣可以定義一般n重積分我們這里只是簡單介紹.當(dāng)V是Rn中的有界閉區(qū)域.依照可求面積的方法定義V的可求“體積”或可測(略).設(shè)fX,x2”，xn，)是Rn中的有界可測閉區(qū)域V上的函數(shù)，任取V的分劃P,即把分成若干個可測小區(qū)域V,V,V,它們的”體積”或測度分別記為V,V,V,當(dāng)令12m12md二sup

17、QQIIQ,Q,V,IQQI表示兩點的距離,i1212i12IIPImax/,d，,d，對任取(x(i),x,x(i),V,(i=1,2,m),如果12m12nilim(i),x(i)V.存在，稱f(x1，IIPIITO.,1當(dāng)V是有界可測區(qū)域，fx,x2，,xn，)在T(V)上可積，并且Jacobin1i=1x2，,，xn，)是V上的可積函數(shù)其極限值稱為f(x,x，,x)dxdxdx.12n12nf(x1，x2，,xn，)在V上的n重積分，記為戸f(x,x,x)dV12nnna1V特別當(dāng)V=a,b1xa2，b2x.xan,bn時，f(x,x，,x)dxdx.dx12=fdxfdxff(x,x

18、,x)dx.1212nnaa2nx1x2若V上有一一映射T=x(u,u，,u)12n=x(u,u，,u)12n，其每個分量的函數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，n1=x(u,u，,u)2nd(x,x，,x)12n=d(u,u，,u)12ndx1du21dudxndu1dxdudu2dxdu2dx1dundx2dun豐O,(u,u，,u),V12ndxndun那么方f(xdxdx12dxnT(V)=fff(x(u,u，,u112),x(u,u，u),x212n(u,u，,u)12nVd(x,x，x)12ndududud(u,u，u)12n12n特別是Rn中的球坐標(biāo)變換T:x二rcos,x二rsincos,x二rs

19、insincos112123123,TOC o 1-5 h zx二rsinsinsinsincos,n，1123n，2n，1x二rsinsinsinsinsin,n123n，2n，1這時的Jacobi是123n-2n，1axaxax11araad(x,x，,x)axaxn，1ax222=rn，1sinn2sinn3sin12n，212n=ar。1an，1a(r,，,)1n，1axaxaxnarna1nan，1在rn中，0rv,0,，兀,0同樣可以得到相應(yīng)的公式.例4求dxdxdx.12nJJdxdx-dx12nx2+x2+x2R212nRn二fdrfd-Jdfrn，1sinn-2sinn，3sind-12n，2n，1n一200Ppp2兀nn，2n，31其中psinkxdx,k二1,2,.從而有dxdx-dx12nR2m兀mm!x2+x22+x2R22R2m+1(2m+1