淺談阿基米德螺線

1、淺談阿基米德螺線北京師范大學(xué)環(huán)境學(xué)院郭惠媛（200911181021）姜畔（200911181023）摘要：本文從生活中有趣的自然現(xiàn)象出發(fā)，介紹了阿基米德螺線的發(fā)現(xiàn)、定義、方程、作圖以及自然界和實際生活中的應(yīng)用，淺談了對于阿基米德螺線定義的不同觀點，并以蚊香為例，建模，證明了阿基米德螺線應(yīng)用的廣泛性。關(guān)鍵詞：阿基米德螺線、極坐標、自然界實例，生活中應(yīng)用引言很多人都知道飛蛾撲火這個故事。但是，為什么飛蛾會這么執(zhí)著地撲向火光呢?這要從它的祖先談起。飛蛾的歷史遠比人類悠久。在億萬年前，沒有人造火光，飛蛾完全靠天然光源(日光、月光或星光)指引飛行。由于太陽、月亮、星星距離地球都很遠，它們發(fā)出的光線照到

2、地球上可以認為是平行直線。當飛蛾直線飛行時，它在任何位置的前進方向與光線的夾角都是一個固定值(如圖1)?？墒牵绻庠措x得很近，不能將它們發(fā)出的光線看作平行光時，飛蛾再按照固有的習慣飛行，飛出的路線就不是直線，而是一條不斷折向燈光光源的螺旋形路線(如圖2)。這在數(shù)學(xué)上稱為阿基米德螺線。通俗的說，阿基米德螺線就是既作勻速轉(zhuǎn)動又作勻速直線運動而形成的軌跡。舉一個形象一點的例子：時鐘上的指針在作勻速轉(zhuǎn)動，假如有一只小蟲子從時鐘的中心，沿指針作勻速爬動，那么蟲子最終走出的軌跡就是阿基米德螺線（如圖3）。1.阿基米德螺線簡介1.1阿基米德簡介及螺線的發(fā)現(xiàn)阿基米德 Archimedes（約公元前287前2

3、12），古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家。他公元前287年生于希臘敘拉古附近的一個小村莊11歲時去埃及，到當時世界著名學(xué)術(shù)中心、被譽為“智慧之都” 的亞歷山大城跟隨歐幾里得的學(xué)生柯農(nóng)學(xué)習，以后和亞歷山大的學(xué)者保持緊密聯(lián)系，因此他算是亞歷山大學(xué)派的成員。公元前240年，阿基米德由埃及回到故鄉(xiāng)敘拉古，并擔任了國王的顧問從此開始了對科學(xué)的全面探索，在物理學(xué)、數(shù)學(xué)等領(lǐng)域取得了舉世矚目的成果，成為古希臘最偉大的科學(xué)家之一后人對阿基米德給以極高的評價，常把他和牛頓、高斯并列為有史以來三個貢獻最大的數(shù)學(xué)家。 據(jù)說，阿基米德螺線最初是由阿基米德的老師柯農(nóng)(歐幾里德的弟子)發(fā)現(xiàn)的柯農(nóng)死后，阿基米德繼續(xù)研究，又發(fā)現(xiàn)許多

4、重要性質(zhì)，因而這種螺線就以阿基米德的名字命名了1.2阿基米德螺線的定義及方程1.2.1論螺線中阿基米德螺線的定義阿基米德螺線，亦稱“等速螺線”。螺線是指一些圍著某些定點或軸旋轉(zhuǎn)且不斷收縮或擴展的曲線，阿基米德螺線是一種二維螺線。在論螺線中，阿基米德給出了如下定義：當一點P沿動射線OP以等速率運動的同時，這射線又以等角速度繞點O旋轉(zhuǎn)，點P的軌跡稱為“阿基米德螺線”。它的極坐標方程為:r=a。這種螺線的每條臂的距離永遠相等于2a。1.2.2阿基米德螺線定義的不合理之處當我們在紙上用筆沿著一盤阿基米德螺線形狀的蚊香進行描繪時，可以或快或慢或暫停又繼續(xù)地去畫完這條螺旋線，是不會有“等速率” “等角速度

