2021年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考數(shù)學(xué)試卷和答案

1、2021年內(nèi)蒙古呼和浩特市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1（3分）幾種氣體的液化溫度（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓）如下表：氣體氧氣氫氣氮氣氦氣液化溫253195.8268度183其中液化溫度最低的氣體是（）A氦氣B氮氣C氫氣D氧氣2（3分）如圖，在ABC中，B50，直線DE經(jīng)過點A，DAB50（）A40B50C60D703（3分）如圖所示的幾何體，其俯視圖是（）第1頁（共51頁）ABCD4（3分）下列計算正確的是（）A3a2+4a27a4C18+12（）45（3分）已知關(guān)于x的不等式組BD1a1無實數(shù)解，則a的取值范圍是（）

2、AaBa2CaDa26（3分）某學(xué)校初一年級學(xué)生來自農(nóng)村，牧區(qū)，城鎮(zhèn)三類地區(qū)，由圖中的信息，得出以下3個判斷（）該校初一學(xué)生在這三類不同地區(qū)的分布情況為3：2：7若已知該校來自牧區(qū)的初一學(xué)生為140人，則初一學(xué)生總?cè)藬?shù)為1080人若從該校初一學(xué)生中抽取120人作為樣本，調(diào)查初一學(xué)生父母的文化程度，則從農(nóng)村、牧區(qū)、城鎮(zhèn)學(xué)生中分別隨機(jī)抽取30、20、70人A3個B2個C1個D0個7（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（3，0），B（0，4）以AB第2頁（共51頁）為一邊在第一象限作正方形ABCD（）Ayx+4Byx+4Cyx+4Dy48（3分）如圖，正方形的邊長為4，剪去四個角后成為一個正八邊形，根據(jù)

3、我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形的周長近似代替其外接圓周長，下面d及的值都正確的是（）AdBdCdDd，8sin22.5，4sin22.5，8sin22.5，4sin22.59（3分）以下四個命題：任意三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分；A，B，C，D，E，F(xiàn)六個足球隊進(jìn)行單循環(huán)賽，若A，B，C，D，4，3，2，1場，則由此可知；兩個正六邊形一定位似；有13人參加捐款，其中小王的捐款數(shù)比13人捐款的平均數(shù)多2元，則小王的捐款數(shù)不可能最少，比其他的都少其中真命題的個數(shù)有（）A1個B2個C3個第3頁（共51頁）D4個10（3分）已知二次項系數(shù)等于1的一個二次函數(shù)，其

4、圖象與x軸交于兩點（m，0），（n，0），且過A（0，b），B（3，a）（b，a是實數(shù)），若0mn2，則ab的取值范圍是（）A0abB0abC0abD0ab二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分本題要求把正確結(jié)果填在答題卡規(guī)定的橫線上，不需要解答過程）11（3分）因式分解：x3y4xy12（3分）正比例函數(shù)yk1x與反比例函數(shù)y的圖象交于A，B兩點（，2），則k1+k213（3分）已知圓錐的母線長為10，高為8，則該圓錐的側(cè)面展開圖（扇形）（用含的代數(shù)式表示），圓心角為度14（3分）動物學(xué)家通過大量的調(diào)查，估計某種動物活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.5，則20年后存活

5、的有只，現(xiàn)年20歲的這種動物活到25歲的概率是15（3分）已知菱形ABCD的面積為2，點E是一邊BC上的中點，點P是對角線BD上的動點連接AE，則線段PE與PC的和的最小值為，最大值為16（3分）若把第n個位置上的數(shù)記為xn，則稱x1，x2，x3，xn有限個有序放置的數(shù)為一個數(shù)列A定義數(shù)列A的“伴生數(shù)列”B是：y1，y2，y3，yn，其中yn是這個數(shù)列中第n個位置上的第4頁（共51頁）數(shù)，n1，2，k且yn并規(guī)定x0 xn，xn+1x1如果數(shù)列A只有四個數(shù)，且x1，x2，x3，x4依次為3，1，2，1，則其“伴生數(shù)列”B是三、解答題（本大題共8小題，滿分72分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

