人教版勾股定理單元 易錯(cuò)題難題測試題

1、一、選擇題1如圖，在等邊ABC中，AB15，BD6，BE3，點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿EA方向運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PD，以PD為邊，在PD右側(cè)按如圖方式作等邊DPF，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長是（）A8B10C43D1262棱長分別為8cm，cm的兩個(gè)正方體如圖放置，點(diǎn)A，B，E在同一直線上，頂點(diǎn)G在棱BC上，點(diǎn)P是棱EF的中點(diǎn).一只螞蟻要沿著正方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P，它爬行的最11短距離是()A(3510)cmB513cmC277cmD(2583)cm3已知等邊三角形的邊長為a，則它邊上的高、面積分別是（）aa2A,243aa2B,243a3a2C,243a3a2D,444如圖,A、B兩點(diǎn)在直

2、線l的兩側(cè),點(diǎn)A到直線l的距離AC=4,點(diǎn)B到直線l的距離BD=2,且CD=6,P為直線CD上的動(dòng)點(diǎn),則PAPB的最大值是（）A62B22C210D65如圖，在ABC中，ACB90，AB的中垂線交AC于D，P是BD的中點(diǎn)，若BC4，AC8，則SPBC為（）A3B3.3C4D4.56以下列各組數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是()A2、3、6C3、4、7B3、4、5D2、3、47已知M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，AMMN2，NB1，以點(diǎn)A為圓心，AN長為半徑畫??；再以點(diǎn)B為圓心，BM長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，連接AC，eqoac(,BC)，則ABC一定是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰三

3、角形8如圖，在eqoac(,Rt)ABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，AD是BAC的平分線若P，Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（）A245B5C6D89在直角三角形ABC中，C90，兩直角邊長及斜邊上的高分別為a,b,h，則下列關(guān)系式成立的是（）A2a2b2h2B1a2b2h2Ch2abDh2a2b2211110已知一個(gè)直角三角形的兩邊長分別為3和5，則第三邊長是()A5B4C34D4或34二、填空題11如圖，在矩形ABCD中，AB10，BC5，若點(diǎn)M、N分別是線段AC、AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值為_12如圖，現(xiàn)有一長方體的實(shí)心木塊，有一螞蟻從A處出發(fā)沿

4、長方體表面爬行到C處，若長方體的長AB4cm，寬BC2cm，高BB1cm，則螞蟻爬行的最短路徑長是_13如圖，在四邊形ABCD中，AD22，CD3，ABCACBADC45，則BD的長為_14如圖，ACB和ECD都是等腰直角三角形，CACB，CECD，ABC的頂點(diǎn)A在ECD的斜邊上若AE3，AD7，則AC的長為_15在RtABC中，C90,A30,BC2，以ABC的邊AC為一邊的等腰三角形，它的第三個(gè)頂點(diǎn)在ABC的斜邊AB上，則這個(gè)等腰三角形的腰長為_.16如圖,在四邊形ABCD中,A=60,B=D=90,AD=4,AB=3,則CD=_17如圖，在ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，且AB=3，BC

5、=5線段OA的取值范圍是_；若BD-AC=1，則ACBD=_18如圖，E為等腰直角ABC的邊AB上的一點(diǎn)，要使AE3，BE1，P為AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PBPE的最小值為_19如圖的實(shí)線部分是由RtABC經(jīng)過兩次折疊得到的.首先將RtABC沿高CH折疊，使點(diǎn)B落在斜邊上的點(diǎn)B處，再沿CM折疊，使點(diǎn)A落在CB的延長線上的點(diǎn)A處.若圖中ACB90，BC15cm，AC20cm，則MB的長為_.20在RtABC中，A90，其中一個(gè)銳角為60，BC23，點(diǎn)P在直線AC上（不與A，C兩點(diǎn)重合），當(dāng)ABP30時(shí)，CP的長為_三、解答題21如圖，在兩個(gè)等腰直角ABC和CDE中，ACB=DCE=90（1）觀察猜想：如

6、圖1，點(diǎn)E在BC上，線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明：把CDE繞直角頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；（3）拓展延伸：把CDE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AC=BC=10，DE=12，當(dāng)A、E、D三點(diǎn)在直線上時(shí)，請直接寫出AD的長22如果一個(gè)三角形的兩條邊的和是第三邊的兩倍，則稱這個(gè)三角形是“優(yōu)三角形”，這兩條邊的比稱為“優(yōu)比”（若這兩邊不等，則優(yōu)比為較大邊與較小邊的比），記為k.（1）命題：“等邊三角形為優(yōu)三角形，其優(yōu)比為1”，是真命題還是假命題？（2）已知ABC為優(yōu)三角形，ABc，ACb，BCa，如圖1，若ACB90，ba，b6，求a的值.如圖2

