數(shù)學史話（2）中國數(shù)學史

1、2、中 國 數(shù) 學 史 數(shù)學是中國古代科學中一門重要的學科，根據(jù)中國古代數(shù)學發(fā)展的特點，可以分為五個時期：萌芽；體系的形成；發(fā)展；繁榮和中西方數(shù)學的融合。中國古代數(shù)學的萌芽原始公社末期，私有制和貨物交換產生以后，數(shù)與形的概念有了進一步的發(fā)展，仰韶文化時期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號。到原始公社末期，已開始用文字符號取代結繩記事了。西安半坡出土的陶器有用18個圓點組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創(chuàng)造了規(guī)、矩、準、繩等作圖與測量工具。據(jù)史記夏本紀記載，夏禹治水時已使用了這些工具。商代中期，在甲骨文中已產

2、生一套十進制數(shù)字和記數(shù)法，其中最大的數(shù)字為三萬；與此同時，殷人用十個天干和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期；在周 代，又把以前用陰、陽符號構成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十四卦，表示64種事物。公元前一世紀的周髀算經(jīng)提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠的方法，并舉出勾股形的勾三、股四、弦五以及環(huán)矩可以為圓等例子。禮記內則篇提到西周貴族子弟從九歲開始便要學習數(shù)目和記數(shù)方法，他們要受禮、樂、射、馭、書、數(shù)的訓練，作為“六藝”之一的數(shù)已經(jīng)開始成為專門的課程。春秋戰(zhàn)國之際，籌算已得到普遍的應用，籌算記數(shù)法已使用十進位值制，這種記數(shù)法對世界數(shù)學的發(fā)展是有劃時代意義的。這個時期

3、的測量數(shù)學在生產上有了廣泛應用，在數(shù)學上亦有相應的提高。戰(zhàn)國時期的百家爭鳴也促進了數(shù)學的發(fā)展，尤其是對于正名和一些命題的爭論直接與數(shù)學有關。名家認為經(jīng)過抽象以后的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出“矩不方，規(guī)不可以為圓”，把“大一”(無窮大)定義為“至大無外”，“小一”(無窮小)定義為“至小無內”。還提出了“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等命題. 而墨家則認為名來源于物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數(shù)學定義。例如圓、方、平、直、次(相切)、端(點)等等。墨家不同意“一尺之棰”的命題，提出一個“非半”的命題來進行反駁：將一線段按一半一半地無限分割下去，就必將出現(xiàn)一個不能再分

4、割的“非半”，這個“非半”就是點。名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列，墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結果。名家和墨家的數(shù)學定義和數(shù)學命題的討論，對中國古代數(shù)學理論的發(fā)展是很有意義的。中國古代數(shù)學體系的形成秦漢是封建社會的上升時期，經(jīng)濟和文化均得到迅速發(fā)展。中國古代數(shù)學體系正是形成于這個時期，它的主要標志是算術已成為一個專門的學科，以及以九章算術為代表的數(shù)學著作的出現(xiàn)。九章算術是戰(zhàn)國、秦、漢封建社會創(chuàng)立并鞏固時期數(shù)學發(fā)展的總結，就其數(shù)學成就來說，堪稱是世界數(shù)學名著。例如分數(shù)四則運算、今有術(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數(shù)值解法)、盈不足術(西方稱雙設法)、各種面

5、積和體積公式、線性方程組解法、正負數(shù)運算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數(shù)的方法)等，水平都是很高的。其中方程組解法和正負數(shù)加減法則在世界數(shù)學發(fā)展上是遙遙領先的。就其特點來說，它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數(shù)學完全不同的獨立體系。九章算術有幾個顯著的特點：采用按類分章的數(shù)學問題集的形式；算式都是從籌算記數(shù) 法發(fā)展起來的；以算術、代數(shù)為主，很少涉及圖形性質；重視應用，缺乏理論闡述等。這些特點是同當時社會條件與學術思想密切相關的。秦漢時期，一切科學技術都要為當時確立和鞏固封建制度，以及發(fā)展社會生產服務，強調數(shù)學的應用性。最后成書于東漢初年的九章算術，排除了戰(zhàn)國時期在百家爭鳴中出現(xiàn)

