《復變函數與積分變換》課程教學大綱

1、第 PAGE18 頁 共 NUMPAGES18 頁復變函數與積分變換課程教學大綱復變函數與積分變換課程教學大綱 課程名稱：復變函數與積分變換 課程代碼： 英文名稱：Function of Complex Variable and Integral Transformation 課程性質：專業(yè)必修課程 學分/學時：2學分/36學時 開課學期：第3學期 適用專業(yè)：電氣工程及其自動化 先修課程：高等數學 后續(xù)課程：自動控制原理、信號與系統、檢測技術與儀表 開課單位：機電工程學院 課程負責人： 大綱執(zhí)筆人： 大綱審核人： 一、課程性質和教學目標（在人才培養(yǎng)中的地位與性質及主要內容，指明學生需掌握知識與

2、能力及其應達到的水平） 課程性質：復變函數與積分變換的理論和方法廣泛應用于電氣工程、通訊工程、自動化等相關學科，并且已經成為解決眾多理論和實際問題的強有力工具，成為了電氣工程及其自動化專業(yè)一門重要的基礎理論課程，而高等數學的是它的必須的先修課程。對于本專業(yè)而言，是學習自動控制原理、現代控制理論、線性系統理論、信號與系統等許多相關課程的必須先修課程之一。 教學目標：通過本課程的講授和學習，使學生在學習高等數學的基礎上，系統的掌握復變函數與積分變換中必要的基礎理論和常用的計算方法，培養(yǎng)學生比較熟練的運算能力，能比較熟練運用復變函數、積分變換的方法來有效地比較系統地解決一些問題。并且逐步培養(yǎng)能夠建立

3、比較復雜系統數學模型的能力，在此基礎上，進一步地提升分析p 問題、解決問題的水平和能力。并為后續(xù)的專業(yè)基礎課程、專業(yè)課程的學習，以及將來從事教學、科研及其它實際工作打下必要相當水準的理論知識基礎。 本課程的具體教學目標如下： 1.熟練掌握復數與復變函數、解析函數、復變函數積分、復級數、留數、傅里葉變換和拉普拉斯變換的基本概念、基本理論、基本方法和某些相關的應用，為進一步學習打下堅實的理論基礎。 2.大致了解理想典型電子線性器件的時域和頻域的數學模型，為后續(xù)課程比較復雜的線性電氣系統或者比較復雜的線性力學系統的數學模型的建立、分析p 和控制做好理論、學識上準備。 3.基本理解時滯環(huán)節(jié)的頻域表達形

4、式，并且與上述的線性系統有機結合，構建相對更加復雜的非線性系統的數學模型，為以后專業(yè)課上對此非線性系統的數學模型的分析p 、控制做好基礎的準備。為以后解決實際復雜工程問題做好知識上的儲備。 教學目標與畢業(yè)要求的對應關系： 畢業(yè)要求 指標點 課程目標 對應關系說明 畢業(yè)要求1：工程知識 1-1 握專業(yè)所需的數理知識，能用于專業(yè)問題的理解、建模、分析p 與求解 教學目標1 能比較熟練運用復變函數、積分變換的方法，大致了解理想典型電子線性器件的時域和頻域的數學模型。 畢業(yè)要求2：問題分析p 2-1 運用數理和工程知識進行專業(yè)領域復雜工程問題中的內涵識別與理解分析p 教學目標2 了解理想典型電子線性器

5、件的時域和頻域的數學模型，為復雜的線性系統的數學模型分析p 提供理論基礎。 教學目標3 基本理解時滯環(huán)節(jié)的頻域表達形式，并且對與線性系統有機結合、構建相對更加復雜的非線性系統的數學模型有所認識。 二、課程教學內容及學時分配（含課程教學、自學、作業(yè)、討論等內容和要求，指明重點內容和難點內容。重點內容：；難點內容： 1、復數和復變函數（4學時）（支撐教學目標1） 1.1 復數 知識點：復數的概念，共軛復數及復數的四則運算 1.2 復平面及復數的三角表達式 知識點：復平面，復數的模與幅角及三角表達式，復數模的三角不等式，利用復數的三角表達式作乘除法，復數的乘方和開方。 1.3 平面點集 知識點：鄰域

