2021年中考復習數(shù)學《圓的證明與計算》專項檢測

1、專題二圓的證明與計算類型一圓基本性質(zhì)的證明與計算1.如圖，O的半徑為5，點P在O外，PB交O于A、B兩點，PC交O于D、C兩點(1)求證：PAPBPDPC；4519(2)若PA4，AB4，PDDC2，求點O到PC的距離第1題圖2.如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，ABAC，點P是AB的中點，連接PA，PB，PC.(1)如圖，若BPC60，求證：AC3AP；24(2)如圖，若sinBPC25，求tanPAB的值(2)如圖，若AB不為O的直徑，BE4，F(xiàn)為BC上一點，BFBD，第2題圖33.已知O中弦AB弦CD于E，tanACD2.(1)如圖，若AB為O的直徑，BE8，求AC的長；且CF7，求AC的長

2、第3題圖4.如圖，ABC中，ABAC，以AB為直徑作O，交BC于點D，交CA的延長線于點E，連接AD、DE.(1)求證：D是BC的中點；(2)若DE3，BDAD2，求O的半徑；(3)在(2)的條件下，求弦AE的長第4題圖(3)當點P位于AB的什么位置時，四邊形APBC的面積最大？求出最5.如圖，O的半徑為1，A，P，B，C是O上的四個點，APCCPB60.(1)判斷ABC的形狀：_；(2)試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；大面積第5題圖備用圖類型二與切線有關(guān)的證明與計算(一、與三角函數(shù)結(jié)合1.已知：如圖，在ABC中，ABBC，D是AC中點，BE平分ABD交AC于點E，點

3、O是AB上一點，O過B、E兩點，交BD于點G，交AB于點F.(1)求證：AC與O相切；3(2)當BD6，sinC5時，求O的半徑第1題圖P2.如圖，AB為O的直徑，是BA延長線上一點，PC切O于點C，CG是O的弦，CGAB，垂足為D.(1)求證：PCAABC；(2)過點A作AEPC，交O于點E，交CD于點F，連接BE.若3sinP5，CF5，求BE的長第2題圖3.如圖，在O中，直徑ABCD于點E，點P在BA的延長線上，且滿足PDAADC.(1)判斷直線PD與O的位置關(guān)系，并說明理由；DE(2)延長DO交O于M(如圖)，當M恰為BC的中點時，試求BE的值；1(3)若PA2，tanPDA2，求O的

4、半徑第3題圖二、與相似三角形結(jié)合1.如圖，在eqoac(,Rt)ABC中，ACB90，E是BC的中點，以AC為直徑的O與AB邊交于點D，連接DE.(1)求證：ABCCBD；(2)求證：直線DE是O的切線第1題圖2.如圖，O的圓心在eqoac(,Rt)ABC的直角邊AC上，O經(jīng)過C、D兩點，與斜邊AB交于點E，連接BO、ED，有BOED，作弦EFAC于G，連接DF.(1)求證：COCDDEBO；3(2)若O的半徑為5，sinDFE5，求EF的長第2題圖3.如圖，在ABC中，ABAC，以AB為直徑作半圓O，交BC于點D，連接AD，過點D作DEAC，垂足為點E，交AB的延長線于點F.(1)求證：EF

5、是O的切線；4(2)若O的半徑為5，sinADE5，求BF的長第3題圖4.如圖，在ABC中，C90，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓恰好與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F.(1)若B30，求證：以A、O、D、E為頂點的四邊形是菱形；(2)若AC6，AB10，連接AD，求O的半徑和AD的長第4題圖5.已知eqoac(,Rt)ABC中，AB是O的弦，斜邊AC交O于點D，且ADDC，延長CB交O于點E.(1)圖的A、B、C、D、E五個點中，是否存在某兩點間的距離等于線段CE的長？請說明理由；(2)如圖，過點E作O的切線，交AC的延長線于點F.若CFCD時，求sinCAB的值；若CFa

