空間解析幾何教案

1、本文格式為Word版，下載可任意編輯 空間解析幾何教案 解析幾何教案 第一章 向量與坐標 本章教學目的：通過本章學習，使學生掌管向量及其運算的概念，純熟掌管線性運算和非線性運算的根本性質、運算規(guī)律和分量表示，會利用向量及其運算建立空間坐標系和解決某些幾何問題，為以下各章利用代數方法研究空間圖形的性質打下根基. 本章教學重點： （1）向量的根本概念和向量間關系的各種刻劃。（2）向量的線性運算、積運算的定義、運算規(guī)律及分量表示. 本章教學難點：（1）向量及其運算與空間坐標系的聯(lián)系；（2）向量的數量積與向量積的識別與聯(lián)系；（3）向量及其運算在平面、立體幾何中的應用. 本章教學內容： 1.1 向量的根

2、本概念 一、定義：既有大小又有方向的量稱為向量，如力、速度、位移等. 二、表示：在幾何上，用帶箭頭的線段表示向量，箭頭表示向量的方向，線段長度代表向量的大小； 向量的大小又叫向量的模（長度）. 始點為A，終點為B的向量，記作，其模記做. 注：為便當起見，今后除少數情形用向量的始、終點字母標記向量外，我們一般用小寫黑體字母a、b、c標記向量，而用希臘字母、標記數量. 三、兩種特殊向量：1、零向量：模等于0的向量為零向量，簡稱零向量，以0記之. 注：零向量是唯一方向不定的向量. 2、單位向量：模等于1的向量稱為單位向量.更加地，與非0向量同向的單位向量稱為的單位向量，記作. 四、向量間的幾種特殊關

3、系：1、平行（共線）：向量a平行于向量b，意即a所在直線平行于b所在直線，記作ab，規(guī)定：零向量平行于任何向量. 2、相等：向量a等于向量b，意即a與b同向且模相等，記作a=b. 注：二向量相等與否，僅取決于它們的模與方向，而與其位置無關，這種與位置無關的向量稱為自由向量，我們以后提到的向量都是指自由向量. 3、反向量：與向量a模相等但方向相反的向量稱為a的反向量，記作-a，鮮明， ，零向量的反向量還是其自身. 4、共面向量：平行于同一平面的一組向量稱為共面向量.易見，任兩個向量總是共面的，三向量中若有兩向量共線，那么三向量確定共面，零向量與任何共面向量組共面. 留神：應把向量與數量嚴格識別開

4、來：向量不能對比大小，如沒有意義；向量沒有運算，如類似的式子沒有意義. 1.2 向量的加法 一 向量的加法：定義1 設、，以與為鄰邊作一平行四邊形，取對角線向量，記，如圖1-1，稱為與之和，并記作 （圖1-1） 這種用平行四邊形的對角線向量來規(guī)定兩個向量之和的方法稱作向量加法的平行四邊形法那么. 假設向量與向量在同一向線上，那么，規(guī)定它們的和是這樣一個向量：若與的指向一致時，和向量的方向與原來兩向量一致，其模等于兩向量的模之和. 若與的指向相反時，和向量的模等于兩向量的模之差的十足值，其方向與模值大的向量方向一致. 由于平行四邊形的對邊平行且相等，可以這樣來作出兩向量的和向量：定義2 作，以的

5、終點為起點作，聯(lián)接（圖1-2）得 （1-2） 該方法稱作向量加法的三角形法那么. （圖1-2） 向量加法的三角形法那么的實質是： 將兩向量的首尾相聯(lián)，那么一向量的首與另一向量的尾的連線就是兩向量的和向量. 據向量的加法的定義，可以證明向量加法具有以下運算規(guī)律： 定理1 向量的加法得志下面的運算律：1、交換律 , （1.2-2） 2、結合律 . （1.2-3） 證 交換律的證明從向量的加法定義即可得證. 下證結合律 .自空間任一點O開頭依次作那么有 ， 所以 . 由定理1知，對三向量相加，不管其先后依次和結合依次如何，結果總是一致的，可以簡樸的寫作. 二 向量的減法 定義3 若，那么我們把叫做與

6、的差，記為 鮮明， , 更加地， . 由三角形法那么可看出：要從減去，只要把與長度一致而方向相反的向量加到向量上去.由平行四邊形法可如下作出向量.設、，以與為鄰邊作一平行四邊形，那么對角線向量. 例1 設互不共線的三向量、與，試證明順次將它們的終點與始點相連而成一個三角形的充要條件是它們的和是零向量. 證 必要性 設三向量、可以構成三角形（圖1-3）， （圖1-3） ， 那么, 即 . 充分性 設，作那么，所以，從而，所以、可以構成三角形. 例2 用向量法證明：對角線彼此平分的四邊形是平行四邊形. 證 設四邊形的對角線、交于點且彼此平分（圖1-4） 因此從圖可看出：， 所以，且，即四邊形為平行

7、四邊形. （圖1-4） 1.3 數量乘向量 定義1.3.1 設是一個數量，向量與的乘積是一向量，記作，其模等于的倍，即；且方向規(guī)定如下：當時，向量的方向與的方向一致；當時，向量是零向量，當時，向量的方向與的方向相反. 更加地，取，那么向量的模與的模相等，而方向相反，由負向量的定義知：. 據向量與數量乘積的定義，可導出數乘向量運算符合以下運算規(guī)律：定理1.3.1. 數量與向量的乘法得志下面的運算律：1) 1= 2)結合律 ,(1.3-1) 3)調配律 , (1.3-2) 4) . (1.3-3) 證 1)據定義鮮明成立. 2)鮮明，向量、的方向是一致， 且 = = . 3）調配律 假設或中至少有