7、，若cba，求優(yōu)比k的取值范圍.（3）已知ABC是優(yōu)三角形，且ABC120，BC4，求ABC的面積.23（1）如圖1，在RtABC中，ACB90，A60，CD平分ACB.求證：CAADBC.小明為解決上面的問題作了如下思考：作ADC關(guān)于直線CD的對稱圖形ADC，CD平分ACB，A點(diǎn)落在CB上，且CACA，ADAD.因此，要證的問題轉(zhuǎn)化為只要證出ADAB即可.請根據(jù)小明的思考，寫出該問題完整的證明過程.（2）參照（1）中小明的思考方法，解答下列問題：如圖3，在四邊形ABCD中，AC平分BAD，BCCD10，AC17，AD9，求AB的長.24在ABC中，ABAC，CD是AB邊上的高，若AB10,B

8、C45.（1）求CD的長.（2）動(dòng)點(diǎn)P在邊AB上從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1個(gè)單位/秒；動(dòng)點(diǎn)Q在邊AC上從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為v個(gè)單位秒v1，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為tt0，當(dāng)點(diǎn)Q到點(diǎn)C時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng).若當(dāng)v2時(shí)，CPBQ，求t的值.若在運(yùn)動(dòng)過程中存在某一時(shí)刻，使CPBQ成立，求v關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量t的取值范圍.25如圖，點(diǎn)A是射線OE：yx（x0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為B，過點(diǎn)B作OA的平行線交AOB的平分線于點(diǎn)C（1）若OA52，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如圖2，過點(diǎn)C作CGAB于點(diǎn)G，CHOE于點(diǎn)H，求證：CGCH（3）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），射線OC與A

9、B交于點(diǎn)D，在射線BC上是否存在一點(diǎn)P使得ACP與BDC全等，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由在（3）的條件下，在平面內(nèi)另有三點(diǎn)P1（2，2），P2（2，22），P3（2+2，22），請你判斷也滿足ACP與BDC全等的點(diǎn)是（寫出你認(rèn)為正確的點(diǎn)）26在ABC中，ACB90，ACBC6，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是射線DC上一點(diǎn)，DFDE于點(diǎn)D，且DEDF，連接CF，作FHCF于點(diǎn)F，交直線AB于點(diǎn)H（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)E在線段DC上時(shí)，判斷CF和FH的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)E在線段DC的延長線上時(shí)，問題（1）中的結(jié)論是否依然成立？如果成立，請求出當(dāng)ABC和CFH

10、面積相等時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)C之間的距離；如果不成立，請說明理由27閱讀下列一段文字，然后回答下列問題已知在平面內(nèi)有兩點(diǎn)Px,y、Px,y111222，其兩點(diǎn)間的距離PPx121x22y1y22，同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，兩點(diǎn)間距離公式可化簡為x1x2或|y1y2|.（1）已知A2,4、B3,8，試求A、B兩點(diǎn)間的距離_.已知M、N在平行于y軸的直線上，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為-1，試求M、N兩點(diǎn)的距離為_；（2）已知一個(gè)三角形各頂點(diǎn)坐標(biāo)為D1,6、E3,3、F4,2，你能判定此三角形的形狀嗎?說明理由（3）在（2）的條件下，平面直角坐標(biāo)系中，在x軸上找一點(diǎn)

11、P，使PDPF的長度最短，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及PDPF的最短長度28如圖，在邊長為2正方形ABCD中，點(diǎn)O是對角線AC的中點(diǎn)，E是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)），連接BE.（1）如圖1，過點(diǎn)E作EFBE交CD于點(diǎn)F，連接BF交AC于點(diǎn)G.求證：BEEF;設(shè)AEx，CGy，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.（2）在如圖2中，請用無刻度的直尺作出一個(gè)以BE為邊的菱形.29如圖1，點(diǎn)E是正方形ABCD邊CD上任意一點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG，連接BF，點(diǎn)M是線段BF中點(diǎn)，射線EM與BC交于點(diǎn)H，連接CM（1）請直接寫出CM和EM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（2）把圖1中的正方形DEFG繞點(diǎn)

12、D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，此時(shí)點(diǎn)F恰好落在線段CD上，如圖2，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，請說明理由（3）把圖1中的正方形DEFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，此時(shí)點(diǎn)E、G恰好分別落在線段AD、CD上，連接CE，如圖3，其他條件不變，若DG2，AB6，直接寫出CM的長度30如圖，在ABC中，ACB90，ACBC，AB2，CD是邊AB的高線，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AC運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以相同的速度沿射線CB運(yùn)動(dòng)設(shè)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（t0）（1）AE（用含t的代數(shù)式表示），BCD的大小是度；（2）點(diǎn)E在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：ADECDF；（3）點(diǎn)E在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

13、求EDF的度數(shù)；（4）連結(jié)BE，當(dāng)CEAD時(shí)，直接寫出t的值和此時(shí)BE對應(yīng)的值【參考答案】*試卷處理標(biāo)記，請不要?jiǎng)h除一、選擇題1D解析：D【分析】首先利用等邊三角形的性質(zhì)和含eqoac(,30)直角三角形的運(yùn)用，判定DPEFDH，eqoac(,DF)2eqoac(,Q)ADE，然后利用全等三角形的性質(zhì)，得出點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長.【詳解】ABC為等邊三角形，B=60，過D點(diǎn)作DEAB，過點(diǎn)F作FHBC于H，如圖所示：則BE=12BD=3，在DPE和FDH中，EDPDFH，DPFD點(diǎn)E與點(diǎn)E重合，BDE=30，DE=3BE=33，DPF為等邊三角形，PDF=60，DP=DF，EDP+HDF=90HDF

