2021年全國中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題

1、2021年全國中考數(shù)學(xué)壓軸題幾何篇1（2021安徽）如圖1，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在BA的延長線上，AEADEC與BD相交于點(diǎn)G，與AD相交于點(diǎn)F，AFAB（1）求證：BDEC；（2）若AB1，求AE的長；（3）如圖2，連接AG，求證：EGDG=2AG2（2021北京）在ABC中，C90，ACBC，D是AB的中點(diǎn)E為直線AC上一動點(diǎn)，連接DE過點(diǎn)D作DFDE，交直線BC于點(diǎn)F，連接EF（1）如圖1，當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)AEa，BFb，求EF的長（用含a，b的式子表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段CA的延長線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示線段AE，EF，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明3（20

2、21福建）如圖，ADE由ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90得到，且點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC的延長線上，AD，EC相交于點(diǎn)P（1）求BDE的度數(shù)；（2）F是EC延長線上的點(diǎn)，且CDFDAC判斷DF和PF的數(shù)量關(guān)系，并證明；求證：=4（2021廣州）如圖，O為等邊ABC的外接圓，半徑為2，點(diǎn)D在劣弧上運(yùn)動（不與點(diǎn)A，B重合），連接DA，DB，DC（1）求證：DC是ADB的平分線；（2）四邊形ADBC的面積S是線段DC的長x的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果不是，請說明理由；（3）若點(diǎn)M，N分別在線段CA，CB上運(yùn)動（不含端點(diǎn)），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)D運(yùn)動到每一個(gè)確定的位置，DMN的周長有最小值t，

3、隨著點(diǎn)D的運(yùn)動，t的值會發(fā)生變化，求所有t值中的最大值2/2805（2021深圳）背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個(gè)正方形按如圖所示的位置擺放（點(diǎn)E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)BEDG且BEDG小組討論后，提出了下列三個(gè)問題，請你幫助解答：（1）將正方形AEFG繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖1），還能得到BEDG嗎？若能，請給出證明；若不能，請說明理由；（2）把背景中的正方形分別改成菱形AEFG和菱形ABCD，將菱形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），試問當(dāng)EAG與BAD的大小滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，背景中的結(jié)論BEDG仍成立？請說明理由；（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形AEFG和矩形

4、ABCD，且2=，AE4，3AB8，將矩形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3），連接DE，BG小組發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程中，DE2+BG2的值是定值，請求出這個(gè)定值3/280（2）如圖2，記（1）中的切點(diǎn)為E，P為優(yōu)弧上一點(diǎn)，AD1，BC2求tanAPE（62021廣東）如圖1，在四邊形ABCD中，ADBC，DAB90，AB是O的直徑，CO平分BCD（1）求證：直線CD與O相切；的值OD=2AB7（2021玉林）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，且OAOBOC2（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）若H是邊AB上一點(diǎn)（H與A，B不重合），連接DH，將線段DH繞點(diǎn)H順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9

5、0，得到線段HE，過點(diǎn)E分別作BC及AB延長線的垂線，垂足分別為F，G設(shè)四邊形BGEF的面積為s1，以HB，BC為鄰邊的矩形的面積為s2，且s1s2當(dāng)AB2時(shí)，求AH的長4/280（3）若tanOAF=2，求1（82021廣西）如圖，在ACE中，以AC為直徑的O交CE于點(diǎn)D，連接AD，且DAEACE，連接OD并延長交AE的延長線于點(diǎn)P，PB與O相切于點(diǎn)B（1）求證：AP是O的切線；（2）連接AB交OP于點(diǎn)F，求證：FADDAE；的值9（2021安順）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)O為對角線AC的中點(diǎn)（1）問題解決：如圖，連接BO，分別取CB，BO的中點(diǎn)P，Q，連接PQ，則PQ與BO的數(shù)量關(guān)系

6、是，位置關(guān)系是；（2）問題探究：如圖eqoac(,)，AOE是將圖eqoac(,)中的AOB繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45得到的三角形，連接CE，點(diǎn)P，Q分別為CE，BO的中點(diǎn)，連接PQ，eqoac(,PB)判斷PQB的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）拓展延伸：如圖eqoac(,)，AOE是將圖eqoac(,)中的AOB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45得到的三角形，連接BO，點(diǎn)P，Q分別為CE，BO的中點(diǎn)，連接PQ，PB若正方形ABCD的邊長為eqoac(,1)，求PQB的面積5/28010（2021黔東南州）如圖1，ABC和DCE都是等邊三角形探究發(fā)現(xiàn)（eqoac(,1)）BCD與ACE是否全等？若全等，

7、加以證明；若不全等，請說明理由拓展運(yùn)用（2）若B、C、E三點(diǎn)不在一條直線上，ADC30，AD3，CD2，求BD的長（3）若B、C、E三點(diǎn)在一條直線上（如圖eqoac(,2)），且ABC和DCE的邊長分別為1和2，求ACD的面積及AD的長（“112021黔西南州）古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：一切平面圖形中最美的是圓”請研究如下美麗的圓如圖，線段AB是O的直徑，延長AB至點(diǎn)C，使BCOB，點(diǎn)E是線段OB的中點(diǎn)，DEAB交O于點(diǎn)D，點(diǎn)P是O上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接CD，PE，PC（1）求證：CD是O的切線；6/280（2）小明在研究的過程中發(fā)現(xiàn)明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論加以證明是一個(gè)確定的值回答這個(gè)確定

