數(shù)學(xué)物理方法快速學(xué)習(xí)資料及練習(xí)題

1、-.現(xiàn)代遠(yuǎn)程教育數(shù)學(xué)物理方法課程學(xué)習(xí)指導(dǎo)書作者：先林08年2月.-可修遍-.課程學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)為便于學(xué)員盡快進入本課程的學(xué)習(xí)，下面將簡要介紹本課程的性質(zhì)及基本要求，并給出學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)。一、課程的性質(zhì)、目的和任務(wù)通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握復(fù)變函數(shù)、數(shù)學(xué)物理方程和特殊函數(shù)的基本理論、建模方法和計算方法，并能將數(shù)學(xué)結(jié)果聯(lián)系物理實際，加深對物理理論的理解，為學(xué)習(xí)電動力學(xué)和量子力學(xué)等后繼課程打下良好的基礎(chǔ)。二、課程教學(xué)的基本要求通過本課程的教學(xué),學(xué)員應(yīng)達到下列基本要求:1.掌握復(fù)變函數(shù)論的基本理論、微分和積分的方法、了解殘數(shù)及其在積分中的應(yīng)用2.掌握弦振動方程、熱傳導(dǎo)方程、電報方程的建模過程3.初步學(xué)會

2、確定邊界條件和初始條件4.熟練掌握分離變量法、達朗貝爾法、付里葉變換法和拉普拉斯變換法5.了解特殊函數(shù)的導(dǎo)出和意義三、學(xué)習(xí)方法建議學(xué)習(xí)本課程最基本的方法是課前預(yù)習(xí)，課后復(fù)習(xí)，多做習(xí)題。針對課前預(yù)習(xí)時存在的問題，通過上課時認(rèn)真的學(xué)習(xí)，并嘗試運用上課時所學(xué)容解決這些問題，或者通過課外指導(dǎo)書，仔細(xì)研究書中例題，在此過程中搞懂、會做課后習(xí)題，從而對課程容有進一步認(rèn)識。此外，每章結(jié)束后，做好階段性總結(jié)。還要制定學(xué)習(xí)計劃，善于自主學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)中，既重視知識的記憶，也重視對知識的反思。此外，為方便大家自主學(xué)習(xí)，現(xiàn)將教材及參考書羅列如下：（一）教材：高等數(shù)學(xué)（第四冊）大學(xué)高等教育（二）參考書：1、數(shù)學(xué)物理方法，

3、梁昆淼，高等教育，第三版2、數(shù)學(xué)物理方法教程，志旺，高等教育3、數(shù)學(xué)物理方法學(xué)習(xí)指導(dǎo)，端正，科學(xué)希望各位學(xué)員善于這些教參書，能取得一個良好的成績。課程學(xué)習(xí)進度安排周次日期第一周第二周第三周第四周學(xué)習(xí)容（章節(jié)名稱、學(xué)習(xí)的容提綱）第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第二章解析函數(shù)第三章哥西定理哥西積分第四章解析函數(shù)的冪級數(shù)表示4.1函數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)4.2冪級數(shù).-可修遍-.與解析函數(shù)4.3羅朗級數(shù)第五周第六周第七周第八周第九周第十周第十一周第十二周第十三周第十四周第十五周第十六周第十七周第十八周第四章解析函數(shù)的冪級數(shù)表示4.4單值函數(shù)的孤立奇點第五章殘數(shù)及其應(yīng)用5.1殘數(shù)5.2利用殘數(shù)計算實積分1-5章復(fù)習(xí)課

4、第七章一維波動方程的付氏解第八章熱傳導(dǎo)方程的付氏解第九章拉普拉斯方程的圓的狄利克雷問題的付氏解第十章波動方程的達朗貝爾解第十三章付里葉變換第十四章拉普拉斯變換7-14章復(fù)習(xí)課第十五章勒讓德多項式球函15.1勒讓德微分方程及勒讓德多項式15.2勒讓德多項式的母函數(shù)及其遞推公式15.3按勒讓德多項式展開第十五章勒讓德多項式球函數(shù)15.4連帶勒讓德多項式15.5拉普拉斯方程在球形區(qū)域上的狄利克雷問題第十六章貝塞耳函數(shù)柱函數(shù)15-16章復(fù)習(xí)課及總復(fù)習(xí)課課程學(xué)習(xí)課時分配章次第一章第二章第三章第四章第五章第七章第八章第九章第十章教學(xué)容復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)解析函數(shù)哥西定理哥西積分解析函數(shù)的冪級數(shù)表示殘數(shù)及其應(yīng)用一

