在沖突中轉(zhuǎn)換在反思中變通對《數(shù)列單調(diào)性》的反思

1、在沖突中轉(zhuǎn)換，在反思中變通對?數(shù)列單調(diào)性?的反思論文摘要：函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個核心概念，數(shù)列是特殊的函數(shù)，本文通過三個問題及其三個變式的詳細(xì)研究，加深學(xué)生對數(shù)列是特殊的函數(shù)的認(rèn)識和理解，在問題沖突中尋求解題策略，靈活地進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換；在聯(lián)想與反思中尋求變通。關(guān)注知識的自然生成過程和解題思路的自然生成。從而有效地落實新課標(biāo)的精神。論文關(guān)鍵詞：函數(shù),數(shù)列,轉(zhuǎn)換,變通從宏觀上說，數(shù)學(xué)中一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)換。美國數(shù)學(xué)家波利亞特別強調(diào)轉(zhuǎn)換在解題中的作用，他指出：解體的過程實際上就是一個不斷對問題轉(zhuǎn)換的過程。所謂轉(zhuǎn)換，就是指思維能從一類對象或情境迅速地轉(zhuǎn)到另一類內(nèi)容不同的對象或情境。他是思維靈活性的一

2、個重要表達(dá)，是求異思維的根底。因而，轉(zhuǎn)換是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂。1、問題提出宿州市十三校重點中學(xué)2021-2021學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)第12題：設(shè)數(shù)列a，a=n+kn(n此題作為選擇題中的壓軸題得分率僅為31.3%。筆者先后找了8名做錯學(xué)生進(jìn)行個別訪談，發(fā)現(xiàn)存在許多問題：概念不清，不會運用aa;有的學(xué)生知道運用aa得出k-2n-1而無法進(jìn)行轉(zhuǎn)換得出正確答案；計算出錯；有的學(xué)生能夠聯(lián)系二次函數(shù)但畫圖不到位，沒能考慮到數(shù)列的特殊性而錯選答案C、D等等。針對上述出現(xiàn)的問題，筆者在試卷分析時開設(shè)一節(jié)專題，對數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行了探究。不妥之處，敬請指正。2、課堂摘錄問題1數(shù)列a是單調(diào)遞增數(shù)列，且a

3、=kn+1(nN)，求實數(shù)k的取值范圍。T：同學(xué)們知道，對于數(shù)列a，當(dāng)aa時，它是單調(diào)遞增數(shù)列；當(dāng)a時，它是單調(diào)遞減數(shù)列。這道題怎樣做呢？S1：a是單調(diào)遞增數(shù)列，k(n+1)+1kn+1,即k0。故k的取值范圍是S2：a是單調(diào)遞增數(shù)列，(n+1)+K(n+1)n+kn，化簡得k-2n-1，。但是沒有選項。T：一般來說，求得實數(shù)k的取值范圍不應(yīng)含有字母，仔細(xì)觀察通項，能否轉(zhuǎn)換一下角度？S3：從通項公式看a是關(guān)于n的二次式，可以利用二次函數(shù)的單調(diào)性來解答。由于數(shù)列a是單調(diào)遞增數(shù)列，而a=10因此有-k/2，k-2。應(yīng)選CS4：不對，應(yīng)該是-k/2，得k-2。應(yīng)選DT：如果是二次函數(shù)的單調(diào)遞增，S4

4、是對的。這是數(shù)列的單調(diào)性問題，數(shù)列和函數(shù)一樣嗎？究竟選哪一個呢？不妨我們一起來畫一下草圖。S5：不一樣，數(shù)列是特殊的函數(shù)。T：很好，那么特殊性是什么呢？S6：特殊性就在于nN，它的圖像是散點圖而不是連續(xù)曲線。T：非常好，那么對稱軸n=-k/2能否大于1呢？畫圖試試看。S7：通過平移對稱軸n=-k/2我們發(fā)現(xiàn)1，如果-k/23/2，那么aa與題設(shè)不符。從而我們得出kS9：a是單調(diào)遞增數(shù)列，aa即(n+1)+K(n+1)n+kn，化簡得k-3n-3n-1，這是關(guān)于n的不等式，仍不是一個確定的實數(shù)。T：當(dāng)我們對面臨的問題產(chǎn)生困惑時，最好的方法就是：回到題目中去，對條件進(jìn)行再一次解讀。a是單調(diào)遞增數(shù)列

5、;指的是什么？S10：當(dāng)n1，+，aa恒成立。T：很好，k-3n-3n-1就意味著不等式在n1，+恒成立。那么k-3n-3n-1，這就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)fn=-3n-3n-1的最大值，顯然fn在n1，+是減函數(shù)，它的最大值就是-7，即k-7。那么如何解k-2n-1？S10:由于fn=-2n-1是減函數(shù)，所以n=1時f(n)最大值是-3，即k-3，+。這與用函數(shù)的方法求得結(jié)果是一致的，并且比它更簡單。T：誰來總結(jié)一下解這類問題的通法？S11：根據(jù)題意，得出含有n不等式，然后求f(n)在n1，+最值T：你總結(jié)得非常好！概括出這類問題的通法。誰來做下面一題？變式3數(shù)列a是單調(diào)遞減數(shù)列，且a=kn+n(n，