6、CD(a0)時，試猜想sinCAB的值(用含a的代數(shù)式表示，直接寫出結(jié)果)第5題圖6.已知：如圖，AB是O的直徑，點C為O上一點，OFBC于點F，OF延長線交O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延長線上一點，且ODBAEC.(1)求證：BD是O的切線；(2)求證：CE2EHEA；3(3)若O的半徑為5，sinA5，求BH的長第6題圖7.如圖，ABC內(nèi)接于O，BAC的平分線交O于點D，交BC于點E(BEEC)，且BD23.過點D作DFBC，交AB的延長線于點F.(1)求證：DF為O的切線；(2)若BAC60，DE7，求圖中陰影部分的面積；AB4(3)若AC3，DFBF8，如圖，求BF的長第

7、7題圖(2)如果MPC30，PE23，求劣弧BE的長三、與全等三角形結(jié)合1.如圖，已知PC平分MPN，點O是PC上任意一點，PM與O相切于點E，交PC于A、B兩點(1)求證：PN與O相切；第1題圖2.如圖，已知BC是O的弦，A是O外一點，ABC為正三角形，D為BC的中點，M是O上一點，并且BMC60.(1)求證：AB是O的切線；(2)若E、F分別是邊AB、AC上的兩個動點，且EDF120，O的半徑為2.試問BECF的值是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，請說明理由第2題圖3.已知：如圖，AB是O的直徑，C是O上一點，ODAC于點D，過點C作O的切線，交OD的延長線于點E，連接AE.(1)求

8、證：AE與O相切；(2)連接BD，若EDDO31，OA9，求AE的長和tanB的值第3題圖4.如圖，PB為O的切線，B為切點，直線PO交O于點E、F，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D，交O于點A，延長AO與O交于點C，連接BC，AF.(1)求證：直線PA為O的切線；(2)試探究線段EF、OD、OP之間的等量關(guān)系，并加以證明；1(3)若BC6，tanF2，求cosACB的值和線段PE的長第4題圖5.如圖，ABC內(nèi)接于O，AB為O的直徑，ACB的平分線CD交O于點D，過點D作O的切線PD，交CA的延長線于點P，過點A作AECD于點E，過點B作BFCD于點F.(1)求證：PDAB；(2)求證：DE

9、BF；4(3)若AC6，tanCAB3，求線段PC的長第5題圖(3)在(2)的條件下，若點E是AB的中點，連接CE，求CE的長6.如圖，點P是O外一點，PA切O于點A，AB是O的直徑，連接OP，過點B作BCOP交O于點C，連接AC交OP于點D.(1)求證：PC是O的切線；16(2)若PD3，AC8，求圖中陰影部分的面積；第6題圖7.如圖，AB是O的直徑，OCAB，弦CD與半徑OB相交于點F，連接BD，過圓心O作OGBD，過點A作O的切線，與OG相交于點G，連接GD，并延長與AB的延長線交于點E.(1)求證：GDGA；(2)求證：DEF是等腰三角形；(3)如圖，連接BC，過點B作BHGE，垂足為

10、點H，若BH9，O的直徑是25，求CBF的周長第7題圖專題二圓的證明與計算（答案）類型一圓基本性質(zhì)的證明與計算1.(1)證明：如解圖，連接AD，BC，四邊形ABCD內(nèi)接于O，PADPCB，PDAPBC，PADPCB，PAPCPDPB，第1題解圖PAPBPDPC；(2)解：如解圖，連接OD，過O點作OEDC于點E，4519PA4，AB4，PDDC2，PBPAAB16，PCPDDC2DC2，PAPBPDPC，45416(DC2)(2DC2)，解得DC8或DC11(舍去)，1DE2DC4，OD5，在eqoac(,Rt)ODE中，OEOD2DE23，即點O到PC的距離為3.2.(1)證明：BAC與BP