5、維波動方程的付氏解熱傳導(dǎo)方程的付氏解拉普拉斯方程的圓的狄利克雷問題的付氏解波動方程的達朗貝爾解學(xué)時444844444備注.-可修遍-.第十三章第十四章第十五章第十六章付里葉變換拉普拉斯變換勒讓德多項式球函數(shù)貝塞耳函數(shù)柱函數(shù)4484第一章復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)一、章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟練掌握復(fù)數(shù)的運算。2.掌握復(fù)數(shù)的幾種表示法及互換關(guān)系，能正確地求出復(fù)數(shù)的實部、虛部、模與輻角，了解共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)。3.理解復(fù)數(shù)的幾何意義。4.了解各種區(qū)域。5.理解復(fù)函的極限與連續(xù)。6.知道復(fù)函極限存在與連續(xù)的充要條件。二、章節(jié)重點本部分學(xué)習(xí)的主要容包括復(fù)數(shù)、復(fù)變函數(shù)的基本概念、復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點三個部分。掌握復(fù)數(shù)的幾種表示方法

6、。分別為以下三種：1.復(fù)數(shù)的代數(shù)表示；2.復(fù)數(shù)的幾何表示；3.復(fù)數(shù)的指數(shù)表示。其中復(fù)數(shù)的幾何表示與指數(shù)表示可以使有關(guān)復(fù)數(shù)的運算簡化，從而達到能夠正確解題的要求。例如計算復(fù)數(shù)的乘冪及復(fù)數(shù)的方根時，運用復(fù)數(shù)的幾何表示和指數(shù)表示就能快速計算出結(jié)果。對復(fù)數(shù)的運算規(guī)則也需掌握，需明確實數(shù)中的運算規(guī)則在復(fù)數(shù)中同樣是適用的。本部分學(xué)習(xí)的主要容還包括復(fù)變函數(shù)的基本概念。其中所涉及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)問題，是首先要了解的。對于復(fù)函的極限定義與連續(xù)定義需要知道。并且需要知道復(fù)變函數(shù)極限存在與連續(xù)的充要條件，即函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)在點zxiy連續(xù)的充分000必要條件是二元實函數(shù)u(x,y),v(x

7、,y)于(x,y)連續(xù)。這是本章的重中之重，一定要掌握00它的定義、定理以及應(yīng)用，對這一部分書本上的例題要會計算。三、章節(jié)考試大綱第一節(jié)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)域復(fù)平面復(fù)數(shù)的模與幅角復(fù)數(shù)的乘冪與方根第二節(jié)區(qū)域與約當(dāng)曲線復(fù)變函數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性第三節(jié)復(fù)球面閉平面上的幾個概念四、章節(jié)練習(xí)題（一）選擇題1.z為復(fù)數(shù)，則（）。.-可修遍-.Alnz沒有意義；Blnz為周期函數(shù)；CLnz為周期函數(shù)；Dln(z)lnz。2由對數(shù)函數(shù)的定義有（）。zLnzLnzALnz1212BLnz22LnzzDLnzLnz0CLnz12LnzLnz12（二）填空題1.復(fù)數(shù)1i的幅角為，模為。2函數(shù)w圖形為。zR，將z平面的

8、圖形；以原點為中心，R為半徑的圓，變?yōu)閣平面的第二章解析函數(shù)一、章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解復(fù)函的導(dǎo)數(shù)的概念、解析函數(shù)的概念。2掌握復(fù)變函數(shù)解析的充要條件，并能應(yīng)用函數(shù)解析的充要條件判別函數(shù)的解析性和可導(dǎo)性。3了解解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系；掌握從已知調(diào)和函數(shù)求出解析函數(shù)的方法。4了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)的定義和性質(zhì).二、章節(jié)重點、要點本部分學(xué)習(xí)的主要容包括解析函數(shù)的概念及哥西黎曼條件、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系、初等解析函數(shù)三個部分。知道解析函數(shù)的概念，并且要深入掌握哥西黎曼條件，哥西黎曼條件是本章容的重要部分。哥西黎曼條件為下列公式uvuv,.xyyx，記為CR條件。知道CR條件后，對函