8、的值是多少？并對小12（2021畢節(jié)市）如圖（1），大正方形的面積可以表示為（a+b）2，同時(shí)大正方形的面積也可以表示成兩個(gè)小正方形面積與兩個(gè)長方形的面積之和，即a2+2ab+b2同一圖形（大正方形）的面積，用兩種不同的方法求得的結(jié)果應(yīng)該相等，從而驗(yàn)證了完全平方公式：（a+b）2a2+2ab+b2把這種“同一圖形的面積，用兩種不同的方法求出的結(jié)果相等，從而構(gòu)建等式，根據(jù)等式解決相關(guān)問題”的方法稱為“面積法”，（1）用上述“面積法”通過如圖（2）中圖形的面積關(guān)系，直接寫出一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的等式：7/280（2）如圖（3），eqoac(,Rt)ABC中，C90，CA3，CB4，CH是斜邊AB

9、邊上的高用上述“面積法”求CH的長；（3）如圖（eqoac(,4)），等腰ABC中，ABAC，點(diǎn)O為底邊BC上任意一點(diǎn)，OMAB，ONAC，CHAB，垂足分別為點(diǎn)M，N，H，連接AO，用上述“面積法”求證：OM+ONCH（132021銅仁市）如圖，AB是O的直徑，C為O上一點(diǎn)，連接AC，CEAB于點(diǎn)E，D是直徑AB延長線上一點(diǎn)，且BCEBCD（1）求證：CD是O的切線；（2）若AD8，1=，求CD的長214（2021遵義）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E為對角線AC上一動點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、C不重合），連接DE，作EFDE交射線BA于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作MNBC分別交CD、AB于點(diǎn)M、N，作射線

10、DF交射線CA于點(diǎn)G8/280（1）求證：EFDE；（2）當(dāng)AF2時(shí)，求GE的長15（2021河北）如圖1和圖，在eqoac(,2)ABC中，ABAC，BC8，tanC=4點(diǎn)K在AC邊3上，點(diǎn)M，N分別在AB，BC上，且AMCN2點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿折線MBBN勻速移動，到達(dá)點(diǎn)N時(shí)停止；而點(diǎn)Q在AC邊上隨P移動，且始終保持APQB（1）當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，求點(diǎn)P與點(diǎn)A的最短距離；（2）若點(diǎn)P在MB上，且PQ將ABC的面積分成上下4：5兩部分時(shí)，求MP的長；（3）設(shè)點(diǎn)P移動的路程為x，當(dāng)0 x3及3x9時(shí)，分別求點(diǎn)P到直線AC的距離（用含x的式子表示）；，（4）在點(diǎn)P處設(shè)計(jì)并安裝一掃描器，按定角APQ

11、掃描APQ區(qū)域（含邊界）掃描器9隨點(diǎn)P從M到B再到N共用時(shí)36秒若AK=4，請直接寫出點(diǎn)K被掃描到的總時(shí)長16（2021河南）將正方形ABCD的邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AB，記旋轉(zhuǎn)角為，連9/280接BB，過點(diǎn)D作DE垂直于直線BB，垂足為點(diǎn)E，連接DB，CE（1）如圖1，當(dāng)60時(shí)，DEB的形狀為，連接BD，可求出的值為；（2）當(dāng)0360且90時(shí)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請說明理由；當(dāng)以點(diǎn)B，E，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請直接寫出的值17（2021齊齊哈爾）綜合與實(shí)踐在線上教學(xué)中，教師和學(xué)生都學(xué)習(xí)到了新知識，掌握了許多新技能例

12、如教材八年級下冊的數(shù)學(xué)活動折紙，就引起了許多同學(xué)的興趣在經(jīng)歷圖形變換的過程中，進(jìn)一步發(fā)展了同學(xué)們的空間觀念，積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，把紙片展平，連接AN，如圖）（1）折痕BM（填“是”或“不是”線段AN的垂直平分線；請判斷圖中ABN是什么特殊三角形？答：；進(jìn)一步計(jì)算出MNE；（2）繼續(xù)折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)H處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BG，把紙片展平，如圖，則GBN；拓展延伸：（3）如圖，折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A處，

13、并且折痕交BC邊于點(diǎn)T，交AD邊于點(diǎn)S，把紙片展平，連接AA交ST于點(diǎn)O，連接AT求證：四邊形SATA是菱形解決問題：（4）如圖，矩形紙片ABCD中，AB10，AD26，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A處，并且折痕交AB邊于點(diǎn)T，交AD邊于點(diǎn)S，把紙片展平同學(xué)們小組討論后，得出線段AT的長度有4，5，7，910/280請寫出以上4個(gè)數(shù)值中你認(rèn)為正確的數(shù)值18（2021黑龍江）如圖，在eqoac(,Rt)ABC中，ACB90，ACBC，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上，DCEC，連接DE、AE、BD，點(diǎn)M、N、P分別是AE、BD、AB的中點(diǎn)，連接PM、PN、MN（1）BE與MN的數(shù)量關(guān)系是（eqo

14、ac(,2)）將DEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖和圖的位置，判斷BE與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并利用圖或圖進(jìn)行證明19（2021牡丹江）在等腰ABC中，ABBC，點(diǎn)D，E在射線BA上，BDDE，過點(diǎn)E作EFBC，交射線CA于點(diǎn)F請解答下列問題：11/280（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上，CD是ACB的角平分線時(shí)，如圖，求證：AE+BCCF；（提示：延長CD，F(xiàn)E交于點(diǎn)M）（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長線上，CD是ACB的角平分線時(shí)，如圖；當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長線上，CD是ACB的外角平分線時(shí)，如圖，請直接寫出線段AE，BC，CF之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）在（1）、（2）的條件下，若DE2

15、AE6，則CF（202021黑龍江）以RtABC的兩邊AB、AC為邊，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，過點(diǎn)A作AMBC于M，延長MA交EG于點(diǎn)N（1）如圖，若BAC90，ABAC，易證：ENGN；（2）如圖，BAC90；如圖，BAC90，1）中結(jié)論，是否成立，若成立，選擇一個(gè)圖形進(jìn)行證明；若不成立，寫出你的結(jié)論，并說明理由21（2021綏化）如圖，在正方形ABCD中，AB4，點(diǎn)G在邊BC上，連接AG，作DE12/280=kAG于點(diǎn)E，BFAG于點(diǎn)F，連接BE、DF，設(shè)EDF，EBF，（1）求證：AEBF；（2）求證：tanktan；（3）若點(diǎn)G從點(diǎn)B沿BC邊運(yùn)動至點(diǎn)C停止，求點(diǎn)

