新教材人教B版高中數(shù)學選擇性必修第一冊全冊書各章節(jié)課時練習題及章末綜合測驗含答案解析

1、人教B選擇性必修第一冊全冊練習題文檔中含有大量可修改的數(shù)學公式，在網(wǎng)頁中顯示可能會出現(xiàn)位置錯誤等情況，下載后均可正常顯示、編輯。第一章空間向量與立體幾何.-2-1.1空間向量及其運算.-2-1.1.1空間向量及其運算.-2-1.1.2空間向量基本定理.-9-1.1.3空間向量的坐標與空間直角坐標系.-17-1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用.-25-1.2.1空間中的點、直線與空間向量.-25-1.2.2空間中的平面與空間向量.-32-1.2.3直線與平面的夾角.-44-1.2.4二面角.-53-1.2.5空間中的距離.-70-第一章綜合測驗.-81-第二章平面解析幾何.-95-2.1坐標法.-

2、95-2.2直線及其方程.-102-2.2.1直線的傾斜角與斜率.-102-2.2.2直線的方程.-108-2.2.3兩條直線的位置關(guān)系.-119-2.2.4點到直線的距離.-126-2.3圓及其方程.-133-2.3.1圓的標準方程.-133-2.3.2圓的一般方程.-140-2.3.3直線與圓的位置關(guān)系.-146-2.3.4圓與圓的位置關(guān)系.-154-2.4曲線與方程.-162-2.5橢圓及其方程.-168-2.5.1橢圓的標準方程.-168-2.5.2橢圓的幾何性質(zhì).-176-2.6雙曲線及其方程.-186-2.6.1雙曲線的標準方程.-186-2.6.2雙曲線的幾何性質(zhì).-194-2.

3、7拋物線及其方程.-202-2.7.1拋物線的標準方程.-202-2.7.2拋物線的幾何性質(zhì).-209-第二章綜合訓練.-217-第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運算1.1.1空間向量及其運算1.下列命題中為真命題的是()A.向量與的長度相等B.將空間中所有的單位向量移到同一個起點,則它們的終點構(gòu)成一個圓C.空間向量就是空間中的一條有向線段D.不相等的兩個空間向量的模必不相等答案A2.下列向量的運算結(jié)果為零向量的是()A.+B.+D.+C.+答案C3.已知e1,e2為單位向量,且e1e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,ab,則實數(shù)k的值為()A.-6C.3B.6D.-3答

4、案B解析由題意可得ab=0,e1e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6.故選B.4.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a,點E,F分別是BC,AD的中點,則A.a2C.1a24答案C的值為()B.1a22D.3a24解析=1(+)122=1(+4)=1aa1+aa1=1a2.42245.(多選)已知四邊形ABCD為矩形,PA平面ABCD連接AC,BD,PB,PC,PD,則下列各組向量中,數(shù)量積一定為零的是()D.與A.與C.與答案BCDB.與=(+)(+)解析=+=-()2+()20.即=0,6.設(shè)e1,e2

5、是平面內(nèi)不共線的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D因為PA平面ABCD,所以PACD,又因為ADAB,ADPA,所以AD平面PAB,所以ADPB,所以=0,同理=0,因此B,C,D中的數(shù)量積均為0.故選B,C,D.三點共線,則k=.答案-87.化簡:1(a+2b-3c)+5(2-1+2)-3(a-2b+c)=.2323答案5a+9b-7c6268.如圖,平行六面體ABCD-ABCD中,AB=AD=1,AA=2,BAD=BAA=DAA=60,則AC的長為.解析|2=|+|2=2+2+2+2+29.在四面體ABCD中,E,F分別為棱AC,BD的中點,求證:+=

6、4.證明左邊=(+)+(+)答案112=12+12+22+211cos60+212cos60+212cos60=11,則|=11.=2+2=2(+)=4=右邊,得證.10.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是C1D1,D1D的中點,正方體的棱長為1.(1)求的余弦值;(2)求證:1.=1+1=1+1=11.(1)解1,=+=+2122因為=0,1=0,1=0,所以11=12+21=1.2又|=|=5,所以cos=2.25+1=+1,=1+1=-1(+1),(2)證明1=2所以1=0,所以1.11.已知空間向量a=(t,1,t),b=(t-2,t,1),則|a-b|的最小值為

7、()A.2B.3C.2D.4答案C解析a=(t,1,t),b=(t-2,t,1),a-b=(2,1-t,t-1),則|a-b|=22+(1-)2+(-1)2=2(-1)2+4,當t=1時,|a-b|取最小值為2.故選C.12.設(shè)平面上有四個互異的點A,B,C,D,已知(是()+-2)()=0,eqoac(,則)ABCA.直角三角形C.鈍角三角形答案BB.等腰三角形D.銳角三角形解析因為+-2=()+()=+,所以(+)(|)=|2-|2=0,所以|=|,即ABC是等腰三角形.13.如圖,已知PA平面ABC,ABC=120,PA=AB=BC=6,則PC等于()=+,所以2=2+2+2+2+2A.