9、數(shù)可微的充分必要條件能更進一步了解。即函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)在點zxiy可微的充分必要條件是二元實函數(shù)u(x,y),v(x,y)于(x,y)可微并滿足C00000R條件。這是本章的重點，要掌握它的定義、定理以及應(yīng)用。掌握解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系。知道任何一個在區(qū)域D上解析的函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y)，其實部與虛部都是該區(qū)域上的調(diào)和函數(shù)。即滿足條件.-可修遍-.0，2u2u2v2vx2y2x2y20。對已知實虛部，再求解函數(shù)的習(xí)題，或已知函數(shù)，虛部的題要掌握，要學(xué)會計算。對于初等解析函數(shù)部分，一些基本的解析函數(shù)，如冪函數(shù)zn，指數(shù)函數(shù)ez，三角函數(shù)sinz,cos

10、z,雙曲函數(shù)sinhz,coshz,，等等。它們都可以看成是相應(yīng)實變函數(shù)在復(fù)數(shù)域中的推廣。要掌握如何將相應(yīng)實變函數(shù)推廣到復(fù)數(shù)域這些函數(shù)的解析性這些函數(shù)作為復(fù)變函數(shù)所特有的性質(zhì)并且掌握初等多值函數(shù)的計算。三、章節(jié)考試大綱第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的定義哥西黎曼條件解析函數(shù)的定義第二節(jié)共厄調(diào)和函數(shù)的求法共厄調(diào)和函數(shù)的幾何意義第三節(jié)初等單值函數(shù)初等多值函數(shù)四、章節(jié)練習(xí)題（一）計算題1.已知u3x2yy3,f(i)1，求解析函數(shù)f(z)uiv。2.設(shè)z1，規(guī)定0arg(z1)2，求(2),(i),(0),(i)。第三章哥西定理哥西積分一、章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握復(fù)變函數(shù)積分的定義、基本性質(zhì)及計算方法。2.記住并能熟練地運

11、用公式ldzzan2i,n10,n1。3.牢固地掌握哥西定理及其推廣定理。4掌握哥西積分公式及其推廣定理。5掌握解析函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)的存在性。6熟練地運用哥西積分公式和柯西導(dǎo)數(shù)公式計算復(fù)變函數(shù)的圍道積分。7解析函數(shù)在平面場中的應(yīng)用。二、章節(jié)重點、要點本部分學(xué)習(xí)的主要容包括復(fù)變積分的概念及其簡單性質(zhì)、哥西積分及其推廣、哥西積分.-可修遍-.公式及其推廣、解析函數(shù)再平面場中的應(yīng)用四個方面。會計算一般的積分，并且要掌握哥西積分定理，知道哥西定理的使用條件和圍。若函數(shù)fz在單連通區(qū)域D上解析，C是D的任意一條分段光滑的圍線，則cfzdz0。在運用哥西定理解題的時候，要分清積分路徑所包含的圍，注意函數(shù)f

12、z在區(qū)域D是否解析。只有當(dāng)滿足所有條件時，才能運用哥西定理。對于哥西定理的推廣這一部分的容是一樣的運用原理。此外，書本上例題5也是很重要的容，通過此例題的結(jié)論ldzzan2i,n10,n1也可求積分的值，是很重要的結(jié)論。因此需要將此結(jié)論深入理解并記住，并將書上例題掌握。d可以改寫成cza對于哥西積分公式f(z)1f()2iczf(z)dz2if(a)這個公式表明，對于在某界閉域上解析的函數(shù)，它在區(qū)域一點的值可用它在邊界上的值表示出來。這是解析函數(shù)的一個基本性質(zhì)。借用此公式可以計算某些圍線積分。對解析函數(shù)在平面場中的應(yīng)用部分需要掌握復(fù)位勢的定義概念，并會計算例題。三、章節(jié)考試大綱第一節(jié)哥西積分的

13、定義及其計算方法復(fù)變積分的簡單性質(zhì)第二節(jié)哥西積分定理不定積分哥西積分定理推廣到復(fù)圍線的情形第三節(jié)哥西積分公式解析函數(shù)的無限次可微性模的最大值原理哥西不等式維爾定理摩勒納定理第四節(jié)什么叫平面場復(fù)位勢舉例四、章節(jié)練習(xí)題（一）選擇題1下列積分不為零的是（）。1z0.5zA；Bdz1z0.5z2dz；C1z0.5zdz；Dzz1dz21。（二）填空題1.z1dzz5。（三）計算題1.計算積分Rezdz，其中積分路徑如右圖示，c（1）C為連結(jié)O點到1i點的直線段.-可修遍-.（2）C為連結(jié)O點到1點再到1i點的折線2.計算0cosxexxdx.cz21，此處C是z2。3.計算積分Idz第四章解析函數(shù)的冪

