函數圖象及其應用教學案例設計

1、函數圖象及其應用教學案例設計一教學內容分析：本堂課安排在人教版必修1第二章結束之后，第三章教學之前，對所學常見函數模型及其圖像進行歸納總結，使學生對函數圖像有個系統(tǒng)的認識，在此基礎上，一方面加強學生的看圖識圖能力，探究函數模型的廣泛應用，另一方面，著重探討函數圖像與方程的聯(lián)系，滲透函數與方程的思想及數形結合思想，為第三章作了很好的鋪墊，承上啟下，銜接自然，水到渠成。學生對函數與方程的關系有一個逐步認識的過程，應遵循由淺入深、循序漸進的原則從學生認為較簡單的問題入手，由具體到一般，建立方程的根與函數圖像的聯(lián)系。另外，函數與方程相比較,一個“動”，一個“靜”；一個“整體”，一個“局部”，用函數的觀

2、點研究方程，本質上就是將局部的問題放在整體中研究，將靜態(tài)的結果放在動態(tài)的過程中研究，這為今后進一步學習函數與不等式等其它知識的聯(lián)系奠定了堅實的基礎。二學生學習情況分析：學生在學完了第一章集合與函數概念、第二章基本初等函數后，對函數的性質和基本初等函數及其圖像有了一定的了解和把握，但學生素質參差不齊，又存在能力差異，導致不同學生對知識的領悟與掌握能力的差距很大。因此進行本堂課的教學，應首先有意識地讓學生歸納總結舊知識，提高綜合能力，對新知識的傳授，即如何利用函數圖像解決方程的根的問題，則應給足學生思考的空間和時間，充分化解學生的認知沖突，化難為易，化繁為簡，突破難點。高中數學與初中數學相比，數學

3、語言在抽象程度上突變，思維方法向理性層次躍遷，知識內容的整體數量劇增，以上這三點在函數這一章中得到了充分的體現(xiàn)，本章的特點是具有高度的抽象性、邏輯性和廣泛的適用性，對能力要求較高。因此，在教學中應多考慮初高中的銜接，更好地幫助學生借由形象的手段理解抽象的概念，在函數這一章，函數的圖像就顯得尤其重要而且直觀。三設計思想：1盡管我們的教材為學生提供了精心選擇的課程資源，但教材僅是教師在教學設計時所思考的依據，在具體實施中，我們需要根據自己學生數學學習的特點，聯(lián)系學生的學習實際，對教材內容進行靈活處理，比如調整教學進度、整合教學內容等，本節(jié)課是必修1第二章與第三章的過渡課，既鞏固了第二章所學知識，又

4、為第三章學習埋下伏筆，對教材做了一次成功的加工整合，正所謂磨刀不誤砍材功。2樹立以學生為主體的意識，實現(xiàn)有效教學?，F(xiàn)代教學論認為，學生的數學學習過程是一個學生已有的知識和經驗為基礎的主動建構的過程，只有學生主動參與到學習活動中，才是有效的教學。在本節(jié)課的設計中，首先設計一些能夠啟發(fā)學生思維的活動，學生通過觀察、試驗、思考、表述，體現(xiàn)學生的自主性和活動性；其次，設計一些問題情境，而解決問題所需要的信息均來自學生的真實水平，要么定位在學生已有的知識基礎，要么定位在一些學生很容易掌握的知識上，保證課堂上大部分學生都能夠輕松地解決問題。隨著學生的知識和信息不斷豐富，可以向學生介紹更多類型的問題情境或更

5、難的應用問題情境，滲透數學思想，使學生學會問題解決的一般規(guī)律。3凡事預則立，不預則廢。預設是數學課堂教學的基本要求，但課堂教學不能過分拘泥于預設的固定不變的程序，應當開放地納入彈性靈活的成分以及始料不及的體驗。一堂好數學課應該是一節(jié)不完全預設的課，在課堂中有教師和學生真實的情感、智慧的交流，這個過程既有資源的生成，又有過程狀態(tài)的生成，內容豐富，多方互動，給人以啟發(fā)。四教學目標：1通過復習所學函數模型及其圖像特征，使學生對函數有一個較直觀的把握和較形象的理解，緩解因函數語言的抽象性引起的學生的心理不適應及不自覺的排斥情緒。2通過練習的設置，從解決簡單實際問題的過程中，讓學生體會函數模型的廣泛適用

