新北師大版八年級下冊數(shù)學(xué)（全冊知識點(diǎn)考點(diǎn)梳理、重點(diǎn)題型分類鞏固練習(xí)）（提高版）（家教、補(bǔ)習(xí)、復(fù)習(xí)用）

1、北師大版八年級下冊數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)等腰三角形（提高）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)概念, 掌握等腰三角形的軸對稱性；2. 掌握等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，會利用這些性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理、證明、計(jì)算和作圖3. 理解并掌握等腰三角形、等邊三角形的判定方法及其證明過程. 通過定理的證明和應(yīng)用，初步了解轉(zhuǎn)化思想，并培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.4. 理解反證法并能用反證法推理證明簡單幾何題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等腰三角形的定義1.等腰三角形有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做

2、頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在ABC中，ABAC，ABC是等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,A是頂角，B、C是底角2.等腰三角形的作法 已知線段a,b(如圖).用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作線段BC=a； 2.分別以B,C為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧 相交于點(diǎn)A; 3.連接AB,AC. ABC為所求作的等腰三角形3.等腰三角形的對稱性 (1)等腰三角形是軸對稱圖形； (2)BC； (3)BDCD，AD為底邊上的中線.(4)ADBADC90，AD為底邊上的高線.結(jié)論：等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線

3、是它的對稱軸.4.等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對稱軸，每個(gè)角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對稱軸.要點(diǎn)詮釋：（1）等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.A1802B，BC .（2）等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.要點(diǎn)二、等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡稱“在同一個(gè)三角形中，等邊對等角”推論：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)內(nèi)角都等于60.性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分

4、線、底邊上中線和高線互相重合.簡稱“等腰三角形三線合一”2.等腰三角形中重要線段的性質(zhì)等腰三角形的兩底角的平分線（兩腰上的高、兩腰上的中線）相等.要點(diǎn)詮釋：這條性質(zhì)，還可以推廣到以下結(jié)論：（1）等腰三角形底邊上的高上任一點(diǎn)到兩腰的距離相等。（2）等腰三角形兩底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等.（3）等腰三角形兩底角平分線，兩腰上的中線，兩腰上的高的交點(diǎn)到兩腰的距離相等，到底邊兩端上的距離相等.（4）等腰三角形頂點(diǎn)到兩腰上的高、中線、角平分線的距離相等.要點(diǎn)三、等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.可以簡單的說成：在一個(gè)三角形中，等角對等邊

5、. 要點(diǎn)詮釋：(1)要弄清判定定理的條件和結(jié)論，不要與性質(zhì)定理混淆判定定理得到的結(jié)論是等腰三角形，性質(zhì)定理是已知三角形是等腰三角形，得到邊和角關(guān)系.（2）不能說“一個(gè)三角形兩底角相等，那么兩腰邊相等”，因?yàn)檫€未判定它是一個(gè)等腰三角形2.等邊三角形的判定定理三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形.有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形.3. 含有30角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.要點(diǎn)四、反證法在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過逐步推導(dǎo)論證，最后推出與學(xué)過的概念、基本事實(shí)，以證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果，從而證

6、明命題的結(jié)論一定成立，這種證明命題的方法叫做反證法.要點(diǎn)詮釋：反證法也稱歸謬法，是一種間接證明的方法，一般適用于直接證明有困難的命題一般證明步驟如下：（1） 假定命題的結(jié)論不成立； （2） 從這個(gè)假設(shè)和其他已知條件出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出與學(xué)過的概念、基本事實(shí)，以證明的定理、性質(zhì)或題設(shè)條件相矛盾的結(jié)果； （3）由矛盾的結(jié)果，判定假設(shè)不成立，從而說明命題的結(jié)論是正確的.類型一、等腰三角形中的分類討論1、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30，則頂角的度數(shù)為( ) A60 B120 C60或150 D60或120【答案】D；【解析】由等腰三角形的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和定理可知，等腰三角形的頂角可以

7、是銳角、直角、鈍角，然而題目沒說是什么三角形，所以分類討論，畫出圖形再作答(1)頂角為銳角如圖，按題意頂角的度數(shù)為60； (2)頂角為直角，一腰上的高是另一腰，夾角為0不符合題意； (3)頂角為鈍角如圖，則頂角度數(shù)為120，故此題應(yīng)選D【總結(jié)升華】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形的高相對于三角形的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是忽視了頂角為120這種情況，把三角形簡單的認(rèn)為是銳角三角形舉一反三：【變式1】已知等腰三角形的周長為13，一邊長為3，求其余各邊【答案】 解：(1)3為腰長時(shí)，則另一腰長也為3，底邊長13337； (2)3為底邊長時(shí)，則兩個(gè)腰長的和13310，則一

8、腰長 這樣得兩組：3，3，7 5，5，3 而由構(gòu)成三角形的條件：兩邊之和大于第三邊可知：337，故不能組成三角形，應(yīng)舍去 等腰三角形的周長為13，一邊長為3，其余各邊長為5，5【變式2】在ABC中，A=40，當(dāng)B= 時(shí)，ABC是等腰三角形【答案】40、70或100提示：分為兩種情況：（1）當(dāng)A是底角，AB=BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出A=C=40，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出B；AC=BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到A=B=40；（2）當(dāng)A是頂角時(shí)，AB=AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理即可求出B類型二、等腰三角形的操作題2、如圖，請將下列兩個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形（要求標(biāo)出