16、E，F(xiàn)所經(jīng)過的路徑與邊AB圍成的圖形的面積5，求線段（222021哈爾濱）已知：O是ABC的外接圓，AD為O的直徑，ADBC，垂足為E，連接BO，延長BO交AC于點(diǎn)F（1）如圖1，求證：BFC3CAD；（2）如圖2，過點(diǎn)D作DGBF交O于點(diǎn)G，點(diǎn)H為DG的中點(diǎn)，連接OH，求證：BEOH；92（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CG，若DGeqoac(,DE)，AOF的面積為CG的長13/280（3）若EF3，tanACE=2時(shí)，過A作ANCE交O于M、N兩點(diǎn)（M在線段AN（232021鄂州）如圖所示：O與ABC的邊BC相切于點(diǎn)C，與AC、AB分別交于點(diǎn)D、E，DEOBDC是O的直徑連接OE，過

17、C作CGOE交O于G，連接DG、EC，DG與EC交于點(diǎn)F（1）求證：直線AB與O相切；（2）求證：AEEDACEF；1上），求AN的長（242021恩施州）如圖1，AB是O的直徑，直線AM與O相切于點(diǎn)A，直線BN與O相切于點(diǎn)B，點(diǎn)C（異于點(diǎn)A）在AM上，點(diǎn)D在O上，且CDCA，延長CD與BN相交于點(diǎn)E，連接AD并延長交BN于點(diǎn)F（1）求證：CE是O的切線；（2）求證：BEEF；（3）如圖2，連接EO并延長與O分別相交于點(diǎn)G、H，連接BH若AB6，AC4，求tanBHE14/280（2）若AB3，AD=5，求O的半徑25（2021荊門）如圖，AC為O的直徑，AP為O的切線，M是AP上一點(diǎn)，過點(diǎn)M

18、的直線與O交于點(diǎn)B，D兩點(diǎn)，與AC交于點(diǎn)E，連接AB，AD，ABBE（1）求證：ABBM；2426（2021荊州）如圖，在矩形ABCD中，AB20，點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn)，將ABE沿著AE折疊，點(diǎn)B剛好落在CD邊上點(diǎn)G處；點(diǎn)F在DG上，將ADF沿著AF折疊，點(diǎn)D剛好落在AG上點(diǎn)H處，此時(shí)eqoac(,S)GFH：eqoac(,S)AFH2：3，（eqoac(,1)）求證：EGCGFH；（2）求AD的長；（3）求tanGFH的值27（2021武漢）問題背景如圖（eqoac(,1)），已知ABCADE，求證：ABDACE；嘗試應(yīng)用如圖（eqoac(,2)），在ABC和ADE中，BACDAE90，AB

19、CADE15/28030，AC與DE相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在BC邊上，=3，求的值；拓展創(chuàng)新如圖（3），D是ABC內(nèi)一點(diǎn)，BADCBD30，BDC90，AB4，AC23，直接寫出AD的長28（2021湖北）實(shí)踐操作：第一步：如圖1，將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在CD上的點(diǎn)A處，得到折痕DE，然后把紙片展平第二步：如圖2，將圖1中的矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)C恰好落在AD上的點(diǎn)C處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B處，得到折痕EF，BC交AB于點(diǎn)M，CF交DE于點(diǎn)N，再把紙片展平問題解決：（1）如圖1，填空：四邊形AEAD的形狀是；（2）如圖2，線段MC與ME是否相等？若相等，請給出證明；若

20、不等，請說明理由；（3）如圖2，若AC2cm，DC4cm，求DN：EN的值16/28029（2021襄陽）在ABC中，BAC90，ABAC，點(diǎn)D在邊BC上，DEDA且DEDA，AE交邊BC于點(diǎn)F，連接CE（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)ADAF時(shí)，求證：BDCF；推斷：ACE；（2）探究證明：如圖2，當(dāng)ADAF時(shí)，請?zhí)骄緼CE的度數(shù)是否為定值，并說明理由；于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)K，若CK=3，求DF的長（3）拓展運(yùn)用：如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)161=時(shí)，過點(diǎn)D作AE的垂線，交AE330（2021咸寧）定義：有一組對角互余的四邊形叫做對余四邊形理解：（1）若四邊形ABCD是對余四邊形，則A與C的度數(shù)之

21、和為；證明：（2）如圖1，MN是O的直徑，點(diǎn)A，B，C在O上，AM，CN相交于點(diǎn)D求證：四邊形ABCD是對余四邊形；探究：（3）如圖2，在對余四邊形ABCD中，ABBC，ABC60，探究線段AD，CD和BD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并說明理由17/28031（2021孝感）已知ABC內(nèi)接于O，ABAC，ABC的平分線與O交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，連接CD并延長與O過點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)F，記BAC（1）如圖1，若60，的值為直接寫出；（2）如圖2，若60，且當(dāng)O的半徑為2時(shí)，直接寫出圖中陰影部分的面積為；2=3，DE4，求BE的長32（2021常德）已知D是RtABC斜邊AB的中點(diǎn)，ACB9