8、62答案C解析因為B.6C.12D.144+2=36+36+36+236cos60=144,所以PC=12.14.給出下列幾個命題:方向相反的兩個向量是相反向量;若|a|=|b|,則a=b或a=-b;對于任意向量a,b,必有|a+b|a|+|b|.其中所有真命題的序號為.答案解析對于,長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量,故錯誤;對于,若|a|=|b|,則a與b的長度相等,但方向沒有任何聯(lián)系,故不正確;只有正確.15.等邊三角形ABC中,P在線段AB上,且=,若=,則實數(shù)的值為.答案1-22解析設(shè)|=a(a0),由題知,01.如圖,=-+,=-+故=()=(-)(1-)|=|2-|cosA=

9、a2-1a2,2|=(-1)|2=(-1)a2,則a2-1a2=(-1)a2,2解得=1-2=1+2舍.22,16.如圖,平面平面,ACAB,BDAB,且AB=4,AC=6,BD=8,用,表示=,|=.答案+229解析=+=+,2=(+)2=2+2+2-2+2-2=16+36+64=116,(1)化簡:1+2;|=229.17.已知ABCD-ABCD是平行六面體,AA的中點為E,點F為DC上一點,且DF=2DC.323(2)設(shè)點M是底面ABCD的中心,點N是側(cè)面BCCB對角線BC上的3分點(靠近C),4=+,試求,的值.設(shè)解(1)由AA的中點為E,得1=,又=,DF=2DC,因此2=2=.從而

10、1+2=+=.233323+3=1(+)+3(+)=1(-+(2)=+=124242)+3(+)=1+1+3,因此=1,=1,=3.4244244BM=2A1M,C1N=2B1N.設(shè)=a,=b,1=c.18.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分別是A1B,B1C1上的點,且(1)試用a,b,c表示向量;(2)若BAC=90,BAA1=CAA1=60,AB=AC=AA1=1,求MN的長.=1+11+1解(1)=11+111=1(c-a)+a+1(b-a)3333=1a+1b+1c.333(2)因為(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1+1+1+0+2111+21

11、11=5,所22以|a+b+c|=5,所以|=1|a+b+c|=5,即MN=5.33319.如圖所示,已知線段AB在平面內(nèi),線段AC,線段BDAB,且AB=7,AC=BD=24,線段BD與所成的角為30,求CD的長.解由AC,可知ACAB,過點D作DD1,D1為垂足,連接BD1,則DBD1為BD與所成的角,即DBD1=30,所以BDD1=60,因為AC,DD1,所以ACDD1,所以=60,所以=120.又=+,|所以|2=(+)2=|2+|2+|2+2+2+2.因為BDAB,ACAB,所以=0,=0.|故|2=|2+|2+|2+2=242+72+242+22424cos120=625,所以|=

12、25,即CD的長是25.又=+,20.如圖所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA平面ABCD(點P位于平面ABCD的上方),則邊BC上是否存在點Q,使?解假設(shè)存在點Q(點Q在邊BC上),使,連接AQ,因為PA平面ABCD,所以PAQD.所以=+=0.又=0,所以=0,所以.即點Q在以邊AD為直徑的圓上,圓的半徑為.2又AB=1,所以當=1,即a=2時,該圓與邊BC相切,存在1個點Q滿足題意;2當1,即a2時,該圓與邊BC相交,存在2個點Q滿足題意;2當1,即a2時,該圓與邊BC相離,不存在點Q滿足題意.2綜上所述,當a2時,存在點Q,使;當0a0,得A為銳角;由0,得C為銳角;由0,

13、得B為銳角.5.(多選)如圖所示,設(shè)Ox,Oy是平面內(nèi)相交成()角的兩條數(shù)軸,e1,e2分別是與答案Aeqoac(,所以)ABC為銳角三角形.2x,y軸正方向同向的單位向量,則稱平面坐標系xOy為反射坐標系,若=xe1+ye2,則把有序數(shù)對(x,y)叫做向量的反射坐標,記為=(x,y),在=2的反射坐標系3中,a=(1,2),b=(2,-1).則下列結(jié)論正確的是()A.a-b=(-1,3)C.abB.|a|=3D.ab答案AB解析a-b=(e1+2e2)-(2e1-e2)=-e1+3e2,則a-b=(-1,3),故A正確;322|a|=(1+22)2=5+4cos2=3,故B正確;ab=(e1

14、+2e2)(2e1-e2)=21+3e1e2-22=-3,故C錯誤;D顯然錯誤.6.已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a,b同向,則x+y的值為.答案4解析由題意知ab,=2+-2=,即所以1=3,232+-2=2,把代入得x2+x-2=0,即(x+2)(x-1)=0,解得x=-2或x=1.當x=-2時,y=-6;當x=1時,y=3.=-2,則當=-6時,b=(-2,-4,-6)=-2a,向量a,b反向,不符合題意,故舍去.=1,當=3時,b=(1,2,3)=a,a與b同向,符合題意,此時x+y=4.7.已知向量a=(5,3,1),b=-2,t,-2,若a與b的夾角