9、每個(gè)等腰三角形的內(nèi)角度數(shù)）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等腰三角形的判定定理在左圖ABC中的邊BC上取一點(diǎn)D，使BD=AD即可；在右圖ABC中的邊AC上取一點(diǎn)D，使BD=CD即可【答案與解析】解：如圖（1）所示：在BC上取一點(diǎn)D，使ADB=110，ADC=70，BAD=35，CAD=40，如圖（2）所示：在AC上取一點(diǎn)D，使ABD=32，CBD=16，ADB=32， BDC=148【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意應(yīng)先確定等腰三角形的各個(gè)角的度數(shù)，再根據(jù)度數(shù)畫出圖形舉一反三：【變式】（2015溫州模擬）如圖，有甲，乙兩個(gè)三角形，請你用一條直

10、線把每一個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形，并標(biāo)出每個(gè)三角形各角的度數(shù) 【答案】解：如圖1：直線把75的角分成25的角和50的角，則分成的兩個(gè)三角形都是等腰三角形；如圖2，直線把120的角分成80和40的角，則分成的兩個(gè)三角形都是等腰三角形 類型三、等腰三角形性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用3、（2016春威海期末）在ABC中，AB=AC，BAC=120，ADBC，垂足為G，且AD=ABEDF=60，其兩邊分別交邊AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)（1）求證：ABD是等邊三角形；（2）求證：BE=AF【思路點(diǎn)撥】（1）連接BD由等腰三角形的性質(zhì)和已知條件得出BAD=DAC=120=60，再由AD=AB，即可得出結(jié)論；（2）由A

11、BD是等邊三角形，得出BD=AD，ABD=ADB=60，證出BDE=ADF，由ASA證明BDEADF，得出BE=AF【答案與解析】（1）證明：連接BD，AB=AC，ADBC，BAD=DAC=BAC，BAC=120，BAD=DAC=120=60，AD=AB，ABD是等邊三角形；（2）證明：ABD是等邊三角形，ABD=ADB=60，BD=ADEDF=60，BDE=ADF，在BDE與ADF中，BDEADF（ASA），BE=AF【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】如圖在RtA

12、BC中，ACB=90，B=30，AD是BAC的平分線，DEAB于點(diǎn)E，連接CE，則圖中的等腰三角形共有 個(gè)【答案】4；提示：根據(jù)等腰三角形的判定，由已知可證BAD=CAD=B=30，即證ADB是等腰三角形；又證CD=DE，AE=AC，即證CDE，AEC是等腰三角形；再證ECB=B=30，即證BEC是等腰三角形即圖中的等腰三角形共有4個(gè) 4、如圖，RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足為DAF平分CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F，求證：CE=CF【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出CAF+CFA=90，F(xiàn)AD+AED=90，根據(jù)角平分線和對頂角相等得出CEF=CFE，根據(jù)等腰三角形的判定

13、推出即可【答案與解析】 證明：ACB=90，CDAB，CDA=90，CAF+CFA=90，F(xiàn)AD+AED=90，AF平分CAB，CAF=FAD，CFA=AED=CEF，CE=CF【總結(jié)升華】本題考查了直角三角形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是推出CEF=CFE舉一反三：【變式】如圖是由9個(gè)等邊三角形拼成的六邊形，現(xiàn)已知中間最小的等邊三角形的邊長是a，則圍成的六邊形的周長為（）A. 30a B. 32a C. 34a D. 無法計(jì)算【答案】A；提示：設(shè)右下角第二個(gè)小的等邊三角形的邊長是x，則剩下的7個(gè)等邊三角形的邊長是x； x； x+a； x+a； x+2a ；x+2a；

14、 x+3a，根據(jù)題意得到方程2x=x+3a，求出x=3a，即可求出圍成的六邊形的周長類型四、含30角的直角三角形5、如圖，測量旗桿AB的高度時(shí)，先在地面上選擇一點(diǎn)C，使ACB=15然后朝著旗桿方向前進(jìn)到點(diǎn)D，測得ADB=30，量得CD=13m，求旗桿AB的高 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出CAD，再根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得AD=CD，然后根據(jù)直角三角形30角所對的直角邊等于斜邊的一半解答即可【答案與解析】解：ACB=15，ADB=30，CAD=ADB-ACB=30-15=15，即CAD為等腰三角形，AD=CD=13，在ADB中，ABDB，ADB=30，AB=A

15、D=13=6.5(m)【總結(jié)升華】本題考查了直角三角形30角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】已知：如圖，在RtABC中，C=90，BAD=BAC，過點(diǎn)D作DEAB，DE恰好是ADB的平分線，求證：CD=DB【答案】解：DEAB，AED=BED=90，DE是ADB的平分線，3=4，又DE=DE，BEDAED（ASA），AD=BD，2=B，BAD=2=BAC，1=2=B，AD=BD，又1+2+B=90，B=1=2=30，在直角三角形ACD中，1=30，CD= AD= BD類型五、反證法6、