14、+DFH=90，EDP=DFH，PEDDHF90DPEFDH（AAS），F(xiàn)H=DE=33，點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑為一條線段，此線段到BC的距離為33，當(dāng)點(diǎn)P在E點(diǎn)時(shí)，作等邊三角形DEF1，BDF1=30+60=90，則DF1BC，當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)時(shí)，作等邊三角形DAF2，作F2QBC于Q，則四邊形DF1F2Q是矩形，BDE=30，ADF2=60，ADE+F2DQ=1803060=90，ADE+DAE=90，F(xiàn)2DQ=DAE，DFADFQDDEA902在eqoac(,DF)2Q和ADE中，F(xiàn)2DQDAE2，eqoac(,DF)2eqoac(,Q)ADE（AAS），DQ=AE=ABBE

15、=153=12，F(xiàn)1F2=DQ=12，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長為12，故選：D【點(diǎn)睛】.此題主要考查等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是作好輔助線2C解析：C【分析】當(dāng)E1F1在直線EE1上時(shí)，得到AE=14，PE=9，由勾股定理求得AP的長；當(dāng)E1F1在直線B2E1上時(shí)，兩直角邊分別為17和6，再利用勾股定理求AP的長,兩者進(jìn)行比較即可確定答案【詳解】當(dāng)展開方法如圖1時(shí)，AE=8+6=14cm，PE=6+3=9cm，由勾股定理得APAE2PE214292277cm當(dāng)展開方法如圖2時(shí)，AP1=8+6+3=17cm，PP1=6cm，由勾股定理得APAP2PP2

16、17262325cm11277325螞蟻爬行的最短距離是277cm,BD1【點(diǎn)睛】此題考察正方體的展開圖及最短路徑，注意將正方體沿著不同棱線剪開時(shí)得到不同的平面圖形，路徑結(jié)果是不同的3C解析：C【分析】作出等邊三角形一邊上的高，利用直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半，得出BD，利用勾股定理即可求出AD，再利用三角形面積公式即可解決問題【詳解】解：如圖作ADBC于點(diǎn)DABC為等邊三角形，B60，BAD301ABa22AB2BD2a2(a)2由勾股定理得，AD213a22邊長為a的等邊三角形的面積為故選：C133aaa2，224【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)涉及等邊三角形的性質(zhì)、含30角的直角三角形

17、、勾股定理以及三角形面積公式，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.4C解析：C【解析】試題解析：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B,連接AB并延長,與直線l的交點(diǎn)即為使得PAPB取最大值時(shí)對應(yīng)的點(diǎn)P.此時(shí)PAPBPAPBAB.過點(diǎn)B作BEAC于點(diǎn)E,如圖,BCD的面積1四邊形BDCE為矩形，BECD6,ECBDBD2.AE2.ABAE2BE2210.PAPB的最大值為：210.故答案為：210.5A解析：A【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB，根據(jù)勾股定理求出BD，得到CD的長，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案【詳解】解：點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，DADB，在eqoac(,Rt)BCD中，

18、BC2+CD2BD2，即42+（8BD）2BD2，解得，BD5，CD853，1CDBC346，22P是BD的中點(diǎn)，SPBC1S2BCD3，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵6C解析：C【分析】利用勾股定理的逆定理依次計(jì)算各項(xiàng)后即可解答.本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，【詳解】選項(xiàng)A，(2)2(3)2(6)2，不能構(gòu)成直角三角形；選項(xiàng)B，(3)2(4)2(5)2，不能構(gòu)成直角三角形；選項(xiàng)C，(3)2(4)2(7)2，能構(gòu)成直角三角形；選項(xiàng)D，(2)2

19、(3)2(4)2，不能構(gòu)成直角三角形故選C【點(diǎn)睛】.只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可7B解析：B【分析】依據(jù)作圖即可得到ACAN4，BCBM3，AB2+2+15，進(jìn)而得到AC2+BC2AB2，即可得出ABC是直角三角形【詳解】如圖所示，ACAN4，BCBM3，AB2+2+15，AC2+BC2AB2，ABC是直角三角形，且ACB90，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形8A解析：A【分析】過C作CMAB于M，交AD于P，過P作PQAC于Q，由角平分線的性質(zhì)得出PQ=PM，這時(shí)PC+PQ有最小值，為CM的長，

20、然后利用勾股定理和等面積法求得CM的長即可解答【詳解】過C作CMAB于M，交AD于P，過P作PQAC于Q，AD是BAC的平分線，PQ=PM，則PC+PQ=PC+PM=CM，即PC+PQ有最小值，為CM的長，在eqoac(,Rt)ABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，由勾股定理得：AB=10，eqoac(,S)ABC又11ABCMACBC，22CM6824，105PC+PQ的最小值為故選：A245，1【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、最短路徑問題、勾股定理、三角形等面積法求高，解答的關(guān)鍵是掌握線段和最短類問題的解決方法：一般是運(yùn)用軸對稱變換將直線同側(cè)的點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)的點(diǎn)，從而把兩條線段的位置