15、為鈍角,則實數(shù)t的取值范圍5為.答案-,-6-6,525515解析由已知得ab=5(-2)+3t+1-2=3t-52,因為a與b的夾角為鈍角,所以ab0,55即3t-520,所以t52.515若a與b的夾角為180,則存在0,使a=b(0),即(5,3,1)=-2,t,-2,55=-2,所以3=,解得1=-2,5=-5,2=-6,5故t的取值范圍是-,-6-6,52.55158.已知O為坐標原點,=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),點Q在直線OP上運動,則當取得最小值時,求Q的坐標.解設(shè),=則=-=(1-,2-,3-2),=-=(2-,1-,2-2),所以=(1-,2-,3-

16、2)(2-,1-,2-2)=2(32-8+5)=23-42-1.33當=4時,取得最小值,此時點Q的坐標為34,4,8333.9.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長AB=2,AB1BC1,點O,O1分別是棱AC,A1C1的中點.建立如圖所示的空間直角坐標系.(1)求該三棱柱的側(cè)棱長;,(2)若M為BC1的中點,試用向量1,;表示向量(3)求cos.A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),B1(3,0,h),C1(0,1,h),則1=(3,1,h),1=(-3,1,h),因所以11=-3+1+h2=0,所以h=2.(2)=+=+11=+1(1+)=+1(1+解(1)設(shè)該三

17、棱柱的側(cè)棱長為h,由題意得為AB1BC1,222)=1+1222.+11(3)由(1)可知1=(3,1,2),=(-3,1,0),所以1=-3+1=-2,|1|=6,|=2,所以cos=-2=-6.266=(-2,1,4),=(1,-2,1),=(4,2,0),則()10.(多選)已知點P是ABC所在的平面外一點,若A.APABC.BC=53B.APBPD.APBC解析=-2-2+4=0,即APAB,故A正確;=+=(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),=3+6-3=60,AP與BP不答案AC垂直,故B不正確;=(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),|=62+

18、12+(-4)2=53,故C=正確;假設(shè)=k,則-2=,無解,因此假設(shè)不成立,即AP與BC不平行,故D不正1=6,1=-4,確.11.已知點A(1,0,0),B(0,-1,1),若+與(O為坐標原點)的夾角為120,則的值為()A.6B.-6C.6D.6666答案B解析=(0,-1,1),+=(1,-,),cos120=(+)=22+12=-1,可得0,解得=-6.故選B.|+|22612.已知點A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),則在上的投影為答案-4解析=(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0),=(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3),.

19、,cos=0-20+042+(-5)242+(-3)2541,=-20=42+(-5)2-541=-4.14.已知A,B,C三點的坐標分別是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),=1(),則點P解析=(6,3,-4),設(shè)P(a,b,c),|,在上的投影為|cos2013.已知空間向量a=(1,-2,3),則向量a在坐標平面xOy上的投影向量是.答案(1,-2,0)2的坐標是.答案(5,1,0)2則(a-2,b+1,c-2)=(3,3,-2),2a=5,b=1,c=0,P(5,1,0).2215.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,側(cè)棱PA底面ABCD,AB=3

20、,BC=1,PA=2,E為PD的中點.建立空間直角坐標系,(1)求cos;(2)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N,使NE平面PAC,求N點的坐標.解(1)由題意,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E0,1,1,從而2則cos=(3,1,0),=(3,0,-2).|=327=37.的余弦值為37.1414由NE平面PAC可得,=0,2,1-)(3,1,0)=0,(2)由于N點在側(cè)面PAB內(nèi),故可設(shè)N點坐標為(x,0,z),則=-x,1,1-z,2=0,2即(-,1,1-)(0,0,2)=0,(-,1化簡得-1=0,-3

21、+1=0,26=3,=1,6,0,1.即N點的坐標為316.已知點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).,(1)求以向量所在有向線段為邊的平行四邊形的面積;,(2)若|a|=3,且向量a分別與向量垂直,求向量a.解(1)=(-2,-1,3),=(1,-3,2),設(shè)為的夾角,則cos=-2+3+6|4+1+91+9+4=1,sin=3.S=|sin=73.22形,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).,以為邊的平行四邊形面積為73.(2)設(shè)a=(x,y,z),-2-+3=0,由題意,得-3+2=0,2+2+2=3.=1,=-1,解得=1,或=-1,=1

22、=-1.a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).17.P是平面ABC外的點,四邊形ABCD是平行四邊算:(ab)c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1,試計算()的絕對值;說明其與幾何體P-ABCD的體積關(guān)系,并由此猜想向量這種運算()的絕(1)證明=(2,-1,-4)(-1,2,-1)=-2+(-2)+4=0,(1)求證:PA平面ABCD;(2)對于向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定義一種運對值的幾何意義.,即APAB.同理,=(-1,2,-1)(4,2,0)=-4+4+0=0,(2)解|