16、求證：在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不等，那么它們所對的邊也不等【思路點(diǎn)撥】先假設(shè)它們的對邊相等，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出假設(shè)不成立，從而證得原結(jié)論成立【答案與解析】 證明：假設(shè)它們所對的邊相等；則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理，“等邊對等角”所以等它們所對的角也相等；這就與題設(shè)兩個(gè)角不等相矛盾；因此假設(shè)不成立，故原結(jié)論成立【總結(jié)升華】本題結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟舉一反三：【變式】用反證法證明“三角形三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)銳角”時(shí)應(yīng)首先假設(shè) .【答案】三角形三個(gè)內(nèi)角中最多有一個(gè)銳角北師大版八年級下冊數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一.選擇

17、題1如圖，在ABC中，若ABAC，BCBD，ADDEEB，則A等于( )A30 B36 C45 D542用反證法證明：a，b至少有一個(gè)為0，應(yīng)假設(shè)（ ） A. a，b沒有一個(gè)為0B. a，b只有一個(gè)為0C. a，b至多有一個(gè)為0D. a，b兩個(gè)都為03. 如圖，在ABC中，ABC、ACB的平分線相交于F，過F作DEBC，交AB于D，交AC于E，那么下列結(jié)論正確的有( ) BDF，CEF都是等腰三角形； DEDBCE；ADDEAEABAC； BFCF.A1個(gè)B2個(gè) C3個(gè)D4個(gè)4. 等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于（）A頂角的一半B底角的一半 C90減去頂角的一半D90減去底角的一半5如圖

18、，在ABC中，ACB=90，BE平分ABC，EDAB于D如果A=30，AE=6cm，那么CE等于（）Acm B2cm C3cm D4cm6. 如圖，ABC中，C=90，AC=3，B=30，點(diǎn)P是BC邊上的動點(diǎn)，則AP長不可能是（）A3.5B4.2C5.8D7 二.填空題7（2016通遼）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為48，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為 8. 用反證法證明“若|a|b|，則ab”時(shí)，應(yīng)假設(shè) 9. 等腰三角形的周長為22，其中一邊的長是8,則其余兩邊長分別為_. 10.（2015春鹽城校級月考）如圖，在RtABC中，ACB=90，AB=5cm，BC=4cm動點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，以

19、每秒1cm的速度沿射線AC運(yùn)動，當(dāng)t= 時(shí)，ABD為等腰三角形11如圖，鈍角三角形紙片ABC中，BAC110，D為AC邊的中點(diǎn)現(xiàn)將紙片沿過點(diǎn)D的直線折疊，折痕與BC交于點(diǎn)E，點(diǎn)C的落點(diǎn)記為F若點(diǎn)F恰好在BA的延長線上，則ADF _12. 如圖，在ABC中，ABC120，點(diǎn)D、E分別在AC和AB上，且AEEDDBBC，則A的度數(shù)為_三.解答題13. 用反證法證明：一條線段只有一個(gè)中點(diǎn)14（2016秋宜昌期中）一個(gè)等腰三角形的三邊長分別為x，2x3，4x6，求這個(gè)三角形的周長15.（2015秋東臺市期中）如圖，ABC中，C=90，AB=10cm，BC=6cm，若動點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按CABC的路徑運(yùn)

20、動，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒（1）出發(fā)2秒后，求ABP的周長（2）問t為何值時(shí)，BCP為等腰三角形？（3）另有一點(diǎn)Q，從點(diǎn)C開始，按CBAC的路徑運(yùn)動，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)P、Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動當(dāng)t為何值時(shí)，直線PQ把ABC的周長分成相等的兩部分？ 【答案與解析】一.選擇題1. 【答案】C；【解析】設(shè)A，則由題意ADE1802，EDB，BDCBCD90，因?yàn)锳DEEDBBDC180，所以45.2. 【答案】A； 【解析】由于命題：“a，b至少有一個(gè)為0”的反面是：“a，b沒有一個(gè)為0”，故選A.3. 【答案】C ；【解析】正確.4. 【

21、答案】A； 【解析】解：ABC中，AB=AC，BD是高，ABC=C=在RtBDC中，CBD=90-C=90-=.故選A5. 【答案】C； 【解析】解：EDAB，A=30，AE=2ED，AE=6cm，ED=3cm，ACB=90，BE平分ABC，ED=CE，CE=3cm；故選：C6. 【答案】D; 【解析】解：根據(jù)垂線段最短，可知AP的長不可小于3；ABC中，C=90，AC=3，B=30，AB=6，AP的長不能大于6故選D二.填空題7. 【答案】69或21； 【解析】解：分兩種情況討論：若A90，如圖1所示：BDAC，A+ABD=90，ABD=48，A=9048=42，AB=AC，ABC=C=（1

22、8042）=69；若A90，如圖2所示：同可得：DAB=9048=42，BAC=18042=138，AB=AC，ABC=C=（180138）=21；綜上所述：等腰三角形底角的度數(shù)為69或21故答案為：69或218. 【答案】a=b； 【解析】a，b的等價(jià)關(guān)系有a=b，ab兩種情況，因而ab的反面是a=b.9. 【答案】7，7或8，6； 【解析】邊長為8cm的可能是底邊，也可能是腰.10.【答案】5，6，； 【解析】解：在RtABC中，ACB=90，AB=5cm，BC=4cm，由勾股定理得：AC=3cm，由運(yùn)動可知：AD=t，且ABD時(shí)等腰三角形，有三種情況：若AB=AD，則t=5；若BA=BD