22、0，ABC30，過點(diǎn)D作RtDEF使DEF90，DFE30，連接CE并延長CE到P，使EPCE，連接BE，F(xiàn)P，BP，設(shè)BC與DE交于M，PB與EF交于N（1）如圖1，當(dāng)D，B，F(xiàn)共線時(shí)，求證：EBEP；EFP30；（2）如圖2，當(dāng)D，B，F(xiàn)不共線時(shí)，連接BF，求證：BFD+EFP3018/28033（2021郴州）如圖1，在等腰直角三角形ADC中，ADC90，AD4點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG，連接AG，CE將正方形DEFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（090）（1）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，判斷AGD與CED是否全等，并說明理由；當(dāng)CECD時(shí)，AG與EF交于點(diǎn)H，求GH的長（2）

23、如圖3，延長CE交直線AG于點(diǎn)P求證：AGCP；在旋轉(zhuǎn)過程中，線段PC的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由34（2021懷化）如圖，在O中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，延長AB到點(diǎn)D，使CDCA，且D30（1）求證：CD是O的切線BF（2）分別過A、兩點(diǎn)作直線CD的垂線，垂足分別為E、兩點(diǎn)，過C點(diǎn)作AB的垂線，垂足為點(diǎn)G求證：CG2AEBF19/28035（2021婁底）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的O上，BD平分ABC交O于點(diǎn)D，過D作BC的垂線，垂足為E（1）求證：DE與O相切；（2）若AB5，BE4，求BD的長；（3）請用線段AB、BE表示CE的長，并說明理由36（

24、2021湘潭）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心20/280、eqoac(,)是否都為定，（1）特例感知：如圖（一）已知邊長為2的等邊ABC的重心為點(diǎn)eqoac(,O)，求OBC與ABC的面積（eqoac(,2)）性質(zhì)探究：如圖（二），已知ABC的重心為點(diǎn)O，請判斷值？如果是，分別求出這兩個(gè)定值；如果不是，請說明理由（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖（三），在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接BE交對角線AC于點(diǎn)M若正方形ABCD的邊長為4，求EM的長度；若eqoac(,S)CME1，求正方形ABCD的面積21/280（372021湘西州）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD

25、中，BAD90，BCD90，BABC，ABC120，MBN60，MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD、DC于E、F探究圖中線段AE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系小李同學(xué)探究此問題的方法是：延長FC到G，使CGAE，連接eqoac(,BG)，先證明BCGBAE，再證明BFGBFE，可得出結(jié)論，他的結(jié)論就是；）探究延伸1：如圖2，在四邊形ABCD中，BAD90，BCD90，BABC，ABC2MBN，MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)它的兩邊分別交AD、DC于E、F，上述結(jié)論是否仍然成立？請直接寫出結(jié)論（直接寫出“成立”或者“不成立”，不要說明理由；探究延伸2：如圖3，在四邊形ABCD中，BABC，BAD+BCD180，

26、ABC2MBN，MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)它的兩邊分別交AD、DC于E、F上述結(jié)論是否仍然成立？并說明理由；F實(shí)際應(yīng)用：如圖4，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30的A處艦艇乙在指揮中心南偏東70的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，同時(shí)艦艇乙沿北偏東50的方向以100海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.2小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E、處且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為70試求此時(shí)兩艦艇之間的距離22/28038（2021岳陽）如圖1，在矩形ABCD中，AB6，BC8，動點(diǎn)P，Q分別從C點(diǎn)，A點(diǎn)同時(shí)以每秒1個(gè)單位長度

27、的速度出發(fā)，且分別在邊CA，AB上沿CA，AB的方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為t（s），連接PQ，過點(diǎn)P作PEPQ，PE與邊BC相交于點(diǎn)E，連接QE（1）如圖2，當(dāng)t5s時(shí)，延長EP交邊AD于點(diǎn)F求證：AFCE；（2）在（1）的條件下，試探究線段AQ，QE，CE三者之間的等量關(guān)系，并加以證明；（3）如圖3，當(dāng)t4s時(shí)，延長EP交邊AD于點(diǎn)F，連接FQ，若FQ平分AFP，求9的值39（2021張家界）如圖，在RtABC中，ACB90，以AB為直徑作O，過點(diǎn)C作直線CD交AB的延長線于點(diǎn)D，使BCDA（1）求證：CD為O的切線；（2）若DE平分ADC，且分別

28、交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，當(dāng)CE2時(shí)，求EF的長23/280（402021株洲）AB是O的直徑，點(diǎn)C是O上一點(diǎn)，連接AC、BC，直線MN過點(diǎn)C，滿足BCMBACF，連接AF并延長交直線MN于點(diǎn)G，連接CE，且CE=3，若O的半徑為1，cos=4，（1）如圖，求證：直線MN是O的切線；（2）如圖，點(diǎn)D在線段BC上，過點(diǎn)D作DHMN于點(diǎn)H，直線DH交O于點(diǎn)E、53求AGED的值41（2021淮安）初步嘗試（1）如圖，在三角形紙片ABC中，ACBeqoac(,90)，將ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，則AM與BM的數(shù)量關(guān)系為；思考說理（2）如圖，在三角形紙片ABC中，ACBC6，ABeqoa

29、c(,10)，將ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，求的值；拓展延伸（3）如圖，在三角形紙片ABC中，AB9，BC6，ACB2A，將ABC沿過頂點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上的點(diǎn)B處，折痕為CM求線段AC的長；若點(diǎn)O是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段eqoac(,OB)上的一個(gè)動點(diǎn)，將APM沿PM折疊得到eqoac(,A)PM，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A，AM與CP交于點(diǎn)F，求的取值范圍24/280上），設(shè)PB、PC、圍成的封閉圖形的面積為S，PA、PD、圍成的封閉圖形的面積（422021連云港）1）如圖1，點(diǎn)P為矩形ABCD對角線BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作EFBC，分別交AB、CD于點(diǎn)E、F若BE2，P