23、()|=48,即PAAD.又AB平面ABCD,AD平面ABCD,ABAD=A,PA平面ABCD.105,又cos=3|=21,|=25,|=6,V=1|sin|=16,可得|()|=3VP-ABCD.猜測:|()|在幾何上可表示以AB,AD,AP為棱的平行六面體的體積(2)求;3(或以AB,AD,AP為棱的四棱柱的體積).18.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為4的正方形,A1C1與B1D1交于點N,BC1與B1C交于點M,且AMBN,建立空間直角坐標系.(1)求AA1的長;(3)對于n個向量a1,a2,an,如果存在不全為零的n個實數(shù)1,2,n,使得1a1+2a2+n

24、an=0成立,則這n個向量a1,a2,an叫做線性相關(guān),不是線性相關(guān)的向量叫線性無關(guān),判斷,是否線性相關(guān),并說明理由.解(1)以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.設(shè)AA1的長為a,則B(4,4,0),N(2,2,a),=(-2,-2,a),A(4,0,0),M(2,4,),=(-2,4,),由22,得=0,即(2)=(-2,-2,22),1=(-4,0,22),cos=1=6,|=arccos6.a=22,即AA1=22.33(3)由=(-2,4,2),=(-2,-2,22),=(0,-4,0),1(-2,4,2)+2(-2,-2,22)+3(0,-

25、4,0)=(0,0,0),得1=2=3=0,則,線性無關(guān).1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.2.1空間中的點、直線與空間向量1.已知l1的方向向量為v1=(1,2,3),l2的方向向量為v2=(,4,6),若l1l2,則等于()A.1B.2C.3D.4解析由l1l2,得v1v2,得1=2=3,故=2.答案B462.空間中異面直線a與b所成角的取值范圍是()A.0,C.(0,2B.(0,)D.(0,)2答案C解析根據(jù)異面直線所成角定義,空間中異面直線a與b所成角的取值范圍是(0,.23.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E為A1C1的中點,則直線CE垂直于()A.BDB.ACC.A1DD

26、.A1A答案AC(0,1,0),B(1,1,0),A(1,0,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),E1,1=1,-1,1,=(-1,1,0),=(-1,-1,0),1=(-1,0,-1),1=(0,0,-1),解析以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系Dxyz.設(shè)正方體的棱長為1.則,1,2222=(-1)1+(-1)-1+01=0,221=-10,=-10,12=-30,CEBD.4.直線l1與l2的方向向量分別為a1,a2,若a1a2,則l1與l2的位置關(guān)系為.答案垂直5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是A

27、C的中點,E是線段D1O上一點,且D1E=EO.求異面直線DE與CD1所成角的余弦值.為單位正交基底建立空間直角坐標系解不妨設(shè)正方體的棱長為1,以,Dxyz,如圖所示,1則A(1,0,0),O1,122,0,C(0,1,0),D1(0,0,1),E1,1,1442,于是,1=(0,-1,1),且|=6,|1|=2,=1,1,1則cos=3.所以異面直線DE與CD1所成角的余弦值為3.4424161|66.已知圓柱的底面半徑為3,高為4,A,B兩點分別在兩底面圓周上,并且AB=5,求異面直線AB與軸OO之間的距離.解如圖,直線AB與軸OO之間的距離等于軸OO與平面ABC的距離,由圖形可知,直線A

28、B與軸OO之間的距離等于點O到BC的距離,AB=5,AC=4,且ACBC,BC=52-42=3,eqoac(,)OCB為等邊三角形,異面直線AB與軸OO之間的距離為33.27.已知直線l1的方向向量a=(2,-3,5),直線l2的方向向量b=(-4,x,y),若兩直線l1l2,則x,y的值分別是()A.6和-10C.-6和-10B.-6和10D.6和10解析由兩直線l1l2,得兩向量a,b平行,即2=-3=5,所以x,y的值分別是6和-10.答案A-48.如圖,S是正三角形ABC所在平面外一點,M,N分別是AB和SC的中點,SA=SB=SC,且ASB=BSC=CSA=90,則異面直線SM與BN

29、所成角的余弦值為()A.105C.-1010答案AB.-105D.1010解析不妨設(shè)SA=SB=SC=1,以S為坐標原點,所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系Sxyz,則相關(guān)各點坐標為B(0,1,0),S(0,0,0),M因為=1,1,0,=0,-1,1,222所以|=2,|=5,=-1,2221,122,0,N0,0,1.2cos=|=-10,5因為異面直線所成的角為銳角或直角,所以異面直線SM與BN所成角的余弦值為10.59.如圖,在三棱錐S-ABC中,SA平面ABC,ABBC,且SA=AB=BC=1,則異面直線SB與AC之間的距離為.答案33解析構(gòu)造如圖所示正方體.取AB的