5、”感覺的。實際上阿基米德螺線是動點“旋轉(zhuǎn)”與“直線”兩種運動同步、按比例合成的軌跡線?！巴健币馕吨靶D(zhuǎn)”與“直線”兩種運動步調(diào)一致。即：你動我動，你快我快，你慢我慢，你停我停。“同步”可以包含“旋轉(zhuǎn)”與“直線”兩種運動的“等速度”，而“等速度”決不能等同“同步”！因為“同步”容許速度的同步變化，而“等速度”則不允許速度變化。在螺旋線中，螺距（通常用S表示）是一重要參數(shù)，它表示動點繞中心回轉(zhuǎn)一周時，沿直線方向移動的距離?！奥菪取保ê喎Q“旋比”用ix表示 ）即：螺距與一周（360度或2）的比, ix=S/360度(角度制)或 ix=S/2(弧度制)；任意回轉(zhuǎn)角度下，動點相應(yīng)運動的直線距離（L

6、）等于該回轉(zhuǎn)角度與“旋比”的乘積。L=ix(角度制),或 L=ix（弧度制）。阿基米德螺線極坐標方程式 r = a 中的“a”既是螺線比“ix”；”r” 既是“L”。因為阿基米德螺線的螺線比為常數(shù)，一周永遠等于360度或2，所以螺距永遠相等，即螺線的每條臂的距離永遠相等于 2a。根據(jù)螺距永遠相等的特性，我們可將這類螺線稱為“等距螺線”或“等旋比螺線”。而不能稱之為“等速螺線”。1.3阿基米德螺線的方程極坐標系：在 HYPERLINK /zh-cn/%E6%95%B0%E5%AD%A6 o 數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)中，極坐標系是一個 HYPERLINK /zh-cn/%E4%BA%8C%E7%B6%AD o

7、二維 二維 HYPERLINK /zh-cn/%E5%9D%90%E6%A8%99%E7%B3%BB%E7%B5%B1 o 坐標系統(tǒng) 坐標系統(tǒng)。該坐標系統(tǒng)中的點由一個夾 HYPERLINK /zh-cn/%E8%A7%92 o 角 角和一段相對中心 HYPERLINK /zh-cn/%E7%82%B9 o 點 點極點（相當于我們較為熟知的 HYPERLINK /zh-cn/%E7%9B%B4%E8%A7%92%E5%9D%90%E6%A0%87%E7%B3%BB o 直角坐標系 直角坐標系中的原點）的距離來表示阿基米德螺旋線的標準極坐標方程： r（）= a+ b（）式中：b阿基米德螺旋線系數(shù)，

8、mm/，表示每旋轉(zhuǎn)1度時極徑的增加（或減?。┝?；極角，單位為度，表示阿基米德螺旋線轉(zhuǎn)過的總度數(shù)；a當=0時的極徑，mm。改變參數(shù)a將改變螺線形狀，b控制螺線間距離，通常其為常量。阿基米德螺線有兩條螺線，一條0，另一條0。兩條螺線在極點處平滑地連接。把其中一條翻轉(zhuǎn) 90/270得到其鏡像，就是另一條螺線。在極坐標系與平面直角坐標系（笛卡爾坐標系）間轉(zhuǎn)換：極坐標系中的兩個坐標 r 和 可以由下面的公式轉(zhuǎn)換為 HYPERLINK /zh-cn/%E7%9B%B4%E8%A7%92%E5%9D%90%E6%A0%87%E7%B3%BB o 直角坐標系 直角坐標系下的坐標值由上述二公式，可得到從直角坐標

