湖南省長沙市第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、2023屆新高三入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)一選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 若集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合再與集合求交集可得答案.【詳解】解不等式得，又，所以，所以.故選：A.2. 若復(fù)數(shù)z滿足，其中是虛數(shù)單位，則的值為（ ）A. B. 2C. D. 3【答案】B【解析】【分析】由已知得，設(shè)，化簡計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，故設(shè)，則，所以.故選：B.3. 已知雙曲線C：（，）的一條漸近線為y=2x，則C的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由條件

2、可得,又因?yàn)?，?jì)算得到.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線為,所以,所以雙曲線的離心率為.故選：D.4. 已知是定義在R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則（ ）A. B. 0C. D. 1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇偶性的性質(zhì)化簡可得是以4為周期的函數(shù)，即可求出.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，故可得，又為偶函數(shù)，故可得，則，故以4為周期，故.故選：D.5. 每年的6月6日是全國愛眼日，某位志愿者跟蹤調(diào)查電子產(chǎn)品對視力的影響，據(jù)調(diào)查，某高校大約有45%的學(xué)生近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天操作電子產(chǎn)品超過1，這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天操作電子產(chǎn)品不超過1的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近

3、視的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令事件“玩手機(jī)時(shí)間超過的學(xué)生”，“玩手機(jī)時(shí)間不超過的學(xué)生”，“任意調(diào)查一人，此人近視”，則由可求出.【詳解】令事件“玩手機(jī)時(shí)間超過的學(xué)生”，“玩手機(jī)時(shí)間不超過的學(xué)生”，“任意調(diào)查一人，此人近視”，則樣本空間，且互斥，依題意，解得，所以所求近視的概率為.故選：.6. 已知點(diǎn)A為圓臺O1O2下底面圓O2的圓周上一點(diǎn)，S為上底面圓O1的圓周上一點(diǎn)，且SO1=1，O1O2=，O2A=2，記直線SA與直線O1O2所成角為，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面角的定義確定，再根據(jù)圓的性質(zhì)計(jì)算得解.【詳解】由題意

4、，設(shè)上下底面半徑分別為，其中，如圖，過作垂直下底面于，則，所以直線與直線所成角即為直線與直線所成角，即，而，由圓的性質(zhì)，所以，所以，故選：C.7. 已知函數(shù)，若方程在（0，）的解為，（），則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】結(jié)合正弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，明確的范圍得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)槭堑膬筛?，結(jié)合圖象可知，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故選：A.8. 2022年北京冬奧會成功舉辦，更加激發(fā)全國人民對冰雪運(yùn)動的愛好，某地為響應(yīng)全民冰雪運(yùn)動的號召，建立了一個(gè)滑雪場.該滑雪場中某滑道的示意圖如圖所示，點(diǎn)A，B分別為滑道的起點(diǎn)和終點(diǎn)，它們

5、在豎直方向的高度差為20.兩點(diǎn)之間為滑雪彎道，相應(yīng)的曲線可近似看作某三次函數(shù)圖象的一部分.綜合滑行的安全性與趣味性，在滑道的最陡處，滑雪者的身體與地面所成的夾角約為44.若還要兼顧滑道的美觀性與滑雪者的滑雪體驗(yàn)，則A，B兩點(diǎn)在水平方向的距離約為（ ）A. 23B. 25C. 27D. 29【答案】D【解析】【分析】以滑道的最陡處為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，為的中點(diǎn)，設(shè)三次函數(shù)的解析式為，其中，設(shè)點(diǎn)，則，在滑道最陡處，可求得0，在滑道最陡處，設(shè)滑雪者的身體與地面所成角為，由圖可得由圖可知，解方程組可得答案【詳解】以滑道的最陡處為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，為的中點(diǎn)，設(shè)三次函數(shù)的

6、解析式為，其中，設(shè)點(diǎn)，則，在滑道最陡處，則的對稱軸為直線，則，可得0，則，在滑道最陡處，設(shè)滑雪者的身體與地面所成角為，則，所以，由圖可知可得，因?yàn)?，則.故選：D.二多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 醫(yī)用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面體分為內(nèi)中外三層.內(nèi)層為親膚材質(zhì)（普通衛(wèi)生紗布或無紡布），中層為隔離過濾層（超細(xì)聚丙烯纖維熔噴材料層），外層為特殊材料抑菌層（無紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層）.根據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，醫(yī)用口罩過濾率是重要的指標(biāo)，根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，某企業(yè)在生產(chǎn)線狀態(tài)正

7、常情況下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過濾率（0.9372，0.01392）.則下列結(jié)論正確的是（ ）（參考數(shù)據(jù)：若（），則，）A. B. C. D. 假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記Y表示一天內(nèi)抽取的50只口罩中過濾率大于的數(shù)量，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意可得，然后根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】由題意可知，正態(tài)分布的.選項(xiàng)A，因?yàn)椋?，故A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)椋?，所以，故B正確；選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，因?yàn)橐恢豢谡诌^濾率小于等于的概率為，又因?yàn)?，故D正確.故選：ABD.10. 已知，是圓O：上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. 若，則B. 若點(diǎn)O到直線AB的距離為，則C. 若