6、步驟）17（10分）計算求解：1（1）計算（）（2）解方程組）+tan30；18（8分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BEDF且分別交對角線AC于點E（1）求證：ABECDF；（2）當(dāng)四邊形ABCD分別是矩形和菱形時，請分別說出四邊形BEDF的形狀（無需說明理由）（1910分）某大學(xué)為了解大學(xué)生對中國共產(chǎn)黨黨史知識的學(xué)習(xí)情況，在大學(xué)一年級和二年級舉行有關(guān)黨史知識測試活動現(xiàn)從一、二兩個年級中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的測試成績（滿分50分，30分及30分以上為合格；40分及40分以上為優(yōu)秀）進(jìn)行整理、描述和分析第5頁（共51頁）大學(xué)一年級20名學(xué)生的測試成績?yōu)椋?9，50，39，49，30，49，

7、49，43，43，37，37，43，43，25大學(xué)二年級20名學(xué)生的測試成績條形統(tǒng)計圖如圖所示；兩個年級抽取的學(xué)生的測試成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、優(yōu)秀率如下表所示：年級平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)優(yōu)秀率大一大二a39.5b4443cmn請你根據(jù)上面提供的所有信息，解答下列問題：（1）上表中a，b，c，m，n；根據(jù)樣本統(tǒng)計數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該大學(xué)一、二年級中哪個年級學(xué)生掌握黨史知識較好？并說明理由（寫出一條理由即可）；（2）已知該大學(xué)一、二年級共1240名學(xué)生參加了此次測試活動，通過計算，估計參加此次測試活動成績合格的學(xué)生人數(shù)能否超過1000人；（3）從樣本中測試成績?yōu)闈M分的一、二年級的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，

8、用列舉法求兩人在同一年級的概率第6頁（共51頁）（208分）如圖，線段EF與MN表示某一段河的兩岸，EFMN綜合實踐課上（EF與MN之間的距離），已知河對岸EF上有建筑物C、D，且CD60米，用測角儀測得C建筑物位于A北偏東45方向，再沿河岸走20米到達(dá)B處，請你根據(jù)所測數(shù)據(jù)求出該段河的寬度，（用非特殊角的三角函數(shù)或根式表示即可）21（7分）下面圖片是七年級教科書中“實際問題與一元一次方程”的探究3探究3電話計費問題下表中有兩種移動電話計費方式月使用費/元主叫限定時主叫超時費/被叫間/min（元/min）方式一方式二58881503500.250.19免費免費考慮下列問題：月使用費固定收：主叫

9、不超限定時間不再收費，主叫超時部分加收超時費，被叫免費第7頁（共51頁）（1）設(shè)一個月內(nèi)用移動電話主叫為tmin（t是正整數(shù)）根據(jù)上表，列表說明：當(dāng)t在不同時間范圍內(nèi)取值時（2）觀察你的列表，你能從中發(fā)現(xiàn)如何根據(jù)主叫時間選擇省錢的計費方式嗎？通過計算驗證你的看法小明升入初三再看這個問題，發(fā)現(xiàn)兩種計費方式，每一種都是因主叫時間的變化而引起計費的變化，決定用函數(shù)來解決這個問題（1）根據(jù)函數(shù)的概念，小明首先將問題中的兩個變量分別設(shè)為自變量x和自變量的函數(shù)y，請你幫小明寫出：x表示問題中的，y表示問題中的并寫出計費方式一和二分別對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）在給出的正方形網(wǎng)格紙上畫出（1）中兩個函數(shù)的大致圖

10、象，（并依據(jù)圖象直接寫出如何根據(jù)主叫時間選擇省錢的計費方式注：坐標(biāo)軸單位長度可根據(jù)需要自己確定）第8頁（共51頁）22（7分）為了促進(jìn)學(xué)生加強(qiáng)體育鍛煉，某中學(xué)從去年開始，每周除體育課外，B品牌足球共花費2400元，且購買A品牌足球數(shù)量是B品牌數(shù)量的1.5倍，A品牌比B品牌便宜12元今年由于參加俱樂部人數(shù)增加，需要從該店再購買A、B兩種足球共50個，今年進(jìn)行了調(diào)整，A品牌比去年提高了5%，如果今年購買A、B兩種足球的總費用不超過去年總費用的一半，那么學(xué)校最多可購買多少個B品牌足球？23（10分）已知AB是O的任意一條直徑（1）用圖1，求證：O是以直徑AB所在直線為對稱軸的軸對稱圖形；（2）已知O