8、一個為0，等式鮮明成立； 反之 )若, 鮮明同向，且 所以 ）若不妨設 若那么有由)可得， 所以 對的情形可類似證明. 一個常用的結論：定理3. 若( 為數量 )，那么向量與向量平行，記作；反之，若向量與向量平行且，那么( 是數量). 設是非零向量，用表示與同方向的單位向量. 由于與同方向，從而與亦同方向，而且, 即 . 我們規(guī)定：若， . 于是 . 這說明：一個非零向量除以它的模是一個與原向量同方向的單位向量. 請留神：向量之間并沒有定義除法運算，因此決不能將式子改寫成形式 . 特別鮮明，這種錯誤是受實數運算法那么的“慣性作用”所造成. 例1 設AM是三角形ABC的中線，求證 . （圖1-5

9、） 證 如圖1-5， 由于 ， 所以 但 因而 ， 即 . 例2 用向量法證明：連接三角形兩邊中點的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半. 證 設ABC兩邊AB,AC中點分別為M，N，那么 所以，且. 1.4 向量的線性關系與向量的分解 定義1.4.1 由向量與數量所組成的向量叫做向量的線性組合,或稱可以用向量線性表示,或稱可以分解成向量的線性組合. 定理1.4.1 假設向量，那么向量與向量共線的充要條件是可用向量線性表示，即存在實數使得， (1.4-1) 并且系數被，唯一確定. 證 若成立，那么由定義1.3.1知向量與向量共線.反之，假設向量與向量共線，那么確定存在實數使得（見1.3節(jié)中1.3

10、.5的證明）. 再證的唯一性：假設，那么，而 ，所以，. 定理1.4.2 假設向量不共線，那么向量與共面的充要條件是可用向量線性表示，即 ， (1.4-2) 并且系數被，唯一確定. 證： （圖1-6） 因與不共線，由定義1.1.4知.設與中之一共線，那么由定理1.4.1有，其中中有一個為零； 假設與都不共線， 把它們歸結共同的始點，并設，那么經過的終點分 別作的平行線依次交直線于（圖1-6），因，由定理1.4.1，可設，所以由平行四邊形法那么得，即. 反之，設，假設中有一個為零，如，那么與共線，因此與共面.假設，那么，從向量加法的平行四邊形法那么知與都共面，因此與共面. 結果證的唯一性.由于=

11、， 那么 ， 假設，那么，將有，這與假設沖突，所以.同理 ，這就證領略唯一性. 定理1.4.3 假設向量不共面，那么空間任意向量可以由向量線性表示，即存在一組實數使得 ， (1.4-3) 并且系數x,y,z被，唯一確定. 證明方法與定理1.4.2類似. 定義1.4.2 對于個向量，若存在不全為零的實數，使得 ， (1.4-4) 那么稱向量線性相關. 不是線性相關的向量叫做線性無關，即向量線性無關：. 定理1.4.4 在時，向量線性相關的充要條件是其中至少有一個向量是其余向量的線性組合. 證 設向量線性相關，那么存在不全為零的實數使得 ，且中至少有一個不等于0，不妨設，那么 ； 反過來，設向量中

12、有一個向量，不妨設為，它是其余向量的線性組合，即 ， 即 . 由于數，-1不全為0，所以向量線性相關. 定理1.4.5 假設一組向量中的片面向量線性相關，那么這一組向量就線性相關. 證 設中有一片面，不妨設前r個向量線性相關，即存在不全為零的實數，使得.那么有，由于不全為零，所以線性相關. 推論假設一組向量中含有零向量，那么這一組向量就線性相關 類似地可證明下面的定理：定理1.4.6 兩向量與共線線性相關. 定理1.4.7 三向量與共面線性相關. 定理1.4.8 空間任意四個或四個以上的向量總是線性相關的. 例1 試證明：點在線段上的充要條件是：存在非負實數，使得，且，其中是任意取定的一點.

13、證（先證必要性）設在線段上，那么與同向，且， 所以 ，. 任取一點所以， 所以，. 取，那么，. （充分性）若對任一點有非負實數，使得，且 那么 ， 所以與共線，即在直線上.又， 所以在線段上. 例2設為兩不共線向量，證明，共線的充要條件是. 證 共線,線性相關， 即存在不全為0的實數，使， (1.4-5) 即 . 又由于不共線 即線性無關，故方程有非零解. 1.5 標架與坐標 一 空間點的直角坐標: 平面直角坐標系使我們建立了平面上的點與一對有序數組之間的一一對應關系，溝通了平面圖形與數的研究. 為了溝通空間圖形與數的研究， 我們用類似于平面解析幾何的方法，通過引進空間直角坐標系來實現(xiàn). 1

14、、空間直角坐標系 過空間確定點，作三條彼此垂直的數軸，它們以為原點，且一般具有一致的長度單位，這三條軸分別叫軸(橫軸)、軸(縱軸)、軸(豎軸)，且統(tǒng)稱為坐標軸. 通常把軸，軸配置在水平面上，而軸那么是鉛垂線，它們的正方向要符合右手規(guī)矩： (圖1-7) 右手握住軸，當右手的四個指頭從軸的正向以角度轉向軸正向時，大拇指的指向就是軸正向. 三條坐標軸就組成了一個空間直角坐標系，點叫做坐標原點. 注：為使空間直角坐標系畫得更富于立體感，通常把軸與軸間的夾角畫成左右.當然，它們的實際夾角還是. 2、坐標面與卦限 三條坐標軸中的任意兩條可以確定一個平面，這樣定出的三個平面統(tǒng)稱為坐標面. 由軸與軸所抉擇的坐

15、標面稱為面，另外還有面與面. 三個坐標面把空間分成了八個片面，這八個片面稱為卦限. (圖1-8) 3、空間點的直角坐標 取定空間直角坐標系之后，我們就可以建立起空間點與有序數組之間的對應關系. 設為空間的一已知點，過點分別作垂直于軸、軸、軸的三個平面，它們與軸、軸、軸的交點依次為，這三點在軸、軸、軸的坐標依次為，于是：空間點就唯一地確定了一個有序數組，這組數叫點的坐標. 依次稱，為點的橫坐標、縱坐標和豎坐標，記為. 反過來，若已知一有序數組，我們可以在軸上取坐標為的點，在軸上取坐標為的點，在軸取坐標為的點，然后過、分別作軸、軸、軸的垂直平面，這三個平面的交點就是以有序數組為坐標的空間點. 這樣