6、求實數(shù)k的取值范圍。S12:數(shù)列a是單調(diào)遞減數(shù)列，aa，即k(n+1)+n+1kn+n，整理得k(2n+1)-1，2n+10，k，顯然，當(dāng)?shù)淖钚≈禐?1/3，故k-1/3.T：S12答復(fù)得非常精彩，過程細(xì)致完整，答案準(zhǔn)確無誤，這是我們解題時必須做到的。每做完一道題，我們都要回過頭來看一看，悟一悟，有無最簡的方法？過程是否標(biāo)準(zhǔn)？答案是否正確？從而形成良好的解題習(xí)慣。反思3數(shù)列是特殊的函數(shù)，用函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列的單調(diào)性是可行的，但當(dāng)我們面臨陌生的函數(shù)三次函數(shù)不知道他的性質(zhì)時，無法建立起聯(lián)系，用數(shù)學(xué)家玻利亞的一句話：回到定義中去;。從而建立不等關(guān)系，當(dāng)?shù)贸龅慕Y(jié)果與要求不一致時如k-2n-1，回到題目

7、中去，對條件進(jìn)行再一次解讀。從而轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，因而揭示了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。3、教后感悟教的真諦在于導(dǎo)，學(xué)的成功在于悟，課堂教學(xué)的根本在于啟發(fā)學(xué)生如何去想，讓學(xué)生用內(nèi)心創(chuàng)造與體驗來學(xué)習(xí)，將數(shù)學(xué)知識與學(xué)生的日常生活更好地糅合在一起。作為一線教師，就需要經(jīng)常反思我們的教學(xué)，感悟教學(xué)的實質(zhì)。3.1加深學(xué)生對數(shù)列是特殊的函數(shù)的認(rèn)識和理解。自從20世紀(jì)初，在英國數(shù)學(xué)家貝利和德國數(shù)學(xué)家克萊因等人的大力倡導(dǎo)和推動下，函數(shù)進(jìn)入了中學(xué)數(shù)學(xué)?？巳R因認(rèn)為：函數(shù)概念，應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育的靈魂。以函數(shù)概念為中心，將全部數(shù)學(xué)教材集中在他周圍，進(jìn)行充分的綜合。;因此，函數(shù)已成為高中數(shù)學(xué)的核心概念。高中數(shù)學(xué)必修5北師大版第一

8、章?數(shù)列?第一節(jié)安排了數(shù)列的函數(shù)特性;這一內(nèi)容，以數(shù)列的單調(diào)性為主線，從定義和圖像兩個方面，讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)列是特殊的函數(shù)。那么只知道數(shù)列是自變量n是正整數(shù)，圖像是一些孤立點就行了嗎？如何讓學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)列是特殊的函數(shù)呢？必須抓住兩個關(guān)鍵詞函數(shù);、特殊性;。于是本文設(shè)計了三個問題：第一個問題的用意在于讓學(xué)生懂得數(shù)列與函數(shù)是相通的。表達(dá)數(shù)列的函數(shù)性;。但數(shù)列又不等同于函數(shù)，通過問題2來表達(dá)它的特殊性;。如果按二次函數(shù)的單調(diào)性來處理應(yīng)選D，這是一個錯誤的答案，為什么呢？通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生的探究，平移對稱軸來理解數(shù)列的特殊性;，形成對數(shù)列是特殊的函數(shù)的意義建構(gòu)。3.2關(guān)注解題過程的自然生成。依據(jù)數(shù)列

9、的單調(diào)性的定義我們設(shè)計了問題1，學(xué)生能夠較容易的得出結(jié)果，我們并不急于出現(xiàn)問題2，而是讓學(xué)生與一次函數(shù)的單調(diào)性相比擬，發(fā)現(xiàn)它們是相通的，使學(xué)生初步感受到數(shù)列是特殊的函數(shù)。接下來問題是通項公式是關(guān)于n的二次式，按照S2的解法沒有答案，我們并沒有立即告訴學(xué)生如何做為下文埋下伏筆，而是讓他們用二次函數(shù)單調(diào)性的方法來解決，很快得出答案D，但這個答案是錯誤的，為什么呢？通過平移拋物線運動變化的直觀演示有利于對知識形成意義建構(gòu)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)正確的答案。與二次函數(shù)的單調(diào)性解法相比擬，體會數(shù)列的特殊性。三次函數(shù)的圖像和性質(zhì)對學(xué)生來說相對陌生，問題3又如何解呢？用波利亞的一句話：回到定義中去。這就會再次出現(xiàn)含有n的

10、不等式，是巧合，還是有什么規(guī)律？這就不得不使學(xué)生來面對并解決這個問題。通過數(shù)列函數(shù)不等式，使他們之間有機的聯(lián)系起來，有利于形成知識組快，便于儲存和提取。如果一開始就告訴學(xué)生用數(shù)列不等式來解決，不但失去了使學(xué)生經(jīng)歷問題沖突問題轉(zhuǎn)化問題解決這一過程，而且也失去了對數(shù)列是特殊的函數(shù);認(rèn)識與理解，更重要地失去了一次如何揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的大好時機。3.3落實新課標(biāo)新課標(biāo)指出：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)該只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)該倡導(dǎo)自主探究、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生學(xué)習(xí)過程成為再創(chuàng)造過程;。每上完一節(jié)課，我們都要回憶一下新課標(biāo)落實情況。根據(jù)新課標(biāo)精神，筆者概括出三多;理念。即：多動多思多交流。多動就是動腦想一想，動手做一做，動筆畫一畫，動口說一說；多思就是想一想條件有什么用？想一想輔助元;如何添？想一想過程如何寫？想一想解法如何優(yōu)？想一想解后有何得？多交流就是把自己的想法或做法與同學(xué)或老師經(jīng)常交流，到達(dá)優(yōu)勢互補，形成對知識和方法的意義建構(gòu)，更有利于提高自己的解題能力和對問題的理解能力。羅增儒教授指出：數(shù)學(xué)解題是一種創(chuàng)造性活動，誰也無法教會我們所有的題目，重要的是，通過有限道題的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟那種無限道題的數(shù)學(xué)機智。筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)機智就是在三多;中挖掘解題規(guī)律，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)有效的變通。參考文