2021中考數(shù)學(xué)專題05 瓜豆原理中最值問(wèn)題

1、專題瓜豆原理中動(dòng)點(diǎn)軌跡直線型最值問(wèn)題【專題說(shuō)明】動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題是中考的重要壓軸點(diǎn).受學(xué)生解析幾何知識(shí)的局限和思維能力的束縛,該壓軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個(gè)坎,致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的一個(gè)黑洞.掌握該壓軸點(diǎn)的基本圖形,構(gòu)建問(wèn)題解決的一般思路,是中考專題復(fù)習(xí)的一個(gè)重要途徑.本文就動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題的基本圖形作一詳述.動(dòng)點(diǎn)軌跡基本類型為直線型和圓弧型.【知識(shí)精講】動(dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線時(shí)，利用“垂線段最短”求最值。（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡確定時(shí)可直接運(yùn)用垂線段最短求最值（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡不易確定是直線時(shí)，可通過(guò)以下三種方法進(jìn)行確定觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等位置時(shí)是否存在動(dòng)點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后

2、的角度不變，若存在該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線。當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線。當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線。如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？AQBPC【分析】當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線可以這樣理解：分別過(guò)A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線BAQPNMC【引例】如圖，APQ是等腰直角三角形，PAQ=90且AP=AQ，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Q點(diǎn)軌跡？ABPQC【

3、分析】當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段Q2ABCQ1【模型總結(jié)】必要條件：主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（PAQ是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）結(jié)論：時(shí)P、Q兩點(diǎn)軌跡所在直線的夾角等于PAQ（當(dāng)PAQ90，PAQ等于MN與BC夾角）ANQMBPCP、Q兩點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度之比等于AP:AQeqoac(,（由)ABCAMN，可得AP:AQ=BC:MN）ANMBC【精典例題】1、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上

4、一點(diǎn)，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊EFG，連接CG，則CG的最小值為ADFGBEC2、如圖，等腰eqoac(,Rt)ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為2，O為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，OQOP交BC于點(diǎn)Q，M為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為（）4B2C1A22D23、如圖，矩形ABCD中，AB4，BC6，點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且SPABSPCD，則PCPD的最小值為_(kāi)4、如圖，在平面內(nèi)，線段AB=6，P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，三角形紙片CDE的邊CD所在的直線與線段AB垂直相交于點(diǎn)P，且滿足PC=PA若點(diǎn)P沿AB方向從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到

5、點(diǎn)B，則點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)5、如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D是直線AB上一點(diǎn)將線段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段DE，連結(jié)BE（1）若點(diǎn)D在AB邊上（不與A，B重合）請(qǐng)依題意補(bǔ)全圖并證明AD=BE；（2）連接AE，當(dāng)AE的長(zhǎng)最小時(shí)，求CD的長(zhǎng)【精典例題】1、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊EFG，連接CG，則CG的最小值為ADFGBEC【分析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動(dòng)點(diǎn)路徑長(zhǎng)，本題是求CG最小值，可以將F點(diǎn)看成是由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，由此作出G點(diǎn)軌跡：考慮到F點(diǎn)軌跡是線段，故G點(diǎn)軌跡也是線段

6、，取起點(diǎn)和終點(diǎn)即可確定線段位置，初始時(shí)刻G點(diǎn)在G位置，最終G點(diǎn)在G位置（G不一定在CD邊），GG即為G12212點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡ADG2G1BECCG最小值即當(dāng)CGGG的時(shí)候取到，作CHGG于點(diǎn)H，CH即為所求的最1212過(guò)點(diǎn)E作EFCH于點(diǎn)F，則HF=GE=1，CF=CE，22所以CH=5，因此CG的最小值為小值根據(jù)模型可知：GG與AB夾角為60，故GGEG12121131522ADHG2G1FBEC2、如圖，等腰eqoac(,Rt)ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為2，O為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，OQOP交BC于點(diǎn)Q，M為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為（）4B2C1A2