6、的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論，偏重于與當時生產、生活密切相結合的數(shù)學問題及其解法，這與當時社會的發(fā)展情況是完全一致的。九章算術在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本，并成為這些國家當時的數(shù)學教科書。它的一些成就如十進位值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯，并通過印度、阿拉伯傳到歐洲，促進了世界數(shù)學的發(fā)展。中國古代數(shù)學的發(fā)展魏、晉時期出現(xiàn)的玄學，不為漢儒經(jīng)學束縛，思想比較活躍；它詰辯求勝，又能運用邏輯思維，分析義理，這些都有利于數(shù)學從理論上加以提高。吳國趙爽注周髀算經(jīng)，漢末魏初徐岳撰九章算術注，魏末晉初劉徽撰九章算術注、九章重差圖都是出現(xiàn)在這個時期。趙爽與劉徽的工作趙爽是中國古代對數(shù)學定理和公

7、式進行證明與推導的最早的數(shù)學家之一。他在周髀算經(jīng)書中補充的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是十分重要的數(shù)學文獻。在“勾股圓方圖及注”中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的五個公式；在“日高圖及注”中，他用圖形面積證明漢代普遍應用的重差公式，趙爽的工作是帶有開創(chuàng)性的，在中國古代數(shù)學發(fā)展中占有重要地位。劉徽約與趙爽同時，他繼承和發(fā)展了戰(zhàn)國時期名家和墨家的思想，主張對一些數(shù)學名詞特別是重要的數(shù)學概念給以嚴格的定義，認為對數(shù)學知識必須進行“析理”，才能使數(shù)學著作簡明嚴密，利于讀者。他的九章算術注不僅是對九章算術的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，而且在論述的過程中有很大的發(fā)展。劉徽創(chuàng)造割圓術，利

8、用極限的思想證明圓的面積公式，并首次用理論的方法算得圓周率為 157/50和 3927/1250。劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為2:1，解決了一般立體體積的關鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺的體積時，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。東晉以后，中國長期處于戰(zhàn)爭和南北分裂的狀態(tài)。祖沖之父子的工作就是經(jīng)濟文化南移以后，南方數(shù)學發(fā)展的具有代表性的工作，他們在劉徽注九章算術的基礎上，把傳統(tǒng)數(shù)學大大向前推進了一步。他們的數(shù)學工作主要有：計算出圓周率在3.14159263.1415927之間；提出祖(日恒)原理；提出二次與三次方程的解法等。據(jù)推測，祖沖之在劉徽割圓術的基

9、礎上，算出圓內接正6144邊形和正12288邊形的面積，從而得到了這個結果。他又用新的方法得到圓周率兩個分數(shù)值，即約率22/7和密率355/113。祖沖之這一工作，使中國在圓周率計算方面，比西方領先約一千年之久；祖沖之之子祖(日恒)總結了劉徽的有關工作，提出“冪勢既同則積不容異”，即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等，這就是著名的祖(日恒)公理。祖(日恒)應用這個公理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。隋煬帝好大喜功，大興土木，客觀上促進了數(shù)學的發(fā)展。唐初王孝通的緝古算經(jīng)，主要討論土木工程中計算土方、工程分工、驗收以及倉庫和地窖的計算問題，反映了這個時期數(shù)學的情況。王

10、孝通在不用數(shù)學符號的情況下，立出數(shù)字三次方程，不僅解決了當時社會的需要，也為后來天元術的建立打下基礎。此外，對傳統(tǒng)的勾股形解法，王孝通也是用數(shù)字三次方程解決的。唐初封建統(tǒng)治者繼承隋制，656年在國子監(jiān)設立算學館，設有算學博士和助教，學生30人。由太史令李淳風等編纂注釋算經(jīng)十書，作為算學館學生用的課本，明算科考試亦以這些算書為準。李淳風等編纂的算經(jīng)十書，對保存數(shù)學經(jīng)典著作、為數(shù)學研究提供文獻資料方面是很有意義的。他們給周髀算經(jīng)、九章算術以及海島算經(jīng)所作的注解，對讀者是有幫助的。隋唐時期，由于歷法的需要，天算學家創(chuàng)立了二次函數(shù)的內插法，豐富了中國古代數(shù)學的內容。 算籌是中國古代的主要計算工具，它具