11、的面積為4，直線CD與O相切于點C，過點B作BDCD，如圖2求證：BC22BD；改變圖2中切點C的位置，使得線段ODBC時，OD2第9頁（共51頁）24（12分）已知拋物線yax2+kx+h（a0）（1）通過配方可以將其化成頂點式為，根據(jù)該拋物線在對稱軸兩側(cè)從左到右圖象的特征，可以判斷，當(dāng)頂點在x軸（填上方或下方），即4ahk20（填大于或小于）時，該拋物線與x軸必有兩個交點；（2）若拋物線上存在兩點A（x1，y1），B（x2，y2），分布在x軸的兩側(cè)，則拋物線頂點必在x軸下方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對這個結(jié)論的正確性給以說明，不妨設(shè)x1x2且都不等于頂點的橫坐標(biāo)；另如果需要借助圖象輔助說明，可

12、自己畫出簡單示意圖）（3）利用二次函數(shù)（1）2）結(jié)論，求證：當(dāng)a0，a+c）a+b+c），（bc）24a（a+b+c）第10頁（共51頁）答案與卡片一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1參考答案：268253195.8183，其中液化溫度最低的氣體是氦氣故選：A2參考答案：B50，C70，BAC180BC180507060，DAB50，DAB+BAC+EAC180，EAC180DABBAC180506070，故選：D3參考答案：從上面看該幾何體，所看到的圖形如下：故選：B4參考答案：3a2+4a27a4，故選項A錯誤；當(dāng)a0時

13、，a，當(dāng)a0時，2；18+12（）181836；a1（a+1）；故選：D第11頁（共51頁）5參考答案：解不等式2x38得：x2，解不等式4，關(guān)于x的不等式組無實數(shù)解，不等式的解集為2a+26，解得：a2，故選：D6參考答案：該校來自城鎮(zhèn)的初一學(xué)生的扇形的圓心角為：3609060210，該校初一學(xué)生在這三類不同地區(qū)的分布情況為90：60：2103：2：6，故正確；若已知該校來自牧區(qū)的初一學(xué)生為140人，則初一學(xué)生總?cè)藬?shù)為140120120120，故錯誤；30（人），20（人），70（人），故正確，不符合題意；故選：C7參考答案：過D點作DHx軸于H，如圖，點A（3，0），7）OA3，OB4，四

14、邊形ABCD為正方形，第12頁（共51頁）ABAD，BAD90，OBA+OAB90，ABO+DAH90，ABODAH，在ABO和DAH中，ABODAH（AAS），AHOB4，DHOA3，D（7，5），設(shè)直線BD的解析式為ykx+b，把D（7，3），4）代入得直線BD的解析式為yx+7故選：A，8參考答案：如圖，連接AD，過點O作OPBC于點P，第13頁（共51頁）則CPPD，且COP22.5，設(shè)正八邊形的邊長為a，則a+2解得a4（1），在eqoac(,Rt)OCP中，OC，d2OC，由d4CD，則32（，8sin22.5故選：C9參考答案：任意三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分，正確

15、，符合題意；由每個隊分別與其它隊比賽一場，最多賽5場，則每個隊均與A隊賽過，所以E隊還沒有與B隊賽過，是假命題兩個正六邊形一定相似但不一定位似，故原命題錯誤，不符合題意；有13人參加捐款，其中小王的捐款數(shù)比13人捐款的平均數(shù)多2元，但可能只比最少的多，正確，符合題意，正確的有3個，第14頁（共51頁）故選：B10參考答案法1、函數(shù)是一個二次項系數(shù)為1的二次函數(shù)，此函數(shù)的開口向上，開口大小一定，拋物線與x軸交于兩點（m，4），0），a0，b7，ab0，（ab）2a8+b22ab4（ab時取等號），即a2+b23ab（當(dāng)ab時取等號），當(dāng)ab時，ab才有可能最大，二次函數(shù)過A（0，b），a）兩點，

16、點A，B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，拋物線與x軸交于兩點（m，0），2），拋物線的頂點越接近x軸，ab的值越大，即當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點時，是ab最大值的分界點，當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點時，此時mn，拋物線的解析式為y（x）2x63x+，ab，ab（）2，7ab故選：C，解法2、二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（0，a）兩點，第15頁（共51頁）bmn，a（5m）（3n），（abmn（3m）3n）（3mm2）3nn2）（m）2+（n）2+3mn3，0（m）2+，0（n）2+，mn，ab不能取3mn，故選：C二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分本題要求把正確結(jié)果填在答題卡規(guī)定的橫線上，不需要解答

