保角變換數(shù)學(xué)物理方法

1、關(guān)于保角變換數(shù)學(xué)物理方法第一張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月重點：難點：分式線性變換及其映射特點分式線性變換與初等函數(shù)相結(jié)合，求一些簡單區(qū)域之間的映射 本章內(nèi)容： 1）保角射的概念； 2）分式線性映射和幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的映射； 3）典型實例描述保角映射的應(yīng)用第二張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月2 1. 的幾何意義第一節(jié) 保角映射的概念第三張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月3 2) 轉(zhuǎn)動角的大小與方向跟曲線C的形狀與方向無關(guān).3)保角性方向不變的性質(zhì), 此性質(zhì)稱為保角性. 夾角在其大小和方向上都等同于經(jīng)過第四張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月4 4）伸縮率方

2、向無關(guān). 所以這種映射又具有伸縮率的不變性.第五張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月52.共形映射（保角映射）也稱為第一類共形映射.僅保持夾角的絕對值不變而方向相反的映射, 稱為第二類共形映射質(zhì): (1) 保角性; (2) 伸縮率不變性.第六張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月6稱為分式線性映射.任一分式線性映射都可看成是由下列三種基本的分式映射復(fù)合而成: 3.分式線性映射第七張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月7 分式線性映射的性質(zhì)1）分式線性映射在擴充復(fù)平面上一一對應(yīng).2）分式線性映射在擴充復(fù)平面上具有保角性.第八張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月8 2. 如果給

3、定的圓周或直線上沒有點映射成無窮遠(yuǎn)點, 那末它就映射成半徑為有限的圓周;如果有一個點映射成無窮遠(yuǎn)點, 那末它就映射成直線. 分式線性映射將擴充z平面上的圓周映射成擴充w平面上的圓周, 即具有保圓性. 3）分式線性映射在擴充復(fù)平面上具有保圓性注意：1. 此時把直線看作是經(jīng)過無窮遠(yuǎn)點的圓周.第九張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月9 4）分式線性映射具有保對稱性.這一性質(zhì)稱為保對稱性.第十張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月104.唯一決定分式線性映射的條件交比不變性第十一張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月11判別方法:對確定區(qū)域的映射 在分式線性映射下, C的內(nèi)部不是映射成方

4、法1在分式線性映射下, 如果在圓周C內(nèi)任取 若繞向相反, 則C方法2第十二張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月12圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成一圓弧與一直線所2) 當(dāng)二圓周上有一點映射成無窮遠(yuǎn)點時, 這二圍成的區(qū)域.3) 當(dāng)二圓交點中的一個映射成無窮遠(yuǎn)點時, 這二圓周的弧所圍成的區(qū)域映成角形區(qū)域.1) 當(dāng)二圓周上沒有點映射成無窮遠(yuǎn)點時, 這二圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成二圓弧所圍成的區(qū)域.分式線性映射對圓弧邊界區(qū)域的映射:第十三張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月13 5. 幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的映射映射特點:把以原點為頂點的角形域映射成以原點為頂點的角形域, 但張角變成為原來的 n 倍

5、. 第十四張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月14特殊地:因此將角形域的張角拉大（或縮?。r，就可利用冪函數(shù) 所構(gòu)成的共形映射.0第十五張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月1500如果要把帶形域映射成角形域, 常利用指數(shù)函數(shù).0特殊地:0映射特點:第十六張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月16三、典型例題解1 利用分式線性映射不變交比和對稱點第十七張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月17 由交比不變性知第十八張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月18 解2由對稱點的不變性知，利用不變對稱點第十九張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月19解3將所求映射設(shè)為利用典型

6、區(qū)域映射公式第二十張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月20例2 求一個分式線性映射 它將圓 映成圓 ,且滿足條件 解因 映成 的映射為第二十一張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月21第二十二張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月22例3 求一個分式線性映射 它將圓 映成圓 ，且滿足條件 解第二十三張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月23與 互為反函數(shù)，第二十四張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月24故第二十五張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月25 解第二十六張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月26例5 試證明在映射 下, 互相正交的直線族 與 依此映射成互相正交的直線族與圓族 證第二十七張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月27由于過原點的直線與以原點為心的圓正交，故命題得證.證畢第二十八張，PPT共三十一頁，創(chuàng)作于2022年6月28 例6 試將如圖所示的區(qū)域映射到上半平面.由分式線性映射的保圓性知：將鉛直帶