6、性，貫穿理論聯(lián)系實際、學以致用的觀點，充分體現(xiàn)數學的應用價值，加強學生的看圖識圖能力，激發(fā)學習興趣，引導學生自覺自主參與課堂教學活動。3通過對所給問題（例題1、2）的自主探究和合作交流，使學生理解動與靜，整體與局部的辨證統(tǒng)一關系，發(fā)展學生對變量數學的認識，體會函數知識的核心作用。4結合具體的問題，并從特殊推廣到一般，使學生領會函數與方程之間的內在聯(lián)系，體驗函數與方程思想、數形結合思想及等價轉化思想的意義和價值。五教學重點和難點：教學重點：常見函數模型的圖像特征和實際應用。通過課堂師生互動交流，共同完成對相關知識的系統(tǒng)歸納，借助多媒體課件演示，增加學生的直觀體驗，深化認識，突破重點。教學難點：利

7、用函數圖像研究方程問題的思想和方法。在教學過程中，通過學生自主探究學習，在實際問題的解決中學習將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，實現(xiàn)難點突破。六教學過程設計：環(huán)節(jié)設置問題驅動學情預設設計意圖（一）目標設疑，學生解疑，溫故知新（約8分鐘）提問1：我們學過哪些基本初等函數？對它們的大致圖像還有印象嗎？試回憶所學并完成表格（后附）練習1（后附）提問2：若將“”改為“且”，又該如何選擇？回顧常數函數、一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數（的圖像。（板書結合多媒體演示、實物投影）所有的知識只有通過學生自身的“再創(chuàng)造”活動

8、，才能納入其認知結構中，才可能成為下一個有效的知識。教師必需尊重學生的主體性，讓學生自主參與探究，切實掌握本節(jié)課的重點。輔以多媒體直觀演示能使教學更富趣味性和生動性。試回憶所學并完成表格：函數名稱函數解析式函數大致圖像常數函數為常數）平行與x軸的一條直線一次函數為常數）一條直線二次函數為常數，）一條拋物線反比例函數為常數）一條雙曲線指數函數（多媒體演示）對數函數（多媒體演示）冪函數為常數）（多媒體演示）練習1如圖6-1當時，在同一坐標系中，函數與的圖像是（ D ）圖6-1提問2：若將“”改為“且”，又該如何選擇？環(huán)節(jié)設置問題驅動學情預設設計意圖（二）演練鞏固，深化理解，學以致用（約35分鐘）練

9、習2（后附）提問3：你能否寫出通話收費S（元）關于通話時間t（分）的函數表達式？這樣的函數稱為什么函數？例1（后附）師：從函數圖像上可以分析函數的性質（如定義域、值域、單調性、奇偶性等），除此之外，函數圖像還有什么妙用嗎？請看例2。例2（后附）適當引導，點撥，引發(fā)認知沖突，學生探究解決。變式一：若方程有解，k取何范圍？提問：一定要畫出具體的函數圖像嗎？不畫圖有沒有辦法直接給出k的取值范圍呢？師：數和形是數學的兩種表達形式，在本例中，我們借由函數圖像（形）解決方程的根的個數判斷（數），以形輔數，這種思想方法稱為數形結合。變式二：依照這樣的解題方法，你能否判斷方程的根的個數？以問題為驅動，講練結合