17、過程）11參考答案：x3y4xy，xy（x24），xy（x+2）（x3）12參考答案：正比例函數(shù)yk1x與反比例函數(shù)y的圖象交于A，若A點坐標(biāo)為（2k1，2），k12，k26，k1+k38，故答案為813參考答案：設(shè)底面圓的半徑為rcm，第16頁（共51頁）由勾股定理得：r2r2312，根據(jù)題意得265，解得n216，即這個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為216故答案為：12，21614參考答案：若設(shè)剛出生的這種動物共有a只，則20年后存活的有0.8a只，設(shè)共有這種動物x只，則活到20歲的只數(shù)為2.8x，故現(xiàn)年20歲到這種動物活到25歲的概率為，故答案為：0.8a，15參考答案：根據(jù)圖形可畫出圖形，

18、如圖所示，過點B作BFAC交AE的延長線于點F，F(xiàn)CAE，EBFACE，點E是BC的中點，ACEFBE（AAS），第17頁（共51頁）BFAC，AE平分BAC，BAECAE，BAEF，ABBFAC，在菱形ABCD中，ABBC，ABBCeqoac(,AC)，即ABC是等邊三角形；ABC60，設(shè)ABa，則BD，菱形ABCD的面積ACBD2a2，即ABBCCD2；四邊形ABCD是菱形，點A和點C關(guān)于BD對稱，PE+PCAP+EP，即，當(dāng)點A，P，E三點共線時，此時AE；點P和點D重合時，PE+PC的值最大，過點D作DGBC交BC的延長線于點G，連接DE，第18頁（共51頁）ABCD，ABC60，DC

19、G60，CG1，DGEG6，DE，此時PE+PC2+；即線段PE與PC的和的最小值為；最大值為2+故答案為：；2+16參考答案：當(dāng)n1時，x0 x71x2，y20，當(dāng)n2時，x8x3，y23，當(dāng)n3時，x2x5，y30，當(dāng)n2時，x3x5x6，y41，第19頁（共51頁）“伴生數(shù)列”B是：3，1，0，2，故答案為0，1，5，1三、解答題（本大題共8小題，滿分72分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17參考答案：（1）原式3（3（43）+138+12；）+（2）原方程整理為，12得：13x3900，解得x300，把x300代入得：y400，方程組的解為18參考答案：（1）證明：四邊形ABC

20、D是平行四邊形，ABCD，ABCD，BAEDCF，BEDF，BECDFA，180BEC180DFA，AEBCFD，在ABE和CDF中，第20頁（共51頁），ABECDF（AAS），（2）連接ED，BF，由（eqoac(,1)）知ABECDF，BEDF，BEDF，四邊形BEDF是平行四邊形，1當(dāng)四邊形ABCD是矩形時，四邊形BEDF是平行四邊形，2當(dāng)四邊形ABCD是菱形時，四邊形ABCD是菱形，ACBD，EFBD，四邊形BEDF是菱形19參考答案：（1）將一年級20名同學(xué)成績整理如下表：成績?nèi)藬?shù)251302377392435494502a41.1，（255+302+374+397+435+494

21、+502）第21頁（共51頁）c42.3，n（3+5+8+3）20100%65%，故答案為：41.1，43，55%；從表中優(yōu)秀率看，二年級樣本優(yōu)秀率達(dá)到65%高于一年級的55%，所以用優(yōu)秀率評價，估計二年級學(xué)生掌握黨史知識較好（2）樣本合格率為：92.5%，估計總體的合格率大約為92.5%，估計參加測試的兩個年級合格學(xué)生約為：124092.51147（人），估計參加此次測試活動成績合格的學(xué)生人數(shù)能超過1000人；（3）一年級滿分有6人，記為A，B，記為C，D，E，畫樹狀圖如圖：共有20種等可能的結(jié)果，兩人在同一年級的結(jié)果有8種，兩人在同一年級的概率為20參考答案：如圖，過C、D分別作CPMN、