14、級數(shù)表示一、章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解在復(fù)數(shù)圍級數(shù)及級數(shù)的收斂、發(fā)散、絕對收斂、一致收斂及有關(guān)性質(zhì)，會使用收斂判據(jù)。2.正確確定冪級數(shù)的收斂半徑，并了解冪級數(shù)的性質(zhì)。3.掌握泰勒級數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系及泰勒展開的方法。4.掌握羅朗級數(shù)與奇點存在的關(guān)系。5.羅朗級數(shù)展開的方法。6.理解其收斂半徑與孤立奇點的關(guān)系。7.孤立奇點的類型。8.精確地判斷孤立奇點的類型，掌握其特點。二、章節(jié)重點、要點本部分學(xué)習(xí)的主要容包括函數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì)、冪級數(shù)與解析函數(shù)、羅朗級數(shù)、單值函數(shù)的孤立奇點四個方面。了解冪級數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系，知道解析函數(shù)可以表示成冪級數(shù)。根據(jù)解析函數(shù)的解析圍，有兩種展開方法可將解析函數(shù)表示成冪級

15、數(shù)。(一)泰勒定理在區(qū)域D解析,aD，只要圓K:zaR含于D，則fz在K能展成冪級設(shè)fzf(n)(a)f(z)c(za)n數(shù)，其中系數(shù),n!nn0nc,n0,1,2,并且展式是唯一的，此展式稱為是fz在a點的泰勒展式，這樣確定的系數(shù)稱為泰勒系數(shù)?？赏ㄟ^上述定理將一個解析函數(shù)展開成冪級數(shù)。泰勒展開總結(jié)：1、泰勒級數(shù)在解析圓域進行展開。2、展開式是唯一的，可用各種方法展開。.-可修遍-.3、展開式在其可展區(qū)域是收斂的。（二）羅朗定理在圓環(huán)H:rzaR(r0,R)的解析函數(shù)fz必可展成級數(shù)f(z)c(za)c12i(a)n1nnn其中nf()d,n0,1,2,稱為羅朗系數(shù),右邊的級數(shù)稱為羅朗級數(shù)。為

16、圓周arR，并且展式是唯一的,即及圓環(huán)H唯一地決定了系數(shù)n。fzc羅朗級數(shù)展開總結(jié)1、羅朗級數(shù)在孤立奇點的一個環(huán)域進行展開。2、展開式是唯一的，可用各種方法展開。3、展開式在其可展區(qū)域是收斂的。4、展開式一般是一個雙邊級數(shù)。上述兩種方法都可以將解析函數(shù)展開為冪級數(shù)，但是有所差異，要明白兩者之間的差異。能正確地判斷孤立奇點的類型，掌握其特點。三、章節(jié)考試大綱第一節(jié)數(shù)項級數(shù)一致收斂的函數(shù)項級數(shù)第二節(jié)冪級數(shù)的斂散性解析函數(shù)的冪級數(shù)表示第三節(jié)雙邊冪級數(shù)的收斂圓環(huán)解析函數(shù)的羅朗展式羅朗展式舉例第四節(jié)孤立奇點的三種類型可去奇點極點本性奇點解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性質(zhì)四、章節(jié)練習(xí)題（一）填空題1.ezn0znn

17、!的收斂區(qū)間為。z的奇點。resf1(1)nzn2.就奇點的類型而言，z是函數(shù)3.1zn0的收斂區(qū)間。fzcosz。1.將z25z6在上展成羅朗級數(shù)；（二）計算題1z22.將函數(shù)f(z)1在（1）z1（2）1z2展成羅朗級數(shù)。(z1)(z2).-可修遍-.第五章殘數(shù)及其應(yīng)用一、章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解殘數(shù)的概念，掌握殘數(shù)的計算的方法。2.掌握殘數(shù)定理，并能正確應(yīng)用于計算復(fù)變函數(shù)的圍道積分。3.了解無窮遠(yuǎn)點的殘數(shù)的性質(zhì)和定理。4.掌握利用殘數(shù)計算實積分的一般方法，學(xué)會根據(jù)實際情況適當(dāng)?shù)倪x擇輔助函數(shù)和積分圍道來計算實定積分。二、章節(jié)重點、要點本部分學(xué)習(xí)的主要容包括殘數(shù)、利用殘數(shù)計算實積分兩個方面。對殘