10、，引入對具體實例的詳細剖析，循序漸進，由淺入深，探討函數模型的廣泛應用和函數與方程的等價轉化，滲透數形結合思想。（板書結合多媒體演示）練習2：借助具體實例，了解簡單的分段函數，這是很重要的一類函數模型，在實際問題中有較廣泛的應用。本題要求寫出函數解析式，大約5分鐘可完成。例1：借由函數圖像解決函數性質（值域）是函數圖像的重要應用，以概念定義方式呈現(xiàn)，以分段函數的形式考察，足見題目設計的新穎，對學生較有吸引力和挑戰(zhàn)性，給足學生思維、探究、討論的時間，大約10分鐘方可完成。例2：恰當的問題情境，能引發(fā)學生的認知沖突，使學生產生明顯的意識傾向和情感共鳴，激發(fā)他們的求知欲和探索精神，引導學生主動思考。

11、這個問題涉及本課題的核心內容，給學生充足的探究時間，大約20分鐘可完成。具體可能的認知沖突有二：認知沖突一：方程的根的個數判斷，真的要解方程嗎？有其他辦法嗎？認知沖突二：如何作函數與的圖像？結合多媒體輔助演示，作函數與的圖像，利用函數圖像交點個數判斷方程根的個數。（1）新教材為引導學生自主發(fā)現(xiàn)、探索留有比較充分的空間，在教學中我們應充分利用這些空白空間，目標問題化，問題設疑化，過程探討化，再給予學生發(fā)揮的空間，促進他們主動地學習和發(fā)展，讓空白的地方豐富多彩也是學習方式豐富的表現(xiàn)。（2）對于學生來說，學習數學的一個重要目的是要學會數學地思考，數學能力的提高離不開解題，解題教學重點是向學生暴露思維

12、過程和展示學生的思維過程。例題的設計以階梯式呈現(xiàn)，給學生較為充分的時間，自主探究和解決問題，教師在評講時，有意識地滲透數形結合的思想方法，從而達到傳授知識、培養(yǎng)能力的目的，實現(xiàn)難點的化解與突破。（3）學習函數和方程的相互等價轉化，注意相關內容的前后聯(lián)系，使學生加深對所學知識的系統(tǒng)認識，促進思維的深刻性。在潛移默化中培養(yǎng)了學生的科學態(tài)度和理性精神。練習2某地區(qū)電信資費調整后，市話費標準為：通話時間不超過3分鐘收費0.2元，超過3分鐘后，每增加1分鐘多收費0.1元（不足1分鐘按1分鐘收費）。通話收費S（元）與通話時間t（分）的函數圖像可表示為（ B ）O36t0.20.4S(A)O36t0.20.

13、40.6 (B)O36t0.20.40.6S(C)O36t0.20.40.6S(D)圖6-2提問3：你能否寫出通話收費S（元）關于通話時間t（分）的函數表達式？這樣的函數稱為什么函數？例1若定義運算，則函數的值域為（ A ）例2當時，方程有兩解？有三解？有四解呢？無解呢？環(huán)節(jié)設置問題驅動學情預設設計意圖（三）理論升華，思維拓展，總結評價（約2分鐘）提問：這節(jié)課我們學習了那些內容？哪些方法？哪些數學思想？（課堂小結后附）課后作業(yè)：（后附）1寫下本節(jié)課的學習心得體會。2完成三道課后習題總結學習內容，歸納學習方法，提升數學思想，拓展學生思維，完成總結評價。提綱挈領，理清基本內容，形成知識體系，提升數

14、學思想，使本節(jié)內容不再浮于表面。課堂小結：本節(jié)課復習了常見函數模型及其圖像特征，體會到利用函數圖像解決函數性質的形象和直觀，學習函數和方程的相互等價轉化，體會函數方程思想與數形結合思想的意義和價值。 正如華羅庚所說：數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。 課后作業(yè)：1總結本節(jié)課的學習心得體會。波利亞（GPolya）先生曾指出“一個重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一道重大的題目，但是在解答任何一道題目的過程中都會有點滴的發(fā)現(xiàn)”?？梢?，習題在數學學習中具有非常重要的作用。 學莫貴于自得，請你寫下本節(jié)課的學習心得體會。 2課后習題：OCt381某工廠八年來產品總產量C（即前t年年產量之和