7、2D2【答案】C【詳解】連接OC，作PEAB于E，MHAB于H，QFAB于F，如圖，ACB為到等腰直角三角形，AC=BC=2AB=2，A=B=45，2O為AB的中點(diǎn)，OCAB，OC平分ACB，OC=OA=OB=1，OCB=45，POQ=90，COA=90，AOP=COQ，在eqoac(,Rt)AOPeqoac(,和)COQ中AOCOAOCQ，AOPCOQPE=2eqoac(,Rt)AOPCOQ，AP=CQ，eqoac(,易得)APE和BFQ都為等腰直角三角形，22AP=CQ，QF=BQ，222PE+QF=222BC=（CQ+BQ）=2=1，222MH=1M點(diǎn)為PQ的中點(diǎn)，MH為梯形PEFQ的中

8、位線，1（PE+QF）=，22即點(diǎn)M到AB的距離為而CO=1，12，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路線為ABC的中位線，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)=12故選CAB=1，3、如圖，矩形ABCD中，AB4，BC6，點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且SPABSPCD，則PCPD的最小值為_(kāi)【答案】213【詳解】ABCD為矩形，ABDC又SPABSPCD點(diǎn)P到AB的距離與到CD的距離相等，即點(diǎn)P線段AD垂直平分線MN上，連接AC，交MN與點(diǎn)P，此時(shí)PCPD的值最小，且PCPDACAB2BC2426252213故答案為：2134、如圖，在平面內(nèi)，線段AB=6，P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，三角形紙片CDE的邊CD所在

9、的直線與線段AB垂直相交于點(diǎn)P，且滿足PC=PA若點(diǎn)P沿AB方向從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，則點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)【答案】62【詳解】解：如圖，由題意可知點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑為線段AC，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑為EE，由平移的性質(zhì)可知AC=EE，在eqoac(,Rt)ABC中，易知AB=BC=6，ABC=90，EE=AC=6262=62，故答案為：625、如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D是直線AB上一點(diǎn)將線段CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段DE，連結(jié)BE（1）若點(diǎn)D在AB邊上（不與A，B重合）請(qǐng)依題意補(bǔ)全圖并證明AD=BE；（2）連接AE，當(dāng)AE的長(zhǎng)最小時(shí)，求CD的長(zhǎng)【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）27【詳解】解：（

10、1）補(bǔ)全圖形如圖1所示，AD=BE，理由如下：ABC是等邊三角形，AB=BC=AC，A=B=60，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ACB=DCE=60，CD=CE，ACD=BCE，ACDBCE（SAS），AD=BE（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AFEB交EB延長(zhǎng)線于點(diǎn)FACDBCE，CBE=A=60，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線BE，根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)E與F重合時(shí)，AE的值最小，此時(shí)CD=CE=CF，ACB=CBE=60，ACEF，AFBE，AFAC，在eqoac(,Rt)ACF中，=2AC2AF2=4223CF=27，CD=CF=27.專題瓜豆原理中動(dòng)點(diǎn)軌跡圓或圓弧型最值問(wèn)題【專題說(shuō)明】動(dòng)點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí)，可利用：“

11、一定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。確定動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓或者圓弧型的方法:（1）動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離不變，則點(diǎn)的軌跡是圓或者圓弧。（2）當(dāng)某條邊與該邊所對(duì)的角是定值時(shí)，該角的頂點(diǎn)的軌跡是圓，具體運(yùn)用如下;見(jiàn)直角，找斜邊，想直徑，定外心，現(xiàn)圓形見(jiàn)定角，找對(duì)邊，想周角，轉(zhuǎn)心角，現(xiàn)圓形【知識(shí)精講】如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？AQPO【分析】觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO，取AO中點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)

12、軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時(shí)刻，均有AMQAOP，QM:PO=AQ:AP=1:2PQAMO【小結(jié)】確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點(diǎn)共線，由Q為AP中點(diǎn)可得：AM=1/2AOQ點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系；根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，作AQAP且AQ=AP考慮：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？QAPO【分析】Q點(diǎn)軌跡是個(gè)圓，可理解為將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得AQ，故Q點(diǎn)軌跡與P點(diǎn)軌跡都是圓接下來(lái)確定圓心與半徑考慮APAQ，可得Q