8、，則的最大值為D. 若，則的最大值為4【答案】AD【解析】【分析】對于選項(xiàng)A，B，根據(jù)垂徑定理可判斷，對于選項(xiàng)C，D，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求解判斷.【詳解】對于A，若，則可知點(diǎn)到的距離為，從而可知，故A正確；對于B，若點(diǎn)O到直線AB的距離為，則可知，從而得，故B錯(cuò)誤；對于C，D，的值可轉(zhuǎn)化為單位圓上的兩點(diǎn)到直線的距離之和，又，所以三角形是等腰直角三角形，設(shè)是的中點(diǎn)，則，且，則在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，兩點(diǎn)到直線的距離之和為的中點(diǎn)到直線的距離的兩倍.點(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，所以的最大值為.因此的最大值為4.從而可知C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.11. 已知定義在R上的

9、偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，.則（ ）A. 函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱B. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C. 不等式的解集為D. 不等式的解集為【答案】ABC【解析】【分析】對于選項(xiàng)，由函數(shù)的奇偶性的定義可判斷；對于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)，判斷其符號，再根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得出的單調(diào)性.對于選項(xiàng)C、D，將不等式化為，即.根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可求解.【詳解】解：對于選項(xiàng)，由，所以為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.故正確；對于選項(xiàng)B，由為偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增.故B正確；對于C、D選項(xiàng)，由，得，所以，即，所以.所以，解得.所以C正確，錯(cuò)誤，故選：.12. 已知橢圓C：（）的離心率為，過

10、點(diǎn)P（1，1）的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且滿足.動點(diǎn)Q滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. B. 動點(diǎn)Q的軌跡方程為C. 線段OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）長度的最小值為D. 線段OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）長度的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A：利用離心率直接求出；對于B：設(shè)進(jìn)行向量坐標(biāo)化，整理化簡得到，即可判斷出動點(diǎn)的軌跡方程為直線，故正確；對于C、D：求出線段長度的最小值即為原點(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】對于A：由橢圓的離心率為，得，所以，故正確；對于B：設(shè)，由，得兩式相乘得，同理可得，由題意知且，否則與矛盾，動點(diǎn)的軌跡方程為，即直線，故正確；對于C、D：所以線段

11、長度的最小值即為原點(diǎn)到直線的距離，min，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.三填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知函數(shù)f(x)滿足：f(xy)f(x)f(y)，且當(dāng)xy時(shí)，f(x)f(y)，請你寫出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)f(x)_【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由f(xy)f(x)f(y)，可得指數(shù)函數(shù)具有此性質(zhì)，從而可得函數(shù)【詳解】對于函數(shù)，且當(dāng)xy時(shí)，f(x)f(y)，所以函數(shù)滿足條件，故答案為：（答案不唯一）14. 已知在中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)在線段(不含端點(diǎn)，)上移動，若，則_.【答案】3【解析】【分析】,利用向量的線性運(yùn)算求得關(guān)于的表達(dá)式，利用平面向量基本定理中的分解

12、唯一性得到關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而得到答案.【詳解】如圖，由題意得存在實(shí)數(shù)，使得.又，所以，又，且不共線，故由平面向量的分解的唯一性得所以.故答案為：3.15. 在四棱錐PABCD中，已知底面ABCD是邊長為的正方形，其頂點(diǎn)P到底面ABCD的距離為3，該四棱錐的外接球O的半徑為5，若球心O在四棱錐PABCD內(nèi)，則頂點(diǎn)P的軌跡長度為_.【答案】【解析】【分析】先求出正方形外接圓半徑，再求出球心到底面的距離，由題知P的軌跡為圓，求出截面圓的半徑進(jìn)而得解.【詳解】因?yàn)榈酌媸沁呴L為的正方形，所以該正方形外接圓半徑，所以球心到底面的距離，又頂點(diǎn)到底面的距離為3，所以點(diǎn)在與底面平行的截面圓的圓周上，由球心在四棱

13、錐內(nèi)，可得截面圓的半徑，故頂點(diǎn)的軌跡長度為.故答案為：.16. 若直線l：為曲線與曲線的公切線（其中為自然對數(shù)的底數(shù)， ），則實(shí)數(shù)b=_.【答案】或#或【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)，根據(jù)切線方程的求解，分別得到，的切線方程，由兩條切線方程相同可聯(lián)立方程即可求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而可求解.【詳解】根據(jù)切線方程的求解，聯(lián)立方程即可解得切點(diǎn)，進(jìn)而可求.設(shè)與的切點(diǎn)為，則由，有.同理，設(shè)與的切點(diǎn)為，由，有.故 由式兩邊同時(shí)取對數(shù)得：，將代入中可得：，進(jìn)而解得或.則或故或.故答案為：或四解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.17. 中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c