30、Feqoac(,6)，AEP的面積為Seqoac(,1)，CFP的面積為S2，則S1+S2；（2）如圖2，點(diǎn)P為ABCD內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)P不在BD上），點(diǎn)E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)設(shè)四邊形AEPH的面積為S1，四邊形PFCG的面積為S2（其中S2S1），求PBD的面積（用含S1、S2的代數(shù)式表示）；（3）如圖3，點(diǎn)P為ABCD內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)P不在BD上），過點(diǎn)P作EFAD，HGAB，與各邊分別相交于點(diǎn)E、F、G、H設(shè)四邊形AEPH的面積為S1，四邊形PGCF的面積為S2（其中S2Seqoac(,1)），求PBD的面積（用含S1、S2的代數(shù)式表示）；（4）如圖4，點(diǎn)A、B、C、D把O四等分請你在圓內(nèi)選

31、一點(diǎn)P（點(diǎn)P不在AC、BD1為S2，PBD的面積為Seqoac(,3)，PAC的面積為S4，根據(jù)你選的點(diǎn)P的位置，直接寫出一個(gè)含有S1、S2、S3、S4的等式（寫出一種情況即可）25/28043（2021南京）如圖，要在一條筆直的路邊l上建一個(gè)燃?xì)庹荆騦同側(cè)的A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)分別鋪設(shè)管道輸送燃?xì)庠嚧_定燃?xì)庹镜奈恢茫逛佋O(shè)管道的路線最短（1）如圖，作出點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A，線段AB與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求，即在點(diǎn)C處建燃?xì)庹荆寐肪€ACB是最短的為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，不妨在直線l上另外任取一點(diǎn)C，連接AC、BC，證明AC+CBAC+CB請完成這個(gè)證明（2）如果在A、B兩個(gè)城鎮(zhèn)之間規(guī)

32、劃一個(gè)生態(tài)保護(hù)區(qū)，燃?xì)夤艿啦荒艽┻^該區(qū)域請分別給出下列兩種情形的鋪設(shè)管道的方案（不需說明理由）生態(tài)保護(hù)區(qū)是正方形區(qū)域，位置如圖所示；生態(tài)保護(hù)區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖所示（1）若DE=3，求S的值；（442021無錫）如圖，在矩形ABCD中，AB2，AD1，點(diǎn)E為邊CD上的一點(diǎn)（與C、D不重合），四邊形ABCE關(guān)于直線AE的對稱圖形為四邊形ANME，延長ME交AB于點(diǎn)P，記四邊形PADE的面積為S3（2）設(shè)DEx，求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式26/280t45（2021蘇州）如圖，已知MON90，OT是MON的平分線，A是射線OM上一點(diǎn)，OA8cm動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AO水平向左作勻速

33、運(yùn)動，與此同時(shí)，動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，也以1cm/s的速度沿ON豎直向上作勻速運(yùn)動連接PQ，交OT于點(diǎn)B經(jīng)過O、P、Q三點(diǎn)作圓，交OT于點(diǎn)C，連接PC、QC設(shè)運(yùn)動時(shí)間為（s），其中0t8（1）求OP+OQ的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)t，使得線段OB的長度最大？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由（3）求四邊形OPCQ的面積46（2021南通）【了解概念】有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，連接這兩個(gè)角的頂點(diǎn)的線段稱為對余線【理解運(yùn)用】（1）如圖，對余四邊形ABCD中，AB5，BC6，CD4，連接AC若ACAB，求sinCAD的值；（2）如圖，凸四邊形ABCD中，ADBD，ADBD，當(dāng)2CD2+C

34、B2CA2時(shí)，判斷四27/280邊形ABCD是否為對余四邊形證明你的結(jié)論；【拓展提升】（3）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，0），B（3，0），C（1，2），四邊形ABCD是對余四邊形，點(diǎn)E在對余線BD上，且位于ABC內(nèi)部，AEC90+ABC設(shè)=u，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為t，請直接寫出u關(guān)于t的函數(shù)解析式（472021泰州）如圖，正方形ABCD的邊長為6，M為AB的中點(diǎn)，MBE為等邊三角形，過點(diǎn)E作ME的垂線分別與邊AD、BC相交于點(diǎn)F、G，點(diǎn)P、Q分別在線段EF、BC上運(yùn)動，且滿足PMQ60，連接PQ（eqoac(,1)）求證：MEPMBQ（2）當(dāng)點(diǎn)Q在線段GC上時(shí)，試判斷PF+GQ的值是否變化？如果

35、不變，求出這個(gè)值，如果變化，請說明理由（3）設(shè)QMB，點(diǎn)B關(guān)于QM的對稱點(diǎn)為B，若點(diǎn)Beqoac(,)落在MPQ的內(nèi)部，試寫出的范圍，并說明理由48（2021大連）如圖eqoac(,1)，ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，AC上，BECE，點(diǎn)G在線段CD上，CGCA，GFDE，AFGCDE28/280的值（1）填空：與CAG相等的角是；（2）用等式表示線段AD與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）若BAC90，ABC2ACD（如圖2），求49（2021鞍山）在矩形ABCD中，點(diǎn)E是射線BC上一動點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)B作BFAE于點(diǎn)G，交直線CD于點(diǎn)F的值；BC于點(diǎn)N，連接AN，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)（1）

36、當(dāng)矩形ABCD是正方形時(shí)，以點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，連接EH如圖1，若點(diǎn)E在線段BC上，則線段AE與EH之間的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；如圖2，若點(diǎn)E在線段BC的延長線上，中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由；（2）如圖3，若點(diǎn)E在線段BC上，以BE和BF為鄰邊作平行四邊形BEHF，M是BH中點(diǎn)，連接GM，AB3，BC2，求GM的最小值50（2021朝陽）如圖，在RtABC中，BAC90，ABAC，M是AC邊上的一點(diǎn)，連接BM，作APBM于點(diǎn)P，過點(diǎn)C作AC的垂線交AP的延長線于點(diǎn)E（1）如圖1，求證：AMCE；（2）如圖2，以AM，