30、中點O,連接OD交AC于點E,連接OM交SB于點F,由平面幾何知識可知,OF=1OM,OE=1OD,所以EF1DM.又因為ACBD,AC333BM,所以AC平面BDM,ACDM,因為EF1DM,所以ACEF.3同理可證SBDM,所以SBEF.所以EF是異面直線AC和SB的公垂線段.所以EF=1DM=3.3310.如圖是正四面體的平面展開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點,在這個正四面體中,GH與EF平行;BD與MN為異面直線;GH與MN成60角;DE與MN垂直.以上四個命題中,正確命題的序號是.答案解析還原成正四面體知GH與EF為異面直線,BD與MN為異面直線,GH與MN成6

31、0角,DE與MN為異面垂直.11.如圖,在四面體ABOC中,OCOA,OCOB,AOB=120,且OA=OB=OC=1,設(shè)P為AC的中點,Q在AB上且AB=3AQ,證明:PQOA.證明如圖,連接OP,OQ,PQ,取O為坐標原點,過點O作ODOA,以O(shè)A,OD,OC所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系Oxyz(如圖所示).則A(1,0,0),C(0,0,1),B-1,3,0.22P為AC中點,P1,0,1.22=-3,3,0,又由已知,可得=1=-1,3,0.又=+22326=1,3,0,26=0,3,-1.62,=0,即PQOA.12.如圖,直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABC-A

32、1B1C1的底面ABC中,CA=CB=1,BCA=90,棱AA1=2,M,N分別為A1B1,A1A的中點.(1)求cos的值;(2)求證:BN平面C1MN.=10+(-1)1+22=3,|=6,|=5,cos=11=30.|1|1|M(1,1,2),1=(1,1,0),1=(1,0,-1),=(1,-1,1),1=1+1(-1)+10=0,=11+0(-1)+(-1)1=0,值即可.設(shè)A1M=x,則MP=2x,A1P=2x.所以PB1=a-2x,PN=a-2xsin45=1(2a-x),MN=2+2當x=2a時,MNmin=3a.因此A1B與D1B1的距離為3a.解以C為原點,CA,CB,CC

33、1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立坐標系Cxyz.(1)依題意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B(0,1,0),B1(0,1,2),1=(1,-1,2),1=(0,1,2),111110(2)證明:依題意得C1(0,0,2),N(1,0,1),2222122111,BNC1M,BNC1N,且C1M平面C1MN,C1N平面C1MN,C1MC1N=C1.BN平面C1MN.13.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,求A1B與D1B1的距離.解在A1B上任取一點M,作MPA1B1,PNB1D1,則MNB1D1,只要求出MN的最小22222=23(-2)2+22.22333331

34、.2.2空間中的平面與空間向量1.若a=(1,2,3)是平面的一個法向量,則下列向量中能作為平面的法向量的是()A.(0,1,2)C.(-1,-2,3)B.(3,6,9)D.(3,6,8)答案B解析向量(1,2,3)與向量(3,6,9)共線.2.設(shè)平面的法向量為(1,-2,),平面的法向量為(2,4),若,則+=()A.2B.4C.-2D.-4C.與夾角的余弦值是55答案C解析,1=-2=,解得=2,=-4,+=-2.243.(多選)已知空間中三點A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),則下列說法不正確的是()A.與是共線向量B.與同向的單位向量是(25,-5,0)5511D.

35、平面ABC的一個法向量是(1,-2,5)答案ABC解析對于A,=(2,1,0),=(-1,2,1),所以不存在實數(shù),使得=,則與不是共線向量,所以A錯誤;對于C,向量=(2,1,0),=(-3,1,1),所以cos=-55,所以C錯則令x=1,則平面ABC的一個法向量為n=(1,-2,5),所以-+2+=0,對于B,因為=(2,1,0),所以與同向的單位向量為(25,5,0),所以B錯誤;55|11誤;對于D,設(shè)平面ABC的一個法向量是n=(x,y,z),=(2,1,0),=(-1,2,1),所以=0,2+=0,=0,D正確.4.若平面,的法向量分別為a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2

36、),并且,則x的值為()A.10C.12B.-10D.-12答案B解析因為,所以它們的法向量也互相垂直,所以ab=(-1,2,4)(x,-1,-2)=0,解得x=-10.5.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為A1C1的中點,則下列與直線CE垂直的是()A.直線ACC.直線A1D1答案BB.直線B1D1D.直線A1A解析如圖,連接AC,B1D1.則點E在B1D1上,點C在平面A1B1C1D1內(nèi)的射影是C1,CE在平面A1B1C1D1內(nèi)的射影是C1E,C1EB1D1,由三垂線定理可得,CEB1D1;在四邊形AA1C1C中,C1CAC,易得AC不可能和CE垂直;A1D1BC,A1AC1