23、，則AD=2AC，即t=6；若DA=DB，則在RtBCD中，CD=t3，BC=4，BD=t，即（t3）2+42=t2，解得：t=，綜合上述：符合要求的t值有3個(gè)，分別為5，6，11.【答案】40； 【解析】ADFD，F(xiàn)ADAFD70，所以ADF40.12.【答案】15； 【解析】設(shè)A，BEDEBD2，CBD1202，CBDC30，而AC60，所以30 60，解得15.三.解答題13.【解析】 已知：一條線段AB，M為AB的中點(diǎn)求證：線段AB只有一個(gè)中點(diǎn)M證明：假設(shè)線段AB有兩個(gè)中點(diǎn)M、N，不妨設(shè)M在N的左邊，則AMAN，又因?yàn)锳M=AB=AN=AB，這與AMAN矛盾，所以線段AB只有一個(gè)中點(diǎn)M

24、14.【解析】解：x=2x3，則x=3，4x6=6，3+3=6，3、3、6不能構(gòu)成三角形；x=4x6，則x=2，2x3=1，1、2、2任意兩邊之和大于第三邊，這個(gè)三角形的周長為1+2+2=5；2x3=4x6，則x=，2x3=0，此三角形不存在綜上可知：這個(gè)三角形的周長為515【解析】解：（1）C=90，AB=10cm，BC=6cm，有勾股定理得AC=8cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按CABC的路徑運(yùn)動，且速度為每秒1cm出發(fā)2秒后，則CP=2cm，那么AP=6cmC=90，有勾股定理得PB=2cmABP的周長為：AP+PB+AB=6+10+2=（16+2）cm；（2）若P在邊AC上時(shí)，BC=CP=6

25、cm，此時(shí)用的時(shí)間為6s，BCP為等腰三角形；若P在AB邊上時(shí)，有兩種情況：若使BP=CB=6cm，此時(shí)AP=4cm，P運(yùn)動的路程為12cm，所以用的時(shí)間為12s，故t=12s時(shí)BCP為等腰三角形；若CP=BC=6cm，過C作斜邊AB的高，根據(jù)面積法求得高為4.8cm，根據(jù)勾股定理求得BP=7.2cm，所以P運(yùn)動的路程為187.2=10.8cm，t的時(shí)間為10.8s，BCP為等腰三角形；若BP=CP時(shí)，則PCB=PBC，ACP+BCP=90，PBC+CAP=90，ACP=CAP，PA=PCPA=PB=5cmP的路程為13cm，所以時(shí)間為13s時(shí)，BCP為等腰三角形t=6s或13s或12s或 1

26、0.8s 時(shí)BCP為等腰三角形；（3）當(dāng)P點(diǎn)在AC上，Q在AB上，則AP=8t，AQ=162t，直線PQ把ABC的周長分成相等的兩部分，8t+162t=12，t=4；當(dāng)P點(diǎn)在AB上，Q在AC上，則AP=t8，AQ=2t16，直線PQ把ABC的周長分成相等的兩部分，t8+2t16=12，t=12，當(dāng)t為4或12秒時(shí)，直線PQ把ABC的周長分成相等的兩部分北師大版八年級下冊數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)直角三角形-知識講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握勾股定理的內(nèi)容及證明方法、勾股定理的逆定理及其應(yīng)用理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系2. 能夠運(yùn)用勾股定理解決

27、簡單的實(shí)際問題，會運(yùn)用方程思想解決問題；能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形.3. 能夠熟練地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其應(yīng)用.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目中已知線段的長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：， .（4）勾股數(shù)：滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥

28、拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對解題會很有幫助：3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41 如果是勾股數(shù)，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長；（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長； （是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長.要點(diǎn)二、勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形. 圖（1）中，所以. 方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形. 圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形. ，所以.要點(diǎn)

29、三、勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計(jì)算來判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.要點(diǎn)四、如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則ABC是C90的直角三角形；若，則ABC不是直角三角形.要點(diǎn)詮釋：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.要點(diǎn)五、互逆命題與互逆定理如果兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，則稱它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個(gè)叫原命題，則另一個(gè)叫做它的逆

30、命題.如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理稱為互逆定理，其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆定理.要點(diǎn)詮釋：原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯(cuò)誤；正確的命題我們稱為真命題，錯(cuò)誤的命題我們稱它為假命題.一個(gè)定理是真命題，每一個(gè)定理不一定有逆定理，如果這個(gè)定理存在著逆定理，則一定是真命題.要點(diǎn)六、直角三角形全等的判定（HL）在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡稱“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個(gè)判定方法是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備.要點(diǎn)詮釋：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應(yīng)相等，由于其中含有

31、直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了. （2）判定兩個(gè)直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個(gè)直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書寫時(shí)必須在兩個(gè)三角形前加上“Rt”.【典型例題】類型一、勾股定理1、（2016春盧龍縣期末）已知兩條線段的長為3cm和4cm，當(dāng)?shù)谌龡l線段的長為_ cm時(shí)，這三條線段能組成一個(gè)直角三角形【思路點(diǎn)撥】本題從邊的方面考查三角形形成的條件，涉及分類討論的思考方法，即：由于“兩邊長分別為3和5，要使這個(gè)