9、系中x 和 y 兩坐標如何計算出極坐標下的坐標在x=0的情況下：若y為正數(shù)，則=90(/2radians)；若y為負，則=270(3/2radians).1.4阿基米德螺線的畫法1.4.1阿基米德螺線的幾何畫法 以適當長度(OA)為半徑，畫一圓O；作一射線OA；作一點P于射線OA上；模擬點A沿圓O移動，點P沿射線OA移動；畫出點P的軌跡；隱藏圓O、射線OA&點P；即可得到螺線（如圖4）1.4.2阿基米德螺線的簡單畫法有一種最簡單的方法畫出阿基米德螺線，如圖4，用一根線纏在一個線軸上，在其游離端綁上一小環(huán)，把線軸按在一張紙上，并在小環(huán)內(nèi)套一支鉛筆，用鉛筆拉緊線，并保持線在拉緊狀態(tài)，然后在紙上畫出

10、由線軸松開的線的軌跡，就得到了阿基米德螺線。 2自然界中的阿基米德螺線21自然界中的多種多樣的螺線在浩瀚的自然界中，在千姿百態(tài)的生命體上發(fā)現(xiàn)了不少螺旋。如原生動物門中的砂盤蟲；軟體動物門中梯螺科中的尖高旋螺，鳳螺科中的溝紋笛螺，明螺科中的明螺，又如塔螺科的爪哇擬塔螺、奇異寬肩螺、筍螺科的擬筍螺等大多數(shù)螺類，它們的外殼曲線都呈現(xiàn)出各種螺旋狀；在植物中，則有紫藤、蔦蘿、牽牛花等纏繞的莖形成的曲線，煙草螺旋狀排列的葉片，絲瓜、葫蘆的觸須，向日葵籽在盤中排列形成的曲線；甚至構(gòu)成生命的主要物質(zhì)蛋白質(zhì)、核酸及多糖等生物大分子也都存在螺旋結(jié)構(gòu)，如人類遺傳基因(DNA)中的雙螺旋結(jié)構(gòu)。其中，自然界中的砂盤蟲化

11、石，蛇盤繞起來形成的曲線等都可以構(gòu)成阿基米德螺線。2.2自然界中螺線廣泛存在的原因 擬螺線之所以在生命體中廣泛存在，是由于螺線的若干優(yōu)良性質(zhì)所確定。而這些優(yōu)良性質(zhì)直接或間接地使生命體在生存斗爭中獲得最佳效果。由于在柱面內(nèi)過柱面上兩點的各種曲線中螺線長度最短，對于蔦蘿、紫藤、牽?；ǖ扰示壷参锒裕绾斡米钌俚牟牧?、最低的能耗，使其莖或藤延伸到光照充足的地方是至關(guān)重要的。而在各種曲線中，螺線就起到省材、節(jié)約能量消耗的作用，在相同的空間中使其葉子獲取較多的陽光，這對植物光合作用尤為重要，像煙草等植物輪狀葉序就是利用形成的螺旋面能在狹小的空間中(其他植物的夾縫中)獲得最大的光照面積，以利于光合作用。形

12、成螺線狀的某些物體還有一種物理性質(zhì)，即像彈簧一樣具有彈性(或伸縮性)。在植物中絲瓜、葫蘆等莖上的擬圓柱螺線狀的觸須利用這個性質(zhì)，能使其牢固地附著其他植物或物體上。即使有外力或風的作用，由于螺線狀觸須的伸縮性，使得纖細的觸須不易被拉斷，并且當外力(或風)消失后，保證其莖葉又能恢復(fù)到原來的位置。螺旋線對于生活在水中的大多數(shù)螺類軟體動物也是十分有意義的。觀察螺類在水中的運動方式，通常是背負著外殼前進，殼體直徑粗大的部分在前，螺尖在后。當水流方向與運動方向相反時，水流沿著殼體螺線由直徑大的部分旋轉(zhuǎn)到直徑小的部分直到螺尖。水速將大大減小，這樣位于殼體后水的靜壓力將大于殼體前端的靜壓力。在前后壓力差的作用