37、BM為鄰邊作平行四邊形AMBG，連接GE交BC于點(diǎn)N，連接AN，求（3）如圖3，若M是AC的中點(diǎn)，以AB，BM為鄰邊作平行四邊形AGMB，連接GE交1=8，請直接寫出的值29/280（512021江西）某數(shù)學(xué)課外活動小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積S1，S2，S3之間的關(guān)系問題”進(jìn)行了以下探究：類比探究（1）如圖2，在RtABC中，BC為斜邊，分別以AB，AC，BC為斜邊向外側(cè)作RtABD，RtACE，RtBCF，若123，則面積S1，S2，S3之間的關(guān)系式為；推廣驗(yàn)證（2）如圖3，在RtABC中，BC為斜邊，分別以AB，AC，BC為邊向外

38、側(cè)作任意ABD，ACE，BCF，滿足123，DEF，則（1）中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由；拓展應(yīng)用（3）如圖4，在五邊形ABCDE中，AEC105，ABC90，AB23，DE2，點(diǎn)P在AE上，ABP30，PE=2，求五邊形ABCDE的面積52（2021遼陽）如圖，射線AB和射線CB相交于點(diǎn)B，ABC（0180），且ABCB點(diǎn)D是射線CB上的動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)C和點(diǎn)B重合），作射線AD，并在射線AD上取一點(diǎn)E，使AEC，連接CE，BE（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，90時(shí)，請直接寫出AEB的度數(shù)；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，120時(shí)，請寫出線段AE，B

39、E，CE之間的數(shù)30/280（3）當(dāng)120，tanDAB=3時(shí)，請直接寫出1量關(guān)系，并說明理由；的值53（2021徐州）我們知道：如圖，點(diǎn)B把線段AC分成兩部分，如果=，那么稱點(diǎn)B為線段AC的黃金分割點(diǎn)它們的比值為512（1）在圖中，若AC20cm，則AB的長為cm；（2）如圖，用邊長為20cm的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，將CB折疊到CE上，點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)H，得折痕CG試說明：G是AB的黃金分割點(diǎn)；（3）如圖，小明進(jìn)一步探究：在邊長為a的正方形ABCD的邊AD上任取點(diǎn)E（AEDE），連接BE，作CFBE，交AB于點(diǎn)F，延長EF、CB交于點(diǎn)P他發(fā)現(xiàn)當(dāng)PB與BC滿

40、足某種關(guān)系時(shí)，E、F恰好分別是AD、AB的黃金分割點(diǎn)請猜想小明的發(fā)現(xiàn)，并說明理由（2）如圖2，若DEDF，求54（2021揚(yáng)州）如圖1，已知點(diǎn)O在四邊形ABCD的邊AB上，且OAOBOCOD2，OC平分BOD，與BD交于點(diǎn)G，AC分別與BD、OD交于點(diǎn)E、F（1）求證：OCAD；的值；（3）當(dāng)四邊形ABCD的周長取最大值時(shí)，求的值31/28055（2021丹東）已知：菱形ABCD和菱形ABCD，BADBAD，起始位置點(diǎn)A在邊AB上，點(diǎn)B在AB所在直線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，連接AC和AC，將菱形ABCD以A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（0180）（1）如圖1，若點(diǎn)A與A重合，且BAD

41、BAD90，求證：BBDD（2）若點(diǎn)A與A不重合，M是AC上一點(diǎn)，當(dāng)MAMA時(shí)，連接BM和AC，BM和AC所在直線相交于點(diǎn)P如圖2，當(dāng)BADBAD90時(shí)，請猜想線段BM和線段AC的數(shù)量關(guān)系及BPC的度數(shù)如圖3，當(dāng)BADBAD60時(shí)，請求出線段BM和線段AC的數(shù)量關(guān)系及BPC的度數(shù)在的條件下，若點(diǎn)A與AB的中點(diǎn)重合，AB4，AB2，在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，請直接寫出線段BM的長56（2021阜新）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD2CE），BG的延長線與直線DE交于點(diǎn)H（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在CD上時(shí)，求證：BGDE，BGDE；32/280（2）將正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)

42、一周如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在直線CD右側(cè)時(shí)，求證：BHDH=2CH；當(dāng)DEC45時(shí)，若AB3，CE1，請直接寫出線段DH的長257（2021錦州）已知AOB和MON都是等腰直角三角形（2MON90OAOMON），AOB（1）如圖1：連AM，eqoac(,BN)，求證：AOMBON；（eqoac(,2)）若將MON繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，當(dāng)點(diǎn)N恰好在AB邊上時(shí)，求證：BN2+AN22ON2；當(dāng)點(diǎn)A，M，N在同一條直線上時(shí)，若OB4，ON3，請直接寫出線段BN的長58（2021盤錦）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)F是射線AD上的動點(diǎn)，連接CF，以CF為對角線作正方形CGFE（C，G，F(xiàn)，E按逆時(shí)針排列

43、），連接BE，DG（1）當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上時(shí)求證：BEDG；求證：CDFD=2BE；（2）設(shè)正方形ABCD的面積為S1，正方形CGFE的面積為S2，以C，G，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)33/2801=25時(shí)，請直接寫出3的值的四邊形的面積為S3，當(dāng)213159（2021葫蘆島）在等腰ADC和等腰BEC中，ADCBEC90，BCCD，將BEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接AB，點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，連接DO，EO（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到CD邊上時(shí)，請直接寫出線段DO與EO的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到AC邊上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由；（3）若BC4，

44、CD2eqoac(,6)，在BEC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)ACB60時(shí)，請直接寫出線段OD的長60（2021營口）如圖，在矩形ABCD中，ADkAB（k0），點(diǎn)E是線段CB延長線上的一個(gè)動點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)A作AFAE交射線DC于點(diǎn)F（1）如圖1，若k1，則AF與AE之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，若k1，試判斷AF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并證明；用含k的式子表示）（3）若AD2AB4，連接BD交AF于點(diǎn)G，連接EG，當(dāng)CF1時(shí)，求EG的長34/28061（2021通遼）中心為O的正六邊形ABCDEF的半徑為6cm，點(diǎn)P，Q同時(shí)分別從A，D兩點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿AF，DC向終

