三角函數(shù)推導(dǎo)公式與公式大全

1、 24/24 銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)三角關(guān)系倒數(shù)關(guān)系：tan HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=65053878 t /_blank cot=1sin HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=625035 t /_blank csc=1cos HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=775662 t /_blank sec=1商的關(guān)系：平方關(guān)系：三角函數(shù)公式公式相關(guān) HYPERLINK /Create.e;jsessionid=00EB9B985A0

2、69842B95B6E2401C5F4C4?sp=2&sp=l221238&sp=2 o 編輯本段 編輯兩角和公式cos（+）=coscos- HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=657153 t /_blank sinsincos（-）=coscos+sinsinsin（+）=sincos+cossinsin（-）=sincos -cossin HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=657166 t /_blank tan（+）=(tan+tan）/（1-tantan）tan（-）=(tan-t

3、an）/（1+tantan）cot(A+B) = (cotAcotB-1）/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1）/(cotB-cotA)三角和公式sin（+）=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos（+）=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos誘導(dǎo)公式 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=3609 t /_blank 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（六公式） HYPERLINK /v221238.htm?fromTitle=%E4%B8%8

4、9%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%85%AC%E5%BC%8F l quote1 1公式一：sin(+k*2)=sincos(+k*2)=costan(+k*)=tan公式二：sin(+) = -sincos(+) = -costan(+）=tan公式三：sin(-) = -sincos(-) = costan (-)=-tan公式四：sin(-) = sincos(-) = -costan(-) =-tan公式五：sin(/2-) = coscos(/2-) =sin由于/2+=-（/2-），由公式四和公式五可得公式六：sin(/2+) = coscos(/2+

5、) = -sin誘導(dǎo)公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=244347 t /_blank 象限。倍角公式二倍角正弦sin2A=2sinAcosA余弦三倍角 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=300326 t /_blank 三倍角公式sin3=4sinsin（/3+）sin（/3-）cos3=4coscos（/3+）cos（/3-）tan3a = tan a tan（/3+a） tan（/3-a)三倍角公式推導(dǎo)sin（3a)=sin(a+2a)=sin2aco

6、sa+cos2asina=2sina（1-sin2a)+（1-2sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a HYPERLINK /v221238.htm?fromTitle=%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%85%AC%E5%BC%8F l quote2 2=cos（2a+a)=cos2acosa-sin2asina=（2cos2a-1）cosa-2（1-cos2a)cosa=4cos3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sina（3/4-sin2a)=4sina（3/2）-sina（3/2）+sina=4sina(

7、sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin（60+a)/2cos（60-a)/2*2sin（60-a)/2cos（60+a)/2=4sinasin（60+a)sin（60-a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4）=4cosacos2a-（3/2）2=4cosa(cosa-cos30）(cosa+cos30）=4cosa*2cos(a+30）/2cos(a-30）/2*-2sin(a+30）/2sin(a-30）/2=-4cosasin(a+30）sin(a-30）=-4cosasin90-（60-a)sin-90+（60+a)=-4c

8、osacos（60-a)-cos（60+a)=4cosacos（60-a)cos（60+a)上述兩式相比可得tan3a=tanatan（60-a)tan（60+a)三倍角sin3=3sin-4sin3 =4sinsin（/3+）sin（/3-）cos3=4cos3 -3cos=4coscos（/3+）cos（/3-）tan3=tan（）*(-3+tan（）2）/(-1+3*tan（）2）=tan a tan（/3+a） tan（/3-a)其他多倍角四倍角sin4A=-4*(cosA*sinA*（2*sinA2-1）cos4A=1+(-8*cosA2+8*cosA4）tan4A=（4*tanA-

9、4*tanA3）/（1-6*tanA2+tanA4）五倍角sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinAcos5A=16cosA5-20cosA3+5cosAtan5A=tanA*（5-10*tanA2+tanA4）/（1-10*tanA2+5*tanA4）六倍角sin6A=2*(cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*(-3+4*sinA2）cos6A=(-1+2*cosA)*（16*cosA4-16*cosA2+1）tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5）/(-1+15*tanA-15*tanA4+tanA6）七倍角sin7A=-(s

10、inA*（56*sinA2-112*sinA4-7+64*sinA6）cos7A=(cosA*（56*cosA2-112*cosA4+64*cosA6-7）tan7A=tanA*(-7+35*tanA2-21*tanA4+tanA6）/(-1+21*tanA2-35*tanA4+7*tanA6）八倍角sin8A=-8*(cosA*sinA*（2*sinA2-1）*(-8*sinA2+8*sinA4+1）cos8A=1+（160*cosA4-256*cosA6+128*cosA8-32*cosA2）tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA2-7*tanA4+tanA6）/（1-28*ta