11、C是同弧所對的圓周角，BACBPC60，又ABAC，點P是AB的中點，PAPB，點P是AB中點，ABC為等邊三角形，ACB60，1ACPBCP2ACB30，而APCABC60，APC為直角三角形，ACtanAPCAP，ACAPtan603AP；(2)解：連接AO并延長交PC于點E，交BC于點F，過點E作EGAC于點G，連接OC，BO，如解圖，ABAC，AFBC，BFCF，ACPPCB，第2題解圖EGEF.1BPCBAC2BOCFOC，24sinFOCsinBPC25，設(shè)FC24a，則OCOA25a，OFOC2FC27a，AF25a7a32a，在RtAFC中，AC2AF2FC2，AC（32a）2

12、（24a）240a，EAGCAF，AEGACF，EGAECFAC，又EGEF，AEAFEF，EG32aEG24a40a，解得EG12a，EF12a1在RtCEF中，tanECFFC24a2，PABPCB，1tanPABtanPCBtanECF2.3.解：(1)如解圖，連接BD，直徑AB弦CD于點E，CEDE，ACD與ABD是同弧所對的圓周角，ACDABD，3tanABDtanACD2，EDAE3ED3EBCE2，即82，ED12，CEED12，3又AE2CE18，ACAE2CE2613；第3題解圖BFBD，(2)連接CB，過B作BGCF于G，如解圖，BCEBCG，在CEB和CGB中BCEBCG

13、BECBGC，BCBCACAE2CE213CEBCGB(AAS)，BEBG4，四邊形ACFB內(nèi)接于O，ACFB180，又CFBBFG180，BFGA，F(xiàn)GBAEC90，BFGCAE，F(xiàn)GAE3BGCE2，3FG2BG6，CECG13，339AE2CE2，213.4.(1)證明：AB是O的直徑，ADB90，即ADBC，第3題解圖ABAC，等腰ABC，AD為BC邊上的垂線，BDDC，D是BC的中點；(2)解：ABAC，ABCC，ABC和AED是同弧所對的圓周角，ABCAED，AEDC，CDDE3，BDCD3，BDAD2，AD1，在RtABD中，由勾股定理得AB2BD2AD2321210，AB10，

14、110O的半徑2AB2；(3)解：如解圖，連接BE，AB10，AC10，ADCBEA90，CC，CDACEB，ACCDBCCE，由(2)知BC2BD6，CD3，1036CE，第4題解圖9CE510，94AECEAC51010510.5.解：(1)等邊三角形【解法提示】APCCPB60，又BAC和CPB是同弧所對的圓周角，ABC和APC是同弧所對的圓周角，BACCPB60，ABCAPC60，BACABC60，ACBC，又有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形，ABC是等邊三角形(2)PAPBPC.證明如下：如解圖，在PC上截取PDPA，連接AD，APC60，PAD是等邊三角形，PAADPD，PA

15、D60，又BAC60，PABDAC，在PAB和DAC中，APADPABDAC，ABACPABDAC(SAS)，PBDC，PDDCPC，第5題解圖(3)當點P為AB的中點時，四邊形APBC的面積最大PAPBPC，理由如下：如解圖，過點P作PEAB，垂足為E，第5題解圖過點C作CFAB，垂足為F，SPAB112ABPE，SABC2ABCF，S四邊形APBC12AB(PECF)當點P為AB的中點時，PECFPC，PC為O的直徑，此時四邊形APBC的面積最大，又O的半徑為1，其內(nèi)接正三角形的邊長AB3，1四邊形APBC的最大面積為2233.類型二與切線有關(guān)的證明與計算一、與三角函數(shù)結(jié)合針對演練1.(1

16、)證明：連接OE，如解圖，ABBC且D是AC中點，BDAC，BE平分ABD，ABEDBE，OBOE，第1題解圖OBEOEB，OEBDBE，OEBD，BDAC，OEAC，OE為O半徑，AC與O相切；3(2)解：BD6，sinC5，BDAC，BDBCsinC10，ABBC10.設(shè)O的半徑為r，則AO10r，ABBC，CA，3sinAsinC5，AC與O相切于點E，OEAC，OEr3sinAOA10r5，15r4，15即O的半徑是4.2.(1)證明：連接OC，如解圖，PC切O于點C，OCPC，ACAG，PCO90，PCAOCA90，AB為O的直徑，ACB90，ABCOAC90，OCOA，OCAOAC