45、點(diǎn)F，C運(yùn)動，連接PB，PE，QB，QE，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（s）（1）求證：四邊形PBQE為平行四邊形；（2）求矩形PBQE的面積與正六邊形ABCDEF的面積之比eqoac(,)的值；長線于點(diǎn)M，求62（2021包頭）如圖，在RtABC中，ACB90，AC4，BC2，eqoac(,Rt)ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到Rteqoac(,A)BC，AC與AB交于點(diǎn)D（1）如圖1，當(dāng)ABAC時(shí)，過點(diǎn)B作BEAC，垂足為E，連接AE求證：ADBD；求（2）如圖2，當(dāng)ACAB時(shí)，過點(diǎn)D作DMAB，交BC于點(diǎn)N，交AC的延的值35/28063（2021赤峰）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P為對角線AC所在直線上

46、的一個(gè)動點(diǎn)，連接PD，過點(diǎn)P作PEPD，交直線AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作MNAB，交直線CD于點(diǎn)M，交直線AB于點(diǎn)NAB43，AD4，（1）如圖1當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，PDM和EPN的數(shù)量關(guān)系為：PDMEPN；的值是；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在CA延長線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，說明理由；（3）如圖3，以線段PD，PE為鄰邊作矩形PEFD設(shè)PM的長為x，矩形PEFD的面積為y請直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及y的最小值64（2021鄂爾多斯）（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上請按要求畫圖：將ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向

47、旋轉(zhuǎn)90，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)C36/280的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C連接BB；在中所畫圖形中，ABB（2）【問題解決】如圖2，在RtABC中，BC1，C90，延長CA到D，使CD1，將斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到AE，連接DE，求ADE的度數(shù)（3）【拓展延伸】如圖3，在四邊形ABCD中，AEBC，垂足為E，BAEADC，BECE1，CD3，ADkAB（k為常數(shù)），求BD的長（用含k的式子表示）65（2021呼倫貝爾）如圖，O是ABC的外接圓，直線EG與O相切于點(diǎn)E，EGBC，連接AE交BC于點(diǎn)D（1）求證：AE平分BAC；（2）若ABC的平分線BF交AD于點(diǎn)F，且DE3，DF2，求AF的長（6620

48、21呼和浩特）某同學(xué)在學(xué)習(xí)了正多邊形和圓之后，對正五邊形的邊及相關(guān)線段進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)多處出現(xiàn)著名的黃金分割比510.618如圖，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE，2圓心為O，OA與BE交于點(diǎn)H，AC、AD與BE分別交于點(diǎn)M、N根據(jù)圓與正五邊形的37/280對稱性，只對部分圖形進(jìn)行研究（其它可同理得出）（eqoac(,1)）求證：ABM是等腰三角形且底角等于eqoac(,36)，并直接說出BAN的形狀；=，且其比值k=51（2）求證：2；（3）由對稱性知AOBE，由（1）（2）可知的值也是一個(gè)黃金分割數(shù)，據(jù)此求sin1867（2021青海）在ABC中，ABAC，CGBA交BA的延長線于點(diǎn)G特例感知：（1

49、）將一等腰直角三角尺按圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC重合，另一條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B通過觀察、測量BF與CG的長度，得到BFCG請給予證明猜想論證：（2）當(dāng)三角尺沿AC方向移動到圖2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊重合，另一條直角邊交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DEBA垂足為E此時(shí)請你通過觀察、測量DE、DF與CG的長度，猜想并寫出DE、DF與CG之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想聯(lián)系拓展：（3）當(dāng)三角尺在圖2的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)移動到圖3所示的位置（點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí)，請你判斷（2）中的猜想是否仍然成立？（不用證明）68（2021濱州）如圖，AB

50、是O的直徑，AM和BN是它的兩條切線，過O上一點(diǎn)E38/280作直線DC，分別交AM、BN于點(diǎn)D、C，且DADE（1）求證：直線CD是O的切線；（2）求證：OA2DECE69（2021菏澤）如圖1，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OAOC，OBOD+CD（1）過點(diǎn)A作AEDC交BD于點(diǎn)E，求證：AEBE；（2）如圖2，將ABD沿AB翻折得到ABD求證：BDCD；若ADBC，求證：CD22ODBD70（2021濟(jì)寧）如圖，在菱形ABCD中，ABAC，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊BC，CD上，BECG，AF平分EAG，點(diǎn)H是線段AF上一動點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合）（eqoac(,1)）求證：AEHAG

51、H；（2）當(dāng)AB12，BE4時(shí)求DGH周長的最小值；若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，是否存在直線OH將ACE分成三角形和四邊形兩部分，其中39/280的值；若不存在，請說明理三角形的面積與四邊形的面積比為1：3若存在，請求出由71（2021德州）問題探究：小紅遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，ABC中，AB6，AC4，AD是中線，求AD的取值范圍她的做法是：延長AD到E，使DEAD，連接eqoac(,BE)，證明BEDCAD，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決請回答：（eqoac(,1)）小紅證明BEDCAD的判定定理是：；（2）AD的取值范圍是；方法運(yùn)用：（3）如圖2，AD是ABC的中線，在AD上取一點(diǎn)F，連結(jié)BF并