32、三角形是直角三角形，”指代不明，因此，要討論第三邊是直角邊和斜邊的情形【答案】5或【解析】解：當(dāng)?shù)谌吺侵苯沁厱r(shí)，根據(jù)勾股定理，第三邊的長=5，三角形的邊長分別為3，4，5能構(gòu)成三角形；當(dāng)?shù)谌吺切边厱r(shí)，根據(jù)勾股定理，第三邊的長=，三角形的邊長分別為3，亦能構(gòu)成三角形；綜合以上兩種情況，第三邊的長應(yīng)為5或，故答案為5或【總結(jié)升華】本題考查了勾股定理的逆定理，解題時(shí)注意三角形形成的條件：任意兩邊之和第三邊，任意兩邊之差第三邊，當(dāng)題目指代不明時(shí)，一定要分情況討論，把符合條件的保留下來，不符合的舍去2、（2015春黔南州期末）長方形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖方式折疊，使點(diǎn)B

33、與點(diǎn)D重合，折痕為EF，求DE的長【思路點(diǎn)撥】在折疊的過程中，BE=DE從而設(shè)BE即可表示AE在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理列方程即可求解【答案與解析】解：設(shè)DE=xcm，則BE=DE=x，AE=ABBE=10 x，ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10 x）2+16x=（cm）答：DE的長為cm.【總結(jié)升華】注意此類題中，要能夠發(fā)現(xiàn)折疊的對應(yīng)線段相等類型二、勾股定理的逆定理3、如圖所示，四邊形ABCD中，ABAD，AB2，AD，CD3，BC5，求ADC的度數(shù)【答案與解析】解： ABAD， A90，在RtABD中， BD4， ，可知ADB30，在BDC中， ， BDC90， AD

34、CADB+BDC30+90120【總結(jié)升華】利用勾股定理的逆定理時(shí)，條件是三角形的三邊長，結(jié)論是直角三角形，即由邊的條件得到角的結(jié)論，所以在幾何題中需要進(jìn)行邊角的轉(zhuǎn)換時(shí)要聯(lián)想勾股定理的逆定理 舉一反三：【變式1】ABC三邊滿足，則ABC是（ ）A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形【答案】D；提示：由題意，因?yàn)?，所以ABC為直角三角形.【變式2】（2015春廈門校級期末）在四邊形ABCD中，AB=AD=2，A=60，BC=2，CD=4求ADC的度數(shù)【答案】解：連接BD，AB=AD=2，A=60，ABD是等邊三角形，BD=2，ADB=60，BC=2，CD=4，則BD2+C

35、D2=22+42=20，BC2=（2）2=20，BD2+CD2=BC2，BDC=90，ADC=150類型三、勾股定理、逆定理的實(shí)際應(yīng)用4、如圖所示，在一棵樹的10高的B處有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹20處的池塘A處，另外一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離的直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，試問這棵樹有多高？【思路點(diǎn)撥】其中一只猴子從BCA共走了(10+20)=30，另一只猴子從BDA也共走了30，并且樹垂直于地面，于是這個(gè)問題可化歸到直角三角形中利用勾股定理解決【答案與解析】解：設(shè)樹高CD為，則BD10，AD30(10)40，在RtACD中，解得：15答：這棵樹高15【總結(jié)升華】本題利

36、用距離相等用未知數(shù)來表示出DC和DA，然后利用勾股定理作等量關(guān)系列方程求解舉一反三：【變式】如圖，有一個(gè)圓柱，它的高等于12，底面半徑等于3，在圓柱的底面A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對的B點(diǎn)的食物，需要爬行的最短路程是多少?(取3)【答案】解：如圖所示，由題意可得： ， 在RtAAB中，根據(jù)勾股定理得： 則AB15 所以需要爬行的最短路程是155、（2015春武昌區(qū)期中）某港口位于東西方向的海岸線上“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號每小時(shí)航行16海里，“海天”號每小時(shí)航行12海里它們離開港口1小時(shí)后相距20海里如果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行，

37、能知道“海天”號沿哪個(gè)方向航行嗎？【答案與解析】解：1小時(shí)“遠(yuǎn)航”號的航行距離：OB=161=16海里；1小時(shí)“海天”號的航行距離：OA=121=12海里，因?yàn)锳B=20海里，所以AB2=OB2+OA2，即202=162+122，所以O(shè)AB是直角三角形，又因?yàn)?=45，所以2=45，故“海天”號沿西北方向航行或東南方向航行【總結(jié)升華】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷類型四、原命題與逆命題6、下列命題中，逆命題錯(cuò)誤的是（）A平行四邊形的對角線互相平分 B有兩對鄰角互補(bǔ)的

38、四邊形是平行四邊形 C平行四邊形的一組對邊平行，另一組對邊相等 D兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形【答案】C；【解析】解：A的逆命題是：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形由平行四邊形的判定可知這是真命題；B的逆命題是：平行四邊形的兩對鄰角互補(bǔ)，由平行四邊形的性質(zhì)可知這是真命題；C的逆命題是：一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故是錯(cuò)誤的；D的逆命題是：平行四邊形的兩組對邊分別相等地，由平行四邊形的性質(zhì)可知這是真命題；故選C【總結(jié)升華】分別寫出每個(gè)命題的逆命題，再判斷其真假即可此題主要考查學(xué)生對逆命題的定義的理解，要求學(xué)生對基礎(chǔ)知識牢固掌握舉一反三：【變式】下