6、和開集，區(qū)域、簡單曲線，連通域，無窮遠點 1.4 復變函數 知識點：復變函數的概念，復變函數的極限與連續(xù)性 要求：掌握復數的概念（復數是向量）及其各種不同的表示方法，了解各個表示方法的特點和適合使用的場合；復數的四則運算、乘方、開方運算及其幾何意義；能夠在復平面上找到由代數或三角表示復數的坐標所在；共軛復數及其運算性質；復變函數的概念，復變函數的極限和連續(xù)的概念（與實函數做比較）。 了解：復平面的概念，平面點集的概念，復變函數的極限和連續(xù)的概念。 理解：復變函數的概念，共軛復數及其運算性質。 掌握：復數的概念及其各種表示法，復數的四則運算、乘方、開方運算及其幾何意義。 重點內容：復數的四則運算

7、及乘冪與開方的運算，復數的表示法，復變函數的概念。 教學難點：復變函數的極限與連續(xù)性。 2、解析函數（6學時）（支撐教學目標1） 2.1 解析函數的概念 知識點：復變函數的導數，解析函數的概念與求導規(guī)則，函數解析的充要條件 2.2 解析函數與調和函數的關系 知識點：調和函數，共軛調和函數 2.3 初等函數 知識點：指數函數，對數函數，冪函數，三角函數在復數域下的概念及解析性 要求：掌握函數解析的充要條件，柯西-黎曼條件判別函數解析性的方法，解析函數與調和函數的關系。 了解：調和函數的定義，初等函數的定義及解析性。 理解：復變函數導數的概念、運算性質及求導方法，解析函數的概念。 掌握：函數解析的

8、充要條件，用柯西-黎曼條件判別函數解析性的方法，解析函數與調和函數的關系。 重點內容：解析函數的概念，函數解析的充要條件，解析函數與調和函數的關系。 教學難點：解析函數的概念，函數解析的充要條件。 3、復變函數的積分（6學時）（支撐教學目標1） 3.1 復變函數的積分 知識點：復變函數積分的定義，基本性質，計算方法 3.2 柯西-古薩定理 知識點：柯西積分定理，復合閉路定理，利用原函數求解析函數的積分 3.3 柯西積分公式 知識點：柯西積分公式，高階導數公式 要求：掌握復變函數積分的定義，基本性質和基本的計算方法；原函數的概念，如何利用原函數求解析函數的積分?？挛鞣e分定理，柯西積分公式，高階導

9、數公式及復合閉路定理的計算。 了解：柯西積分定理、柯西積分公式、復合閉路定理的證明。 理解：復變函數積分的概念和性質，原函數的概念，利用原函數求解析函數的積分。 掌握：柯西積分定理，柯西積分公式，高階導數公式及復合閉路定理的計算。 重點內容：柯西積分定理，柯西積分公式，復合閉路定理及其應用。 教學難點：復合閉路定理及其應用。 4、級數（6學時）（支撐教學目標1） 4.1 復級項數的基本概念 知識點：復數項級數的概念，復變函數項級數的概念及其收斂的判定 4.2 冪級數 知識點：阿貝爾定理，收斂半徑的求法 4.3 泰勒級數 知識點：泰勒展開定理，直接法，間接法將函數展開成泰勒展開式 4.4 羅朗級

10、數 知識點：羅朗定理，將函數在不同環(huán)域內展開成羅朗級數 要求：掌握復數列極限的概念，復數列收斂的充要條件，復函數項級數收斂域與和函數的概念，阿貝爾定理，冪級數在其收斂圓內的性質。冪級數收斂半徑的求法，將函數展開成泰勒展開式、羅朗展開式的方法。 了解：復數列極限的概念，復數列收斂的充要條件，復函數項級數收斂域與和函數的概念，冪級數在其收斂圓內的性質。 理解：阿貝爾定理，泰勒級數概念，羅朗級數概念。 掌握：冪級數收斂半徑的求法，將函數展開成泰勒展開式、羅朗展開式的方法。 重點內容：泰勒級數，羅朗級數。 教學難點：間接法求簡單函數的泰勒展開式，在不同環(huán)域內將解析函數展開成羅朗展開式。 5、留數定理（