22、Q，設(shè)河寬為x米由題意知，ACP為等腰直角三角形，第22頁（共51頁）APCPx（米），BPx20（米），在eqoac(,Rt)BDQ中，BDQ55，tan55xx+40，（tan551）x40，所以河寬為答：河寬為米米21參考答案：（1）由題意，可得x表示問題中的主叫時間；方式一：y方式二：y故答案為：主叫時間，計費；（2）大致圖象如下：；由圖可知：當(dāng)主叫時間在270分鐘以內(nèi)選方式一，270分鐘時兩種方式相同第23頁（共51頁）22參考答案：設(shè)去年A足球售價為x元/個，則B足球售價為（x+12）元/個由題意得：，即，96（x+12）120 x，x48經(jīng)檢驗，x48是原分式方程的解且符合題意A

23、足球售價為48元/個，B足球售價為60元/個設(shè)今年購進(jìn)B足球的個數(shù)為a個，則有：50.45050.3a+54a264036a120，最多可購進(jìn)33個B足球23【解答】（1）證明：如圖，設(shè)P是O上點A，過點P作PPAB，交O于點P，若M與圓心O不重合，連接OP，OP，在OPP中，OPOP，OPP是等腰三角形，又PPAB，PMMP，第24頁（共51頁）則AB是PP的垂直平分線，若M與圓心O重合，顯然AB是PP的垂直平分線，這就是說，對于圓上任意一點P，因此O是以直徑AB所在直線為對稱軸的軸對稱圖形；（2）證明：設(shè)O半徑為r，由r24可得r2，AB4，連接AC，則BCA90，C是切點，連接OC，OC

24、CD，BDCD，OCBD，OCBDBC，而OCBOBC，第25頁（共51頁）DBEOBC，又BCABDC90，ACBCDB，BC2ABBD4BD，；證明：由證明可知CBDOBC，與切點C的位置無關(guān)，又ODBC，BDOB，又OCB是等腰三角形，BC與OD互相垂直平分，又BDC90，四邊形BOCD是邊長為2的正方形，24參考答案：（1）yax2+kx+ha（x2+x）+hax）2（）2+ha（x+）5+ha（x+）2+，頂點式為：，當(dāng)頂點在x軸下方時20（填大于或小于）時，該拋物線與x軸必有兩個交點；第26頁（共51頁）故答案為：，下方，；（2）若設(shè)x1x3且不等于頂點橫坐標(biāo)則A，B兩點位置可能有

25、以下三種情況：當(dāng)A，B都在對稱軸左側(cè)時，函數(shù)值隨x的增大而減小，點B在x軸下方，所以拋物線頂點必在x軸下方當(dāng)A，B都在對稱軸右側(cè)時，函數(shù)值隨x的增大而增大，點A在x軸下方，所以拋物線頂點必在x軸下方當(dāng)A，B在對稱軸兩側(cè)時，B分布在x軸兩側(cè)，B哪個點在x軸下方，同或如圖所示：第27頁（共51頁）（3）證明：令yax2+（bc）x+（a+b+c），a0，當(dāng)x20時，y1a+b+c；當(dāng)x71時，y24（a+c）而（a+c）（a+b+c）0，y1y20，yax2+（bc）x+（a+b+c）上存在兩點（3，2a+2c），a+b+c）分別位于x軸兩側(cè)，由（1）（2）可知，yax4+（bc）x+（a+b+c

26、）頂點在x軸下方，即，又a0，6a（a+b+c）（bc）20，即：（bc）84a（a+b+c）第28頁（共51頁）考點卡片1正數(shù)和負(fù)數(shù)1、在以前學(xué)過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負(fù)號“”叫做負(fù)數(shù)，一個數(shù)前面的“+”“”號叫做它的符號2、0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)0是正負(fù)數(shù)的分界點，正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)是小于0的數(shù)3、用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量具有相反意義的量都是互相依存的兩個量，它包含兩個要素，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量2有理數(shù)大小比較（1）有理數(shù)的大小比較比較有理數(shù)的大小可以利用數(shù)軸，他們從右到左的順序，即從大到小的順序（在數(shù)軸上表示的兩個有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大）；