18、數(shù)的概念要理解，知道殘數(shù)定理的具體容，并能掌握殘數(shù)的計算方法。設(shè)fz以有限點a為孤立奇點，則在a點的某無心領(lǐng)域可以展成羅朗級數(shù)f(z)c(za)n,0zaR.我們稱此展式中za的系數(shù)c1為fz在a點nn1f(z)dzf(z)dzz的殘數(shù)(或留數(shù))，記為Reasf(z)c1112ic故也可將2ic作為殘數(shù)的定義。利用殘數(shù)的定義可以直接求解殘數(shù)。設(shè)fz在圍線C所包圍的區(qū)域D上除點aa,a1,2n外解析，并且在C上每一點也解析，f(z)dz2iResf(z)則cnk1zak。此即為殘數(shù)定理，利用殘數(shù)定理，可以求解一些難計算的積分。了解無窮遠(yuǎn)點的殘數(shù)的性質(zhì)和定理，知道無窮遠(yuǎn)點也可看作式函數(shù)的孤立奇點，

19、根據(jù)孤立奇點的性質(zhì)來判斷無窮遠(yuǎn)點的殘數(shù)的性質(zhì)和定理。掌握利用殘數(shù)計算實積分的一般方法，學(xué)會根據(jù)實際情況適當(dāng)?shù)倪x擇輔助函數(shù)和積分圍道來計算實定積分。三、章節(jié)考試大綱第一節(jié)殘數(shù)的性質(zhì)和殘數(shù)定理殘數(shù)的求法無窮遠(yuǎn)點的殘數(shù)Rcos,sind的計算第二節(jié)20f(x)dx的計算實軸上有奇點的類型其它例子四、章節(jié)練習(xí)題（一）填空題.-可修遍-.Res1.z0ezz2。2.函數(shù)z12ez21在z1處的殘數(shù)為。3.函數(shù)fz1zz12在z0,1,處的留數(shù)分別為resf0，resf1，resf（二）計算題1.計算02d3cos；2.計算Isinxdxx24x5；第七章一維波動方程的付氏解一、章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握用數(shù)理

20、方程描繪研究物理問題的一般步驟。2.掌握一維波動方程的推導(dǎo)和建立方程的一般方法。3.能正確寫出波動方程的定解問題和定解條件。4.掌握利用分離變量法求解齊次定解問題。5.掌握利用付里葉解法求解齊次定解問題。6.能夠得出非齊次方程的解。二、章節(jié)重點、要點本部分學(xué)習(xí)的主要容包括一維波動方程弦振動方程的建立、齊次方程混合問題的付里葉解法、強迫振動非齊次方程的求解三個方面。對一維波動方程的建立這一部分，需要掌握用數(shù)理方程描繪研究物理問題的一般步驟。一般有如下四個步驟：1.實例2.弦的數(shù)學(xué)物理模型3.振動方程的建立4.定解條件的提出利用上面四個步驟即可根據(jù)實例導(dǎo)出一維波動方程。能正確寫出波動方程的定解問題

21、和定解條件。對于一個實際問題，不僅要學(xué)會如何由現(xiàn)象看到本質(zhì)，列出方程，而且還要根據(jù)實例中的條件，寫出波動方程的定解問題和定解條件。掌握分離變量法的步驟，并利用分離變量法求解齊次及非齊次方程的定解問題。.-可修遍-.分離變量法分為以下四個步驟：（一）分離變量（二）求解關(guān)于X(x)的特征值，再解T(t)，然后利用疊加原理作無窮級數(shù)T(t)X(x)nn（三）由初始條件確定上述無窮級數(shù)的待定系數(shù)k0三、章節(jié)考試大綱第一節(jié)、弦振動方程的建立定解條件的提出第二節(jié)、利用分離變量法求解齊次弦振動方程的混合問題付氏解的物理意義四、章節(jié)練習(xí)題（一）選擇題1.下列方程是波動方程的是（）。Aa2uuttxxf；But

22、a2uxxf；Ca2u；Duutxxtta2ux。2.用分離變量法求解偏微分方程定解問題的一般步驟是（）A分離變量解單變量本征值問題得單變量解得分離變量解；B分離變量得單變量解解單變量本征值問題得分離變量解；C解單變量本征值問題得單變量解分離變量得分離變量解；D解單變量本征值問題分離變量得單變量解得分離變量解。3.定解問題utta2uxx(-x,t0)ux,00,utx,01的解為（）。A2tBt2CtDt14.2彈性桿原長為l，一端固定，另一端被拉離平衡位置b而靜止，放手任其振。動，將其平衡位置選在x軸上，則其定解條件可寫作以下三種情況的哪一種（）AUx00，Ut0lb;B.UUx0t00,