37、C,而BC,C1C明顯與CE不垂直,A1D1,A1A不可能和CE垂直.綜上,選B.6.已知直線l與平面垂直,直線l的一個方向向量u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)與平面平行,則z=.答案-9解析由題知,uv,uv=3+6+z=0,z=-9.7.若=+(,R),則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是.答案AB平面CDE或AB平面CDE8.若A0,2,19,B1,-1,5,C-2,1,5是平面內(nèi)三點,設(shè)平面的法向量為a=(x,y,z),888則xyz=.答案23(-4)解析由已知得,=1,-3,-7,4=-2,-1,-7,4a是平面的一個法向量,a=0,a=0,4即-3-7=0,解得-2-

38、7=0,4=2,3=-4,3xyz=2yy-4y=23(-4).339.在如圖所示的坐標系中,ABCD-A1B1C1D1表示棱長為1的正方體,給出下列結(jié)論:解析DD1AA1,1=(0,0,1),故正確;BC1AD1,1=(0,1,1),故正確;直線AD平面ABB1A1,=(0,1,0),故正確;點C1的坐標為(1,1,1),1與平面B1CD不垂直,直線DD1的一個方向向量為(0,0,1);直線BC1的一個方向向量為(0,1,1);平面ABB1A1的一個法向量為(0,1,0);平面B1CD的一個法向量為(1,1,1).其中正確的是.(填序號)答案故錯誤.10.如圖所示,在四棱錐S-ABCD中,底

39、面是直角梯形,ADBC,ABC=90,SA底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=1,建立適當?shù)目臻g直角坐標系,求平面SCD與平面2SBA的一個法向量.解以A為坐標原點,AD,AB,AS所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz,2,0,0,C(1,1,0),S(0,0,1),則A(0,0,0),D1,1,0,=-1,0,1,則=122向量=,0,0是平面SBA的一個法向量.則即12設(shè)n=(x,y,z)為平面SCD的一個法向量,=1+=0,=-1,22=-1+=0,=1.22取x=2,得y=-1,z=1,故平面SCD的一個法向量為(2,-1,1).11.如圖所示,

40、在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點.求證:MN平面A1BD.=11=11111證法一22=1(111)=11,1,MN平面A1BD.標系,設(shè)正方體的棱長為1,則可求得M(0,1,1),N(1,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),22證法二如圖,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐22于是2,0,2=(11),1=(1,0,1),=(1,1,0),則n1=0,且n=0,得+=0,設(shè)平面A1BD的法向量是n=(x,y,z),+=0.取x=1,得y=-1,z=-1.n=(1,-1,-1).又n=

41、(1,0,1)(1,-1,-1)=0,22n,且MN平面A1BD.MN平面A1BD.證法三1121121=11=1(2211+)-1(1+)=1221122+1111221+2=1+11()+11+1=11.=12222可以用1與線性表示,即與1,是共面向量,平面A1BD,即MN平面A1BD.12.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中點.求證:(1)AECD;(2)PD平面ABE.證明(1)AB,AD,AP兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)PA=AB=BC=1,則P(0,0,1).ABC=60,eqoac(,)

42、ABC為正三角形.C(1,3,0),22E(1,3,1),A(0,0,0).442設(shè)D(0,y,0),=22221,3,0,=-1,y-3,0.由ACCD,得=0,即y=23,則D(0,23,0),33=(-1,3,0).又26=(1,3,1),442=-11+33=0,2464,即AECD.(2)證法一:=(1,0,0),=(1,3,1),442設(shè)平面ABE的一個法向量為n=(x,y,z),=0,則1+3+1=0,442令y=2,則z=-3,n=(0,2,-3).=(0,23,-1),顯然=3n.33n,平面ABE,即PD平面ABE.證法二:P(0,0,1),=(0,23,-1).3又=32

43、3+1(-1)=0,432,即PDAE.又=(1,0,0),=0,PDAB.又ABAE=A,PD平面ABE.13.已知平面內(nèi)兩向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1).若c為平面的法向量,則m,n的值分別為()A.-1,2C.1,2B.1,-2D.-1,-2解得答案A解析c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c為平面的法向量,=0,3+1=0,得=0,即+5-9=0,=-1,=2.,14.已知直線l的方向向量為a,且直線l不在平面內(nèi),平面內(nèi)兩共點向量,下列關(guān)系中一定

44、能表示l的是()A.a=C.a=p+答案DB.a=kD.以上均不能解析A,B,C中均能推出l,或l,但不能確定一定能表示為l.15.如圖,AO平面,垂足為點O,BC平面,BCOB,若ABO=45,COB=30,則BAC的余弦值為()7C.6A.7B.4276D.6答案B解析AO平面,BC平面,BCOB,由三垂線定理可得,ABBC,設(shè)OB=2.ABO=45,COB=30,AO=2,AB=22,BC=23,3在RtABC中,AB=22,BC=23,ABC=90,AC=(22)2+(23)2=221.333cosBAC=22221=42.故選B.7A1E=2A1D,AF=1AC,則以下結(jié)論不正確的有

45、()316.(多選)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別在A1D,AC上,且33A.EF至多與A1D,AC中的一個垂直B.EFA1D,EFACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面答案ACD解析以D為坐標原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角,0,B(1,1,0),D1(0,0,1),坐標系Dxyz,設(shè)正方體的棱長為1,則A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E1,0,1,F332,1331=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=1,1,-1333,1=(-1,-1,1),31=-11,=0,=0,從而EF