21、關(guān)系轉(zhuǎn)換，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短或垂線段最短，使兩條線段之和轉(zhuǎn)化為一條直線來解決9B解析：B【分析】設(shè)斜邊為c，根據(jù)勾股定理得出c=a2b2，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論【詳解】解：設(shè)斜邊為c，根據(jù)勾股定理得出c=a2b2，1ab=ch，22ab=a2b2h，即a2b2=a2h2+b2h2，即a2b2a2h2b2h2=+a2b2h2a2b2h2a2b2h2111+a2b2h2，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題關(guān)鍵10D解析：D【詳解】解：一個(gè)直角三角形的兩邊長分別為3和5，當(dāng)5是此直角三角形的斜邊時(shí)，設(shè)另一直角邊

22、為x，則由勾股定理得到：x=5232=4；當(dāng)5是此直角三角形的直角邊時(shí)，設(shè)另一直角邊為x，則由勾股定理得到：x=5232=34故選：D二、填空題118【解析】如圖作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B，連接BA交DC于點(diǎn)E，則BM+MN的最小值等于的最小值作交于，則為所求；設(shè),由，h+5=8，即BM+MN的最小值是8.點(diǎn)睛：本題主要是利用軸對稱求最短路線，題中應(yīng)用了勾股定理與用不同方式表示三角形的面積從而求出某條邊上的高，利用軸對稱得出M點(diǎn)與N點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵125cm【分析】連接AC，分三種情況進(jìn)行討論：畫出圖形，用勾股定理計(jì)算出AC長，再比較大小即可得出結(jié)果【詳解】解：如圖展開成平面圖，連接AC，分

23、三種情況討論：如圖1，AB=4，BC=1+2=3，在eqoac(,Rt)ABC中，由勾股定理得AC=4232=5（cm），如圖2，AC=4+2=6，CC=1在eqoac(,Rt)ACC中，由勾股定理得AC=6212=37（cm），如圖3，AD=2，DC=1+4=5，在eqoac(,Rt)ADC中，由勾股定理得AC=2252=29（cm）52937，螞蟻爬行的最短路徑長是5cm，故答案為：5cm【點(diǎn)睛】本題考查平面展開-最短路線問題和勾股定理，本題具有一定的代表性，是一道好題，注意要分類討論135【分析】作ADAD，AD=AD構(gòu)建等腰直角三角形，根據(jù)SASeqoac(,求證)BADCAD，證得B

24、D=CD，DAD=90，然后在RtADD和eqoac(,Rt)CDD應(yīng)用勾股定理即可求解【詳解】作ADAD，AD=AD，連接CD，DD，如圖：BAC+CAD=DAD+CAD，BAD=CAD，eqoac(,在)BADeqoac(,與)CAD中，BACABADCAD，ADADBADCAD（SAS），BD=CD，DAD=90，由勾股定理得DD=AD2(AD)24，DDA+ADC=90，由勾股定理得CD=DC2(DD)25，BD=CD=5故答案為5【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形，正確引出輔助線構(gòu)造等腰直角三角形是本題的關(guān)鍵145【分析】由題意可知，ACBC，DCEC

25、，DCEACB90，DE45，求出ACEBCDeqoac(,可證)ACEBCD，可得AEBD3，ADB90，由勾股定理求出AB即可得到AC的長【詳解】解：如圖所示，連接BD，ACE=BCDCE=CDACBeqoac(,和)ECD都是等腰直角三角形，ACBC，DCEC，DCEACB90，DE45，且ACEBCD90-ACD，在ACE和BCD中，AC=BCACEBCD（SAS），AEBD3，EBDC45，ADBADC+BDC45+4590，ABAD2+BD2=7+3=10，AB=2BC，BC2AB=5，2故答案為：5【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，

26、添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵1523或2【分析】先求出AC的長，再分兩種情況：當(dāng)AC為腰時(shí)及AC為底時(shí)，分別求出腰長即可.【詳解】在RtABC中，C90,A30,BC2，AB=2BC=4，ACAB2BC2422223,當(dāng)AC為腰時(shí)，則該三角形的腰長為23；當(dāng)AC為底時(shí)，作AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)eqoac(,E)，如圖，此時(shí)ACD是等腰三角形，則AE=3,設(shè)DE=x，則AD=2x，AE2DE2AD2,x2(3)2(2x)2x=1（負(fù)值舍去），腰長AD=2x=2，故答案為：23或2【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的運(yùn)用，結(jié)合線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題時(shí)注