16、，通過空間直角坐標系，我們建立了空間點和有序數組之間的一一對應關系. 定義1 我們把上面有序數組叫點在此坐標系下的坐標，記為. 二 空間兩點間的距離公式 定理1 設、為空間的兩點，那么兩點間的距離為 (1.5-1) 證 過、各作三個分別垂直于三坐標軸的平面，這六個平面圍成一個以為對角線的長方體，如下圖 (圖1-9) 是直角三角形， 故， 由于是直角三角形， 故， 從而 ； 而 ， ， ， 故 . 更加地，點與坐標原點的距離為 . 三 空間向量的坐標 定義2 設是與坐標軸，同向的單位向量，對空間任意向量都存在唯一的一組實數，使得，那么我們把這組有序的實數，叫做向量在此坐標系下的坐標，記為或. 定

17、理2 設向量的始終點坐標分別為、，那么向量的坐標為 . (1.5-2) 證 由點及向量坐標的定義知， 所以 =. 由定義知 . 定理3 兩向量和的分量等于兩向量對應的分量的和. 證 設，那么 =+ =， 所以 . (1.5-3) 類似地可證下面的兩定理：定理4 設，那么. 定理5 設，那么共線的充要條件是 . (1.5-4) 定理6 三非零向量，共面的充要條件是. (1.5-5) 證 由于不共面，所以存在不全為0的實數使得， 由此可得由于不全為0，所以. 1.6 向量在軸上的射影 一、空間點在軸上的投影：設已知點及軸，過點作軸的垂直平面，那么平面與軸的交點叫做點在軸上的投影. (圖1-10)

18、二、向量在軸上的投影：定義1 設向量的始點與終點在軸的投影分別為、，那么軸上的有向線段的值叫做向量在軸上的投影，記作，軸稱為投影軸. (圖1-11) 這里，的值是這樣的一個數：(1)即， 數的十足值等于向量的模. (2)當的方向與軸的正向一致時，；當的方向與軸的正向相反時，. 三、空間兩向量的夾角：設有兩向量、交于點(若、不相交，可將其中一個向量平移使之相交)，將其中一向量繞點在兩向量所抉擇的平面內旋轉，使它的正方向與另一向量的正方向重合，這樣得到的旋轉角度(限定)稱為、間的夾角，記作. (圖1-12) 若、平行，當它們指向一致時，規(guī)定它們之間的夾角為；當它們的指向相反時，規(guī)定它們的夾角為.

19、類似地，可規(guī)定向量與數軸間的夾角. 將向量平行移動到與數軸相交，然后將向量繞交點在向量與數軸所抉擇的平面內旋轉，使向量的正方向與數軸的正方向重合，這樣得到的旋轉角度稱為向量與數軸的夾角. 四 投影定理：定理1.6.1 向量在軸上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦.即 , (1.6-1) (圖1-13) 證 過向量的始點引軸，且軸與軸平行且具有一致的正方向，那未軸與向量的夾角等于軸與向量的夾角，而且有 故 由上式可知：向量在軸上的投影是一個數值，而不是向量. 當非零向量與投影軸成銳角時，向量的投影為正. 定理1.6.2 對于任何向量都有. (1.6-2) 證 取，那么，設分別是在軸上的投

20、影，那么鮮明有 ， 由于 所以 ， 即 . 類似地可證下面的定理：定理1.6.3 對于任何向量與任何實數有 . (1.6-3) 1.7 兩向量的數性積 定義1.7.1 對于兩個向量a和b, 把它們的模|a|,|b|及它們的夾角q 的余弦的乘積稱為向量和的數量積, 記作ab,即 ab=|a|b|cosq . 由此定義和投影的關系可得ab=|b|Prjb a=|a|Prjab . 數量積的性質: (1) aa=|a| 2,記aa=a 2，那么a2=|a| 2. (2) 對于兩個非零向量 a、b, 假設 a b=0, 那么 ab; 反之, 假設ab, 那么a b= 0. 定理1.7.1 假設認為零向

21、量與任何向量都垂直, 那么a b a b= 0. 定理1.7.2 數量積得志下面運算律： (1)交換律: a b= ba; (2)調配律:( a+b)c=ac+bc . ( (3)la) b= a(lb )= l(ab), (la)(mb )=lm(ab), l、m為數. 證 （1）由定義知鮮明. (2)的證明: 由于當c=0時, 上式鮮明成立; 當c0時, 有 (a+b)c=|c|Prjc(a+b) =|c|(Prjca+Prjcb) =|c|Prjca+|c|Prjcb =ac+bc . （3）可類似地證明. 例1 試用向量證明三角形的余弦定理. 證 設在ABC中, BCA=q,|=a,

22、|=b, |=c, 要證 c 2=a 2+b 2-2 a b cos q . 記=a, =b, =c, 那么有 c=a-b, 從而 |c|2=c c=(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2=|a|2+|b|2-2|a|b|cos(a,b), 即 c 2=a 2+b 2-2 a b cos q . 數量積的坐標表示 : 定理1.7.3 設a=ax, ay, az , b=bx, by, bz , 那么 ab=axbx+ayby+azbz . 證 a b=( ax i+ ay j + az k)(bx i + by j + bz k) =ax bx ii + ax by ij + ax bz i

23、k +ay bx j i + ay by j j + ay bz jk +az bx ki + az by kj + az bz kk = ax bx + ay by + az bz . 定理1.7.4 設a=,那么向量a的模 |a|=. 證 由定理1.7.2知 |a|2=a2=， 所以 |a|=. 向量的方向角和方向余弦：向量與坐標軸所成的角叫做向量的方向角，方向角的余弦叫向量的方向余弦. 定理1.7.5 設a=，那么a的方向余弦為 cos=, cos, cos； 且 ， 其中分別是向量a與x軸，y軸,z軸的夾角. 證 由于 ai=|a|cos且ai=， 所以 |a|cos=， 從而 cos