23、0,UxlUtt0lb(x);.-可修遍-xxl0tt00;Ux,Uy(0)0-.U0,Ux0bC.t0l（二）填空題1.一維波動方程的齊次邊界條件為。2.波動方程的付里葉解中頻率最低的項稱為，振動最強的位置稱為。yy0y(a)03.本征方程的本征值為。ua2uu(x,0)sin,u(x,0)sinll1.求解定解解問題（三）計算題ttxxu(0,t)0,u(l,t)0 xxt(t0)(0 xl)2.29長為l兩端固定的弦，弦中力為T。在xx0處受到一橫向力F作用后開始振動，求解該振動問題。第八章熱傳導(dǎo)方程的付氏解一、章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能建立熱傳導(dǎo)方程2.理解其初始條件與邊界條件3.求混合問題的

24、付氏解4.初值問題的付氏解法5.一端由界的熱傳導(dǎo)問題二、章節(jié)重點、要點本部分學(xué)習(xí)的主要容包括熱傳導(dǎo)方程和擴散方程的建立、混合問題的付里葉解法、初值問題的付氏解法、一端有界的熱傳導(dǎo)問題四個方面。能夠由實例建立熱傳導(dǎo)方程。能理解其初始條件與邊界條件。復(fù)習(xí)用分離變量法解混合問題了解熱傳導(dǎo)方程的初值問題以及掌握其付氏解法。tux,0 xua2u對于無邊界熱傳導(dǎo)方程的初值問題：xxx,t0 x，其中x為一已知函數(shù)。如果方程描述一個熱傳導(dǎo)方程，則此初值問題表示：已知一個無限長的細(xì)桿在初始時刻的溫度分布，而求其以后的溫度分布。.-可修遍-.掌握分離變量法求解定解問題。對一端有界的熱傳導(dǎo)問題需要會解其定解問題

25、。三、章節(jié)考試大綱第一節(jié)、熱傳導(dǎo)方程的建立擴散方程的建立定解條件第二節(jié)、混合問題的付氏解法第三節(jié)、付氏積分利用付氏積分解熱傳導(dǎo)方程的初值問題付氏解的物理意義第四節(jié)、定解問題的解舉例四、章節(jié)練習(xí)題（一）填空題熱傳導(dǎo)方程的齊次初值條件為。第九章拉普拉斯方程的圓的狄利克雷問題的付氏解一、章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.二維拉氏方程直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系.2.理解其狄利克雷問題.3.求狄利克雷問題的付氏解4.理解函數(shù)的定義.5.掌握函數(shù)的性質(zhì).6.證明弱收斂序列的弱極限二、章節(jié)重點、要點本部分學(xué)習(xí)的主要容包括圓的狄利克雷問題、函數(shù)兩個方面。知道二維拉氏方程直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系。二維的拉普拉斯方程在直角坐標(biāo)下

26、的表示為xx，在極坐標(biāo)下的表示為，根據(jù)上兩式可知二維拉uu0yy11uuu0rruuu00rl,02rrul,f02氏方程的兩種不同表示之間的關(guān)系。理解其狄利克雷問題。對邊值問題11rrr2其中f為已知函數(shù)，并有f2f。上述邊值問題，習(xí)慣上稱為圓的狄利克雷問題。求狄利克雷問題的付氏解。仍然是用分離變量法進行，要注意與前面分離變量法的不同。.-可修遍-.理解函數(shù)的定義，掌握函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)是指具有以下性質(zhì)的函數(shù):（1）.x0,x0,x0。（2）.xdx1。（3）.函數(shù)的量綱x1x。知道什么是弱收斂序列的弱極限，并且會證明。三、章節(jié)考試大綱第一節(jié)、定解問題的提法定解問題的付氏解法第二節(jié)、函數(shù)的引入

27、函數(shù)的性質(zhì)把函數(shù)看作是弱收斂序列的弱極限高維空間中的函數(shù)及函數(shù)的其它性質(zhì)四、章節(jié)練習(xí)題（一）選擇題1.二維拉普拉斯方程的定解問題是（）。A哥西問題；B狄拉克問題；n趨于某值aC混合問題；D狄里克雷問題。2.一函數(shù)序列的序參量時有(x)f(n,x)dx(x)f(x)dx則我們稱（）。naAf(n,x)收斂于f(x)；Bf(n,x)絕對收斂于f(x)；Cf(n,x)弱收斂于f(x)；Df(n,x)條件收斂于f(x)。3.下列函數(shù)f(x)不是函數(shù)的是（）Af(x)1eixdx2Bf(x)extdt0Cf(x)0 x0 x0Df(x)dx1.-可修遍-a0-.（二）填空題寫出三維直坐標(biāo)下的拉普拉斯方程