27、也可以利用數(shù)的性質(zhì)比較異號兩數(shù)及0的大小，利用絕對值比較兩個負(fù)數(shù)的大小（2）有理數(shù)大小比較的法則：正數(shù)都大于0；負(fù)數(shù)都小于0；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的其值反而小【規(guī)律方法】有理數(shù)大小比較的三種方法第29頁（共51頁）1法則比較：正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小2數(shù)軸比較：在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)大于左邊的點表示的數(shù)3作差比較：若ab0，則ab；若ab0，則ab；若ab0，則ab3數(shù)學(xué)常識數(shù)學(xué)常識此類問題要結(jié)合實際問題來解決，生活中的一些數(shù)學(xué)常識要了解比如給出一個物體的高度要會選擇它合適的單位長度等等平時要注意多觀察，留意身邊的小知識4

28、實數(shù)的運算（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進(jìn)行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方（2）在進(jìn)行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進(jìn)行另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關(guān)鍵”第30頁（共51頁）1運算法則：乘方和開方運算、冪的運算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等2運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右

29、依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算3運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準(zhǔn)確度5列代數(shù)式（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式（2）列代數(shù)式五點注意：仔細(xì)辨別詞義列代數(shù)式時，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細(xì)辯析詞義如“除”與“除以”“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分分清數(shù)量關(guān)系要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系注意運算順序列代數(shù)式時，一般應(yīng)在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起來規(guī)范書寫格式列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫像數(shù)

30、字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號注意代數(shù)式括號的適當(dāng)運用正確進(jìn)行代換列代數(shù)式時，有時需將題中的字母代入第31頁（共51頁）公式，這就要求正確進(jìn)行代換【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個問題1在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量2要注意書寫的規(guī)范性用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“”簡寫作“”或者省略不寫3在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)要把它化成假分?jǐn)?shù)（4含有字母的除法，一般不用“”除號），而是寫成分?jǐn)?shù)

31、的形式6合并同類項（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項（2）合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變（3）合并同類項時要注意以下三點：要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準(zhǔn)確地掌握判斷同類項的兩條標(biāo)準(zhǔn)：帶有相同系數(shù)的代數(shù)項；字母和字母指數(shù)；明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經(jīng)過合并同類項，式的項數(shù)會減少，達(dá)到化簡多項式的目的；“合并”是指同類項的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類項的字母和字母的指數(shù)不變7規(guī)律型：數(shù)字的變化類探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出第32頁（共51頁）不窮，

32、形式多樣，它要求在已有知識的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律（1）探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，通常將數(shù)字與序號建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡單運算，從而得出通項公式（2）利用方程解決問題當(dāng)問題中有多個未知數(shù)時，可先設(shè)出其中一個為x，再利用它們之間的關(guān)系，設(shè)出其他未知數(shù)，然后列方程8提公因式法與公式法的綜合運用提公因式法與公式法的綜合運用9分式的混合運算（1）分式的混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的（2）最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式（3）分式的混合運算，一般

33、按常規(guī)運算順序，但有時應(yīng)先根據(jù)題目的特點，運用乘法的運算律進(jìn)行靈活運算【規(guī)律方法】分式的混合運算順序及注意問題1注意運算順序：分式的混合運算，先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的2注意化簡結(jié)果：運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式分子、分母中有公因式的要進(jìn)行約分化為最簡分式或整式3注意運算律的應(yīng)用：分式的混合運算，一般按常規(guī)運算順序，但第33頁（共51頁）有時應(yīng)先根據(jù)題目的特點，運用乘法的運算律運算，會簡化運算過程10負(fù)整數(shù)指數(shù)冪負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：ap1ap（a0，p為正整數(shù)）注意：a0；計算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪時，一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義計算，避免出現(xiàn)（3）2（3）（2）的錯誤當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時，

34、只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)在混合運算中，始終要注意運算的順序11二次根式的混合運算（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用學(xué)習(xí)二次根式的混合運算應(yīng)注意以下幾點：與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式“（2）二次根式的運算結(jié)果要化為最簡二次根式（3）在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍12解二元一次方程組（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：從方程組中選一個系數(shù)比

35、較簡單的方程，將這個方程組中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來將變形后的關(guān)系式代入另一個方程，消去一第34頁（共51頁）個未知數(shù)，得到一個一元一次方程解這個一元一次方程，求出x（或y）的值將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個未知數(shù)的值把求得的x、y的值用“”聯(lián)立起來，就是方程組的解（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程解這個一元一次方程，求得未知數(shù)的值將求出的未知數(shù)的值代