11、nA2+70*tanA4-28*tanA6+tanA8）九倍角sin9A=(sinA*(-3+4*sinA2）*（64*sinA6-96*sinA4+36*sinA2-3）cos9A=(cosA*(-3+4*cosA2）*（64*cosA6-96*cosA4+36*cosA2-3）tan9A=tanA*（9-84*tanA2+126*tanA4-36*tanA6+tanA8）/（1-36*tanA2+126*tanA4-84*tanA6+9*tanA8）十倍角sin10A = 2*(cosA*sinA*（4*sinA HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lem

12、maId=2935003 t /_blank 2+2*sinA-1）*（4*sinA2-2*sinA-1）*(-20*sinA2+5+16*sinA4）cos10A = (-1+2*cosA2）*（256*cosA8-512*cosA6+304*cosA4-48*cosA2+1）tan10A = -2*tanA*（5-60*tanA2+126*tanA4-60*tanA6+5*tanA8）/(-1+45*tanA2-210*tanA4+210*tanA6-45*tanA8+tanA10）N倍角根據(jù) HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=83082

13、05 t /_blank 棣莫弗定理，（cos+ i sin）n = cos(n）+ i sin(n）為方便描述，令sin=s，cos=c考慮n為 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=70214187 t /_blank 正整數(shù)的情形：cos(n）+ i sin(n） = (c+ i s)n = C(n,0)*cn + C(n,2）*c(n-2）*(i s)2 + C(n,4）*c(n- 4）*(i s)4 + . +C(n,1）*c(n-1）*(i s)1 + C(n,3）*c(n-3）*(i s)3 + C(n,5）*c(n-5）*(i s

14、)5 + . =；比較兩邊的實部與 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=54716599 t /_blank 虛部實部：cos(n）=C(n,0)*cn + C(n,2）*c(n-2）*(i s)2 + C(n,4）*c(n-4）*(i s)4 + . i*虛部：i*sin(n）=C(n,1）*c(n-1）*(i s)1 + C(n,3）*c(n-3）*(i s)3 + C(n,5）*c(n-5）*(i s)5 + . 對所有的 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=213727 t /_blan

15、k 自然數(shù)n：cos(n）：公式中出現(xiàn)的s都是偶次方，而s2=1-c2（平方關(guān)系），因此全部都可以改成以c（也就是cos）表示。sin(n）：當n是奇數(shù)時：公式中出現(xiàn)的c都是偶次方，而c2=1-s2（平方關(guān)系），因此全部都可以改成以s（也就是sin）表示。當n是偶數(shù)時：公式中出現(xiàn)的c都是奇次方，而c2=1-s2（平方關(guān)系），因此即使再怎么換成s，都至少會剩c（也就是 cos）的一次方無法消掉。例. c3=c*c2=c*（1-s2），c5=c*(c2）2=c*（1-s2）2）特殊公式（ HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=657153 t /_b

16、lank sina+sin）*（sina-sin）=sin（a+）*sin（a-）證明：（sina+sin）*（sina-sin）=2 sin（+a)/2 cos(a-)/2 *2 cos（+a)/2 sin(a-）/2=sin（a+）*sin（a-）坡度公式我們通常把坡面的鉛直高度h與水平寬度l的比叫做坡度（也叫 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=7475717 t /_blank 坡比），用字母i表示，即i=h / l,坡度的一般形式寫成l : m形式，如i=1:5.如果把坡面與 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLin

17、k.htm?lemmaId=8329268 t /_blank 水平面的夾角記作a（叫做 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=254837 t /_blank 坡角），那么i=h/l=tan a.半角公式tan2（/2）=（1-cos）/（1+cos）sin2(A/2）=1-cos(A)/2cos2(A/2）=1+cos(A)/2 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=697858 t /_blank 半角公式萬能公式 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemm

18、aId=7642138 t /_blank 萬能公式 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=657153 t /_blank sin=2tan（/2）/1+(tan（/2）2cos=1-(tan（/2）2/1+(tan（/2）2tan=2tan（/2）/1-(tan（/2）2輔助角公式注:該公式又稱 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=71110779 t /_blank 收縮公式/ 強提公式 / HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=6685452

19、6 t /_blank 化一公式等 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=170456 t /_blank asin+ HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=71504357 t /_blank bcos=(a2+b2)sin(+)，其中 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=657166 t /_blank tan=b/aasinA+bcosB= HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=3096568 t

20、 /_blank 根號下a方+b方（根號下a方+b方分之a(chǎn)sinA+根號下a方+b方分之bcosB) 令根號下a方+b方分之a(chǎn)=cosC 則根號下a方+b方分之b=sinC asinA+bcosB=根號下a方+b方（sinAcosC+cosBsinC)=根號下a方+b方sin(A+C)三角規(guī)律 HYPERLINK /Create.e;jsessionid=00EB9B985A069842B95B6E2401C5F4C4?sp=2&sp=l221238&sp=11 o 編輯本段 編輯 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=3609 t /_blan