46、BD1,EFA1D,EFAC.17.如圖,PA平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,E是CD的中點,F是AD上一點,當BFPE時,AFFD的比值為()A.12C.31答案BB.11D.212,1,0,P(0,0,a).解析以A為坐標原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)xyz,設(shè)正方形邊長為1,PA=a,則B(1,0,0),E1設(shè)點F的坐標為(0,y,0),則=(-1,y,0),=2,1,-a.1因為BFPE,所以=0,解得y=1,即點F的坐標為0,1,0,22所以F為AD的中點,所以AFFD=11.18.如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,

47、AB=4,BC=2,CC1=3,E,F分別是BC,CD的中點,以D為原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系,則平面D1EF的一個法向量是.D1(0,0,3),E(1,4,0),F(0,2,0),1=(1,4,-3),1=(0,2,-3),設(shè)平面D1EF的一個法向量是答案(-6,3,2)解析在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2,CC1=3,E,F分別是BC,CD的中點,以D為原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系,則=2-3=0,n=(x,y,z),則1=+4-3=0,1取y=3,得n=(-6,3,2),則平面D1EF的一個

48、法向量是(-6,3,2).19.eqoac(,在)ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n與平面ABC垂直,且|n|=21,則n的坐標為.答案(-2,4,1)或(2,-4,-1)解析據(jù)題意,得=(-1,-1,2),=(1,0,2).設(shè)n=(x,y,z),n與平面ABC垂直,=0,=0,即+2=0,可得=.-+2=0,=-,24|n|=21,2+2+2=21,解得y=4或y=-4.當y=4時,x=-2,z=1;當y=-4時,x=2,z=-1.n的坐標為(-2,4,1)或(2,-4,-1).20.如圖所示,ABCD為矩形,PA平面ABCD,PA=AD,M,N

49、,Q分別是PC,AB,CD的中點.求證:(1)MN平面PAD;(2)平面QMN平面PAD.證明(1)如圖,以A為原點,以AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,設(shè)B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),則C(b,d,0),因為M,N,Q分別是PC,AB,CD的中點,2,d,0,所以M,222,N,0,0,Q2所以=0,-,-.22因為平面PAD的一個法向量為m=(1,0,0),且m=0,即m.又MN不在平面PAD內(nèi),故MN平面PAD.(2)因為=(0,-d,0),所以m=0,即m,又QN不在平面PAD內(nèi),所以QN平面PAD.又因為MNQN=N,所以平面MNQ平面

50、PAD.21.如圖所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O平面ABCD,AB=AA1=2.證明:A1C平面BB1D1D.證明由題設(shè)易知OA,OB,OA1兩兩垂直,以O(shè)為坐標原點建立空間直角坐標系,如圖所示,AB=AA1=2,OA=OB=OA1=1,A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1).=(-1,0,-1),=(0,-2,0),=(-1,0,1),1=0,11=0,111A1CBD,A1CBB1,又BDBB1=B,A1C平面BB1D1D.22.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量,在平

51、面直角坐標系中,過動點P(1,2),法向量為n=(-2,3)的直線的點法式方程為-2(x-1)+3(y-2)=0,化簡得2x-3y+4=0,類比上述方法,在空間直角坐標系中,經(jīng)過點P(1,2,-1),且法向量為n=(-2,3,1)的平面的點法式方程應(yīng)為()A.2x-3y+z+5=0B.2x-3y-z+3=0C.2x+3y+z-7=0D.2x+3y-z-9=0答案B解析通過類比,易得點法式方程為-2(x-1)+3(y-2)+(z+1)=0,整理可得2x-3y-z+3=0,故選B.23.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱BB1和DD1的中點.(1)求證:平面B1FC1平面ADE;

52、(2)試在棱DC上求一點M,使D1M平面ADE.(1)證明建立如圖所示的空間直角坐標系,設(shè)正方體的棱長為2,則=(0,2,1),=(2,0,0),1=(0,2,1),11=(2,0,0),=1,=11.則A(2,0,0),D(0,0,0),E(2,2,1),F(0,0,1),C1(0,2,2),B1(2,2,2).可得AD平面FB1C1,AE平面FB1C1.又ADAE=A,平面ADE平面FB1C1.(2)解M應(yīng)為DC的中點.M(0,1,0),D1(0,0,2),則1=(0,1,-2),=(2,2,1),=(-2,0,0).1=0,1=0,D1MDE,D1MAD.AD,DE平面ADE,ADDE=

53、D,D1M平面ADE.1.2.3直線與平面的夾角1.設(shè)直線l與平面相交,且l的方向向量為a,的法向量為n,若=2,則l與3的夾角為()A.2B.C.D.53366答案C解析線面角的范圍是0,.2=2,l與法向量所在直線所成角為,33l與的夾角為.62.直線l的方向向量s=(1,1,2),平面的法向量n=(1,-3,0),則直線l與平面的夾角的余弦值為()15C.-210A.-1515B.1515D.21015答案D解析設(shè)直線l與平面的夾角為(0),則2sin=|cos|=|111(-3)2012122212(-3)202|=2610=15,cos=1-sin2=210.1515直線l與平面的夾