24、=. 同理可證 cos cos 且鮮明 兩向量夾角的余弦的坐標表示: 定理1.7.6 設q=(a, b), 那么當a0、b0時, 有 . 證 由于 ab=|a|b|cosq ，所以 . 例2 已知三點M (1,1 ,1) 、A (2,2 ,1) 和B (2,1 ,2) , 求AMB . 解 從M到A的向量記為a, 從M到B的向量記為b, 那么AMB 就是向量a與b的夾角 . a=1,1 ,0 , b=1,0 ,1 . 由于 ab=11+10+01=1, , . 所以 . 從而 . 1.8 兩向量的向量積 定義1.8.1 兩個向量a與b的向量積(也稱外積)是一個向量,記做ab或,它的模|ab|

25、=|a|b|sin,它的方向與a和b垂直, 并且按a,b, ab確定這個依次構成右手標架O;a,b,ab. 從定義知向量積有以下性質： (1) aa=0 ; (2) 對于兩個非零向量a，b, 假設ab=0, 那么a/b； 反之, 假設a/b, 那么ab = 0. 定理1.8.1 兩不共線向量a與b 的向量積的模,等于以a與b為邊所構成的平行四邊形的面積. 定理1.8.2 兩向量a與b共線的充要條件是ab=0. 證 當a與b共線時，由于sin(a、b)=0，所以|ab|=|a|b| sin(a、b)=0，從而ab=0；反之，當ab=0時，由定義知，a =0 ，或b =0，或a/b，因零向可看成與

26、任向量都共線，所以總有a/b，即a與b共線. 定理1.8.3 向量積得志下面的運算律: (1) 反交換律 ab=-ba，; (2) 調配律 (a+b)c=ac+bc， (3) 數因子的結合律 (la)b=a(lb)=l(ab) (l為數). 證 （略）. 推論: c (a+b) = c a+ c b 定理1.8.4 設a = ax i + ay j + az k, b = bx i + by j + bz k，那么 ab=(aybz -azby)i+(azbx -axbz)j+（axby -aybx）k. 證 由向量積的運算律可得 ab=(ax i+ay j+az k)(bx i+by j +

27、bz k) =axbx ii+axby ij +axbz ik +aybx ji+ayby jj+aybz jk+azbx ki+azby k +azbz kk. 由于 ii=jj=kk=0, ij=k, jk=i, ki=j, 所以 ab=(aybz -azby)i+(azbx -axbz)j+（axby -aybx）k. 為了扶助記憶, 利用三階行列式符號, 上式可寫成 =aybzi+azbxj+axbyk-aybxk-axbzj-azbyi =(ay bz -az by)i+(az bx -ax bz)j+(ax by -ay bx)k. . 例1 設a=(2, 1, -1), b=(1

28、,-1, 2), 計算ab . 解 =2i-j-2k-k-4j-i =i-5j -3k. 例2 已知三角形ABC的頂點分別是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面積. 解 根據向量積的定義, 可知三角形ABC的面積 . 由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此 =4i-6j+2k. 于是 . 例3 設剛體以等角速度w 繞l 軸旋轉, 計算剛體上一點M的線速度. 解 剛體繞l 軸旋轉時, 我們可以用在l 軸上的一個向量n表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手規(guī)矩定出: 即以右手握住l 軸, 當右手的四個手指的

29、轉向與剛體的旋轉方向一致時, 大姆指的指向就是n的方向. 設點M到旋轉軸l的距離為a , 再在l軸上任取一點O作向量r =, 并以q 表示n與r的夾角, 那么 a = |r| sinq . 設線速度為v, 那么由物理學上線速度與角速度間的關系可知, v的大小為 |v| =| n|a = |n|r| sinq ; v的方向垂直于通過M點與l軸的平面, 即v垂直于n與r, 又v的指向是使n、r、v符合右手規(guī)矩. 因此有 v = nr. 1.9 三向量的混合積 定義1.9.1 給定空間的三個向量，我們把叫做三向量的混合積，記做或. 定理1.9.1 三個不共面向量的混合積的十足值等于以為棱的平行六面體

30、的體積，并且當構成右手系時混合積為正；當構成左手系時混合積為負,也就是=當構成右手系時,當構成左手系時. 證 由于向量不共面，所以把它們歸結到共同的試始點可構成以為棱的平行六面體，它的底面是以為邊的平行四邊形，面積為，它的高為，體積是. 根據數性積的定義， 其中是與的夾角. 當構成右手系時，因而可得 . 當構成左手系時，因而可得 . 定理1.9.2 三向量共面的充要條件是. 證 若三向量共面，由定理1.9.1知，所以，從而. 反過來，假設，即，那么根據定理1.7.1有，另一方面，有向性積的定義知，所以共面. 定理1.9.3 輪換混合積的三個因子，并不變更它的值；對調任何倆因子要變更混合積符號，

31、即 . 證 當共面時，定理鮮明成立；當不共面時，混合積的十足值等于以為棱的平行六面體的體積，又因輪換的依次時，不變更左右手系，因而混合積不變，而對調任意兩個之間的依次時，將右手系變?yōu)樽?，而左變右，所以混合積變號. 推論: . 定理1.9.4 設，那么 . 證 由向量的向性積的計算知 ， 再根據向量的數性積得 = =. 推論: 三向量共面的充要條件是 . 例1 設三向量得志，證明：共面。 證明：由兩邊與做數量積，得： ， 且， 所以，即共面。 例2 已知周圍體的頂點坐標，求它的體積。 解： ， ， 所以， 1.10三向量的雙重外積 定義1.10.1 給定空間三向量，先做其中兩個的向量積，再把所得