13、點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AMAO；考慮AP=AQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有APOAQMMQPAO如圖，APQ是直角三角形，PAQ=90且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？QPAO【分析】考慮APAQ，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AMAO；考慮AP:AQ=2:1，可得Q點(diǎn)軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1即可確定圓M位置，任意時(shí)刻均有APOAQM，且相似比為2MQPAO【模型總結(jié)】為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)P、Q，可稱點(diǎn)P為“主動(dòng)點(diǎn)”，點(diǎn)Q為“從動(dòng)點(diǎn)”此類問(wèn)題的必要條件：兩個(gè)定量主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（PAQ是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)

14、點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）QQMPPAOAO【結(jié)論】（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：PAQ=OAM；（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比按以上兩點(diǎn)即可確定從動(dòng)點(diǎn)軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮古人云：種瓜得瓜，種豆得豆“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”【精典例題】1、如圖，在RtABC中，C90，AC4，BC3，點(diǎn)O是AB的三等分點(diǎn)，半圓O與AC相切，M，N分別是BC與半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值和最大值之和是（）A5B6C7D82、如圖，在矩形紙片ABCD中，AB2

15、，AD3，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將AEF沿EF所在直線翻折，得到AEF，則AC的長(zhǎng)的最小值是()2B3A13C131D1013、如圖，在eqoac(,Rt)ABC中，ABC90，ACB30，BC2eqoac(,，)ADC與ABC關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)E、F分別是邊DC、BC上的任意一點(diǎn)，且DECF，BE、DF相交于點(diǎn)P，則CP的最小值為()A1BCD24、如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，將EBF沿EF所在直線折疊得到EBF，連接BD，則BD的最小值是_5、如圖，eqoac(,Rt)ABC中，ABBC，AB6，BC4，P是ABC

16、內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足PABPBA90，則線段CP長(zhǎng)的最小值為_(kāi).6、如圖，點(diǎn)D在半圓O上，半徑OB5，AD4，點(diǎn)C在弧BD上移動(dòng)，連接AC，作DHAC，垂足為H，連接BH，點(diǎn)C在移動(dòng)的過(guò)程中，BH的最小值是_7、如圖，過(guò)拋物線于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為上一點(diǎn)A作軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)B，交軸（1）求拋物線的對(duì)稱軸和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）在AB上任取一點(diǎn)P，連結(jié)OP，作點(diǎn)C關(guān)于直線OP的對(duì)稱點(diǎn)D；連結(jié)BD，求BD的最小值；當(dāng)點(diǎn)D落在拋物線的對(duì)稱軸上，且在軸上方時(shí)，求直線PD的函數(shù)表達(dá)式【精典例題】1、如圖，在RtABC中，C90，AC4，BC3，點(diǎn)O是AB的三等分點(diǎn)，半圓O與AC相切，M，N

17、分別是BC與半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值和最大值之和是（）A5B6C7D8OB2【答案】B【詳解】如圖，設(shè)O與AC相切于點(diǎn)D，連接OD，作OPBC垂足為P交O于F，此時(shí)垂線段OP最短，PF最小值為OPOF，AC4，BC3，AB5OPB90，OPAC點(diǎn)O是AB的三等分點(diǎn)，10OPOB25，33ACAB3OP83，O與AC相切于點(diǎn)D，ODAC，ODMN最小值為OPOF8MN最大值10ODBC，OA1，BCAB3OD1，51，33如圖，當(dāng)N在AB邊上時(shí)，M與B重合時(shí)，MN經(jīng)過(guò)圓心，經(jīng)過(guò)圓心的弦最長(zhǎng)，131，33513+=6,33MN長(zhǎng)的最大值與最小值的和是6故選B2、如圖，在矩形紙片ABCD中，A