52、延長交AC于點(diǎn)E，使AEEF，求證：BFAC（4）如圖3，在矩形ABCD中，1=，在BD上取一點(diǎn)F，以BF為斜邊作RtBEF，2且1=，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，連接EG，CG，求證：EGCG240/2802ACB，連接BD，BE，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，連接CF（722021濟(jì)南）在等腰ABC中，ACeqoac(,BC)，ADE是直角三角形，DAE90，ADE=1（1）當(dāng)CAB45時(shí)如圖1，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，請直接寫出EAB與CBA的數(shù)量關(guān)系是線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是；（如圖2，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，1）中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由；學(xué)生經(jīng)

53、過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：思路一：作等腰ABC底邊上的高CM，并取BE的中點(diǎn)N，再利用三角形全等或相似有關(guān)知識來解決問題；思路二：取DE的中點(diǎn)G，連接AG，eqoac(,CG)，并把CAG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形全等或相似有關(guān)知識來解快問題（2）當(dāng)CAB30時(shí)，如圖3，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由41/28073（2021東營）如圖1，在等腰三角形ABC中，A120，ABAC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，ADAE，連接BE，點(diǎn)M、N、P分別為DE、BE、BC的中點(diǎn)（1）觀察猜想圖1中，線段NM、NP的數(shù)量關(guān)系是，

54、MNP的大小為（2）探究證明把ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MP、BD、eqoac(,CE)，判斷MNP的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸把ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD1，AB3，請求出MNP面積的最大值74（2021臨沂）如圖，菱形ABCD的邊長為1，ABC60，點(diǎn)E是邊AB上任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），線段CE的垂直平分線交BD，CE分別于點(diǎn)F，G，AE，EF的中點(diǎn)分別為M，N（1）求證：AFEF；（2）求MN+NG的最小值；（3）當(dāng)點(diǎn)E在AB上運(yùn)動時(shí)，CEF的大小是否變化？為什么？42/28075（2021青島）已知：如圖，在四邊形ABCD和RtEBF中，ABCD，

55、CDAB，點(diǎn)C在EB上，ABCEBF90，ABBE8cm，BCBF6cm，延長DC交EF于點(diǎn)M點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向勻速運(yùn)動，速度為2cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)，沿MF方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s過點(diǎn)P作GHAB于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)G設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（s）（0t5）解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)M在線段CQ的垂直平分線上？（2）連接PQ，作QNAF于點(diǎn)N，當(dāng)四邊形PQNH為矩形時(shí)，求t的值；（3）連接QC，QH，設(shè)四邊形QCGH的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（4）點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)P在AFE的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由7

56、6（2021日照）閱讀理解：如圖1，eqoac(,Rt)ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊，C90，其外接圓半徑為R根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義：sinA=，sinB=，可得=c2R，=即：=2R，（規(guī)定sin901）探究活動：如圖eqoac(,2)，在銳角ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊，其外接圓半徑為R，43/280那么：（用、或連接），并說明理由事實(shí)上，以上結(jié)論適用于任意三角形初步應(yīng)用：在ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊，A60，B45，a8，求b綜合應(yīng)用：如圖3，在某次數(shù)學(xué)活動中，小鳳同學(xué)測量一古塔CD的高度，在A處用測角儀測得塔頂C的仰角為15，又沿古塔的方向前

57、行了100m到達(dá)B處，此時(shí)A，B，D三點(diǎn)在一條直線上，在B處測得塔頂C的仰角為45，求古塔CD的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一4）位）（31.732，sin15=6277（2021泰安）小明將兩個(gè)直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，ACB與ECD恰好為對頂角，ABCCDE90，連接BD，ABBD，點(diǎn)F是線段CE上一點(diǎn)探究發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)時(shí)，連接DF（如圖（2），小明經(jīng)過探究，得到結(jié)論：BDDF你認(rèn)為此結(jié)論是否成立？（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結(jié)論互換，即：BDDF，則點(diǎn)F為線段CE的中點(diǎn)請判斷此結(jié)論是否成立若成立，請寫

58、出證明過程；若不成立，請說明理由問題解決：（3）若AB6，CE9，求AD的長44/28078（2021泰安）若ABC和AED均為等腰三角形，且BACEAD90（1）如圖（1），點(diǎn)B是DE的中點(diǎn)，判定四邊形BEAC的形狀，并說明理由；（2）如圖（2），若點(diǎn)G是EC的中點(diǎn)，連接GB并延長至點(diǎn)F，使CFCD求證：EBDC，EBGBFC79（2021威海）發(fā)現(xiàn)規(guī)律（1）如圖eqoac(,)，ABC與ADE都是等邊三角形，直線BD，CE交于點(diǎn)F直線BD，AC交于點(diǎn)H求BFC的度數(shù)45/280（eqoac(,2)）已知：ABC與ADE的位置如圖所示，直線BD，CE交于點(diǎn)F直線BD，AC交于點(diǎn)H若ABCAD

59、E，ACBAED，求BFC的度數(shù)應(yīng)用結(jié)論（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0），N為y軸上一動點(diǎn)，連接MN將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段MK，連接NK，OK求線段OK長度的最小值80（2021濰坊）如圖eqoac(,1)，在ABC中，A90，ABAC=2+1，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且ADAE1，連接eqoac(,DE)現(xiàn)將ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為46/280（0360），如圖2，連接CE，BD，CD（1）當(dāng)0180時(shí)，求證：CEBD；（2）如圖3，當(dāng)90時(shí)，延長CE交BD于點(diǎn)F，求證：CF垂直平分BD；（eqoac(,3)）在

60、旋轉(zhuǎn)過程中，求BCD的面積的最大值，并寫出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)81（2021煙臺）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF【問題解決】如圖1，若點(diǎn)D在邊BC上，求證：CE+CFCD；【類比探究】如圖2，若點(diǎn)D在邊BC的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由82（2021棗莊）在ABC中，ACB90，CD是中線，ACBC，一個(gè)以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的45角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC、BC的延長線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F，47/280DF與AC交于點(diǎn)M，DE與BC交于點(diǎn)N（1）如圖1，若CECF，求證