圓錐曲線的綜合問題突破策略

1、.：.；圓錐曲線綜合問題之重點(diǎn)突破類型1：關(guān)于弦的中點(diǎn)以及弦的垂直平分線問題的戰(zhàn)略這種問題主要是需求用到弦AB的垂直平分線L的方程，往往是利用點(diǎn)差法或者韋達(dá)定理產(chǎn)生弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)M， 結(jié)合弦AB與它的垂直平分線L的斜率互為負(fù)倒數(shù)，寫出弦的垂直平分線L的方程，然后處理相關(guān)問題。有時(shí)候標(biāo)題的條件比較隱蔽，要分析后才干斷定是有關(guān)弦AB的中點(diǎn)問題，比如：弦與某定點(diǎn)D構(gòu)成以D為頂點(diǎn)的等腰三角形即|DA|=|DB|、曲線上存在兩點(diǎn)AB關(guān)于直線m對(duì)稱等等.【題1】 橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在橢圓C上，且，.(1) 求橢圓C的方程；(2) 假設(shè)直線過圓的圓心，交橢圓C于、兩點(diǎn)，且、 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求直線的方

2、程.【題1】 解：(1) 1分又 3分 故 4分 橢圓C的方程為 5分(2) 圓的方程可化為：，故圓心 所求直線方程為 7 分聯(lián)立橢圓方程，消去，得 9分、關(guān)于對(duì)稱 12分 14分點(diǎn)評(píng)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的問題，本質(zhì)是“中點(diǎn)弦問題，還可以用“點(diǎn)差法，請(qǐng)同窗們嘗試領(lǐng)會(huì)，并且比較兩種解法的特點(diǎn).【題2】知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.【題2】解：設(shè)直線AB的方程為代入整理得直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F，方程有兩個(gè)不等實(shí)根.記中點(diǎn)那么的垂直平分線NG的方程為令得點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為點(diǎn)評(píng) 留意AB中點(diǎn)M

3、以及兩直線的垂直關(guān)系求出“線段AB的垂直平分線.【題3】設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn). 1假設(shè)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值； 2能否存在過點(diǎn)A5，0的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得|F2C|=|F2D|？假設(shè)存在，求直線l的方程；假設(shè)不存在，請(qǐng)闡明理由. 【題3】解：1易知，設(shè)Px，y，那么= ，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值3；當(dāng)，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值4 點(diǎn)評(píng)本小題表達(dá)“消元的思想和“函數(shù)的思想，留意定義域.2假設(shè)存在滿足條件的直線l ，易知點(diǎn)A5，0在橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓無(wú)交點(diǎn)，所在直線l斜率存在，設(shè)為k，直線l的方程為 由方程

4、組依題意 設(shè)交點(diǎn)C，CD的中點(diǎn)為R，那么又|F2C|=|F2D| 20k2=20k24，而20k2=20k24不成立， 綜上所述，不存在直線l，使得|F2C|=|F2D| 點(diǎn)評(píng)要留意從判別式得到k的范圍，對(duì)于條件“|F2C|=|F2D|不要隨便將點(diǎn)F2和C、D的坐標(biāo)用兩點(diǎn)間間隔 公式表示，否那么墮入計(jì)算繁雜的圈套.類型2：關(guān)于定點(diǎn)和定值問題戰(zhàn)略【題4】知點(diǎn)P與點(diǎn)F2，0的間隔 比它到直線40的間隔 小2，假設(shè)記點(diǎn)P的軌跡為曲線C. 直線L與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且OAOB.1求曲線C的方程。2求證：直線L過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【題4】1解法1：點(diǎn)P與點(diǎn)F2，0的間隔 比它到直線40的間

5、隔 小2，所以點(diǎn)P與點(diǎn)F2，0的間隔 與它到直線20的間隔 相等. 由拋物線定義得：點(diǎn)在以為焦點(diǎn)直線20為準(zhǔn)線的拋物線上， 拋物線方程為. 解法2：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，那么當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得：，顯然，而，此時(shí)曲線不存在.當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得：.點(diǎn)評(píng)解法1巧妙地利用圓錐曲線的定義判別曲線軌跡，解法2直接利用標(biāo)題的條件建立等量關(guān)系，表達(dá)了“分類討論的思想方法.2設(shè)直線L：y=kx+b與拋物線交于點(diǎn)，假設(shè)直線的斜率存在設(shè)為k， ，即， 直線為，所以 假設(shè)直線L的斜率不存在，那么直線OA或OB的斜率為1 綜上所述，直線恒過定點(diǎn). 點(diǎn)評(píng)直線過定點(diǎn)問題，要將直線方程求出來利用直線方程的點(diǎn)斜式或者直線系方程判別能否經(jīng)過定點(diǎn).【題5】

6、知、分別為橢圓:的上、下焦點(diǎn),其中也是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)是與在第二象限的交點(diǎn),且.1求橢圓的方程.2知點(diǎn)和圓:,過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn),在線段上取一點(diǎn),滿足:,(且).求證: 點(diǎn)總在某定直線上.xyOF1F2M【題5】1方法一：由知,設(shè), 1分因在拋物線上,故又,那么, 由解得,.4分橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)橢圓上,由橢圓定義得 6分,又, 橢圓的方程為. 8分方法二：由知,設(shè),因在拋物線上,故又,那么, 由解得,.4分而點(diǎn)橢圓上,故有即, 又,那么由可解得,橢圓的方程為.8分2設(shè),由可得:,即10分由可得:,即 故得: 12分兩式相加得14分又點(diǎn)在圓上，且,所以,即, 點(diǎn)總在定直線 點(diǎn)評(píng)