11、有簡單、形象、具體等優(yōu)點，但也存在布籌占用面積大，運籌速度加快時容易擺弄不正而造成錯誤等缺點，因此很早就開始進行改革。其中太乙算、兩儀算、三才算和珠算都是用珠的槽算盤，在技術上是重要的改革。尤其是“珠算”，它繼承了籌算五升十進與位值制的優(yōu)點，又克服了籌算縱橫記數(shù)與置籌不便的缺點，優(yōu)越性十分明顯。但由于當時乘除算法仍然不能在一個橫列中進行。算珠還沒有穿檔，攜帶不方便，因此仍沒有普遍應用。唐中期以后，商業(yè)繁榮，數(shù)字計算增多，迫切要求改革計算方法，從新唐書等文獻留下來的算書書目，可以看出這次算法改革主要是簡化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一個橫列中進行運算，它既適用于籌算，也適用于珠算。中

12、國古代數(shù)學的繁榮 960年，北宋王朝的建立結束了五代十國割據(jù)的局面。北宋的農業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學技術突飛猛進，火藥、指南針、印刷術三大發(fā)明就是在這種經(jīng)濟高漲的情況下得到廣泛應用。1084年秘書省第一次印刷出版了算經(jīng)十書，1213年鮑搟之又進行翻刻。這些都為數(shù)學發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。從1114世紀約300年期間，出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學家和數(shù)學著作，如賈憲的黃帝九章算法細草，劉益的議古根源，秦九韶的數(shù)書九章，李冶的測圓海鏡和益古演段，楊輝的詳解九章算法日用算法和楊輝算法，朱世杰的算學啟蒙四元玉鑒等，很多領域都達到古代數(shù)學的高峰，其中一些成就也是當時世界數(shù)學的高峰從開平方、開立方到四次以上的

13、開方，在認識上是一個飛躍，實現(xiàn)這個飛躍的就是賈憲。楊輝在九章算法纂類中載有賈憲“增乘開平方法”、“增乘開立方法”；在詳解九章算法中載有賈憲的“開方作法本源”圖、“增乘方法求廉草”和用增乘開方法開四次方的例子。根據(jù)這些記錄可以確定賈憲已發(fā)現(xiàn)二項系數(shù)表，創(chuàng)造了增乘開方法。這兩項成就對整個宋元數(shù)學發(fā)生重大的影響，其中賈憲三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。把增乘開方法推廣到數(shù)字高次方程(包括系數(shù)為負的情形)解法的是劉益。楊輝算法中“田畝比類乘除捷法”卷，介紹了原書中22個二次方程和 1個四次方程，后者是用增乘開方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在數(shù)書九章中收

14、集了21個用增乘開方法解高次方程(最高次數(shù)為10)的問題。為了適應增乘開方法的計算程序，奏九韶把常數(shù)項規(guī)定為負數(shù)，把高次方程解法分成各種類型。當方程的根為非整數(shù)時，秦九韶采取繼續(xù)求根的小數(shù)，或用減根變換方程各次冪的系數(shù)之和為分母，常數(shù)為分子來表示根的非整數(shù)部分，這是九章算術和劉徽注處理無理數(shù)方法的發(fā)展。在求根的第二位數(shù)時，秦九韶還提出以一次項系數(shù)除常數(shù)項為根的第二位數(shù)的試除法，這比西方最早的霍納方法早500多年。 元代天文學家王恂、郭守敬等在授時歷中解決了三次函數(shù)的內插值問題。秦九韶在“綴術推星”題、朱世杰在四元玉鑒“如象招數(shù)”題都提到內插法(他們稱為招差術)，朱世杰得到一個四次函數(shù)的內插公式

15、。用天元(相當于x)作為未知數(shù)符號，立出高次方程，古代稱為天元術，這是中國數(shù)學史上首次引入符號，并用符號運算來解決建立高次方程的問題?，F(xiàn)存最早的天元術著作是李冶的測圓海鏡。從天元術推廣到二元、三元和四元的高次聯(lián)立方程組，是宋元數(shù)學家的又一項杰出的創(chuàng)造留傳至今，并對這一杰出創(chuàng)造進行系統(tǒng)論述的是朱世杰的四元玉鑒。朱世杰的四元高次聯(lián)立方程組表示法是在天元術的基礎上發(fā)展起來的，他把常數(shù)放在中央，四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上，其他各項放在四個象限中。朱世杰的最大貢獻是提出四元消元法，其方法是先擇一元為未知數(shù)，其他元組成的多項式作為這未知數(shù)的系數(shù)，列成若干個一元高次方程式，然后應用互乘相消法逐