18、B2，AD3，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將AEF沿EF所在直線翻折，得到AEF，則AC的長(zhǎng)的最小值是()2B3A13【答案】DC131D101【詳解】以點(diǎn)E為圓心，AE長(zhǎng)度為半徑作圓，連接CE，當(dāng)點(diǎn)A在線段CE上時(shí)，AC的長(zhǎng)取最小值，如圖所示，根據(jù)折疊可知：AEAE1AB121在RtBCE中，BEAB1，BC3，B90，2CEBE2BC210，AC的最小值CEAE101故選D3、如圖，在eqoac(,Rt)ABC中，ABC90，ACB30，BC2eqoac(,，)ADC與ABC關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)E、F分別是邊DC、BC上的任意一點(diǎn)，且DECF，BE、DF相交于點(diǎn)P，則CP的最小

19、值為()A1BCD2【答案】D【詳解】連接AD，因?yàn)锳CB30，所以BCD60，因?yàn)镃BCD，所以CBD是等邊三角形，所以BDDC.因?yàn)镈ECF，EDBFCD60，eqoac(,所以)EDBFCD，所以EBDFDC，因?yàn)镕DCBDF60，所以EBDBDF60，所以BPD120，所以點(diǎn)P在以A為圓心，AD為半徑的弧BD上，eqoac(,直角)ABC中，ACB30，BC2，所以AB2，AC4，所以AP2.當(dāng)點(diǎn)A，P，C在一條直線上時(shí)，CP有最小值，CP的最小值是ACAP422.故選D.4、如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，將EBF沿EF所在直線折疊

20、得到EBF，連接BD，則BD的最小值是_【答案】2102.【詳解】如圖所示點(diǎn)B在以E為圓心EA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D、B、E共線時(shí)，BD的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，EBFeqoac(,EB)F，B=EBF，EB=EBE是AB邊的中點(diǎn)，AB=4，AE=EB=2AD=6，DE6222210，BD=2102故答案為21025、如圖，eqoac(,Rt)ABC中，ABBC，AB6，BC4，P是ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足PABPBA90，則線段CP長(zhǎng)的最小值為_(kāi).【答案】2：【詳解】PAB+PBA=90APB=90點(diǎn)P在以AB為直徑的弧上（Peqoac(,在)ABC內(nèi)）設(shè)以AB為直徑的圓心為點(diǎn)O，如圖接

21、OC，交O于點(diǎn)P，此時(shí)的PC最短AB=6，OB=3BC=4OCOB2BC232425PC=5-3=26、如圖，點(diǎn)D在半圓O上，半徑OB5，AD4，點(diǎn)C在弧BD上移動(dòng)，連接AC，作DHAC，垂足為H，連接BH，點(diǎn)C在移動(dòng)的過(guò)程中，BH的最小值是_如圖，設(shè)AD的中點(diǎn)為點(diǎn)E，則EAED1【答案】2222【詳解】1AD4222由題意得，點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡在以點(diǎn)E為圓心，EA為半徑的圓上由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得：連接BE，與圓E交于點(diǎn)H，則此時(shí)BH取得最小值，EH2連接BDAB為半圓O的直徑ADB90BDAB2AD2(55)242221BEBD2ED2(221)222222BHBEEH2222故答案為：2222

22、7、如圖，過(guò)拋物線于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為上一點(diǎn)A作軸的平行線，交拋物線于另一點(diǎn)B，交軸（1）求拋物線的對(duì)稱軸和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）在AB上任取一點(diǎn)P，連結(jié)OP，作點(diǎn)C關(guān)于直線OP的對(duì)稱點(diǎn)D；連結(jié)BD，求BD的最小值；當(dāng)點(diǎn)D落在拋物線的對(duì)稱軸上，且在軸上方時(shí)，求直線PD的函數(shù)表達(dá)式【答案】(1)x=4；B（10，5）（2）y=x+【詳解】（1）由題意A（2，5），對(duì)稱軸x=4，A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，B（10，5）（2）如圖1中，由題意點(diǎn)D在以O(shè)為圓心OC為半徑的圓上，當(dāng)O、D、B共線時(shí)，BD的最小值=OBOD=如圖2中，圖2當(dāng)點(diǎn)D在對(duì)稱軸上時(shí)，在eqoac(,Rt)ODE中，OD=OC=5，O