21、k 三角函數(shù)看似很多，很復(fù)雜，但只要掌握了三角函數(shù)的本質(zhì)及內(nèi)部規(guī)律就會發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)各個公式之間有強大的聯(lián)系。而掌握三角函數(shù)的內(nèi)部規(guī)律及本質(zhì)也是學(xué)好三角函數(shù)的關(guān)鍵所在。三角函數(shù)本質(zhì)：根據(jù)三角函數(shù)定義推導(dǎo)公式根據(jù)右圖，有sin=y/ r; cos=x/r; tan=y/x; HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=65053878 t /_blank cot=x/y深刻理解了這一點，下面所有的 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=63506141 t /_blank 三角公式都可以從這里出發(fā)推導(dǎo)出來，比

22、如以推導(dǎo)sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 為例：推導(dǎo)：首先畫 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=506292 t /_blank 單位圓交X軸于C，D，在單位圓上有任意A，B點。角AOD為，BOD為，旋轉(zhuǎn)AOB使OB與OD重合，形成新AOD。A(cos，sin），B(cos，sin），A(cos（-），sin（-）OA=OA=OB=OD=1,D（1,0)cos（-）-12+sin（-）2=(cos-cos）2+(sin-sin）2 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=1

23、74095 t /_blank 和差化積及 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=174105 t /_blank 積化和差用還原法結(jié)合上面公式可推出（換（a+b)/2與（a-b)/2）單位圓定義單位圓六個三角函數(shù)也可以依據(jù)半徑為一中心為原點的單位圓來定義。單位圓定義在實際計算上沒有大的價值；實際上對多數(shù)角它都依賴于 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=104417 t /_blank 直角三角形。但是單位圓定義的確允許三角函數(shù)對所有 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.

24、htm?lemmaId=315382 t /_blank 正數(shù)和負數(shù)輻角都有定義，而不只是對于在 0 和/2弧度之間的角。它也提供了一個圖象，把所有重要的三角函數(shù)都包含了。根據(jù) HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=1615239 t /_blank 勾股定理，單位圓的等式是：圖象中給出了用弧度度量的一些常見的角。逆時針方向的度量是正角，而順時針的度量是負角。設(shè)一個過原點的線，同x軸正半部分得到一個角，并與單位圓相交。這個交點的x和y坐標分別等于 cos和 sin。圖象中的三角形確保了這個公式；半徑等于斜邊且長度為1，所以有 sin=y/1 和c

25、os=x/1。單位圓可以被視為是通過改變鄰邊和對邊的長度，但保持斜邊等于 1的一種查看無限個三角形的方式。雙曲函數(shù) HYPERLINK /Create.e;jsessionid=00EB9B985A069842B95B6E2401C5F4C4?sp=2&sp=l221238&sp=12 o 編輯本段 編輯sh a = ea-e(-a)/2ch a = ea+e(-a)/2th a = HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=657153 t /_blank sinh(a)/cos h(a)公式一：設(shè)為 HYPERLINK /lemma/ShowIn

26、nerLink.htm?lemmaId=503469 t /_blank 任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2k+）= sincos（2k+）= cos HYPERLINK /v221238.htm?fromTitle=%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%85%AC%E5%BC%8F l quote3 3tan（2k+）= tancot（2k+）= cot公式二：設(shè)為任意角，+的 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=688285 t /_blank 三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系

27、：sin（+）= -sincos（+）= -costan（+）= tancot（+）= cot公式三：任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（-）= -sincos（-）= costan（-）= -tancot（-）= -cot公式四：利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（-）= sincos（-）= -costan（-）= -tancot（-）= -cot公式五：利用公式-和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2-）= -sincos（2-）= costan（2-）= -tancot（2-）= -cot公式六：/2及3/2與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

28、sin（/2+）= coscos（/2+）= -sintan（/2+）= -cotcot（/2+）= -tansin（/2-）= coscos（/2-）= sintan（/2-）= cotcot（/2-）= tansin（3/2+）= -coscos（3/2+）= sintan（3/2+）= -cotcot（3/2+）= -tansin（3/2-）= -coscos（3/2-）= -sintan（3/2-）= cotcot（3/2-）= tan（以上kZ)Asin（t+）+ Bsin（t+） =(A+2ABcos（-） sint + arcsin (Asin+Bsin） / A2 +B2 +2

29、ABcos（-）表示根號，包括中的內(nèi)容重要定理 HYPERLINK /Create.e;jsessionid=00EB9B985A069842B95B6E2401C5F4C4?sp=2&sp=l221238&sp=13 o 編輯本段 編輯正弦定理 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=132339 t /_blank 正弦定理：在ABC中，a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R其中，R為ABC的 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=506672 t /_blank 外接圓的半徑。余弦定理 H