16、步消去這一未知數(shù)。重復這一步驟便可消去其他未知數(shù)，最后用增乘開方法求解。這是線性方法組解法的重大發(fā)展，比西方同類方法早400多年。勾股形解法在宋元時期有新的發(fā)展，朱世杰在算學啟蒙卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，補充了九章算術的不足。李冶在測圓海鏡對勾股容圓問題進行了詳細的研究，得到九個容圓公式，大大豐富了中國古代幾何學的內容。已知黃道與赤道的夾角和太陽從冬至點向春分點運行的黃經(jīng)余弧，求赤經(jīng)余弧和赤緯度數(shù)，是一個解球面直角三角形的問題，傳統(tǒng)歷法都是用內插法進行計算。元代王恂、郭守敬等則用傳統(tǒng)的勾股形解法、沈括用會圓術和天元術解決了這個問題。不過他們得到的是一個近似公式，結果不夠精確。

17、但他們的整個推算步驟是正確無誤的，從數(shù)學意義上講，這個方法開辟了通往球面三角法的途徑。中國古代計算技術改革的高潮也是出現(xiàn)在宋元時期。宋元明的歷史文獻中載有大量這個時期的實用算術書目，其數(shù)量遠比唐代為多，改革的主要內容仍是乘除法。與算法改革的同時，穿珠算盤在北宋可能已出現(xiàn)。但如果把現(xiàn)代珠算看成是既有穿珠算盤，又有一套完善的算法和口訣，那么應該說它最后完成于元代。宋元數(shù)學的繁榮，是社會經(jīng)濟發(fā)展和科學技術發(fā)展的必然結果，是傳統(tǒng)數(shù)學發(fā)展的必然結果。此外，數(shù)學家們的科學思想與數(shù)學思想也是十分重要的。宋元數(shù)學家都在不同程度上反對理學家的象數(shù)神秘主義。秦九韶雖曾主張數(shù)學與道學同出一源，但他后來認識到，“通神

18、明”的數(shù)學是不存在的，只有“經(jīng)世務類萬物”的數(shù)學；莫若在四元玉鑒序文中提出的“用假象真，以虛問實”則代表了高度抽象思維的思想方法；楊輝對縱橫圖結構進行研究，揭示出洛書的本質，有力地批判了象數(shù)神秘主義。所有這些，無疑是促進數(shù)學發(fā)展的重要因素。中西方數(shù)學的融合 中國從明代開始進入了封建社會的晚期，封建統(tǒng)治者實行極權統(tǒng)治，宣傳唯心主義哲學，施行八股考試制度。在這種情況下，除珠算外，數(shù)學發(fā)展逐漸衰落。16世紀末以后，西方初等數(shù)學陸續(xù)傳入中國，使中國數(shù)學研究出現(xiàn)一個中西融合貫通的局面；鴉片戰(zhàn)爭以后，近代數(shù)學開始傳入中國，中國數(shù)學便轉入一個以學習西方數(shù)學為主的時期；到19世紀末20世紀初，近代數(shù)學研究才真

19、正開始。從明初到明中葉，商品經(jīng)濟有所發(fā)展，和這種商業(yè)發(fā)展相適應的是珠算的普及。明初魁本對相四言雜字和魯班木經(jīng)的出現(xiàn)，說明珠算已十分流行。前者是兒童看圖識字的課本，后者把算盤作為家庭必需用品列入一般的木器家具手冊中。隨著珠算的普及，珠算算法和口訣也逐漸趨于完善。例如王文素和程大位增加并改善撞歸、起一口訣；徐心魯和程大位增添加、減口訣并在除法中廣泛應用歸除，從而實現(xiàn)了珠算四則運算的全部口訣化；朱載墑和程大位把籌算開平方和開立方的方法應用到珠算，程大位用珠算解數(shù)字二次、三次方程等等。程大位的著作在國內外流傳很廣，影響很大。1582年，意大利傳教士利瑪竇到中國，1607年以后，他先后與徐光啟翻譯了幾何