23、E=4，DE=3，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3）設(shè)PC=PD=x，在eqoac(,Rt)PDK中，x2=（4x）2+22，x=，P（，5），直線PD的解析式為y=x+專題瓜豆原理中動(dòng)點(diǎn)軌跡不確定型最值問(wèn)題【專題說(shuō)明】動(dòng)點(diǎn)軌跡非圓或直線時(shí)，基本上將此線段轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形中，（1）利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求最值。（2）在轉(zhuǎn)化較難進(jìn)行時(shí)，可借助直角三角形斜邊上的中線及中位線或構(gòu)建全等圖形進(jìn)一步轉(zhuǎn)化求最值?！局R(shí)精講】所謂“瓜豆原理”，就是主動(dòng)點(diǎn)的軌跡與從動(dòng)點(diǎn)的軌跡是相似性，根據(jù)主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線形成的夾角以及主、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比，可確定從動(dòng)點(diǎn)的軌跡，而當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)軌跡是其他圖形時(shí)

24、，從動(dòng)點(diǎn)軌跡必然也是【精典例題】1、如圖，在反比例函數(shù)y2的圖像上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，連接AO并延長(zhǎng)交圖像的x另一支于點(diǎn)B，在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)C，滿足AC=BC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)yk的圖像上運(yùn)動(dòng)，若tanCAB=2，則k的值為（）xyACOxBA2B4C6D8【模型】一、借助直角三角形斜邊上的中線1、如圖，在ABC中，C=90，AC=4，BC=2，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是（）A6BCD【模型】二、借助三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊1、如圖，已知等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為23，兩頂點(diǎn)A、B分別在平

25、面直角坐標(biāo)系的x軸負(fù)半軸、軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C在第四象限，連接OC，則線段OC長(zhǎng)的最小值是（）A31B33C3D32、如圖，MON=90，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=4，BC=2.運(yùn)動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離是_3、如圖，在ABC中，ACB90，CAB30，AB6，以線段AB為邊向外作等邊ABD，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，連結(jié)CE并延長(zhǎng)交線段AD于點(diǎn)F.(1)求證：四邊形BCFD為平行四邊形；(2)求平行四邊形BCFD的面積；(3)如圖，分別作射線CM，CN，如圖中ABD的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B分別在射線

26、CN，CM上滑動(dòng)，在這個(gè)變化的過(guò)程中，求出線段CD的最大長(zhǎng)度.4、如圖，在RtABC中，ACB90，將ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ABC,M是BC的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)，連接MN，若BC4,ABC60，則線段MN的最大值為（）A4B8C43D6【模型】三、借助構(gòu)建全等圖形1、如圖，在ABC中，ACB90，A30，AB5，點(diǎn)P是AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，以BP為邊作等邊BPQ，連接CQ，則點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段CQ長(zhǎng)度的最小值是_2、如圖，邊長(zhǎng)為12的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)MB，將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到BN，連結(jié)HN則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段HN長(zhǎng)度的最小

27、值是（）A6B3C2D15【模型】四、借助中位線1、如圖，在等腰直角ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)度為8，以AC為直徑作圓，點(diǎn)P為半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，取BP的中點(diǎn)M，則CM的最小值為（）A35B253C102D3252、如圖，拋物線y19x21與x軸交于A，B兩點(diǎn)，D是以點(diǎn)C0,4為圓心，1為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，E是線段AD的中點(diǎn)，連接OE,BD，則線段OE的最小值是（）A2B3225CD32【精典例題】1、如圖，在反比例函數(shù)y2的圖像上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，連接AO并延長(zhǎng)交圖像的x另一支于點(diǎn)B，在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)C，滿足AC=BC，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C始終在函數(shù)yk的圖像上運(yùn)動(dòng)，若tanCAB=2，則k的值