36、入原方程組的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值把所求得的兩個未知數(shù)的值寫在一起，就得到原方程組的解，用的形式表示13分式方程的應(yīng)用1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗、答必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫出單位等2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度路程時間；工作量問題：工作效率工作量工作時間等等列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點，要學(xué)會分析題意，提高理解能力14一元一次不等式的應(yīng)用第35頁（共51頁）（1）由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學(xué)模型，通過解不等式可以得到實際問題的答案（

37、2）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關(guān)系因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵（3）列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟：弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù)根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式解不等式，求出解集寫出符合題意的解15解一元一次不等式組（1）一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集

38、方法與步驟：求不等式組中每個不等式的解集；利用數(shù)軸求公共部分解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到16待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式第36頁（共51頁）待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一般步驟是：（1）先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時，先設(shè)ykx+b；（2）將自變量x的值及與它對應(yīng)的函數(shù)值y的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；（3）解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而寫出函數(shù)解析式注意：求正比例函數(shù)，只要一對x，y的值就可以，因為它只有一個待定系數(shù)；而求一次函數(shù)ykx+b，則需要兩組x，y的值17一次函數(shù)的應(yīng)用1、分段函數(shù)問題分段函數(shù)是在不同區(qū)間有

39、不同對應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學(xué)合理，又要符合實際2、函數(shù)的多變量問題解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中一個變量作為自變量，然后根據(jù)問題的條件尋求可以反映實際問題的函數(shù)3、概括整合（1）簡單的一次函數(shù)問題：建立函數(shù)模型的方法；分段函數(shù)思想的應(yīng)用（2）理清題意是采用分段函數(shù)解決問題的關(guān)鍵18反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立第37頁（共51頁）成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點（2）判斷正比例函數(shù)yk1x和反比例函數(shù)y中的交點個數(shù)可總

40、結(jié)為：在同一直角坐標(biāo)系當(dāng)k1與k2同號時，正比例函數(shù)yk1x和反比例函數(shù)y直角坐標(biāo)系中有2個交點；當(dāng)k1與k2異號時，正比例函數(shù)yk1x和反比例函數(shù)y在同一在同一直角坐標(biāo)系中有0個交點19二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)yax2+bx+c（a0）二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小當(dāng)a0時，拋物線向上開口；當(dāng)a0時，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越小一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置當(dāng)a與b同號時（即ab0），對稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a與b異號時（即ab0），對稱軸在y軸右側(cè)（簡稱：左同右異）常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點拋物線與y軸交于（0，c）拋物線與x

41、軸交點個數(shù)b24ac0時，拋物線與x軸有2個交點；eqoac(,b)24ac0時，拋物線與x軸有1個交點；b24ac0時，拋物線與x軸沒有交點20二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征第38頁（共51頁）二次函數(shù)yax2+bx+c（a0）的圖象是拋物線，頂點坐標(biāo)是（），拋物線是關(guān)于對稱軸x成軸對稱，所以拋物線上的點關(guān)于對稱軸對稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式頂點是拋物線的最高點或最低點拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x21二次函數(shù)的三種形式二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：一般式：yax2+bx+c（a，b，c

42、是常數(shù)，a0），該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式知道拋物線與y軸的交點坐標(biāo)是（0，c）；頂點式：ya（xh）2+k（a，h，k是常數(shù)，a0），其中（h，k）為頂點坐標(biāo)，該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點坐標(biāo)為（h，k）；交點式：ya（xx1）（xx2）（a，b，c是常數(shù)，a0），該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）22拋物線與x軸的交點求二次函數(shù)yax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a0）與x軸的交點坐標(biāo)，令y0，即ax2+bx+c0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo)第39頁（共51頁）（1）二次函數(shù)yax2+bx+c（a，b

43、，c是常數(shù)，a0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c0根之間的關(guān)系b24ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)b24ac0時，拋物線與x軸有2個交點；b24ac0時，拋物線與x軸有1個交點；b24ac0時，拋物線與x軸沒有交點（2）二次函數(shù)的交點式：ya（xx1）（xx2）（a，b，c是常數(shù)，a0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）23三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0且小于180（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個