27、意：“AC為一邊的等腰三角形”沒有明確AC是等腰三角形的腰或底，故應(yīng)分為兩種情況解題，這是此題的易錯(cuò)之處.16【解析】【分析】延長BC，AD交于E點(diǎn)，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根據(jù)30角所對的直角邊等于斜邊的一半和勾股定理即可解答.【詳解】如圖，延長AD、BC相交于E，A=60,B=ADC=90,E=30AE=2AB，CE=2CDAB=3，AD=4,AE=6,DE=2設(shè)CD=x,則CE=2x，DE=x即x=2x=即CD=故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，含30角所對的直角邊是斜邊的一半的性質(zhì)，本題中構(gòu)建直eqoac(,角)ABE和直角CDE，是解題的關(guān)鍵171OA467

28、2【解析】(1)由三角形邊的性質(zhì)5-32OA5+3,1OA4.(2)過A作AFBC于F,過D作DEBC于E,可知，ABF全等DCE,由題意知，BD2DE2+BCCE2=DE2+4CE2，AC2DE2BCCE2DE25CE2，AC2BD2=DE2+4CE2DE25CE22(DE2CE2)5018+50=68，BD-AC=1，兩邊平方AC2BD2-2ACBD=1，ACBD=672.185【解析】試題分析：作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)F，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)最短路徑可知：此時(shí)PB+PE的值最小，接下來要求出這個(gè)最小值，即求EF的長即可，因此要先求AF的長，證明ADFCDB，可以解決這個(gè)問題，從而得出EF=

29、5，則PB+PE的最小值為5解：如圖，過B作BDAC，垂足為D，并截取DF=BD，連接EF交AC于P，連接PB、AF，則此時(shí)PB+PE的值最小，ABC是等腰直角三角形，AB=CB,ABC=90，AD=DC，BAC=C=45，ADF=CDB，ADFCDB，AF=BC,FAD=C=45，AE=3，BE=1，AB=BC=4，AF=4，BAF=BAC+FAD=45+45=90,由勾股定理得：EF=AF2AE2=4232=5，AC是BF的垂直平分線，BP=PF，PB+PE=PF+PE=EF=5，故答案為5.點(diǎn)睛：本題主要考查最短路徑問題.解題的關(guān)鍵在于要利用軸對稱知識(shí)，結(jié)合兩點(diǎn)之間線段最短來求解.193

30、【分析】根據(jù)題意利用折疊后圖形全等，并利用等量替換和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行綜合分析求解.【詳解】解：由題意可知ACMACM,BCHBCH,BC15cm，AC20cm，BCBC15cm,ACAC20cm,AB20155cm，ACB90，AMAB(等量替換)，CHAB（三線合一），AB25cm,利用勾股定理假設(shè)MB的長為m，AMAM257m，則有m2(257m)252，解得m3，所以MB的長為3.【點(diǎn)睛】本題考查幾何的翻折問題，熟練掌握并綜合利用等量替換和等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理分析是解題的關(guān)鍵.2023或2或4【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分4種情況進(jìn)行討論，利用含30角直角三角形與勾股定理解答【

31、詳解】解：如圖1：當(dāng)C=60時(shí)，ABC=30，與ABP=30矛盾；如圖2：當(dāng)C=60時(shí)，ABC=30，ABP=30，CBP=60，PBC是等邊三角形，CPBC23；如圖3：當(dāng)ABC=60時(shí)，C=30，ABP=30，PBC=60-30=30，PC=PB，BC23，AB12BC3,ACBC2AB2(23)2(3)23，在eqoac(,Rt)APB中，根據(jù)勾股定理AP2AB2BP2,即(ACPC)2AB2PC2,即(3PC)2(3)2PC2，解得PC2，如圖4：當(dāng)ABC=60時(shí)，C=30，ABP=30，PBC=60+30=90，BP12PC在eqoac(,Rt)BCP中，根據(jù)勾股定理BP2BC2PC

32、2,1即(PC)2(23)2PC2,解得PC=4（已舍去負(fù)值）2綜上所述，CP的長為23或2或4故答案為：23或2或4【點(diǎn)睛】本題考查含30角直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理理解直角三角形30角所對邊是斜邊的一半，并能通過勾股定理去求另外一個(gè)直角邊是解決此題的關(guān)鍵三、解答題21（1）AEBD，AEBD；（2）成立，理由見解析；（3）14或2【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的定義可得ACBC，CECD，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得AEBD，EACDBC，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余、等量代換即可得AHD90，由此即可得；（2）先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得AEBD，EAC

33、DBC，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得EACAOC90，然后根據(jù)對頂角相等、等量代換可得DBCBOH90，從而可得OHB90，由此即可得；（3）先利用勾股定理求出AB102，再分點(diǎn)A,E,D在直線上，且點(diǎn)E位于中間，點(diǎn)A,E,D在直線上，且點(diǎn)D位于中間兩種情況，結(jié)合（1）（2）的結(jié)論，利用勾股定理求解即可得【詳解】（1）AEBD，AEBD，理由如下：如圖1，延長AE交BD于H，由題意得：ACBC，ACEBCD90，CECD，ACEBCD(SAS)，AEBD，EACDBC，DBCBDC90，EACBDC90，AHD180(EACBDC)90，即AEBD，故答案為：AEBD，AEBD；在eqoac