20、原本前六卷、測量法義一卷，與李之藻編譯圜容較義和同文算指。1629年，徐光啟被禮部任命督修歷法，在他主持下，編譯崇禎歷書137卷。崇禎歷書主要是介紹歐洲天文學家第谷的地心學說。作為這一學說的數(shù)學基礎，希臘的幾何學，歐洲玉山若干的三角學，以及納皮爾算籌、伽利略比例規(guī)等計算工具也同時介紹進來。在傳入的數(shù)學中，影響最大的是幾何原本。幾何原本是中國第一部數(shù)學翻譯著作，絕大部分數(shù)學名詞都是首創(chuàng)，其中許多至今仍在沿用。徐光啟認為對它“不必疑”、“不必改”，“舉世無一人不當學”。幾何原本是明清兩代數(shù)學家必讀的數(shù)學書，對他們的研究工作頗有影響。 其次應用最廣的是三角學，介紹西方三角學的著作有大測割圓八線表和測

21、量全義。大測主要說明三角八線(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢)的性質，造表方法和用表方法。測量全義除增加一些大測所缺的平面三角外，比較重要的是積化和差公式和球面三角。所有這些，在當時歷法工作中都是隨譯隨用的。1646年，波蘭傳教士穆尼閣來華，跟隨他學習西方科學的有薛鳳柞、方中通等。穆尼閣去世后，薛鳳柞據(jù)其所學，編成歷學會通，想把中法西法融會貫通起來。歷學會通中的數(shù)學內容主要有比例對數(shù)表比例四線新表和三角算法。前兩書是介紹英國數(shù)學家納皮爾和布里格斯發(fā)明增修的對數(shù)。后一書除崇禎歷書介紹的球面三角外，尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式、納氏比例式等。方中通所著數(shù)度衍對對數(shù)理論進行解釋

22、。對數(shù)的傳入是十分重要，它在歷法計算中立即就得到應用。清初學者研究中西數(shù)學有心得而著書傳世的很多，影響較大的有王錫闡圖解、梅文鼎梅氏叢書輯要(其中數(shù)學著作13種共40卷)、年希堯視學等。梅文鼎是集中西數(shù)學之大成者。他對傳統(tǒng)數(shù)學中的線性方程組解法、勾股形解法和高次冪求正根方法等方面進行整理和研究，使瀕于枯萎的明代數(shù)學出現(xiàn)了生機。年希堯的視學是中國第一部介紹西方透視學的著作。 清康熙皇帝十分重視西方科學，他除了親自學習天文數(shù)學外，還培養(yǎng)了一些人才和翻譯了一些著作。1712年康熙皇帝命梅彀成任蒙養(yǎng)齋匯編官，會同陳厚耀、何國宗、明安圖、楊道聲等編纂天文算法書。1721年完成律歷淵源100卷，以康熙“御

23、定”的名義于1723年出版。其中數(shù)理精蘊主要由梅彀成負責，分上下兩編，上編包括幾何原本、算法原本，均譯自法文著作；下編包括算術、代數(shù)、平面幾何平面三角、立體幾何等初等數(shù)學，附有素數(shù)表、對數(shù)表和三角函數(shù)表。由于它是一部比較全面的初等數(shù)學百科全書，并有康熙“御定”的名義，因此對當時數(shù)學研究有一定影響。 綜上述可以看到，清代數(shù)學家對西方數(shù)學做了大量的會通工作，并取得許多獨創(chuàng)性的成果。這些成果，如和傳統(tǒng)數(shù)學比較，是有進步的，但和同時代的西方比較則明顯落后了。 雍正即位以后，對外閉關自守，導致西方科學停止輸入中國，對內實行高壓政策，致使一般學者既不能接觸西方數(shù)學，又不敢過問經(jīng)世致用之學，因而埋頭于究治古籍。乾嘉年間逐漸形成一個以考據(jù)學為主的乾嘉學派。 隨著算經(jīng)十書與宋元數(shù)學著作的收集與注釋，出現(xiàn)了一個研究傳統(tǒng)數(shù)學的高潮