17、，PCAABC；(2)解：AEPC，PCACAF，ABCG，ACFABC，PCAABC，ACFCAF，CFAF，CF5，AF5，AEPC，F(xiàn)ADP，3sinP5，3sinFAD5，3在RtAFD中，AF5，sinFAD5，F(xiàn)D3，AD4，CDCFFD8，在RtOCD中，設(shè)OCr，r2(r4)282，r10，AB2r20，AB為O的直徑，AEB90，3在RtABE中，sinEAD5，BE3AB5，AB20，BE12.3.解：(1)直線PD與O相切，理由如下：如解圖，連接DO，CO，PDAADC，PDC2ADC，AOC2ADC，PDCAOC，直徑ABCD于點E，AODAOC，PDCAOD，AODO

18、DE90，PDCODE90，ODPD，OD是O的半徑，第3題解圖M恰為BC的中點，直線PD與O相切；(2)如解圖，連接BD，CDMBDM，ODOB，BDMDBA，CDMDBA，直線PD與O相切，PDAADO90，第3題解圖又AB是O的直徑，ADB90，即ADOBDM90，PDABDM，PDADBACDM，又PDAADC，PDM3CDM90，CDM30，DBA30，DE3BEtan303；(3)如解圖，1tanPDA2，PDAADC，AE1DE2，即DE2AE，在RtDEO中，設(shè)O的半徑為r，DE2EO2DO2，第3題解圖(2AE)2(rAE)2r2，5解得r2AE，在RtPDE中，DE2PE2

19、PD2，(2AE)2(2AE)2PD2，直線PD與O相切，連接BD，由(2)知PDADBA，PP，PADPDB，PDPAPBPD，PD2PAPB，即PD22(22r)，(2AE)2(2AE)22(22r)，化簡得5AE24AE4r，5r2AE，解得r3.即O的半徑為3.二、與相似三角形結(jié)合針對演練1.證明：(1)AC為O的直徑，ADC90，CDB90，又ACB90，ACBCDB，又BB，ABCCBD；(2)連接DO，如解圖，第1題解圖BDC90，E為BC的中點，DECEBE，EDCECD，又ODOC，ODCOCD，而OCDDCEACB90，EDCODC90，即EDO90，DEOD，OD為O的半

20、徑，DE與O相切2.(1)證明：連接CE，如解圖，CD為O的直徑，CED90，BCA90，CEDBCO，BODE，第2題解圖BOCCDE，CBOECD，COBODECD，COCDDEBO；(2)解：DFEECO，CD2OC10，在eqoac(,Rt)CDE中，EDCDsinECOCDsinDFE31056，CECD2ED2102628，EG3在RtCEG中，CEsinECG5，324EG585，48根據(jù)垂徑定理得：EF2EG5.3.(1)證明：如解圖，連接OD，AB是O的直徑，ADB90，ABAC，AD垂直平分BC，即DCDB，OD為BAC的中位線，第3題解圖ODAC.而DEAC，ODDE，O

21、D是O的半徑，EF是O的切線；(2)解：DACDAB，且AEDADB90，ADEABD，AD4在RtADB中，sinADEsinABDAB5，而AB10，AD8，AE4在RtADE中，sinADEAD5，32AE5，ODAE，F(xiàn)DOFEA，ODFO5BF5AEFA，即32BF10，590BF7.4.(1)證明：如解圖，連接OD、OE、ED.BC與O相切于點D，ODBC，ODB90C，ODAC，B30，A60，OAOE，AOE是等邊三角形，AEAOOD，四邊形AODE是平行四邊行，OAOD，平行四邊形AODE是菱形；(2)解：設(shè)O的半徑為r.ODAC，OBDABC，ODOBACAB，即10r6(