34、(,)ACE和BCD中，ACEBCD，CECD（2）成立，理由如下：如圖2，延長AE交BD于H，交BC于O，ACBECD90，ACBBCEECDBCE，即ACEBCD，ACBCACEBCD(SAS)，AEBD，EACDBC，ACB90，EACAOC90，AOCBOH，DBCBOH90，即OBHBOH90，OHB180(OBHBOH)90，即AEBD；（3）設(shè)ADx，ACBC10,ACB90，AB2AC102，由題意，分以下兩種情況：如圖3-1，點(diǎn)A,E,D在直線上，且點(diǎn)E位于中間，同理可證：AEBD，AEBD，DE12，BDAEADDEx12，在eqoac(,Rt)ABD中，AD2BD2AB2

35、，即x2(x12)2(102)2，解得x14或x2（不符題意，舍去），即AD14，如圖3-2，點(diǎn)A,E,D在直線上，且點(diǎn)D位于中間，同理可證：AEBD，AEBD，DE12，BDAEADDEx12，在eqoac(,Rt)ABD中，AD2BD2AB2，即x2(x12)2(102)2，解得x2或x14（不符題意，舍去），即AD2，綜上，AD的長為14或2【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），正確分兩種情況討論，并畫出圖形是解題關(guān)鍵22（1）該命題是真命題，理由見解析；（2）a的值為92；k的取值范圍為1k3；（3）ABC的面積為203123或35當(dāng)ac2b時(shí)，

36、aa23612，解得a9【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、優(yōu)三角形和優(yōu)比的定義即可判斷；（2）先利用勾股定理求出c的值，再根據(jù)優(yōu)三角形的定義列出a,b,c的等式，然后求解即可；類似分三種情況分析，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出每種情況下a,b,c之間的關(guān)系，然后根據(jù)優(yōu)比的定義求解即可；（3）如圖（見解析），設(shè)BDx，先利用直角三角形的性質(zhì)、勾股定理求出AC、AB的長及ABC面積的表達(dá)式，再類似（2），根據(jù)優(yōu)三角形的定義分三種情況分別列出等式，然后解出x的值，即可得出ABC的面積【詳解】（1）該命題是真命題，理由如下：設(shè)等邊三角形的三邊邊長為a則其中兩條邊的和為2a，恰好是第三邊a的2倍，滿足

37、優(yōu)三角形的定義，即等邊三角形為優(yōu)三角形又因該兩條邊相等，則這兩條邊的比為1，即其優(yōu)比為1故該命題是真命題；（2）ACB90,b6ca2b2a236根據(jù)優(yōu)三角形的定義，分以下三種情況：當(dāng)ab2c時(shí)，a62a236，整理得a24a360，此方程沒有實(shí)數(shù)根2當(dāng)bc2a時(shí)，6a2362a，解得a86，不符題意，舍去綜上，a的值為92；則baab由題意得：a,b,c均為正數(shù)根據(jù)優(yōu)三角形的定義，分以下三種情況：（cba）當(dāng)ab2c時(shí)，則kb1a由三角形的三邊關(guān)系定理得bacabbab，解得b3a，即k32a則caac故此時(shí)k的取值范圍為1k3當(dāng)ac2b時(shí)，則kc1a由三角形的三邊關(guān)系定理得cabaccac

38、，解得c3a，即k32a故此時(shí)k的取值范圍為1k3當(dāng)bc2a時(shí)，則kcb1則cbbc由三角形的三邊關(guān)系定理得cbabccbc，解得c3b，即k32b故此時(shí)k的取值范圍為1k3綜上，k的取值范圍為1k3；（3）如圖，過點(diǎn)A作ADBC，則ABD180ABC18012060設(shè)BDxAB2BD2x,ADAB2BD23xACAD2CD2(3x)2(4x)22x22x4ABC1S1BCAD43x23x22ABC是優(yōu)三角形，分以下三種情況：當(dāng)ACBC2AB時(shí)，即2x22x444x，解得x103則SABC23x231020333當(dāng)ACAB2BC時(shí)，即2x22x42x8，解得x65則SABC23x2361235

39、5綜上，ABC的面積為203當(dāng)BCAB2AC時(shí)，即42x4x22x4，整理得3x24x120，此方程沒有實(shí)數(shù)根123或35【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的三邊關(guān)系定理等知識(shí)點(diǎn)，理解題中的新定義，正確分多種情況討論是解題關(guān)鍵23（1）證明見解析；（2）21.【分析】（1）只需要證明ADBB30，再根據(jù)等角對等邊即可證明ADAB,再結(jié)合小明的分析即可證明；（2eqoac(,）作)ADC關(guān)于AC的對稱圖形ADC,過點(diǎn)C作CEAB于點(diǎn)E，則DE=BE設(shè)DE=BE=x在eqoac(,Rt)CEB和eqoac(,Rt)CEA中，根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.【詳