54、角的余弦值為210.153.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為CC1的中點,則直線A1B與平面BDE所成的角為()A.B.63答案BC.2D.56可得平面BDE的法向量n=(1,-1,2),而1=(0,-1,1),cos=12=3,4.已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,體積為9,底面是邊長為3的正三角形.解析以D為原點建立空間直角坐標系,如圖,則=(1,1,0),=0,1,1,2設(shè)平面BDE的法向量為n=(x,y,z),n=0,n=0,232=30.直線A1B與平面BDE的夾角為60.4若P為底面A1B1C1的中心,則PA與平面ABC的夾角的大小為()A.512

55、B.3C.4D.6答案B解析如圖所示,由棱柱體積為9,底面正三角形的邊長為3,可求得棱柱的高為3.設(shè)4P在平面ABC上射影為O,則可求得AO長為1,故AP長為12(3)2=2.故PAO=,即PA與平面ABC的夾角為.335.在空間直角坐標系Oxyz中,已知A(1,-2,0),B(2,1,6),則向量與平面xOz的法向量的夾角的正弦值為.解析設(shè)平面xOz的法向量為n=(0,t,0)(t0),=(1,3,6),所以cos=,因為0,所以sin=1-(3)2=7.答案74|34|4|46.正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的正弦值為.答案33=(0,0,1),則sin=|

56、cos|解析設(shè)正方體的棱長為1,建立空間直角坐標系,如圖所示,則D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的一個法向量為1=(1,1,1).又1=|11|=111|31=3.37.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等,則AC1與平面BB1C1C的夾角的余弦值為.答案104C1(0,1,1),A(3,1,0),1=(-3,1,1),解析設(shè)三棱柱的棱長為1,以B為原點,建立坐標系如圖,則2222又平面BB1C1C的一個法向量n=(1,0,0),sin=|cos|=|1|=6,|1|設(shè)AC1與平面BB1C1C的夾角為.4cos=1-sin2=10.48.如圖所示,在

57、棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BC,A1D1的中點.(1)求直線A1C與DE所成角的余弦值;(2)求直線AD與平面B1EDF的夾角的余弦值.解以A為坐標原點,分別以AB,AD,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz.(1)A1(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),Ea,0,21=(a,a,-a),=a,-,0,2cos=1|1|=15,15故A1C與DE所成角的余弦值為15.15(2)連接DB1,ADE=ADF,AD在平面B1EDF內(nèi)的射影在EDF的平分線上.又B1EDF為菱形,DB1為EDF的平分線,得DA=(0,-a,0),D

58、B1=(a,-a,a),故直線AD與平面B1EDF所成的角為ADB1.由A(0,0,0),B1(a,0,a),D(0,a,0),cos=DADB1|DA|DB1|=3,3故直線AD與平面B1EDF的夾角的余弦值為3.又直線與平面所成角的范圍是0,239.如圖,已知四棱錐P-ABCDeqoac(,)PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點.(1)證明:CE平面PAB;(2)求直線CE與平面PBC的夾角的正弦值.解(1)如圖,設(shè)PA中點為F,連接EF,FB.因為E,F分別為PD,PA中點,所以EFAD且EF=1AD,2又因為BCAD,BC

59、=1AD,2所以EFBC且EF=BC,即四邊形BCEF為平行四邊形,所以CEBF.BF平面PAB,CE平面PAB,因此CE平面PAB.(2)分別取BC,AD的中點為M,N,連接PN交EF于點Q,連接MQ,因為E,F,N分別是PD,PA,AD的中點,所以Q為EF中點.在平行四邊形BCEF中,MQCE.eqoac(,由)PAD為等腰直角三角形得PNAD.由DCAD,N是AD的中點得BNAD.所以AD平面PBN.由BCAD得BC平面PBN,那么平面PBC平面PBN.過點Q作PB的垂線,垂足為H,連接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影,所以QMH是直線CE與平面PBC所成的角.設(shè)CD=1.eqoac

60、(,在)PCD中,由PC=2,CD=1,PD=2得CE=2,eqoac(,在)PBN中,由PN=BN=1,PB=3得QH=1,4在RtMQH中,QH=1,MQ=2,4所以sinQMH=2.8所以,直線CE與平面PBC的夾角的正弦值是2.810.已知向量a=(2,-3,3)是直線l的方向向量,向量n=(1,0,0)是平面的法向量,則直線l與平面的夾角為()A.30答案AB.45C.60D.9041=1,故向量夾角為60,則直線l與平面所成的角為解析cos=|90-60=30.11.22如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面A1ABB1BC,且A1C與底面成45角,AB=BC=2,則該棱柱體積的最