14、，已知.（1）求內(nèi)角B的大?。唬?）已知 的面積為，請判定的形狀，并說明理由.【答案】（1） （2）為直角三角形，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角轉(zhuǎn)化既可求解;（2）根據(jù)三角形面積公式以及余弦定理求出三邊長度，即可根據(jù)勾股定理證明為直角三角形.【小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，又由，可得，因?yàn)椋傻?，所以，即，又因?yàn)椋傻?【小問2詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，故為直角三角?18. 為落實(shí)教育部的雙減政策，義務(wù)教育階段充分開展課后特色服務(wù).某校初中部的籃球特色課深受學(xué)生喜愛，該校期末將進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃測試，規(guī)則為：每人至多投3次，先在M處投一次三分

15、球，投進(jìn)得3分，未投進(jìn)不得分，以后均在N處投兩分球，每投進(jìn)一次得2分，未投進(jìn)不得分.測試者累計(jì)得分高于3分即通過測試，并終止投籃.甲乙兩位同學(xué)為了通過測試，進(jìn)行了五輪投籃訓(xùn)練，每人每輪在M處和N處各投10次，根據(jù)他們每輪兩分球和三分球的命中次數(shù)情況分別得到如下圖表：若以每人五輪投籃訓(xùn)練命中頻率的平均值作為其測試時(shí)每次投籃命中的概率.（1）已知該校有300名學(xué)生的投籃水平與甲同學(xué)相當(dāng)，求這300名學(xué)生通過測試人數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（2）在甲乙兩位同學(xué)均通過測試的條件下，求甲得分比乙得分高的概率.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求出甲同學(xué)兩分球和三分球投籃命中的概率，即可求出甲同學(xué)通過測試的

16、概率，可得通過測試的人數(shù)，則可求出期望；（2）求出乙同學(xué)通過測試的概率，利用條件概率公式即可求出.【小問1詳解】甲同學(xué)兩分球投籃命中的概率為，甲同學(xué)三分球投籃命中的概率為，設(shè)甲同學(xué)累計(jì)得分為，則，則，所以甲同學(xué)通過測試的概率為.設(shè)這300名學(xué)生通過測試人數(shù)為，由題設(shè)，所以.【小問2詳解】乙同學(xué)兩分球投籃命中率為，乙同學(xué)三分球投籃命中率為.設(shè)乙同學(xué)累計(jì)得分為，則，.設(shè)“甲得分比乙得分高”為事件，“甲乙兩位同學(xué)均通過了測試”為事件，則，由條件概率公式可得.19. 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，O，M，N分別為線段BC，AA1，BB1的中點(diǎn)，P為線段AC1上的動點(diǎn)，AO=BC，AB=3，AC

17、=4，AA1=8.（1）求點(diǎn)C到平面C1MN的距離；（2）試確定動點(diǎn)P的位置，使線段MP與平面BB1C1C所成角的正弦值最大.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，線面垂直的性質(zhì)定理可得，分別為的中點(diǎn)得，再利用勾股定理可得，再由線面垂直的判定定理可得答案.（2）以為原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，設(shè)，利用可得，再由線面角的向量求法可得直線與平面所成的角的正弦值，再分、討論可得答案.【小問1詳解】在中，為中點(diǎn)且，平面平面，平面平面，平面，又平面，分別為的中點(diǎn)，在直角和直角中，平面平面，點(diǎn)到平面的距離為.【小問2詳解】平面，由（1）得三線兩兩

18、重直，以為原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，設(shè)平面的法向量為，則令得，設(shè)，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，若，此時(shí)，點(diǎn)與重合；若，令，則，當(dāng)，即為中點(diǎn)時(shí)，取得最大值.20. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足（），.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿足，求證：；（3）若對任意正整數(shù)n都有成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）； （2）證明見解析； （3）.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，兩式相減得，綜合即得解；（2）由題得，利用裂項(xiàng)相消得證；（3）等價(jià)于，令，求出函數(shù)的即得解.【小問1詳解】解：由得，即，所以.若，則；若，則由得，兩式相減得，化簡得，所以數(shù)列是以1為省項(xiàng)，以為公比

19、的等比數(shù)列，因此，當(dāng)時(shí)，也滿足該式，故.【小問2詳解】解：因?yàn)?，所以，則，因此，又因?yàn)?，且，故，因此得證.【小問3詳解】解：由（1）得，則，即，令，為使對任意正整數(shù)都有成立，即，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，又，且，所以，因此，即.21. 已知拋物線C：（），直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且三角形OAB的面積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求實(shí)數(shù)p的值；（2）過點(diǎn)D（2，0）作直線L交拋物線C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P.證明：直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）； （2）證明見解析，定點(diǎn).【解析】【分析】（1）設(shè)，聯(lián)立直線和拋物線方程得到韋達(dá)定理，求出即得解；（2）設(shè)，不妨令，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和拋物線的方程得到韋達(dá)定理，求出直線的方程即得解.【小問1詳解】解：由題得直線過點(diǎn)，.設(shè)，聯(lián)立得，所以，所以.所以三角形的面積，又，解得（舍去）.所以.【小問2詳解】證明：由（1）拋物線的方程為，設(shè)，不妨令，則，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去得，則，則直線的方程為，即，則，