22、10r)15解得r4，15O的半徑為4.如解圖，連接OD、DF、AD.第4題解圖ODAC，DACADO，OAOD，ADODAO，DACDAO，AF是O的直徑，ADF90C，ADCAFD，ADAFACAD，AD2ACAF，1515AC6，AF422，15AD22645，AD4535.(9分)5.解：(1)存在，AECE.理由如下：如解圖，連接AE，ED，AC是ABC的斜邊，ABC90，AE為O的直徑，ADE90，又D是AC的中點，ED為AC的中垂線，AECE；(2)如解圖，EF是O的切線，第5題解圖AEF90.由(1)可知ADE90，AEDEAD90，AEDDEF90，EADDEF.又ADEED

23、F90AEDEFD，ADEDEDFD，ED2ADFD.又ADDCCF，ED22ADAD2AD2，在RtAED中，AE2AD2ED23AD2，由(1)知AEDCED，又CEDCAB，AEDCAB，ADsinCABsinAEDAE第5題解圖1333.sinCAB.a2a2【解法提示】由(2)中的知ED2ADFD，CFaCD(a0)，CFaCDaAD，ED2ADDFAD(CDCF)AD(ADaAD)(a1)AD2，在eqoac(,Rt)AED中，AE2AD2ED2(a2)AD2，.ADsinCABsinAEDAE1a2a2a2BECE，6.(1)證明：ODBAEC，AECABC，ODBABC，OFB

24、C，BFD90，ODBDBF90，ABCDBF90，即OBD90，BDOB，OB為O的半徑，BD是O的切線；(2)證明：連接AC，如解圖所示：OFBC，ECHCAE，HECCEA，CEHAEC，CEEAEHCE，CE2EHEA；(3)解：連接BE，如解圖所示：AB是O的直徑，AEB90，3O的半徑為5，sinBAE5，第6題解圖第6題解圖BECE，3AB10，BEABsinBAE1056，在RtAEB中，EAAB2BE2102628，BECE6，CE2EHEA，CE2629EHEA82，BDCD，在RtBEH中，BHBE2EH27.(1)證明：連接OD，如解圖，AD平分BAC交O于D，BADC

25、AD，ODBC，BCDF，ODDF，91562（2）22.第7題解圖DF為O的切線；(2)解：連接OB，連接OD交BC于P，作BHDF于H，如解圖，BAC60，AD平分BAC，BAD30，BOD2BAD60，又OBOD，OBD為等邊三角形，ODB60，OBBD23，BDF30，BCDF，DBP30，1在RtDBP中，PD2BD3，PB3PD3，在RtDEP中，PD3，DE7，PE（7）2（3）22，OPBC，BPCP3，CECPPE321，易證得BDEACE，BEDE57AECE，即AE1，57AE7.BEDF，ABEAFD，57BEAE57DFAD，即DF127，解得DF12，71在RtBD

26、H中，BH2BD3，S陰影SBDFS弓形BDSBDF(S扇形BODSBOD)60（23）21321233604(23)2BDCD，932；(7分)(3)解：連接CD，如解圖，AB4由AC3可設(shè)AB4x，AC3x，BFy，CDBD23，DFBC，F(xiàn)ABCADC，F(xiàn)DBDBCDAC，y4x8yBFDCDA，BDBF23yACCD，即3x23，xy4，F(xiàn)DBDBCDACFAD，而DFBAFD，F(xiàn)DBFAD，DFBFAFDF，DFBF8，DF8BF8y，8yy，整理得：164yxy，164y4，解得y3，即BF的長為3.(10分)三、與全等三角形結(jié)合第7題解圖針對演練1.(1)證明：連接OE，過點O作