39、列命題中，逆命題是真命題的是（）A對頂角相等 B如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方數(shù)相等 C等腰三角形兩底角相等 D兩個(gè)全等三角形的對應(yīng)角相等 【答案】C；解：A的逆命題是：相等的角是對頂角是假命題，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，B的逆命題是：如果兩實(shí)數(shù)的平方相等，那么兩實(shí)數(shù)相等是假命題，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，C的逆命題是：兩底角相等的三角形是等腰三角形是真命題，故本選項(xiàng)正確，D的逆命題是：對角線相等的兩個(gè)三角形是全都三角形是假命題，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選C類型五、直角三角形全等的判定“HL”7、已知：如圖，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AB平分DAE，AEBE，垂足為E求證：AD=AE【思路點(diǎn)撥】證明線段相等，可證線段所

40、在的三角形全等，結(jié)合本題，證ADBAEB即可【答案與解析】證明：AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，ADB=90，AEEB，E=ADB=90，AB平分DAE，EAB=DAB； 在ADB與AEB中，ADBAEB（AAS），AD=AE【總結(jié)升華】此題考查線段相等，可以通過全等三角形來證明，要判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件8、如圖，已知在ABC中，AB=AC，BAC=90，分別過B、C向過A的直線作垂線，垂足分別為E、F（1）如圖過A的直線與斜邊BC不相交時(shí)，求證：EF=BE+CF；（2）如圖過A的直線與斜邊BC相交時(shí)

41、，其他條件不變，若BE=10，CF=3，求：FE長【答案與解析】（1）證明：BEEA，CFAF，BAC=BEA=CFE=90，EAB+CAF=90，EBA+EAB=90，CAF=EBA，在ABE和CAF中，BEA=AFC=90，EBA=CAF，AB=AC，ABECAFEA=FC，BE=AFEF=EA+AF（2）解：BEEA，CFAF，BAC=BEA=CFE=90，EAB+CAF=90，ABE+EAB=90，CAF=ABE，在ABE和CAF中，BEA=AFC=90，EBA=CAF，AB=AC，ABECAFEA=FC=3，BE=AF=10EF=AF-CF=10-3=7【總結(jié)升華】此題根據(jù)已知條件容

42、易證明BEAAFC，然后利用對應(yīng)邊相等就可以證明題目的結(jié)論；（2）根據(jù)（1）知道BEAAFC仍然成立，再根據(jù)對應(yīng)邊相等就可以求出EF了此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，利用它們解決問題，經(jīng)常用全等來證線段和的問題 北師大版八年級下冊數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)直角三角形鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一.選擇題1若直角三角形的三邊長分別為3，4，則的值為( )A.5B. C.5或D.72（2015詔安縣校級模擬）下列幾組數(shù)中不能作為直角三角形三邊長度的是（）Aa=7，b=24，c=25 Ba=1.5，b=2，c=2.5C Da=15，b=8，c=173五根小木棒，其長度分別為7，

43、15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是（ ）4. 為直角三角形的三邊，且為斜邊，為斜邊上的高，下列說法：能組成一個(gè)三角形 能組成三角形能組成直角三角形 能組成直角三角形其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）A1 B2 C3 D45.已知如圖，ADBC，ABBC，CDDE，CDED，AD2，BC3，則ADE的面積為（） A. 1 B. 2 C. 5 D. 無法確定 6. 下列定理中，有逆定理的是（ ） A四邊形的內(nèi)角和等于360 B同角的余角相等 C全等三角形對應(yīng)角相等 D在一個(gè)三角形中，等邊對等角二.填空題7如圖，在的正方形網(wǎng)格中，以AB為邊畫直角ABC，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上，這樣的點(diǎn)

44、C共 個(gè)8在直線上依次擺著7個(gè)正方形(如圖)，已知傾斜放置的3個(gè)正方形的面積分別為1，2，3，水平放置的4個(gè)正方形的面積是則_ 9.（2016春普寧市期末）如圖，已知ABCD，垂足為B，BC=BE，若直接應(yīng)用“HL”判定ABCDBE，則需要添加的一個(gè)條件是 10.（2015春滑縣期末）如果三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，則三角形為 三角形11. 如圖，已知AD是ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于F，且BFAC，F(xiàn)DCD.則BAD_.12.在ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn)，作PRAB，PSAC，垂足分別是R，S，PR=PS，AQ=PQ，則下面三

45、個(gè)結(jié)論：AS=AR；PQAR；BRPCSP其中正確的是 三.解答題13.（2016春黃岡期中）a，b，c為三角形ABC的三邊，且滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，試判別這個(gè)三角形的形狀14.如圖，有一直角三角形ABC，C=90，AC=10cm，BC=5cm，一條線段PQ=AB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC上和過A點(diǎn)且垂直于AC的射線AQ上運(yùn)動，問P點(diǎn)運(yùn)動到AC上什么位置時(shí)ABC才能和APQ全等15.（2015春建昌縣期末）已知：如圖，有一塊RtABC的綠地，量得兩直角邊AC=8m，BC=6m現(xiàn)在要將這塊綠地?cái)U(kuò)充成等腰ABD，且擴(kuò)充部分（ADC）是以8m為直角邊長的直角三角形，求擴(kuò)充

