考研數(shù)學北京航天航空大學線性代數(shù)正定二次型

1、第三節(jié) 正定二次型 對二次型f (x1, x2, , xn)經(jīng)過滿秩變換后可化為規(guī)范形 為討論其性質, 在應用中對二次型進行以下分類.1定義 設f (x1, x2, , xn)=xAx為實二次型, 若對于任意非零實向量x=(x1, x2, , xn), 都有f=xAx0, 稱f為正定二次型, 對稱矩陣A稱為正定矩陣.f=xAx0, f=x2Ax20,因此f正定.3例2 判斷實二次型的類型.解取x1=(1, 0), x2=(1, -1), 有因此由定義f是不定二次型.問題：如何判定所給定的二次型的類型?定理3.1 設n元實二次型f = xAx的秩為r, 正慣性指數(shù)為p, 則f 為正定二次型p=r

2、=n, 即標準形中有n個正項;負定二次型p=0, 即標準形中有n個負項;4半正定二次型p=rn, 即標準形中只有r個正項;半負定二次型p=0, rn, 即標準形中只有r個負項;不定二次型0p0(i=1, 2, , n).5顯然代入(1)右端, 總有f 0.由x=Cyy=C-1x.將它視為系數(shù)矩陣為滿秩矩陣C-1的非齊次方程組, 由克萊姆法則, 對任意非零向量y, 有唯一的非零向量與之對應.由y0的任意性, 因此x0任意, 因此恒有f = xAx0, 這樣f正定.()反證.若f正定, 但標準形不是(1), 即p0.x(kA)x=k xAx0(k0).(2) x(CAC)x=(Cx)A(Cx)0.

3、 (Cx=y0)注 CAC與A的正定、負定或不定一致(合同變換保秩、保正、負慣性指數(shù)).8性質2 若A=(aij)nn是正定矩陣, 則aii0(i=1,2,n).證明由定義, A正定, 因此x0, xAx0.取則9注 (1) 反之不成立.例2中a110, a220, 但不是正定矩陣.(2) 可用來判斷二次型不是正定的.例3 a22=20, 因此A不是正定矩陣.另外令則是不定二次型.10(3) 若A=(aij)nn是負定矩陣, 則aii0.證明由性質4, A正定, 則存在滿秩矩陣B, 使得A=BB.因此|A|=|B|B|=|B|20.注 性質5為必要條件. A負定時不一定有|A|0.性質6 A為

4、正定矩陣 A的所有順序主子式皆大于零.順序主子式12A負定 A正定.A負定 A的奇數(shù)階順序主子式小于零, 偶數(shù)階順序主子式大于零.性質7 A正定A的特征值全為正數(shù). 例4 判斷實二次型是否正定.判斷方法1. 順序主子式(性質6)2. 標準形(定理3.1)3. 特征值(性質7)13解方法一二次型所對應的矩陣為三個順序主子式10, 由性質6, f是正定二次型.14方法二 用配方法將所給二次型化為標準形令為滿秩變換. 得正慣性指數(shù)p=3=n, 得 f 正定.15方法3 特征值f(0)= 1, f(1)=4, f(2)= 1, f(4)=3, f(5)= 16.由零點定理, f()=0有三個正根. f 正定.16練習判別二次型是否正定.正定(性質6)例5 求的值, 使實二次型為正定二次型, 并討論2的情形.解二次型對應矩陣17令它的各階順序主子式大于0得1;得2.取交后得2.所以2時, f是正定二次型.18=2