補充符號計算n

1、MATLAB符號計算1 符號對象2 符號微積分3 符號方程求解4 符號函數(shù)的可視化11 符號對象1.1 建立符號對象1建立符號變量和符號常量MATLAB提供了兩個建立符號對象的函數(shù)：sym和syms，兩個函數(shù)的用法不同。(1) sym函數(shù)sym函數(shù)用來建立單個符號量，一般調(diào)用格式為：符號量名=sym(符號字符串)該函數(shù)可以建立一個符號量，符號字符串可以是常量、變量、函數(shù)或表達式。應(yīng)用sym函數(shù)還可以定義符號常量，使用符號常量進行代數(shù)運算時和數(shù)值常量進行的運算不同。下面的命令用于比較符號常量與數(shù)值常量在代數(shù)運算時的差別。2 (2) syms函數(shù)函數(shù)sym一次只能定義一個符號變量，使用不方便。MA

2、TLAB提供了另一個函數(shù)syms，一次可以定義多個符號變量。syms函數(shù)的一般調(diào)用格式為：syms 符號變量名1 符號變量名2 符號變量名n用這種格式定義符號變量時不要在變量名上加字符串分界符()，變量間用空格而不要用逗號分隔。32建立符號表達式含有符號對象的表達式稱為符號表達式。建立符號表達式有以下3種方法：(1)利用單引號來生成符號表達式。(2)用sym函數(shù)建立符號表達式。(3) 使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達式。41.2 符號表達式運算1符號表達式的四則運算符號表達式的加、減、乘、除運算可分別由函數(shù)symadd、symsub、symmul和symdiv來實現(xiàn)，冪運算可以由sympow

3、來實現(xiàn)。2符號表達式的提取分子和分母運算如果符號表達式是一個有理分式或可以展開為有理分式，可利用numden函數(shù)來提取符號表達式中的分子或分母。其一般調(diào)用格式為：n,d=numden(s)該函數(shù)提取符號表達式s的分子和分母，分別將它們存放在n與d中。53符號表達式的因式分解與展開MATLAB提供了符號表達式的因式分解與展開的函數(shù)，函數(shù)的調(diào)用格式為：factor(s)：對符號表達式s分解因式。expand(s)：對符號表達式s進行展開。collect(s)：對符號表達式s合并同類項。collect(s,v)：對符號表達式s按變量v合并同類項。64符號表達式的化簡MATLAB提供的對符號表達式化簡

4、的函數(shù)有：simplify(s)：應(yīng)用函數(shù)規(guī)則對s進行化簡。simple(s)：調(diào)用MATLAB的其他函數(shù)對表達式進行綜合化簡，并顯示化簡過程。75符號表達式與數(shù)值表達式之間的轉(zhuǎn)換利用函數(shù)sym可以將數(shù)值表達式變換成它的符號表達式。函數(shù)numeric或eval可以將符號表達式變換成數(shù)值表達式。81.3 符號表達式中變量的確定MATLAB中的符號可以表示符號變量和符號常量。findsym可以幫助用戶查找一個符號表達式中的的符號變量。該函數(shù)的調(diào)用格式為：findsym(s,n)函數(shù)返回符號表達式s中的n個符號變量，若沒有指定n，則返回s中的全部符號變量。91.4 符號矩陣符號矩陣也是一種符號表達式

5、，所以前面介紹的符號表達式運算都可以在矩陣意義下進行。但應(yīng)注意這些函數(shù)作用于符號矩陣時，是分別作用于矩陣的每一個元素。由于符號矩陣是一個矩陣，所以符號矩陣還能進行有關(guān)矩陣的運算。MATLAB還有一些專用于符號矩陣的函數(shù)，這些函數(shù)作用于單個的數(shù)據(jù)無意義。例如transpose(s)：返回s矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。determ(s)：返回s矩陣的行列式值。其實，曾介紹過的許多應(yīng)用于數(shù)值矩陣的函數(shù)，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可直接應(yīng)用于符號矩陣。102 符號微積分2.1 符號極限limit函數(shù)的調(diào)用格式為：(1) limit(f,x,a)：求符號函數(shù)f(x)的極限