46、后等腰ABD的周長（1）在圖1中，當(dāng)AB=AD=10m時(shí)，ABD的周長為 ；（2）在圖2中，當(dāng)BA=BD=10m時(shí)，ABD的周長為 ；（3）在圖3中，當(dāng)DA=DB時(shí)，求ABD的周長【答案與解析】一.選擇題1.【答案】C；【解析】可能是直角邊，也可能是斜邊.2.【答案】C； 【解析】解：A、滿足勾股定理：72+242=252，故A選項(xiàng)不符合題意；B、滿足勾股定理：1.52+22=2.52，故B選項(xiàng)不符合題意；C、不滿足勾股定理，不是勾股數(shù)，故C選項(xiàng)符合題意；D、滿足勾股定理：152+82=172，故D選項(xiàng)不符合題意故選：C3.【答案】C；【解析】.4.【答案】C；【解析】因?yàn)?，兩邊之和等于第三?/p>

47、，故不能組成一個(gè)三角形，錯(cuò)誤；因?yàn)椋阅芙M成三角形，正確；因?yàn)?，所以，即，正確；因?yàn)椋哉_.5.【答案】A； 【解析】因?yàn)橹繟D的長，所以只要求出AD邊上的高，就可以求出ADE的面積過D作BC的垂線交BC于G，過E作AD的垂線交AD的延長線于F，構(gòu)造出RtEDFRtCDG，求出GC的長，即為EF的長，然后利用三角形的面積公式解答即可6. 【答案】D.二.填空題7. 【答案】8；【解析】如圖所示：有8個(gè)點(diǎn)滿足要求.8【答案】4； 【解析】，故.9【答案】AC=DE；【解析】解：AC=DE，理由是：ABDC，ABC=DBE=90，在RtABC和RtDBE中，RtABCRtDBE（HL）故答

48、案為：AC=DE10.【答案】直角；【解析】解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10ca2+b2+c26a8b10c+50=0即a26a+9+b28b+16+c210c+25=0（a3）2+（b4）2+（c5）2=0a=3，b=4，c=5a2+b2=c2三角形為直角三角形11.【答案】45； 【解析】證ADC與BDF全等，ADBD，ABD為等腰直角三角形.12.【答案】 【解析】解：連接AP，在RtASP和RtARP中，PR=PS，PA=PA，所以RtASPRtARP，所以AS=AR正確；因?yàn)锳Q=PQ，所以QAP=QPA，又因?yàn)镽tASPRtARP，所以PAR=PAQ，于是RAP=QPA

49、，所以PQAR正確；BRPCSP，根據(jù)現(xiàn)有條件無法確定其全等故答案為：三.解答題13.【解析】解：由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，得：（a210a+25）+（b224b+144）+（c226c+169）=0，即：（a5）2+（b12）2+（c13）2=0，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得：，解得，52+122=169=132，即a2+b2=c2，C=90，即三角形ABC為直角三角形14.【解析】解：根據(jù)三角形全等的判定方法HL可知：當(dāng)P運(yùn)動到AP=BC時(shí)，C=QAP=90，在RtABC與RtQPA中，RtABCRtQPA（HL），即AP=BC=5cm；當(dāng)P運(yùn)動到與C點(diǎn)重合時(shí)，AP=AC，

50、在RtABC與RtQPA中，RtQAPRtBCA（HL），即AP=AC=10cm，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，ABC才能和APQ全等綜上所述，當(dāng)P運(yùn)動到AP=BC、點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，ABC才能和APQ全等15.【解析】解：（1）如圖1，AB=AD=10m，ACBD，AC=8m，DC=6（m），則ABD的周長為：10+10+6+6=32（m）故答案為：32m；（2）如圖2，當(dāng)BA=BD=10m時(shí)，則DC=BDBC=106=4（m），故AD=4（m），則ABD的周長為：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；故答案為：（20+4）m；（3）如圖3，DA=DB，設(shè)DC=xm，則AD=（6+x）m，

51、DC2+AC2=AD2，即x2+82=（6+x）2，解得；x=，AC=8m，BC=6m，AB=10m，故ABD的周長為：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）北師大版八年級下冊數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破知識點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型鞏固練習(xí)線段的垂直平分線鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一選擇題1.如圖，在RtACB中，C=90，BE平分ABC，ED垂直平分AB于D若AC=9，則AE的值是（）A、63B、43 C、6D、42.如圖，直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點(diǎn)，已知線段PA=5，則線段PB的長度為（）A、6B、5 C、4D、33.如圖，直線CP是AB的中垂線且交AB于P，其中AP=2CP甲、

52、乙兩人想在AB上取兩點(diǎn)D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作ACP、BCP之角平分線，分別交AB于D、E，則D、E即為所求；（乙）作AC、BC之中垂線，分別交AB于D、E，則D、E即為所求對于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確（）A、兩人都正確B、兩人都錯(cuò)誤 C、甲正確，乙錯(cuò)誤 D、甲錯(cuò)誤，乙正確4.如圖，在RtABC中，C=90，B=30AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，則下列結(jié)論不正確的是（）A、AE=BEB、AC=BE C、CE=DED、CAE=B5.如圖，AC=AD，BC=BD，則有（）A、AB垂直平分CD B、CD垂直平分AB C、AB與CD互相垂直平