7、關(guān)鍵是向量,的條件“坐標(biāo)化，要證點(diǎn)總在某定直線上，那么點(diǎn)的坐標(biāo)滿足一個(gè)固定的二元一次方程.【題6】知橢圓C以過點(diǎn)A1，兩個(gè)焦點(diǎn)為1，01，0。求橢圓C的方程；E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值. 【題6】解：1由題意，c1,可設(shè)橢圓方程為 由于A在橢圓上，所以，解得3，舍去所以橢圓方程為 4分2設(shè)直線方程：得，代入得 設(shè)，由于點(diǎn)1，在橢圓上，所以， 8分又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得， 。所以直線EF的斜率即直線EF的斜率為定值，其值為 12分點(diǎn)評(píng)圓錐曲線中有關(guān)定值的問題，關(guān)鍵要利用相關(guān)參數(shù)

8、將式子的表達(dá)式求出，再利用“整體的思想，消去參數(shù)得到定值.【題7】知拋物線C:上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的間隔 為5. 設(shè)直線與拋物線C交于兩點(diǎn)，且，且為常數(shù).過弦AB的中點(diǎn)M作平行于軸的直線交拋物線于點(diǎn)D，連結(jié)AD、BD得到.求證： ； 的面積為定值.【題7】依題意得：，解得. 所以拋物線方程為 .由方程組消去得：.依題意可知：.由知得，. 由，得，即，整理得.所以 . 可以求出中點(diǎn)， 所以點(diǎn)，依題意知.又由于方程中判別式，得.所以 ，由可知，所以. 又為常數(shù)，故的面積為定值. 類型3：關(guān)于不等式證明、求參數(shù)的取值范圍問題.【題8】 知點(diǎn)P到0，0，的間隔 之和為4，設(shè)P的軌跡是C，并交直線 于

9、A、B兩點(diǎn).1求C的方程;2假設(shè)以AB為直徑的圓過O點(diǎn),求此時(shí)的值;3假設(shè)A在第一象限，證明：.【題8】1得P的軌跡是橢圓，故,故方程為：2依題意設(shè)A，B，以AB為直徑的圓過O點(diǎn)，那么 4分聯(lián)立：消元得 4+ 7分 8分 = 9分 10分 11分點(diǎn)評(píng)將“AB為直徑的圓過點(diǎn)O巧妙地轉(zhuǎn)化為，表達(dá)“以數(shù)論形的思想.(3) =, =-=-()=12分13分A點(diǎn)在第一象限， 又-= 14分點(diǎn)評(píng)圓錐曲線與不等式證明的綜合，留意作差比較法證明不等式的思緒和步驟，利用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍討論.【題9】橢圓C:=1(ab0)的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的間隔 為.設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到

10、直線l的間隔 為，求AOB面積的最大值.【題9】設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，橢圓方程為設(shè)，1當(dāng)軸時(shí)，2當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為由知，得把代入橢圓方程，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立當(dāng)時(shí)，綜上所述當(dāng)最大時(shí)，面積取最大值點(diǎn)評(píng)關(guān)于面積的最值問題，先用“弦長(zhǎng)公式求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)面積的表達(dá)式的方式和特點(diǎn)，巧妙地利用根本不等式求出最值.【題10】知一條曲線C在y軸右邊，C上沒一點(diǎn)到點(diǎn)F1,0的間隔 減去它到y(tǒng)軸間隔 的差都是1.能否存在正數(shù)m，對(duì)于過點(diǎn)Mm，0且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的任不斷線，都有？假設(shè)存在，求出m的取值范圍；假設(shè)不存在，請(qǐng)闡明理由.【題10】設(shè)P(x,y)是曲線上恣意一點(diǎn)，那么

11、，滿足化簡(jiǎn)可得到點(diǎn)評(píng)此題對(duì)于過點(diǎn)Mm，0直線方程的設(shè)為x=ty+m 是簡(jiǎn)化計(jì)算的一個(gè)技巧，對(duì)不等式恒成立問題普通利用最值的方法處置.類型4：關(guān)于直線與圓錐曲線的綜合問題中涉及線段分比的戰(zhàn)略這類問題主要是研討過一個(gè)定點(diǎn)P作直線與曲線產(chǎn)生兩個(gè)交點(diǎn)AB，進(jìn)而研討P分兩個(gè)交點(diǎn)AB所成的比例關(guān)系. 往往是兩種方式出現(xiàn)，一種是以比例：，一種是向量：，有時(shí)候是求直線方程，有時(shí)候是求分比的值或取值范圍等等，這種問題主要是抓住分比與坐標(biāo)的關(guān)系，判別在聯(lián)立方程時(shí)應(yīng)該消去，以減少運(yùn)算量，然后把問題轉(zhuǎn)化到韋達(dá)定理的運(yùn)用上.【題11】如下圖，知圓為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足的軌跡為曲線E.1求曲線E的方程；2假設(shè)過定點(diǎn)F0，2的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間，且滿足，求的取值范圍.【題11】1NP為AM的垂直平分線，|NA|=|NM|又動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C1，0，A1，0為焦點(diǎn)的橢圓.且橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為焦距2c=2. 曲線E的方程為 2當(dāng)直線GH斜率存在時(shí)，設(shè)直線GH方程為得設(shè) ，又當(dāng)直線GH斜率不存在，方程為 【題12】知橢圓C的中心在坐