27、OFPN，如解圖所示，PM與O相切，OEPM，OEPOFP90，PC平分MPN，EPOFPO，在PEO和PFO中，EPOFPOOEPOFP，OPOP第1題解圖1803.PEOPFO(AAS)，OFOE，OF為圓O的半徑且OFPN,則PN與O相切；(2)解：在eqoac(,Rt)EPO中，MPC30，PE23，EOP60，OEPEtan302，EOB120，12024則劣弧BE的長為2.(1)證明：如解圖，連接BO并延長交O于點N，連接CN，BMC60，BNC60，BNCNBC90，NBC30，又ABC為等邊三角形，第2題解圖BACABCACB60，ABN306090，ABBO，即AB為O的切線

28、(2)解：BECF3，是定值理由如下：如解圖，連接D與AC的中點P，D為BC中點，ADBC，1PDPC2AC，又ACB60，1PDPCCDBD2AC，DPFPDC60，PDFFDC60，又EDF120，BDEFDC60，PDFBDE，在BDE和PDF中，EBDDPFBDPD，BDEPDFBDEPDF(ASA)，BEPF，BECFPFCFCPBD，OBAB，ABC60，第2題解圖OBC30，又OB2，3BDOBcos30223，即BECF3.3.(1)證明：連接OC，如解圖，ODAC，OCOA，AODCOD.在AOE和COE中，OAOCAOECOE，OEOE第3題解圖AOECOE(SAS)，EA

29、OECO.又EC是O的切線，ECO90，EAO90.AE與O相切；(2)解：設(shè)DOt，則DE3t，EO4t，在EAO和ADO中，EOAAOD，EAOADOEAOADO，AOEO94tDOAO，即t9，9t2，即EO18.AEEO2AO21829293；延長BD交AE于點F，過O作OGAE交BD于點G，如解圖，OGAE，F(xiàn)EDGOD又EDFODG，EFDOGD，EFED3OGOD1，即EF3GO.又O是AB的中點，AF2GO，AEAFFE5GO，5GO93，93GO5，183AF5，AF3tanBAB5.4.(1)證明：如解圖，連接OB，PB是O的切線，PBO90，OAOB，BAPO于點D，AD

30、BD，POAPOB，又POPO，PAOPBO(SAS)，PAOPBO90，第3題解圖第4題解圖OAPA，直線PA為O的切線；(2)解：線段EF、OD、OP之間的等量關(guān)系為EF24ODOP.證明：PAOPDA90，OADAOD90，OPAAOP90，OADOPA，OADOPA，ODOAOAOP，即OA2ODOP，又EF2OA，EF24ODOP；(3)解：OAOC，ADBD，BC6，1OD2BC3，設(shè)ADx，1tanF2，F(xiàn)D2x，OAOFFDOD2x3，在RtAOD中，由勾股定理，得(2x3)2x232，解之得，x14，x20(不合題意，舍去)，AD4，OA2x35，AC是O直徑，ABC90，6

31、3又AC2OA10，BC6，cosACB105.OA2ODOP，3(PE5)25，10PE3.5.(1)證明：連接OD，如解圖，AB為O的直徑，ACB90，ACB的平分線交O于點D，ACDBCD45，DABABD45，DAB為等腰直角三角形，第5題解圖DOAB，PD為O的切線，ODPD，PDAB；(2)證明：AECD于點E，BFCD于點F，AEBF，F(xiàn)BOEAO，DAB為等腰直角三角形，EDAFDB90，F(xiàn)BDFDB90，F(xiàn)BDEDA，在FBD和EDA中，BFDDEAFBDEDA，BDDAFBDEDA(AAS)，DEBF；(3)解：在eqoac(,Rt)ACB中，4AC6，tanCAB3，4BC638，ABAC2BC2628210，DAB為等腰直角三角形，ABAD52，2AECD，ACE為等腰直角三角形，AC6AECE32，22在RtAED中，DEAD2AE2（52）2（32）242，CDCEDE324272，ABPD，PDADAB45，PDAPCD，又DPACPD，PDAPCD，PDPAAD525PCPDDC727，57PA7PD，PC5PD，又