53、分D、CD平分ACB6.（2015秋陸豐市校級期中）如圖，點(diǎn)P是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若PB=PC，則（）A點(diǎn)P在ABC的平分線上 B點(diǎn)P在ACB的平分線上C點(diǎn)P在邊AB的垂直平分線上 D點(diǎn)P在邊BC的垂直平分線上二填空題7（2016長沙）如圖，ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，則BCE的周長為 8.如圖，在ABC中，B=30，ED垂直平分BC，ED=3則CE長為_9.（2015西寧）如圖，RtABC中，B=90，AB=4，BC=3，AC的垂直平分線DE分別交AB，AC于D，E兩點(diǎn)，則CD的長為_10.如圖，AB=AC，BAC=120，AB的垂直平分線交

54、BC于點(diǎn)D，那么ADC=_度11.如圖:已知,在ABC中，BC=8，AB的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC與E，則ADE的周長等于_12.如圖，ABC的周長為19cm，AC的垂直平分線DE交BC于D，E為垂足，AE=3cm，則ABD的周長為_cm三解答題： 13.如圖，在ABC中，ABC=45，CDAB，BEAC，垂足分別為D，E，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，BE與DF，DC分別交于點(diǎn)G，H，ABE=CBE（1）線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明，若不相等請說明理由；（2）求證：BG2-GE2=EA214.（2015秋揚(yáng)州校級月考）如圖，ACB=90，AC=BC，D為ABC外一點(diǎn)，且AD=BD，DEA

55、C交CA的延長線于E點(diǎn)求證：DE=AE+BC15.（2016秋農(nóng)安縣期末）如圖，在ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M、N兩點(diǎn)，DM與EN相交于點(diǎn)F（1）若CMN的周長為15cm，求AB的長；（2）若MFN=70，求MCN的度數(shù)【答案與解析】一選擇題1【答案】C；【解析】BE平分ABC，CBE=ABE，ED垂直平分AB于D，EA=EB，A=ABE，CBE=30，BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，AE=6故選C2【答案】B;【解析】直線CD是線段AB的垂直平分線，P為直線CD上的一點(diǎn)，PB=PA，而已知線段PA=5，PB=53.【答案】D；【解析】CP是線段

56、AB的中垂線，ABC是等腰三角形，即AC=BC，A=B，作AC、BC之中垂線分別交AB于D、E，A=ACD，B=BCE，A=B，A=ACD，B=BCE，AC=BC，ACDBCE，AD=EB，AD=DC，EB=CE，AD=DC=EB=CE4【答案】B；【解析】A、根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得AE=BE故該選項(xiàng)正確；B、因?yàn)锳EAC，AE=BE，所以ACBE故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、根據(jù)等角對等邊，得BAE=B=30；根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，得BAC=60則CAE=BAE=30，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得CE=DE故該選項(xiàng)正確；D、根據(jù)C的證明過程故該選項(xiàng)正確5.【答案】A；【解析】AC=AD，BC=B

57、D，點(diǎn)A，B在線段CD的垂直平分線上AB垂直平分CD6.【答案】D；【解析】解：PB=PC，P在線段BC的垂直平分線上，故選D二填空題7.【答案】13；【解析】解：DE是AB的垂直平分線，EA=EB，則BCE的周長=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，故答案為：138.【答案】6；【解析】ED垂直平分BC，BE=CE，EDB=90，B=30，ED=3，BE=2DE=6，CE=69.【答案】；【解析】解：DE是AC的垂直平分線，CD=AD，AB=BD+AD=BD+CD，設(shè)CD=x，則BD=4x，在RtBCD中，CD2=BC2+BD2，即x2=32+（4x）2，解得x=故答案為：

58、10.【答案】60；【解析】由AB=AC，BAC=120，可得B=30，因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的垂直平分線上的點(diǎn)，所以AD=BD，因而BAD=B=30，從而ADC=60度11.【答案】8；【解析】ABC中，BC=8，AB的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC與E，AD=BD，AE=CEADE的周長=AD+AE+DE=BD+DE+CE=BC=8ADE的周長等于812.【答案】13；【解析】AC的垂直平分線DE交BC于D，E為垂足AD=DC，AC=2AE=6，ABC的周長為19，AB+BC=13(cm).ABD的周長=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13(cm)三解答題13.【解析】證明：

59、（1）CDAB，BEAC，BDH=BEC=CDA=90，ABC=45，BCD=180-90-45=45=ABCDB=DC，BDH=BEC=CDA=90，A+ACD=90，A+HBD=90，HBD=ACD，在DBH和DCA中 DBHDCA（ASA），BH=AC （2）連接CG，ABC=45，CDAB（CDB=90），BCD=45=ABC，DB=CD，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，DF垂直平分BC，BG=CG，ABE=CBE，BEAC，EC=EA，在RtCGE中，由勾股定理得：CG2-GE2=CE2，CE=AE，BG=CG，BG2-GE2=EA214. 【解析】證明：連接CD，AC=BC，AD=BD，C在AB的

60、垂直平分線上，D在AB的垂直平分線上，CD是AB的垂直平分線，ACB=90，ACD=ACB=45，DEAC，CDE=ACD=45，CE=DE，DE=AE+AC=AE+BC15. 【解析】解：（1）DM、EN分別垂直平分AC和BC，AM=CM，BN=CN，CMN的周長=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，CMN的周長為15cm，AB=15cm；（2）MFN=70，MNF+NMF=18070=110，AMD=NMF，BNE=MNF，AMD+BNE=MNF+NMF=110，A+B=90AMD+90BNE=180110=70，AM=CM，BN=CN，A=ACM，B=BCN，MCN=1802（A+