11、6學時）（支撐教學目標1、2） 5.1 零點與孤立奇點 知識點：孤立奇點的概念，判別，零點與極點的關系 5.2 留數定理 知識點：留數的計算方法，留數定理及其應用 5.3 留數理論在實積分中的應用 知識點：不同的三類實積分的計算 要求：掌握零點、孤立奇點以及孤立奇點的分類及判定方法，零點與極點的關系。留數的概念及計算方法，留數定理及其在定積分計算中應用。 了解：孤立奇點性質的證明，留數在定積分計算中的應用。 理解：孤立奇點的概念，函數在孤立奇點處留數的概念。 掌握：孤立奇點的分類及判定方法，留數的計算方法，留數定理及其應用。 重點內容：孤立奇點的概念，留數的概念及計算方法，留數定理。 教學難點

12、：孤立奇點的判別，留數在定積分中的應用。 6、傅里葉變換（4學時）（支撐教學目標2、3） 6.1 傅里葉變換的概念與性質 知識點：傅里葉積分定理，傅里葉變換，單位脈沖函數及傅里葉變換 6.2 傅里葉變換的性質 知識點：線性性質、位移性質、微分性質、積分性質、乘積定理、能量積分、卷積定理 6.3 傅里葉變換的應用 知識點：傅里葉變換應用的舉例 要求：掌握傅里葉變換、傅里葉變換的逆變換的定義以及相關的性質和定理。典型時域信號的頻域表達式，大致有個一一對應的概念。 了解：函數的定義，卷積定理。 理解：傅里葉變換的定義及傅里葉積分公式。 掌握：函數的基本性質及其傅氏變換，傅氏逆變換的基本性質。 重點內

13、容：求傅氏變換的方法，求傅氏逆變換的方法，傅氏變換的基本性質。 教學難點：求傅氏變換和傅氏逆變換的方法。 7、拉普拉斯變換（4學時）（支撐教學目2、3） 7.1 拉普拉斯變換的概念 知識點：傅里葉變換的局限性，拉普拉斯變換的定義與存在性定理，拉普拉斯逆變換公式 7.2 拉普拉斯變換的性質 知識點：線性性質、微分性質、積分性質、位移性質、延遲性質 7.3 卷積及其性質 知識點：卷積的概念，卷積定理 7.4 拉普拉斯變換的應用 知識點：拉普拉斯變換在求解微分方程中的應用舉例 要求：掌握拉氏變換、拉氏變換的逆變換的定義以及相關的性質和定理，利用留數計算拉氏逆變換的方法以及拉氏變換在求解微分方程中的應

14、用。大致了解理想典型電子線性器件的時域和頻域的數學模型，為后續(xù)課程比較復雜的線性電系統或者比較復雜的線性力學系統的數學模型的建立、分析p 和控制做好理論、學識上準備。進一步如果有可能，基本理解時滯環(huán)節(jié)的頻域表達形式，并且與上述的線性系統有機結合，構建相對更加復雜的非線性系統的數學模型，為以后專業(yè)課上對此非線性系統的數學模型的分析p 、控制做好基礎的準備。為以后解決實際復雜工程問題做好知識上的儲備。 了解：拉氏變換在求解微分方程中的應用。 理解：拉氏變換的定義，反演積分公式。 掌握：拉氏變換的性質，利用留數計算拉氏逆變換的方法。 重點內容：拉氏變換的性質，拉氏變換的應用。 教學難點：利用留數計算

15、拉氏逆變換。 三、教學方法 主要通過實函數與復函數的對比，引導學生自己發(fā)現兩者之間的聯系和不同，從而總結出復變函數的一些特征和結論。以此培養(yǎng)學生分析p 問題解決問題的能力，培養(yǎng)學生通過已經解決過的問題分析p 出未知問題的規(guī)律以及癥結所在。在積分變換的教學過程中，主要通過由傅里葉變換得到拉普拉斯變換的特征和性質。從而培養(yǎng)學生解決問題的能力。讓學生知道解決問題的一般方法：由特殊現象到一般規(guī)律，再由一般規(guī)律來得到特殊情況的解決方法。傳統教學手段與現代教學手段相結合，由于總學時的限制，以傳統教學手段為主，采用多媒體輔助教學的教學手段。在教學方式上，根據具體教學內容，綜合運用課堂講授和演示、課堂討論、課