32、的向量與第三個向量做向量積，那么，結果的結果依舊是一個向量，叫做三個向量的雙重向量積。 就是三向量的一個雙重向量積。且與都垂直，與 也垂直，所以和共面。 定理1.10.1 （1.10.1） 證 若中有一個是零向量，或共線，或與都垂直，那么（1.10.1）兩邊都是零向量，定理鮮明成立。 現(xiàn)設都為非零向量，且不共線，為了證明（1.10.1）成立，先證 （1） 由于共面，而不共線，故可設， （2） （2）式兩邊分別與作數量積可得 ， ， 解得，即（1）式成立。 下證（1.10.1）成立。由于不共面，對任意，可設， 那么有 利用（1）式可得。 例1. 試證: 證明： 三式相加得。 例2 證明： 證明：

33、設，那么 小 結 學識點回想： 解析幾何的根本思想就是用代數的方法來研究幾何問題，為了把代數運算引到幾何中來，最根本的做法就是把空間的幾何布局有系統(tǒng)地代數化，數量化。因此在本章中主要引入了向量及它的運算，并通過向量了坐標系，從而使得空間中的點都和三元有序數組建立了一一對應的關系，為空間的幾何布局代數化打好了根基。 通過本章的學習，應掌管向量及其各種運算的概念，純熟掌管線性運算和非線性運算的根本性質、運算規(guī)律和分量表示，會利用向量及其運算建立空間坐標系和解決某些幾何問題，如利用兩向量的數量積為零來判斷各種垂直關系，兩向量的向量積為零向量來判斷各種平行問題，三向量的混合積為零來判斷共面問題，以及在

34、空間直角坐標系下，利用向量積的模求面積，混合積來求體積等問題。 1.向量加法的運算規(guī)律： （1） , （2） . （3） （4） 2.數乘的運算規(guī)律： （1） 1= （2） , （3） （4） . 3. 兩向量的數量積 （1）ab=|a|b|cosq . （2）a b a b= 0. （3）在空間直角坐標系下，設a=ax, ay, az , b=bx, by, bz , 那么 ab=axbx+ayby+azbz . 4兩向量的向量積 （1）兩個向量a與b的向量積(也稱外積)是一個向量,記做ab或,它的模|ab| =|a|b|sin,它的方向與a和b垂直, 并且按a,b, ab確定這個依次構成右

35、手標架O;a,b,ab （2）兩向量a與b共線的充要條件是ab=0. （3）在空間直角坐標系下 設a = ax i + ay j + az k, b = bx i + by j + bz k，那么 ab=(aybz -azby)i+(azbx -axbz)j+（axby -aybx）k. （4）兩不共線向量a與b 的向量積的模,等于以a與b為邊所構成的平行四邊形的面積 5.三向量的混合積 （1）三個不共面向量的混合積的十足值等于以為棱的平行六面體的體積，并且當構成右手系時混合積為正；當構成左手系時混合積為負,也就是=當構成右手系時,當構成左手系時. （2）三向量共面的充要條件是. （3）在空間

36、直角坐標系下設，那么 . 典型習題 1. 已知周圍體的頂點坐標（，），（，）， （，），。 求（）的面積。 （）周圍體的體積。 （）到的距離。 解：（1）， 2分 所以 BCD的面積 （2）周圍體ABCD的體積為 （3）設C到BCD平面的距離為h,那么 從而有。 2. 用向量法證明：P是ABC重心的充要條件為 證明：設P為ABC的重心，D為BC邊中點，那么， 又由于PD為PBC的中線，所以即 所以有。 設D為BC邊中點，那么 又由于，即， 與共線，即P在BC邊的中線上， 同理可得P也在AB，AC邊的中線上，從而有P為ABC的重心。 3. 證明：周圍體每一個頂點與對面重心所連的線段共點，且這點到

37、頂點的距離是它到對面重心距離的三倍. 用周圍體的頂點坐標把交點坐標表示出來. 證明：設周圍體A1A2A3A4,Ai對面重心為Gi, 欲證AiGi交于一點(i1, 2, 3, 4). 在AiGi上取一點Pi，使3, 從而， 設Ai (xi, yi, zi)(i1, 2, 3, 4)，那么 G1, G2, G3, G4, 所以 P1(,) P1(,). 同理得P2P3P4P1，所以AiGi交于一點P，且這點到頂點距離等于這點到對面重心距離的三倍. 4.在周圍體中，設點是的重心（三中線之交點），求矢量對于矢量 的分解式。 解：是的重心。連接并延長與BC交于P 同理 （1） （2） （3） 由（1）（

38、2）（3）得 即 其次章軌跡與方程 本章教學目的：通過本章學習，使學生理解空間坐標系下曲面與空間曲線方程之定義及表示，熟諳空間中一些特殊曲面、曲線的方程. 本章教學重點：空間坐標系下曲面與空間曲線方程的定義. 本章教學難點：（1）空間坐標系下母線平行于坐標軸的柱面方程與平面坐標系下有關平面曲線方程的識別； （2）空間坐標系下，空間曲線一般方程的模范表示. 本章教學內容：2.1平面曲線的方程 在平面上或空間取定了坐標系之后，平面上或空間的點就與有序數組(坐標):或建立了一一對應的關系.曲線、曲面(軌跡)就與 方程或建立一一對應的關系. 1.平面上的曲線: 具有某種特征性質的點的集合(軌跡). 曲

39、線的方程:1 曲線上的點都具有這些性質. 2具有這些性質的點都在曲線上. 2.曲線的方程, 方程的圖形 定義2.1.1 當平面上取定了坐標系之后,假設一個方程與一條曲線有著關系:1得志方程的必是曲線上某一點的坐標; 2曲線上任何一點的坐標得志這個方程,那么這個方程叫做這條曲線的方程,而這條曲線叫做這個方程的圖形. 例1. 求圓心在原點,半徑為R的圓的方程. 解: 任意點在圓上. 類似地, 圓心在,半徑為R的圓的方程為. 例2. 已知兩點和,求得志條件的動點的軌跡方程. 解: 動點在軌跡上 即 平方整理得 再平方整理得 . 為所求軌跡方程. 注: 在求曲線的方程時,化簡過程中可能造成范圍 的變化

