圓錐曲線的綜合問題突破策略

1、.：.；圓錐曲線綜合問題之重點突破類型1：關于弦的中點以及弦的垂直平分線問題的戰(zhàn)略這種問題主要是需求用到弦AB的垂直平分線L的方程，往往是利用點差法或者韋達定理產生弦AB的中點坐標M， 結合弦AB與它的垂直平分線L的斜率互為負倒數(shù)，寫出弦的垂直平分線L的方程，然后處理相關問題。有時候標題的條件比較隱蔽，要分析后才干斷定是有關弦AB的中點問題，比如：弦與某定點D構成以D為頂點的等腰三角形即|DA|=|DB|、曲線上存在兩點AB關于直線m對稱等等.【題1】 橢圓C：的兩個焦點為、，點在橢圓C上，且，.(1) 求橢圓C的方程；(2) 假設直線過圓的圓心，交橢圓C于、兩點，且、 關于點對稱，求直線的方

2、程.【題1】 解：(1) 1分又 3分 故 4分 橢圓C的方程為 5分(2) 圓的方程可化為：，故圓心 所求直線方程為 7 分聯(lián)立橢圓方程，消去，得 9分、關于對稱 12分 14分點評點關于點對稱的問題，本質是“中點弦問題，還可以用“點差法，請同窗們嘗試領會，并且比較兩種解法的特點.【題2】知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點.設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍.【題2】解：設直線AB的方程為代入整理得直線AB過橢圓的左焦點F，方程有兩個不等實根.記中點那么的垂直平分線NG的方程為令得點G橫坐標的取值范圍為點評 留意AB中點M

3、以及兩直線的垂直關系求出“線段AB的垂直平分線.【題3】設、分別是橢圓的左、右焦點. 1假設P是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值； 2能否存在過點A5，0的直線l與橢圓交于不同的兩點C、D，使得|F2C|=|F2D|？假設存在，求直線l的方程；假設不存在，請闡明理由. 【題3】解：1易知，設Px，y，那么= ，即點P為橢圓短軸端點時，有最小值3；當，即點P為橢圓長軸端點時，有最大值4 點評本小題表達“消元的思想和“函數(shù)的思想，留意定義域.2假設存在滿足條件的直線l ，易知點A5，0在橢圓的外部，當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓無交點，所在直線l斜率存在，設為k，直線l的方程為 由方程

4、組依題意 設交點C，CD的中點為R，那么又|F2C|=|F2D| 20k2=20k24，而20k2=20k24不成立， 綜上所述，不存在直線l，使得|F2C|=|F2D| 點評要留意從判別式得到k的范圍，對于條件“|F2C|=|F2D|不要隨便將點F2和C、D的坐標用兩點間間隔 公式表示，否那么墮入計算繁雜的圈套.類型2：關于定點和定值問題戰(zhàn)略【題4】知點P與點F2，0的間隔 比它到直線40的間隔 小2，假設記點P的軌跡為曲線C. 直線L與曲線C相交于A、B兩點，且OAOB.1求曲線C的方程。2求證：直線L過定點，并求出該定點的坐標.【題4】1解法1：點P與點F2，0的間隔 比它到直線40的間

5、隔 小2，所以點P與點F2，0的間隔 與它到直線20的間隔 相等. 由拋物線定義得：點在以為焦點直線20為準線的拋物線上， 拋物線方程為. 解法2：設動點，那么當時，化簡得：，顯然，而，此時曲線不存在.當時，化簡得：.點評解法1巧妙地利用圓錐曲線的定義判別曲線軌跡，解法2直接利用標題的條件建立等量關系，表達了“分類討論的思想方法.2設直線L：y=kx+b與拋物線交于點，假設直線的斜率存在設為k， ，即， 直線為，所以 假設直線L的斜率不存在，那么直線OA或OB的斜率為1 綜上所述，直線恒過定點. 點評直線過定點問題，要將直線方程求出來利用直線方程的點斜式或者直線系方程判別能否經過定點.【題5】

6、知、分別為橢圓:的上、下焦點,其中也是拋物線的焦點,點是與在第二象限的交點,且.1求橢圓的方程.2知點和圓:,過點的動直線與圓相交于不同的兩點,在線段上取一點,滿足:,(且).求證: 點總在某定直線上.xyOF1F2M【題5】1方法一：由知,設, 1分因在拋物線上,故又,那么, 由解得,.4分橢圓的兩個焦點,點橢圓上,由橢圓定義得 6分,又, 橢圓的方程為. 8分方法二：由知,設,因在拋物線上,故又,那么, 由解得,.4分而點橢圓上,故有即, 又,那么由可解得,橢圓的方程為.8分2設,由可得:,即10分由可得:,即 故得: 12分兩式相加得14分又點在圓上，且,所以,即, 點總在定直線 點評