28、。（三）計算題弱12a2x(x)a4x41.證明；u22.求解定解解問題11uu0(0a,02)u(a,)Asin第十章波動方程的達朗貝爾解一、章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會導(dǎo)出并記住波動方程的通解。2.掌握達朗貝爾公式的應(yīng)用3.理解達氏解的意義.4.了解三維波動方程的初值條件及其泊松公式.二、章節(jié)重點、要點本部分學(xué)習(xí)的主要容包括弦振動方程初值問題的達朗貝爾解法、高維波動方程兩個方面。會導(dǎo)出并記住波動方程的通解。xatd掌握達朗貝爾公式的應(yīng)用。ux,txatxat212axat的形式.方程的解表示成fxat這個式子稱為達朗貝爾公式或者達朗貝爾解，簡稱達氏解。達朗貝爾解法的思路容易理解，先求出通解，然后從中

29、挑選特解。理解達氏解的意義.自由弦振動方程的解,總可以寫成ux,tfxatfxat121的形式時,振動的波形是以常速度a向右傳播,fxat1所描述的振動規(guī)律,稱為右傳播規(guī)律或正形波。同樣fxat2所描述的振動規(guī)律,稱為左傳播波或逆行波。了解三維波動方程的初值條件及其泊松公式.三維波動方程的初值問題：.-可修遍-tt-.ua2ua2uuux,y,z,t0 xxyyzzux,y,z,0 x,y,zx,y,zutx,y,z,0 x,y,zx,y,z其中x,y,z,x,y,z為已知函數(shù)。uM,tux,y,z,t,ds,dstt4a2t220014a2t2200其泊松公式為t4,d,dt2t004200

30、tt三、章節(jié)考試大綱第一節(jié)、達朗貝爾解的推出達朗貝爾解的物理意義舉例依賴區(qū)間決定區(qū)域和影響區(qū)域第二節(jié)、三維波動方程的初值問題降維法四、章節(jié)練習(xí)題（一）計算題ua2ux,t0 xxux,0sinxxux,0 x21.求解tx。xxux,0 xu2u3u0 xyyyux,0sinx2求解y第十三章付里葉變換一、章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解付氏變換的意義2能求其付里葉變換3理解函數(shù)的付里葉變換4.掌握付里葉變換的應(yīng)用5.了解基本解的物理意義6.知道基本解的定義.-可修遍-.二、章節(jié)重點、要點本部分學(xué)習(xí)的主要容包括付氏變換的定義及其基本性質(zhì)、用付氏變換解數(shù)理方程舉例。基本解三個方面的容。理解付氏變換的意義。定義

31、F()1f(x)dx,f(x)eixF()eixd.其逆變換為2。F稱為fx的付里葉變換或象,而fx稱為F的逆付氏變換或原象。利用付氏變換的定義可以求得函數(shù)的付氏變換或逆變換。理解函數(shù)的付里葉變換。函數(shù)的付里葉變換Fxxeixdxeixx01會利用付里葉變換的性質(zhì)求某些函數(shù)的付里葉變換。了解基本解的物理意義。知道基本解的定義函數(shù)1r1(x)2(y)2(z)2代表單位點電荷所產(chǎn)生的電位，除(,)這一個點之外，它處處滿足拉普拉斯方程uuuu0 xxyyzz。而u(x,y,z)D(,)ddd(x)2(y)2(z)2則代表區(qū)域D中密度為1(x,y,z)的電荷所產(chǎn)生的電位，它滿足泊松方程u4。由此可見，

32、函數(shù)在r求解拉普拉斯方程和泊松方程時起了很重要的作用，人們把它稱為三維拉普拉斯方程或泊松方程的基本解。三、章節(jié)考試大綱第一節(jié)、付氏變換的定義付氏變換的基本性質(zhì)n維付氏變換函數(shù)的付氏變換第二節(jié)、用付氏變換解數(shù)理方程舉例第三節(jié)、基本解的物理意義基本解的定義非定常型非齊次方程的基本解四、章節(jié)練習(xí)題（一）計算題tua2uxxu(x,0)(x)(x,t0)(x)1.求解熱傳導(dǎo)方程的哥西問題.2求(xa)（a是常數(shù)）的付里葉變換；.-可修遍-.第十四章拉普拉斯變換一、章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解拉氏變換的意義2.能用拉普拉斯求變換3.拉普拉斯變換的性質(zhì)4.掌握運用拉普拉斯變換解數(shù)學(xué)物理方程。二、章節(jié)重點、要點本部