6、值。即計算當變量x趨近于常數(shù)a時，f(x)函數(shù)的極限值。(2) limit(f,a)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。由于沒有指定符號函數(shù)f(x)的自變量，則使用該格式時，符號函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認自變量，即變量x趨近于a。11(3) limit(f)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。符號函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認變量；沒有指定變量的目標值時，系統(tǒng)默認變量趨近于0，即a=0的情況。(4) limit(f,x,a,right)：求符號函數(shù)f的極限值。right表示變量x從右邊趨近于a。(5) limit(f,x,a,left)：求符號函數(shù)f的極

7、限值。left表示變量x從左邊趨近于a。12例 求下列極限。極限1：syms x t;limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf)ans =exp(6*t)13例 求下列極限。極限2：syms a m x;f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/(x+a);limit(f,x,a)ans =(1/2*a*exp(sin(a)+1/2*a-exp(tan(a)+1)/a142.2 符號導(dǎo)數(shù)diff函數(shù)用于對符號表達式求導(dǎo)數(shù)。該函數(shù)的一般調(diào)用格式為：diff(s)：沒有指定變量和導(dǎo)數(shù)階數(shù)，則系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認變量對符號表達式s求一階導(dǎo)數(shù)。d

8、iff(s,v)：以v為自變量，對符號表達式s求一階導(dǎo)數(shù)。diff(s,n)：按findsym函數(shù)指示的默認變量對符號表達式s求n階導(dǎo)數(shù)，n為正整數(shù)。diff(s,v,n)：以v為自變量，對符號表達式s求n階導(dǎo)數(shù)。152.3 符號積分符號積分由函數(shù)int來實現(xiàn)。該函數(shù)的一般調(diào)用格式為：int(s)：沒有指定積分變量和積分階數(shù)時，系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認變量對被積函數(shù)或符號表達式s求不定積分。int(s,v)：以v為自變量，對被積函數(shù)或符號表達式s求不定積分。int(s,v,a,b)：求定積分運算。a,b分別表示定積分的下限和上限。該函數(shù)求被積函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分。a和b可以是兩

9、個具體的數(shù)，也可以是一個符號表達式，還可以是無窮(inf)。當函數(shù)f關(guān)于變量x在閉區(qū)間a,b上可積時，函數(shù)返回一個定積分結(jié)果。當a,b中有一個是inf時，函數(shù)返回一個廣義積分。當a,b中有一個符號表達式時，函數(shù)返回一個符號函數(shù)。163 符號方程求解3.1 符號代數(shù)方程求解在MATLAB中，求解用符號表達式表示的代數(shù)方程可由函數(shù)solve實現(xiàn)，其調(diào)用格式為：solve(s)：求解符號表達式s的代數(shù)方程，求解變量為默認變量。solve(s,v)：求解符號表達式s的代數(shù)方程，求解變量為v。solve(s1,s2,sn,v1,v2,vn)：求解符號表達式s1,s2,sn組成的代數(shù)方程組，求解變量分別v

10、1,v2,vn。173.2 符號常微分方程求解在MATLAB中，用大寫字母D表示導(dǎo)數(shù)。例如，Dy表示y，D2y表示y，Dy(0)=5表示y(0)=5。D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y+y+y-x+5=0。符號常微分方程求解可以通過函數(shù)dsolve來實現(xiàn)，其調(diào)用格式為：dsolve(e,c,v)該函數(shù)求解常微分方程e在初值條件c下的特解。參數(shù)v描述方程中的自變量，省略時按缺省原則處理，若沒有給出初值條件c，則求方程的通解。dsolve在求常微分方程組時的調(diào)用格式為：dsolve(e1,e2,en,c1,cn,v1,vn)該函數(shù)求解常微分方程組e1,en在初值條件c1,cn下的特解，