15、）與時間t（年）的函數如圖6-3，下列四中說法：（1）前三年中，產量增長的速度越來越快；（2）前三年中，產量增長的速度越來越慢；（3）第三年后，這種產品停止生產；（4）第三年后，年產量保持不變；圖6-3其中，說法正確的是（ A ）（A）（2）與（3） （B）（2）與（4） （C）（1）與（3） （D）（1）與（4）2若關于x的方程有且只有兩個不同的實根，則（ ）1234Oxy12圖6-43如圖6-4，函數的圖像由兩條射線及拋物線的一部分組成，求函數的解析式。變式：討論方程的根的個數。0.6附：板書設計函數名稱函數解析式函數大致圖像常數函數為常數）一次函數為常數）二次函數為常數）反比例函數為常數

16、）指數函數對數函數冪函數為常數）1.常見函數模型2分段函數練習2：例1例2七教學反思1對教學內容的反思：對于數學教師來說，他要從“教”的角度去看數學去挖掘數學，不僅要能“做”、“會理解”，還應當能夠教會別人去“做”、去“理解”，因此教師對教學概念的反思應當從邏輯的、歷史的、關系、辨證等方面去展開。 從邏輯的角度看，函數概念主要包含定義域、值域、對應法則三要素，以及函數的單調性、奇偶性、對稱性等性質和一些具體的特殊函數，如：指數函數、對數函數等這些內容是函數教學的基礎，但不是函數的全部。 從關系的角度來看，不僅函數的主要內容之間存在著種種實質性的聯(lián)系，函數與其他中學數學內容也有著密切的聯(lián)系，其中

17、就包括方程的根與函數的圖象之間的等價轉化問題。 2對學生數學學習活動的反思：師生之間在數學知識、數學活動經驗、興趣愛好、社會生活閱歷等方面存在很大的差異，這些差異使得他們對同一個教學活動的感覺通常是不一樣的。學生的數學學習只有通過自身的操作和主動的參與才可能是有效的，更為進一步的是學生的數學學習只有通過自身的情感體驗，樹立堅定的自信心才可能是成功的。為此，本節(jié)課在教學中著力于為學生提供豐富多彩的問題情境，關注學生的情感和情緒體驗，讓學生投入到現(xiàn)實的、充滿探索的數學學習過程中，從而提高數學學習的水平，養(yǎng)成正確的學習態(tài)度和習慣。3對數學教學活動的反思：教學設計的難點在于教師把學術形態(tài)的知識轉化為適

18、合學生探究的認知形態(tài)的知識。學生的認知結構具有個性化特點，教學內容具有普遍性要求。如何在一節(jié)課中把二者較好地結合起來，是提高課堂教學效率的關鍵。本節(jié)課致力于提高課堂教學的有效性，其一，有明確的教學目標，其二，能突出重點、化解難點，其三，善于運用現(xiàn)代化教學手段，其四，根據具體內容，選擇恰當的教學方法，其五，關注學生，及時鼓勵，其六，充分發(fā)揮學生主體作用，調動學生的學習積極性，其七，切實重視基礎知識、基本技能和基本方法，其八，滲透數學思想方法，提高綜合運用能力。在實際教學中應因材施教，用不一樣的標準衡量學生，盡量做到讓不同的學生得到不同的發(fā)展。 點評：在環(huán)節(jié)（一）中，考慮到學生的知識水平和理解能力，從學生熟悉的知識入手，通過適當的問題情景，引導學生在有限的時間內完成對所學函數模型及其圖像的歸納和總結，讓學生思考回顧、動手畫圖、課堂交流、親身實踐、溫故知新。新課程理念指出，學生是學習的主體，所有的知識只有通過學生自身的“再創(chuàng)造”活動，才能納入其認知結構中，才可能成為下一個有效的知識。在環(huán)節(jié)（二）中，