7、關鍵是向量,的條件“坐標化，要證點總在某定直線上，那么點的坐標滿足一個固定的二元一次方程.【題6】知橢圓C以過點A1，兩個焦點為1，01，0。求橢圓C的方程；E,F是橢圓C上的兩個動點，假設直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值. 【題6】解：1由題意，c1,可設橢圓方程為 由于A在橢圓上，所以，解得3，舍去所以橢圓方程為 4分2設直線方程：得，代入得 設，由于點1，在橢圓上，所以， 8分又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得， 。所以直線EF的斜率即直線EF的斜率為定值，其值為 12分點評圓錐曲線中有關定值的問題，關鍵要利用相關參數(shù)

8、將式子的表達式求出，再利用“整體的思想，消去參數(shù)得到定值.【題7】知拋物線C:上橫坐標為4的點到焦點的間隔 為5. 設直線與拋物線C交于兩點，且，且為常數(shù).過弦AB的中點M作平行于軸的直線交拋物線于點D，連結AD、BD得到.求證： ； 的面積為定值.【題7】依題意得：，解得. 所以拋物線方程為 .由方程組消去得：.依題意可知：.由知得，. 由，得，即，整理得.所以 . 可以求出中點， 所以點，依題意知.又由于方程中判別式，得.所以 ，由可知，所以. 又為常數(shù)，故的面積為定值. 類型3：關于不等式證明、求參數(shù)的取值范圍問題.【題8】 知點P到0，0，的間隔 之和為4，設P的軌跡是C，并交直線 于

9、A、B兩點.1求C的方程;2假設以AB為直徑的圓過O點,求此時的值;3假設A在第一象限，證明：.【題8】1得P的軌跡是橢圓，故,故方程為：2依題意設A，B，以AB為直徑的圓過O點，那么 4分聯(lián)立：消元得 4+ 7分 8分 = 9分 10分 11分點評將“AB為直徑的圓過點O巧妙地轉化為，表達“以數(shù)論形的思想.(3) =, =-=-()=12分13分A點在第一象限， 又-= 14分點評圓錐曲線與不等式證明的綜合，留意作差比較法證明不等式的思緒和步驟，利用曲線上點的坐標的范圍討論.【題9】橢圓C:=1(ab0)的離心率為,短軸一個端點到右焦點的間隔 為.設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到

10、直線l的間隔 為，求AOB面積的最大值.【題9】設橢圓的半焦距為，依題意，橢圓方程為設，1當軸時，2當與軸不垂直時，設直線的方程為由知，得把代入橢圓方程，整理得，當且僅當，即時等號成立當時，綜上所述當最大時，面積取最大值點評關于面積的最值問題，先用“弦長公式求出AB的長，根據(jù)面積的表達式的方式和特點，巧妙地利用根本不等式求出最值.【題10】知一條曲線C在y軸右邊，C上沒一點到點F1,0的間隔 減去它到y(tǒng)軸間隔 的差都是1.能否存在正數(shù)m，對于過點Mm，0且與曲線C有兩個交點A,B的任不斷線，都有？假設存在，求出m的取值范圍；假設不存在，請闡明理由.【題10】設P(x,y)是曲線上恣意一點，那么

11、，滿足化簡可得到點評此題對于過點Mm，0直線方程的設為x=ty+m 是簡化計算的一個技巧，對不等式恒成立問題普通利用最值的方法處置.類型4：關于直線與圓錐曲線的綜合問題中涉及線段分比的戰(zhàn)略這類問題主要是研討過一個定點P作直線與曲線產生兩個交點AB，進而研討P分兩個交點AB所成的比例關系. 往往是兩種方式出現(xiàn)，一種是以比例：，一種是向量：，有時候是求直線方程，有時候是求分比的值或取值范圍等等，這種問題主要是抓住分比與坐標的關系，判別在聯(lián)立方程時應該消去，以減少運算量，然后把問題轉化到韋達定理的運用上.【題11】如下圖，知圓為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足的軌跡為曲線E.1求曲線E的方程；2假設過定點F0，2的直線交曲線E于不同的兩點G、H點G在點F、H之間，且滿足，求的取值范圍.【題11】1NP為AM的垂直平分線，|NA|=|NM|又動點N的軌跡是以點C1，0，A1，0為焦點的橢圓.且橢圓長軸長為焦距2c=2. 曲線E的方程為 2當直線GH斜率存在時，設直線GH方程為得設 ，又當直線GH斜率不存在，方程為 【題12】知橢圓C的中心在坐