11、若不給出初值條件，則求方程組的通解，v1,vn給出求解變量。184.符號函數(shù)的可視化4.1 繪制二維符號函數(shù)曲線1.對于函數(shù)f = f(x)，ezplot函數(shù)的調(diào)用格式為：ezplot(f)：在默認區(qū)間-2x2繪制f = f(x)的圖形。ezplot(f, a,b)：在區(qū)間axb繪制f = f(x)的圖形。19例：f=cos(x)ezplot(f)ezplot(f,-4*pi,4*pi)202.對于隱函數(shù)f = f(x,y)，ezplot函數(shù)的調(diào)用格式為：ezplot(f)：在默認區(qū)間-2x2和-2y2繪制f(x,y) = 0的圖形。ezplot(f, xmin,xmax,ymin,ymax)

12、：在區(qū)間xminxxmax和yminyymax繪制f(x,y) = 0的圖形。ezplot(f, a,b)：在區(qū)間axb和ay b繪制f(x,y) = 0的圖形。21f=x2-y2-1;ezplot(f)ezplot(f,-1.25,1.25)223. 對于參數(shù)方程x = x(t)和y = y(t)，ezplot函數(shù)的調(diào)用格式為：ezplot(x,y)：在默認區(qū)間0t2繪制x=x(t)和y=y(t)的圖形。ezplot(x,y, tmin,tmax)：在區(qū)間tmin t tmax繪制x=x(t)和y=y(t)的圖形。23y=t*sin(t);x=t*cos(t);ezplot(x,y)ezpl

13、ot(x,y,0,6*pi)244.3繪制三維符號函數(shù)曲線1. ezplot3()函數(shù)的使用ezplot3(x,y,z)對于符號函數(shù)x=x(t), y=y(t), z=z(t), ezplot3(x,y,z)在圖形窗口繪制符號方程x=x(t), y=y(t), z=z(t)的圖表，t的取值范圍為默認值：0t2*pi。ezplot3(x,y,z,tmin,tmax)指定t的范圍：tminttmax25x=(4+cos(1.5*t)*cos(t);y=(2+cos(1.5*t)*sin(t);z=sin(1.5*t);ezplot3(x,y,z)ezplot3(x,y,z,0,4*pi)26ezp

14、lot3(x,y,z,animate) 或者ezplot3(x,y,z,tmin,tmax, animate)選項animate用于產(chǎn)生動態(tài)的痕跡。x=sin(3*t)*cos(t);y=sin(3*t)*sin(t);z=t;ezplot3(x,y,z,animate)272. ezmesh()函數(shù)的使用ezmesh(f)對于符號函數(shù)f(x,y), ezmesh(f)在默認的范圍繪圖：-2*pix2*pi, -2*piy2*piezmesh(f ,xmin,xmax, ymin,ymax,)或者 ezmesh(f，a,b)指定范圍xminxxmax, yminyymax或者axb, ayb2

15、8syms x y;f=x*exp(-x2-y2);ezmesh(f)29ezmesh(x,y,z)在圖形窗口中繪制符號函數(shù)x=x(s,t), y=y(s,t), z=z(s,t)的圖形。繪圖范圍：-2*pis2*pi, -2*pitdsolve( Dy=x ,x)%求微分方程y=x的通解，指定x為自變量。ans =1/2*x2+C1dsolve( D2y=1+Dy ,y(0)=1,Dy(0)=0 ) %求微分方程y=1+y的解，加初始條件ans = -t+exp(t)x,y=dsolve(Dx=y+x,Dy=2*x)%微分方程組的通解x =-1/2*C1*exp(-t)+C2*exp(2*t) y = C1*exp(-t)+C2*exp(2*t)39求微分方程：的解，并畫出圖形。y = dsolve (D2y+2*Dy+2*y=0,y(0)=1,Dy(0)=0)ezplot(y)40*function f=Heaviside(t)f=(t0);41syms x yy=(tan(sqrt(x+sqrt(x+sqr