28、為（）xyACOxBA2B4C6D8【分析】AOC=90且AO:OC=1:2，顯然點(diǎn)C的軌跡也是一條雙曲線，分別作AM、CN垂直x軸，垂足分別為M、N，連接eqoac(,OC)，易證AMOONC，CN=2OM，ON=2AM，ONCN=4AMOM，故k=42=8yACNMOxB【思考】若將條件“tanCAB=2”改為“ABC是等邊三角形”，k會(huì)是多少？【模型】一、借助直角三角形斜邊上的中線1、如圖，在ABC中，C=90，AC=4，BC=2，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是（）A6BCD【答案】D【解析】解：如圖，取CA的

29、中點(diǎn)D，連接OD、BD，則OD=CD=AC=4=2，由勾股定理得，BD=2，當(dāng)O、D、B三點(diǎn)共線時(shí)點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離最大，所以，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是2+2故答案為2+2【模型】二、借助三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊1、如圖，已知等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為23，兩頂點(diǎn)A、B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸負(fù)半軸、軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C在第四象限，連接OC，則線段OC長(zhǎng)的最小值是（）A31B33C3D3【答案】B【詳解】解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)C作CEAB于點(diǎn)E，連接OE，ABC是等邊三角形，CE=ACsin60=23AOB=90，323，AE=BE，EO12AB3，EC-OEOC，當(dāng)點(diǎn)C，O，E在

30、一條直線上，此時(shí)OC最短，故OC的最小值為：OCCEEO33故選B2、如圖，MON=90，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=4，BC=2.運(yùn)動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離是_【答案】22+2【詳解】如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接OE、DE、OD，ODOE+DE，當(dāng)O、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大，此時(shí)，AB=4，BC=2，OE=AE=12AB=2，DE=AD2AE2=222222，OD的最大值為：22+2，故答案為22+2.3、如圖，在ABC中，ACB90，CAB30，AB6，以線段AB為邊向外作等

31、邊ABD，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，連結(jié)CE并延長(zhǎng)交線段AD于點(diǎn)F.(1)求證：四邊形BCFD為平行四邊形；(2)求平行四邊形BCFD的面積；(3)如圖，分別作射線CM，CN，如圖中ABD的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B分別在射線CN，CM上滑動(dòng)，在這個(gè)變化的過(guò)程中，求出線段CD的最大長(zhǎng)度.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)93；(3)333.【詳解】(1)在ABC中，ACB90，CAB30，ABC60，在等邊ABD中，BAD60，BADABC60，在ABC中，ACB90，E為AB的中點(diǎn)，CE1E為AB的中點(diǎn)，AEBE，又AEFBEC，AEFBEC，1AB，BEAB，22CEAE，EACECA30，BCEEBC60

32、，又又AEFBEC，AFEBCE60，D60，AFED60，F(xiàn)CBD，又BADABC60，ADBC，即FDBC，四邊形BCFD是平行四邊形；(2)在RtABC中，BAC30，AB6，BCAC12AB3，AB2BC2623233，S平行四邊形BCFD33393；(3)取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)CG，DG，CDCDCGDG，CD的最大長(zhǎng)度CGDG333.4、如圖，在RtABC中，ACB90，將ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ABC,M是BC的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)，連接MN，若BC4,ABC60，則線段MN的最大值為（）A4B8C43D6【答案】D【詳解】連接CN，將ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ABC，ACB

33、ACB=90，BCBC4，ABCABC60，A30，AB8N是AB的中點(diǎn)，CN12AB4，在CMN中，MNCM+CN，當(dāng)且僅當(dāng)M，C，N三點(diǎn)共線時(shí)，MN=CM+CN=6，線段MN的最大值為6故選D【模型】三、借助構(gòu)建全等圖形1、如圖，在ABC中，ACB90，A30，AB5，點(diǎn)P是AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，以BP為邊作等邊BPQ，連接CQ，則點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段CQ長(zhǎng)度的最小值是_【答案】【詳解】解：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接CE，PEACB=90，A=30，CBE=60，BE=AE，CE=BE=AE，BCE是等邊三角形，BC=BE，PBQ=CBE=60，QBC=PBE，QB=PB，CB=EB，QBCPBE（SAS