40、解】解：（1）證明：如下圖，作ADC關(guān)于CD的對稱圖形ADC，AD=AD，CA=CA，CAD=A=60，CD平分ACB，A點(diǎn)落在CB上ACB=90，B=90-A=30，ADB=CAD-B=30，即ADB=B，AD=AB，CA+AD=CA+AD=CA+AB=CB.（2）如圖，作ADC關(guān)于AC的對稱圖形ADCDA=DA=9，DC=DC=10，AC平分BAD，D點(diǎn)落在AB上，BC=10，DC=BC，過點(diǎn)C作CEAB于點(diǎn)E，則DE=BE，設(shè)DE=BE=x，在eqoac(,Rt)CEB中，CE2=CB2-BE2=102-x2，在eqoac(,Rt)CEA中，CE2=AC2-AE2=172-（9+x）21

41、02-x2=172-（9+x）2，解得：x=6，AB=AD+DE+EB=9+6+6=21【點(diǎn)睛】.本題考查軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)（1）中證明ADB=B不是經(jīng)常用的等量代換，而是利用角之間的計(jì)算求得它們的度數(shù)相等，這有點(diǎn)困難，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解題關(guān)鍵.24（1）CD=8；（2）t=4；（3）v【分析】12tt(2t6)（1）作AEBC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BE=12BC，然后利用勾股定理求出AE，再用等面積法可求出CD的長；（2）過B作BFAC于F，易得BF=CD，分別討論Q點(diǎn)在AF和FC之間時(shí)，根據(jù)BQFCPD，得到PD=Q

42、F，建立方程即可求出t的值；（3）同（2）建立等式關(guān)系即可得出關(guān)系式，再根據(jù)Q在FC之間求出t的取值范圍即可.【詳解】解：（1）如圖，作AEBC于E，AB=AC，BE=12BC=25在eqoac(,Rt)ABE中，AE=AB2BE2=102252=45ABC的面積=11BCAE=ABCD22CD=BCAE4545=8AB10（2）過B作BQAC，當(dāng)Q在AF之間時(shí)，如圖所示，ABC的面積=11ACBF=ABCD，AB=AC22BF=CD在eqoac(,Rt)CPD和eqoac(,Rt)BQF中CP=BQ，CD=BF，eqoac(,Rt)CPDeqoac(,Rt)BQF（HL）PD=QF在eqoa

43、c(,Rt)ACD中，CD=8，AC=AB=10AD=AC2CD2=6同理可得AF=6PD=AD=AP=6-t，QF=AF-AQ=6-2t由PD=QF得6-t=6-2t，解得t=0，t0，此種情況不符合題意，舍去；當(dāng)Q點(diǎn)在FC之間時(shí)，如圖所示，此時(shí)PD=6-t，QF=2t-6由PD=QF得6-t=2t-6，解得t=4，綜上得t的值為4.（3）同（2）可知v1時(shí)，Q在AF之間不存在CP=BQ，Q在FC之間存在CP=BQ，Q在F點(diǎn)時(shí)，顯然CPBQ，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AP=t，AQ=vt，PD=6-t，QF=vt-6，由PD=QF得6-t=vt-6，整理得v12tt，Q在FC之間，即AFAQAC6vt

44、10，代入v12tt612t10，解得2t6得所以答案為v12tt(2t6)【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題，熟練掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形對應(yīng)邊相等建立方程是解題的關(guān)鍵.25（1）（5，0）；（2）見解析；（3）P（4，2），滿足ACP與BDC全等的點(diǎn)是P1、P2，P3理由見解析【分析】（1）由題意可以假設(shè)A（a，a）（a0），根據(jù)AB2+OB2=OA2，構(gòu)建方程即可解決問題；（2）由角平分線的性質(zhì)定理證明CH=CF，CG=CF即可解決問題；（3）如圖3中，在BC的延長線上取點(diǎn)P，使得CP=DB，連接AP只要證明ACPCDB（SASeqoac(,），)ABP是等腰直角三

45、角形即可解決問題；根據(jù)SAS即可判斷滿足ACPeqoac(,與)BDC全等的點(diǎn)是P1、P2，P3；【詳解】解：（1）點(diǎn)A在射線yx（x0）上，故可以假設(shè)A（a，a）（a0），ABx軸，ABOBeqoac(,a)，即ABO是等腰直角三角形，AB2+OB2OA2，a2+a2（52）2，解得a5，點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，0）（2）如圖2中，作CFx軸于FOC平分AOB，CHOE，CHCF，AOB是等腰直角三角形，AOB45，BCOE，CBGAOB45，得到BC平分ABF，CGBA，CFBF，CGCF，CGCH（3）如圖3中，在BC的延長線上取點(diǎn)P，使得CPDB，連接APDAC1由（2）可知AC平分DAE，1

46、DAE（18045）67.5，22由OC平分AOB得到DOB12AOB22.5，ADCODB9022.567.5，ADCDAC67.5，ACDC，BDCOBD+DOB90+22.5112.5，ACD180CADADC18067.567.545，OCB4522.522.5，ACP180ACDOCB1804522.5112.5，在ACP和CDB中，ACPDB，CPDBACADACPCDB（SAS），CAPDCB22.5，BAPCAP+DAC22.5+67.590，ABP是等腰直角三角形，APABOB2，P（4，2）滿足ACP與BDC全等的點(diǎn)是P1、P2，P3理由：如圖4中，由題意：AP1BD，AC