44、內(nèi)角移到一起，組合成一個平角在轉(zhuǎn)化中借助平行線（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)直接根據(jù)兩已知角求第三個角；依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個角；在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角24三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角第40頁（共51頁）三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對（2）三角形的外角性質(zhì)：三角形的外角和為360三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)將它們轉(zhuǎn)化到一個三

45、角形中去（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角25全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形26平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形（2）平行四邊形的性質(zhì)：邊：平行四邊形的對邊相等角：平行四邊形的對角相等對角線：平行四邊形的對角線互相平分（3）平行線間的距離處處相等第41頁（共51頁）（4）平行四邊形的面積：平行四邊形

46、的面積等于它的底和這個底上的高的積同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等27菱形的性質(zhì)（1）菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形（2）菱形的性質(zhì)菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線（3）菱形的面積計算利用平行四邊形的面積公式菱形面積ab（a、b是兩條對角線的長度）28矩形的性質(zhì)（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形（2）矩形的性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；角：矩形的四個角都是直角；邊：鄰邊垂直；對角線：矩形的對角線相等；矩形是軸對稱圖形，

47、又是中心對稱圖形它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點第42頁（共51頁）（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半29正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形（2）正方形的性質(zhì)正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸30正多邊形和圓（1）正多邊形與圓的關(guān)系把一個圓

48、分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓（2）正多邊形的有關(guān)概念中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距第43頁（共51頁）31圓錐的計算（1）連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線連接頂點與底面圓心的線段叫圓錐的高（2）圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長（3）圓錐的側(cè)面積：S2rlrl側(cè)（4）圓錐

49、的全面積：SS+Sr2+rl全底側(cè)（5）圓錐的體積底面積高注意：圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等32圓的綜合題圓的綜合題33命題與定理1、判斷一件事情的語句，叫做命題許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果那么”形式2、有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理3、定理是真命題，但真命題不一定是定理4、命題寫成“如果，那么”的形式，這時，如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面解的部分是結(jié)論5、命題的“真”假”是就命題的內(nèi)容而言任何一個命題非真即假要說明一個命題的正確性，一般需要推

50、理、論證，而判斷一個命題是假第44頁（共51頁）命題，只需舉出一個反例即可34軸對稱-最短路線問題1、最短路線問題在直線L上的同側(cè)有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點2、凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點35特殊角的三角函數(shù)值（1）特指30、45、60角的各種三角函數(shù)值sin30；cos30；tan30；sin45；cos45；tan451；sin60；cos60；tan60；（2）應(yīng)用中要

51、熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記（3）特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運算，第45頁（共51頁）二是具有三角函數(shù)的特點，在解直角三角形中應(yīng)用較多36解直角三角形的應(yīng)用（1）通過解直角三角形能解決實際問題中的很多有關(guān)測量問如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或長度（2）解直角三角形的一般過程是：將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）根據(jù)題目已知特點選用適當(dāng)

52、銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實際問題的答案37解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角（2）解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決38解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（1）在辨別方向角問題中：一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)（2）在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角第4

53、6頁（共51頁）的關(guān)系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯角相等或一個角的余角等知識轉(zhuǎn)化為所需要的角39簡單組合體的三視圖（1）畫簡單組合體的三視圖要循序漸進(jìn)，通過仔細(xì)觀察和想象，再畫它的三視圖（2）視圖中每一個閉合的線框都表示物體上的一個平面，而相連的兩個閉合線框常不在一個平面上（3）畫物體的三視圖的口訣為：主、俯：長對正；主、左：高平齊；俯、左：寬相等40抽樣調(diào)查的可靠性（1）抽樣調(diào)查是實際中經(jīng)常采用的調(diào)查方式（2）如果抽取的樣本得當(dāng)，就能很好地反映總體的情況，否則抽樣調(diào)查的結(jié)果會偏離總體情況（3）抽樣調(diào)查除了具有花費少，省時的特點外，還適用一些不宜使用全面調(diào)查的情況（如具有破壞性的調(diào)查）（4）分層抽樣獲取的樣本與直接進(jìn)行簡單的隨機(jī)抽樣相比一般能更好地反映總體其特點是：通過劃類分層，增大了各類型中單位間的共同性，容易抽出具有代表性的調(diào)查樣本，該方法適用于總體情況復(fù)雜，各單位之間差異較大，單位較多的情況41用樣本估計總體第47頁（共51頁）用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想1、用樣本的頻率分布估計總體分布：從