40、,得到的方程所代表曲線上的點與條件并不 完全相符,務必補上或除去. 3. 曲線的參數方程 變向量: 隨的變化而變化的向量. 向量函數=:對每一個都唯一確定的一個. 定義2.1.2 在坐標系上,向量函數=()叫做曲線的向量式參數方程. 曲線的坐標式參數方程: 曲線的普遍方程: . 例3. 一個圓在一向線上無滑動地滾動,求圓周上一點的軌跡. (圖2-3) 解:取直角坐標系,設半徑為的圓在軸上滾動,開頭時點P恰好在原點O(圖2-3),經過一段時間的滾動,圓與直線軸的切點移到A點,圓心移到C點,這時有 . 設為到的有向角,那么到的角為,那么 . 又 , , 這即是P點軌跡的向量式參數方程. 其坐標式參

41、數方程為: 取時,消去參數,得其在的一段的普遍方程: 這種曲線叫做旋輪線或稱為擺線. 例4. 已知大圓半徑為,小圓半徑為,設大圓不動,而小圓在大圓內無滑動地滾動,動圓周上某一點P的軌跡叫做內旋輪線(或稱內擺線),求內旋輪線的方程. 解: 設運動開頭時動點P與大圓周上的A點重合，并取大圓中心O為原點，OA為x軸，過O與OA垂直的直線為y軸建立坐標系，經過某一過程后，小圓與大圓的接觸點為B，小圓中心為C，那么C確定在OB上，且有 ， 設為到的有向角，為到的有向角， 那么有 又由弧AB等于弧BP可得，從而有到的有向角為， 所以， . 即為P點的向量式參數方程，其坐標式參數方程為 （- 0；當與n0反

42、向時，離差d 0；而對于另一片面的點，那么有AxByCzD 解 先找出這直線上的一點，如：取 代入方程組得 解此二元一次方程組得 ， 于是，得到直線上的一點 . 再找該直線的一個方向向量，由于兩平面的交線與兩平面的法線向量 都垂直，可取 ， 因此，所給直線的對稱式方程為 ； 直線的參數方程為 3分別在以下條件下確定的值：（1）使和表示同一平面； （2）使與表示二平行平面； （3）使與表示二彼此垂直的平面。 解：（1）欲使所給的二方程表示同一平面，那么： 即： 從而：，。 （2）欲使所給的二方程表示二平行平面，那么： 所以：，。 （3）欲使所給的二方程表示二垂直平面，那么：所以： 。 4. 試驗

43、證直線：與平面：相交，并求出它的交點和交角。 解： 直線與平面相交。 又直線的坐標式參數方程為： 設交點處對應的參數為， ， 從而交點為（1，0，-1）。 又設直線與平面的交角為，那么： ， 5. 給定兩異面直線：與，試求它們的公垂線方程。 解：由于， 公垂線方程為： 即， 亦即 第四章 柱面、錐面、旋轉曲面及常見二次曲面 本章教學目的： 使學生掌管柱面、錐面和旋轉曲面的定義、方程求法和方程特征； 純熟掌管五種常見二次曲面的定義、標準方程及幾何特征，了解它們的性質，會畫它們的草圖. 本章教學重點： （1）常見二次曲面的定義、標準方程及圖形的特征；（2）坐標面上的曲線繞坐標軸旋轉時所產生旋轉曲面

44、方程的求法. （3）通過求柱面、錐面和旋轉曲面的方程，理解動曲線產生曲面的思想方法. 本章教學難點 ：（1）柱面及錐面方程的求法中消去參數的幾何意義的理解；（2）雙曲拋物面的幾何性質的分析；（3）二次曲面直紋性的證明. 本章教學內容： 4.1 柱面 一 柱面 定義4.1.1 在空間，由平行于定方向且與一條定曲線相交的一族平行直線所產生的曲面叫做柱面. 其中定方向叫柱面的方向，定曲囈兄面的準線，平行直線族中的每一條都叫柱面的母線. 注：1一個柱面的準線不惟一（舉例）. 2平面和直線也是柱面. 以下建立柱面的方程. 設在給定的坐標系下，柱面S的準線為 (1) 母線的方向數為X，Y，Z. 若M1(x

45、1，y1，z1) 為準線上任一點，那么過M1的母線方程為 (2) 且有 (3) 從（2）、（3）4個等式中消去參數x1，y1，z1，結果得一個三元方程 F(x，y，z) = 0 就是以（1）為準線，以X，Y，Z為方向的柱面的方程. 這里需要更加強調的是，消去參數的幾何意義，就是讓點M1遍歷準線上的全體位置，就是讓動直線（1）“掃”出符合要求的柱面. 例1 已知一個柱面的準線方程為，其母線的方向數是1，0，1，求該柱面的方程. 解 設M1(x1，y1，z1)是準線上的點，過M1(x1，y1，z1)的母線為 (1) 且有 (2) (3) 由(1)得 (4) 將(4)代入(2)和(3)得 (5) (

46、6) 由（5）和（6）得 (7) 將（7）代入（5）（或（6）得所求柱面方程為 即 . 例2 已知圓柱面的軸為，點M1(1，2，1)在此柱面上，求這個圓柱面的方程. 解法一 記所求的圓柱面為S. 因S的母線平行于其軸，母線的方向數為1，2，2，若能求得圓柱面的準線圓，那么用例1的方法即可解題. 空間的圓總可看成某一球面與某一平面的交線，故圓柱面的準線圓可看成以軸上的點. M0(0，1，1)為中心，為半徑的球面與過已知點M1(1，2，1) 且垂直于軸的平面的交線，即準線圓G 是 設為G 上的任意點，那么 （1） （2） S的過的母線為 （3） 由（1）、（2）、（3）消去參數x1，y1，z1，得