13、下，殼體將會自動向前運動。這樣一來，來自水流的阻力經(jīng)錐狀螺線的轉(zhuǎn)化變?yōu)榍斑M的動力。除此而外，分布在螺類外殼上的螺線像一條肋筋，大大增加了殼體的強度，也分散了作用在殼體上的水壓。3.阿基米德螺線在實際生活中的應(yīng)用31最初的應(yīng)用：螺旋揚水器為解決用尼羅河水灌溉土地的難題，阿基米德發(fā)明了圓筒狀的螺旋揚水器，后人稱它為“ HYPERLINK /view/1889813.htm t _blank 阿基米德螺旋”。 阿基米德螺旋是一個裝在木制圓筒里的巨大螺旋狀物（在一個圓柱體上螺旋狀地繞上中空的管子），把它傾斜放置，下端浸入水中，隨著圓柱體的旋轉(zhuǎn)，水便沿螺旋管被提升上來，從上端流出。這樣，就可以把水從一個

14、水平面提升到另一個水平面，對田地進行灌溉。“阿基米德螺旋”揚水機至今仍在埃及等地使用。3.2工程上應(yīng)用：阿基米德螺旋泵阿基米德螺旋泵的工作原理是當電動機帶動泵軸轉(zhuǎn)動時,螺桿一方面繞本身的軸線旋轉(zhuǎn),另一方面它又沿襯套內(nèi)表面滾動,于是形成泵的密封腔室。螺桿每轉(zhuǎn)一周,密封腔內(nèi)的液體向前推進一個螺距,隨著螺桿的連續(xù)轉(zhuǎn)動,液體螺旋形方式從一個密封腔壓向另一個密封腔,最后擠出泵體。螺桿泵是一種新型的輸送液體的機械,具有結(jié)構(gòu)簡單、工作安全可靠、使用維修方便、出液連續(xù)均勻、壓力穩(wěn)定等優(yōu)點。 3.3日常生活的應(yīng)用：蚊香的幾何特征將一單盤蚊香光滑面朝上，放置一水平面上，自上俯視，會觀察到的蚊香平面圖。將這條曲線單

15、獨繪制出來，并加上一定的標志，得到了蚊香香條曲線圖（如圖6示）。點O為直線AB與曲線AB若干交點中位于最中間的一個交點。曲線OA實際上是單盤蚊香的香條外側(cè)邊線。觀察不同廠牌蚊香的實物，會發(fā)現(xiàn)其對應(yīng)的OA曲線上，接近點的一段(圖中以O(shè)P表示)，也就是所謂“太極頭”部位的曲線，在形狀上各有不同，但對于剩下的一大段曲線PA，則具有這樣的特征：曲線PA E任取一點Q，假使點Q可在曲線PA上移動，則點Q越接近點A，點Q與點O的直線距離(以r表示)越大；而且，每移動一定角度(以0表示)，增加的值與該角度成正比。用學(xué)語言描述曲線QA的上述特征，可表示為：=k，或=k+C-(1)式(1)中，k和C均為恒定常數(shù)

16、，若以點O為極點，建立極坐標，則選擇適當方位的極軸，可以將式(1)轉(zhuǎn)移為：=k，0,-(2)式(2)中a為點A，即香條末端對應(yīng)的極角。式(2)所描述的曲線一單擻蚊香香條外側(cè)邊線實際上正是“阿基米德螺線”。需要說明的是，式(2)所描述的只是蚊香“太極頭”之外的香條曲線方程，由于不同廠牌蚊香的“太極頭”沒有統(tǒng)一固定的形狀，所以無法對其作出確切的描述。同時，由于“太極頭”一段香條的長度極短，因而其形狀對蚊香香條長度的影響事實上也可以忽略不計。結(jié)論：通過對阿基米德螺線這種特殊的螺線的研究，我們對螺線，極坐標等概念的理解更加深入。阿基米德應(yīng)用理論解決實踐問題的思想讓我們明白學(xué)以致用的重要性。啟示：自然界中各種看似平常的現(xiàn)象都隱藏著不尋常的道理，只有不斷發(fā)掘，我們才能獲得新知。參考文獻：1 石磊，生命中的螺旋，世界環(huán)境 , 2005,(2) : 24