16、堂練習、發(fā)現學習法和自學指導法，通過引入問題和啟發(fā)式教學，使學生更加明確教學內容的知識體系，引導學生主動學習，激發(fā)內在學習動機，提高課堂的積極性。在教學過程中，引導學生發(fā)現問題，思考解決方案，為后續(xù)教學內容作鋪墊。 作業(yè)是本課程的主要實踐環(huán)節(jié)，每次課程均應有相應的作業(yè)作為學生的練習。作業(yè)分為兩種類型：一種為必做題，另一種為選做題，學生根據自己的實際情況選擇做題。 輔導答疑方式有隨堂答疑、作業(yè)集中答疑、QQ或 WE CHAT答疑、E-MAIL答疑和定點、定時間的答疑，期中考試、期末考試前分別安排一次集中答疑。 在教學方法的實際執(zhí)行過程中，每個教學環(huán)節(jié)都應具有明確的目的性。同時，以上教學方法需要根

17、據教學過程中的實際效果、學生對知識點的掌握和應用情況不斷改進。教學效果不好、學生對知識點理解程度不高時，應適當調整教學方法，適當增加演示法或實驗訓練法，或在講授后續(xù)教學內容時，引導學生前后聯系，結合前置難點內容進行討論，強化知識掌握。在學生對知識掌握情況較好，系統性較好、實驗訓練效果較好的情況下，適當提高教學內容或實驗內容的難度，或增加發(fā)現學習法和自學指導法，設置具體應用問題，引導學生探索解決方案。 四、考核及成績評定方式 考核方式：閉卷筆試，期中考試、期末考試以及平時作業(yè)。 成績評定方式：期中考試 20%、期末考試70%，平時作業(yè)10% 五、教材及參考書目 教材： 1 復變函數（第四版），西

18、安交大數學系 高等教育出版社，2022。 2 積分變換（第四版），東南大學數學系 高等教育出版社，2022。 參考書目： 1 復變函數與積分變換學習輔導與習題全解，高等教育出版，2022。 2 復變函數論（第三版）鐘玉泉 高等教育出版社，2022。 2022年7月修訂 復變函數與積分變換復習題1， 將下列復數化為三角形式與指數形式1)z2i;2)zsin3icos3;3）z1icot,2.4）z1cosisin,0.(cos5isin5)25）z 3(cos3isin3)2， 求下列函數的輻角1)z;2z)n)3）求下列復數的模1)z45）設n為正整數，證明下式成立3n13n11.6）證明函數

19、f(z)1i4n11i4n1? Re(z)當z0時極限不存在； zz當z0時極限不存在； z1zz()當z0時極限不存在； 2izz7）證明函數f(z)8）證明函數f(z)Re(z2)2,z029)證明函數f(z)在z=0點連續(xù)。 z0,z0 x3y(yix),z042f(z)10)證明函數在z=0點連續(xù)。 xy0,z011）判斷f(z)x2yi是否可導。12）判斷函數的解析性1）z;2）zRe(z)；13）證明函數f(z)z=0處滿足C-R方程，但是不可導。（P33）14）已知調和函數u(x,y)x2y2xy，求一解析函數f(z)u(x,y)iv(x,y) 使得f(0)0，并求出df(z).

20、dz15）驗證以下函數為調和函數，并求出以zxiy為自變量的解析函數wf(z)uiv.1)u(x,y)(xy)(x24xyy2)16)解方程sinzish1.17）求Ln(i),Ln(34i)和它們的主值。18）求ii,3i,(1i)i的值。19）解方程lnz2i20）計算6czdz.（1）C：ii的直線段;（2）C：左半平面以原點為中心逆時針方向的單位半圓周.21）計算積分dz(nZ).n(zz)0CC:zz0r0.22）計算積分dz,zCdz,zCCdzz,C:z1.23）計算積分1dz,C為包含0與1的任何正向簡單閉曲線.2zzCez24）計算積分,其中C:z1,a為a1的任何復數.3(za)C25）計算積分3z2,其中C:z(1i) 4z1Cez26）計算積分,其中C:zr(r1,2).z(z1)(z2)C27）計算積分z,其中C:z2.2(9z)(zi)Ccosz,其中C:z2.5(z1)C28）計算積分ez