47、CD，CAP1CDB，根據(jù)SAS可得CAPeqoac(,1)CDB；AP2BD，ACCD，CAP2CDB，根據(jù)SAS可得CAP2CDB；ACCD，ACP3BDC，BDCP3根據(jù)SAS可得CAPeqoac(,3)DCB；故答案為P1、P2，P3【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題26（1）CFFH，證明見解析；（2）依然成立，點(diǎn)E與點(diǎn)C之間的距離為333理由見解析.【分析】（1）做輔助線，通過已知條件證得ADG與DEF是等腰直角三角形證出CEFFGH，利用全等

48、的性質(zhì)即可得到CFFH.（2）設(shè)AH，DF交于點(diǎn)G，可根據(jù)ASAeqoac(,證明)FCEHFG，從而得到CFFH，當(dāng)ABC和CFH均為等腰直角三角形當(dāng)他們面積相等時(shí)，CFAC6利用勾股定理可以求DE、CE的長，即可求出CE的長，即可求得點(diǎn)E與點(diǎn)C之間的距離【詳解】（1）CFFH證明：延長DF交AB于點(diǎn)G在ABC中，ACB90，ACBC6，AB45DFDE于點(diǎn)D，且DEDF，EDF90，ADG與DEF是等腰直角三角形AGDDEF45，ADDG，DCFCFD90，CEFFGH135，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，CDAD12AC3，CDDGCEFGFHCF于點(diǎn)F，CFG90，GFHCFD90DCFGFHCE

49、FFGHCFFH；（2）依然成立理由：設(shè)AH，DF交于點(diǎn)G，由題意可得出：DF=DE，DFE=DEF=45，AC=BC，A=CBA=45，DFBC，CBA=FGB=45，F(xiàn)GH=CEF=45，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),DFBC，DG=11BC,DC=AC，22DG=DC，EC=GF，DFC=FCB，ECGFGFH=FCE，eqoac(,在)FCEeqoac(,和)HFG中CEFFGH，ECFGFHFCEHFG(ASA)，HF=FC.由（1）可知ABC和CFH均為等腰直角三角形當(dāng)他們面積相等時(shí)，CFAC6DEDFCF2CD233CEDEDC333點(diǎn)E與點(diǎn)C之間的距離為333【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的

50、判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，學(xué)會(huì)利用全等和等腰三角形的性質(zhì)，借助勾股定理解決問題.27（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由見解析；（3）當(dāng)P的坐標(biāo)為（1340，）時(shí)，PD+PF的長度最短，最短長度為73.【解析】【分析】（1）根據(jù)閱讀材料中A和B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出答案；由于M、N在平行于y軸的直線上，根據(jù)M和N的縱坐標(biāo)利用公式|y1y2|即可求出MN的距離;（2）由三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別求出DE，DF，EF的長，即可判定此三角形的形狀；（3）作F關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F，連接DF，與x軸交于點(diǎn)P，此時(shí)PDPF最短，最短距離為DF，P的坐標(biāo)即為直線DF與x軸的交點(diǎn)

51、.【詳解】解：（1）A2,4、B3,8AB23248213故A、B兩點(diǎn)間的距離為：13.M、N在平行于y軸的直線上，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為-1MN415故M、N兩點(diǎn)的距離為5.（2）D1,6、E3,3、F4,2DE1326325DF1426225EF34232252DE=DF，DE2DF2EF2DEF為等腰直角三角形（3）4kb23b26作F關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F，連接DF，與x軸交于點(diǎn)P，此時(shí)DP+PF最短設(shè)直線DF的解析式為y=kx+b將D（1,6），F(xiàn)（4，-2）代入得：kb68k解得3直線DF的解析式為：y826x33，即P的坐標(biāo)為（，）令y=0，解得xPF=PF1313440P

52、D+PF=PD+PF=DF=14262273故當(dāng)P的坐標(biāo)為（【點(diǎn)睛】1340，）時(shí)，PD+PF的長度最短，最短長度為73.本題屬于一次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，弄清楚材料中的距離公式是解決本題的關(guān)鍵.28(1)見解析；y22x0 x1；（2）見解析2x【解析】【分析】（1）連接DE，如圖1，先用SAS證明CBECDE，得EB=ED，CBE=1，再用四邊形的內(nèi)角和可證明EBC=2，從而可得1=2，進(jìn)一步即可證得結(jié)論；將BAE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，點(diǎn)E落在點(diǎn)P處，如圖2，用SAS可證PBGEBG，所以PG=EG=2xy，在直角三角形PCG中，根據(jù)勾股定理整理即得y與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)題意寫出x的取值范圍即可.（2）由（1）題已得EB=ED，根據(jù)正方形的對稱性只需再確定點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)即可，考慮到只有直尺，可延長BE交AD于點(diǎn)M，再連接MO并延長交BC于點(diǎn)N