對(duì)數(shù)正態(tài)分布(log-normal distribution)

1、對(duì)數(shù)正態(tài)分布對(duì)數(shù)正態(tài)分布機(jī)率密度函數(shù)卩=0累積分布函數(shù)卩=0參數(shù)(70OO0,對(duì)數(shù)正態(tài)分布的概率分布函數(shù)為1Xay/27V其中M與o分別是變量對(duì)數(shù)的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差。它的期望值是方差為var（X）=（尹1）嚴(yán)+卅給定期望值與標(biāo)準(zhǔn)差，也可以用這個(gè)關(guān)系求p與o-hg)-扣(1+謬目錄-得隱藏1與幾何平均值和幾何標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系2矩3局部期望4參數(shù)的最大似然估計(jì)5相關(guān)分布6進(jìn)一步的閱讀資料7參考文獻(xiàn)8參見(jiàn)編輯與幾何平均值和幾何標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系對(duì)數(shù)正態(tài)分布、幾何平均數(shù)與幾何標(biāo)準(zhǔn)差是相互關(guān)聯(lián)的。在這種情況下，幾何平均值等于exp(p)，幾何平均差等于exp(o)。如果采樣數(shù)據(jù)來(lái)自于對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則幾何平均值與幾何

2、標(biāo)準(zhǔn)差可以用于估計(jì)置信區(qū)間，就像用算術(shù)平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)正態(tài)分布的置信區(qū)間一樣。置信區(qū)間界對(duì)數(shù)空間幾何3o下界卩3oPgco/違82o下界卩2oPgco/違glo下界卩oU/ogeogeo1O上界卩+ouo廠geogeo2o上界卩+2o13o上界卩+3o3其中幾何平均數(shù)p=exp(p)，幾何標(biāo)準(zhǔn)差o=exp(o)geogeo編輯矩原始矩為:或者更為一般的矩編輯局部期望隨機(jī)變量X在閾值k上的局部期望定義為其中f（x）是概率密度。對(duì)于對(duì)數(shù)正態(tài)概率密度，這個(gè)定義可以表示為g（關(guān)=exp+護(hù)/2）（一血仏）：+即）_綁（_聲）+“）其中e是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)部分的累積分布函數(shù)。對(duì)數(shù)正態(tài)分布的局部期望在保險(xiǎn)業(yè)及經(jīng)

3、濟(jì)領(lǐng)域都有應(yīng)用。編輯參數(shù)的最大似然估計(jì)為了確定對(duì)數(shù)正態(tài)分布參數(shù)P與O的最大似然估計(jì)，我們可以采用與正態(tài)分布參數(shù)最大似然估計(jì)同樣的方法。我們來(lái)看九（工;弘t7）=-fN（ln工;見(jiàn)cr）其中用表示對(duì)數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，用:一表示正態(tài)分布。因此，用與正態(tài)分布同樣的指數(shù)，我們可以得到對(duì)數(shù)最大似然函數(shù)：化（角cr|衍J2,Xn）=一刀血Inxk+InJ；!JInx2.,lnx.n）=constant+用（站：aInTi,In,Inxn）.由于第一項(xiàng)相對(duì)于p與o來(lái)說(shuō)是常數(shù)，兩個(gè)對(duì)數(shù)最大似然函數(shù)*與i工在同樣的p與o處有最大值。因此，根據(jù)正態(tài)分布最大似然參數(shù)估計(jì)器的公式以及上面的方程，我們可以推導(dǎo)出對(duì)數(shù)正態(tài)分布參數(shù)的最大似然估計(jì)伍=區(qū)山鞏護(hù)=Z譏山以一編輯相關(guān)分布如果Y=ln(X)與，貝UYN(p,O2)是正態(tài)分布如果jLu-是有同樣p參數(shù)、而o可能不同的統(tǒng)nY=YXm計(jì)獨(dú)立對(duì)數(shù)正態(tài)分布變量，并且，則Y也是對(duì)數(shù)正態(tài)分布變量：yLogN仏,丈遵)編輯進(jìn)一步的閱讀資料RobertBrooks,JonCorson以及J.DonalWales的ThePricingofIndexOptionsWhentheUnderlyingAssetsAllFollowaLognormalDiffusi