47、S的方程為 . 將圓柱面看成動點到軸線等距離點的軌跡，這里的距離就是圓柱面的半徑，那么例2就有下面的其次種解法. 解法二 因軸的方向向量為v = 1，2，2，軸上的定點為M0(0，1，1)，M1(1，2，1)是S上的定點，點M1到l的距離 . 設M(x，y，z) 是圓柱面上任意一點，那么M到軸l的距離為，即 化簡整理就得S的方程為 二、柱面的判定定理 定理4.1.1 在空間直角坐標系中，只含有兩個元（坐標）的三元方程所表示的曲面是一個柱面，它的母線平行于所缺元（坐標）的同名坐標軸。 在空間直角坐標系里，由于這些柱面與 xoy坐標面的交線分別是橢圓，雙曲線與拋物線，所以它們依次叫做橢圓柱面，雙曲

48、柱面，拋物柱面，統(tǒng)稱為二次柱面. 三、空間曲線的射影柱面 空間曲線L:(15),假設我們從（15）中依次消去一個元，可得，任取其中兩個方程組，譬如（16）那么方成這樣（16）和（15）是兩個等價的方程組，也就是（16）表示的曲線和（15）是同一條，從而曲面 都通過已知曲線(15)； 同理方程表示的曲面也通過已知曲線(15)。有定理4.1.1知，曲面表示一個母線平行于z軸的柱面，在直角坐標系下，起母線垂直于xoy坐標面，我們把曲面叫做空間曲線（15）對xoy坐標面射影的射影柱面，而曲線叫做空間曲線（15）在xoy坐標面上的射影曲線。 同理，與分別叫做曲線（15）對xoz坐標面與yoz坐標面射影的

49、射影柱面，而曲線和叫做空間曲線（15）在xoz坐標面與yoz坐標面上的射影曲線。 4.2 錐面 定義4.2.1 在空間，通過確定點且與一條定曲線相交的一族直線所產生的曲面叫做錐面. 這里定點叫做錐面的頂點，定曲線叫錐面的準線，直線族中的每一條都叫錐面的母線. 注：1一個錐面的準線不惟一（舉例）. 2平面既是柱面也是錐面. 3一條直線也是錐面. 4若將柱面的母線看成在無窮遠處相交的話，那么柱面是一個頂點在無窮遠點的錐面. 以下建立錐面的方程. 設錐面S的準線為 (1) 頂點為A(x0，y0，z0). 若M1(x1，y1，z1) 為準線上任一點，那么過M1的錐面的母線方程為 (2) 且有 (3)

50、從（2）、（3）4個等式中消去參數x1，y1，z1，結果得一個三元方程F(x，y，z) = 0 就是以（1）為準線，以A為頂點的錐面的方程. 這里消去參數的幾何意義與柱面的情形類似，就是讓點M1跑遍準線上的全體點，從而讓動直線（2）“掃”出符合要求的錐面. 下面的定理給出了錐面方程的特征. 先介紹齊次函數的概念. 設為實數，對于函數，若 此處t的取值應使有確定的意義，那么稱為n元次齊次函數，對應的方程= 0為次齊次方程. 例 u = x2y2yz2xyz為三次齊次函數. 定理4.2.1 一個關于x，y，z的齊次方程總表示一個頂點在原點的錐面. 證： 由齊次方程的定義有. 當時有，故曲面S：過原

51、點. 設為S上非原點的任意點，那么得志，即有. 而直線的方程為 代入= 0，得，即直線上的全體點的坐標得志曲面S的方程. 因此直線在曲面S：上，故曲面S：是由這種通過坐標原點的直線組成，因而是以原點為頂點的錐面. 推論 一個關于xx0，yy0，zz0的齊次方程總表示一個頂點在(x0， y0， z0)的錐面. 證 設有xx0，yy0，zz0的齊次方程 F (xx0，yy0，zz0) =0 (*) 作坐標變換，那么(*)化為 (*) (*)為齊次方程，故表示以為頂點的錐面. 從而 表示頂點在點的錐面. 注 在特殊處境下，一個關于的齊次方程可能只表示原點. 例如. 這樣的曲面，一般稱為有實頂點的虛錐

52、面. 例1 錐面的頂點為原點，準線為，求錐面的方程. 解 設為準線上任意一點，那么過M1的母線為： (4) 且有 (5) (6) 將 (6)代入(4)得 (7) 將(7)代入(3)得 (4.21) 這就是所求的錐面，稱為為二次錐面. 二次錐面的方程(4.21)所表示的圖形，當a = b時就是我們熟諳的圓錐面. 例2 已知一圓錐面的頂點為A(1，2，3)，軸l垂直于平面，母線與軸l組成30的角，試求該圓錐面的方程. 解 設為所求曲面S的任一母線上的任一點，那么過M的母線的方向向量為 由題，圓錐的軸線的方向向量即為平面p的法向量n = 2，2，1. 根據題意v和n的夾角是30或150，故有 即 化

53、簡整理得圓錐面的方程是 這是一個關于x1，y2，z3的二次齊次方程. 此結果也是對定理4.2.1的推論的一個直接驗證. 因圓錐面是一種特殊的錐面，上面的解法是一種適合于圓錐面的特殊方法. 我們當然可以先求出圓錐面的準線，再利用頂點與準線求出該圓錐面的方程. 4.3 旋轉曲面 1一般的旋轉曲面方程 定義4.3.1 在空間，一條曲線G 繞確定直線l旋轉一周所產生的曲面S叫做旋轉曲面（或回轉曲面）. G 叫做S的母線，l稱為S的的旋轉軸，簡稱為軸. 設為旋轉曲面S的母線G上的任一點，在G 繞軸l旋轉時，也繞l旋轉而形成一個圓，稱其為S的緯圓、緯線或平行圓. 以l為邊界的半平面與S的交線稱為S的經線.

54、 S的緯圓實際上是過母線G 上的點且垂直于軸l的平面與S的交線. S的全體緯圓構成整個S. S的全體經線的外形一致，且都可以作為S的母線，而母線不確定是經線. 這里由于母線不確定為平面曲線，而經線為平面曲線. 在直角坐標系下，設旋轉曲面S的母線為 G： (1) 旋轉軸為 l (2) 這里為l上一點，X，Y，Z為l的方向數. 設M1 (x1，y1，z1) 為母線G 上的任意點，過M1的緯圓總可看成過且垂直于軸l的平面與以P0為中心，為半徑的球面的交線. 故過M1的緯圓的方程為 (3) (4) 當M1跑遍整個母線時，就得出旋轉曲面的全體緯圓，所求的旋轉曲面就可以看成是由這些緯圓構成的. 由于M1

55、(x1，y1，z1) 在母線G 上，有 (5) 從（3）、（4）、（5）4個等式消去參數x1，y1，z1得一個方程 F (x，y，z) = 0 即為S的方程. 例1 求直線G ：繞直線旋轉所得的旋轉曲面S的方程. 解 設M1 (x1，y1，z1) 為母線G 上的任一點，因旋轉軸過原點，過M1的緯圓方程為 (7) 因M1在母線上，有 (8) 由（8）得 (9) 將(9)代入(7)得 ， 且 結果得 即S的方程是 . 2坐標平面上的曲線繞坐標軸旋轉所得旋轉曲面的方程 任一旋轉曲面總可以看作是由其一條經線繞旋轉軸旋轉而生成的. 故今后為了便當，總是取旋轉曲面的一條經線作為母線. 更進一步，在直角坐標

56、系下導出旋轉曲面的方程時，我們常把母線所在的平面取作坐標平面，從而使旋轉曲面的方程具有特殊的形式. 設旋轉曲面S的母線為yOz平面上的曲線 旋轉軸為y軸 設M1(0，y1，z1)為母線上任一點，那么過M1的緯圓為 且有 由以上兩個方程組消可得，結果得旋轉曲面的方程是 實際上，此旋轉曲面的方程也可由前面的圖直接得出. 設M1(0，y1，z1)為母線上任一點，M(x，y，z)為過M1的緯圓上的任意一點，那么由上圖中的輔佐圖可知 y1 = y， z1 = |OM1| =|OM| = (10) 因M1(0，y1，z1)在母線上，F(xiàn)(y1，z1) = 0，將(10)的結果代入，就得所求的旋轉曲面的方程為

57、. 類似地，母線為，旋轉軸為軸的旋轉曲面的方程為：. 對于其它坐標平面上的曲線，繞坐標軸旋轉所得的旋轉曲面，其方程可類似求出. 于是我們得到如下的規(guī)律：當坐標平面上的曲線G 繞此坐標平面的一個坐標軸旋轉時，所得旋轉曲面的方程可根據下面的方法直接寫出：保持方程的形式不變，將曲線G 在坐標面里的方程中的與旋轉軸同名的坐標保持不變，而以其它兩個坐標的平方和的平方根來代替方程中的另一坐標. 例如，S為由面上的繞軸所得，那么S的方程為. 例2 讓橢圓分別繞其長軸（x軸）和短軸（y軸）旋轉，所得旋轉曲面方程分別是： 和 圖形分別叫做長形旋轉橢球面和扁形旋轉橢球面，如下圖. 例3 將圓 繞z軸旋轉，所得旋轉

58、曲面方程是： 化簡整理得 此曲面叫環(huán)面，如下圖所示，其外形象救生圈. 4.4 橢球面 定義4.4.1 在直角坐標系下，由方程 (4.41) 所表示的曲面叫橢球面，或稱橢圓面. 方程（4.41）叫做橢球面的標準方程. 其中a，b，c為任意的正常數. 通常假設abc 0. 橢球面的幾何性質 （1）對稱性 在方程（4.41）中，以z代z，方程不變，有意橢球面（4.41）關于xy平面對稱. 同理橢球面（4.41）關于yz平面和zx平面都對稱. 橢球面的對稱平面稱為它的主平面. 在方程（4.41）中，同時以y和z代替y和z，方程不變，故橢球面（4.41）關于軸對稱. 同理，橢球面（4.41）關于y軸和z

59、軸也對稱. 橢球面的對稱軸稱為它的主軸. 在方程（4.41）中，同時以x，y和z代替x，y和z，方程不變，故橢球面（4.41）關于坐標原點對稱. 橢球面的對稱中心稱為它的中心. 在a，b，c三個數中，若有兩個相等，（4.41）表示一個旋轉橢球面，而當這三個數都相等時，（4.41）就是一個球面. 所以球面和旋轉橢球面都是橢球面的特殊情形. （2）頂點，軸及半軸 橢球面（4.41）與其對稱軸（即3坐標軸）的6個交點 (a，0，0)，(0，b，0)，(0，0，c) 稱為橢球面的頂點. 假設a b c 0，那么分別稱2a，2b，2c為橢球面的長軸、中軸和短軸，而依稱a，b，c為橢球面的半長軸、半中軸和

60、半短軸. 這里的軸和半軸都是一個長度概念. （3）范圍 從橢球面的方程可以看出，有 | x |a，| y |b，| z |c 因此橢球面被完全封閉在一個長方體的內部，此長方體由6個平面 x =a，y = b，z = c 圍成，這6個平面都與橢球面相切，切點就是橢球面的6個頂點. （4）外形 用平行于坐標面的平面去截曲面，利用截痕分析曲面的外形，叫作平行截割法. 這種截痕類似于表示地形的等高線. 用平行截割法議論橢球面，可知其外形大致如上圖. 應留神截線中主橢圓的概念以及動橢圓如何在運動中產生了橢球面的過程分析. 橢球面的參數方程 橢球面的一般寫成 ， 0qp，0j2p 事實上，對，截線方程為：