33、分學(xué)習(xí)的主要容包括拉氏變換的定義和它的逆變換、拉氏變換的基本性質(zhì)及其應(yīng)用舉例、展開定理三個方面的容。付氏變換在信號處理領(lǐng)域有重要的應(yīng)用，但其應(yīng)用圍卻受到限制，它既要求函數(shù)在整個實軸上有定義，又要求函數(shù)滿足狄氏條件，這對于以時間為指數(shù)增長的函數(shù)無能為力。能否找一個既類似于付氏變換，又能克服以上困難的一種變換？故有了拉普拉斯變換。拉普拉斯變換和付氏變換之間有差異，主要是原象和象之間的關(guān)系。原象：付氏變換的原象函數(shù)的自變量一般為空間坐標(biāo)，拉氏變換的原象函數(shù)的自變量一般為時間。象：付氏變換的象函數(shù)是一以實變量的復(fù)函，拉氏變換的象函數(shù)是以一復(fù)變量pi的復(fù)函。要熟練掌握拉普拉斯變換的定義，會根據(jù)定義計算拉

34、氏變換和逆拉氏變換。掌握運用拉普拉斯變換解數(shù)學(xué)物理方程。對拉普拉斯變換的運用需要將書上例題弄懂，會做題。首先掌握課本例題1-5，再利用例1-5題結(jié)論和性質(zhì)直接進行計算。三、章節(jié)考試大綱第一節(jié)、付氏變換與拉氏變換拉氏變換的定義拉氏變換的存在定理和反演定理第二節(jié)、拉氏變換的基本性質(zhì)及其應(yīng)用舉例第三節(jié)、展開定理用反演公式解數(shù)理方程舉例四、章節(jié)練習(xí)題（一）計算題1.求test（s是常數(shù)）的拉普拉斯變推換。p2求p22p5的逆拉普拉斯變推換。第十五章勒讓德多項式球函數(shù).-可修遍-勒氏多項式的另一種表示法,即所謂的洛德利格公式。2iC2n(z)n1勒氏多項式的施列夫利積分表達式，或簡稱為施氏積分.-.一、

35、章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解勒讓德方程推出過程2.知道勒讓德多項式的定義3記住勒讓德多項式的微分式和積分式。4.掌握勒讓德多項式的各項性質(zhì)如遞推公式、母函數(shù)關(guān)系、正交歸一性、展開定理及其運用。5掌握連帶勒讓德多項式、球函數(shù)的定義及它們的正交歸一和展開定理。6.掌握u0在球坐標(biāo)系中的分離變量的解，并用之于具體的物理問題。二、章節(jié)重點、要點本部分學(xué)習(xí)的主要容包括勒讓德微分方程及勒讓德多項式、勒讓德多項式的母函數(shù)及其遞推公式、按勒讓德多項式展開、連帶勒讓德多項式和拉普拉斯方程在球形區(qū)域上的狄利克雷問題五個方面的容。記住勒讓德多項式的定義。記住勒讓德多項式的微分式和積分式。1dnP(x)(x21)n.n1(21

36、)nP(z)dn掌握勒讓德多項式的各項性質(zhì)如遞推公式、母函數(shù)關(guān)系、正交歸一性、展開定理及其運用。把G(x,z)112xzz2(或者1/r)稱為勒讓德多項式的母函數(shù)勒氏多項式序列,P(x),在區(qū)間-1,1上正交,即遞推公式(2n1)xP(x)nP(x)(n1)P(x)nn1n1P(x)xP(x)nP(x),n1nnnP(x)xP(x)P(x),n1n1nn1,2,3,.P(x),P(x),01n11P(x)P(x)dx0m,n0,1,2,.(mn),mn2n11勒讓德多項式的歸一性1P2(x)dx2,n0,1,2,n掌握連帶勒讓德多項式、球函數(shù)的定義及它們的正交歸一和展開定理。掌握u0在球坐標(biāo)系

37、中的分離變量的解，并用之于具體的物理問題。.-可修遍-.三、章節(jié)考試大綱第一節(jié)、勒讓德微分方程的導(dǎo)出冪級數(shù)解好勒讓德多項式的定義勒讓德多形式的微分表達式洛德利格公式勒讓德多項式的施列夫積分表達式第二節(jié)、勒讓德多項式的母函數(shù)勒讓德多項式的遞推公式第三節(jié)、勒讓德多項式的正交性勒讓德多項式的歸一性展開定理的敘述第四節(jié)、連帶勒讓德多項式的定義連帶勒讓德多項式的正交性和歸一性第五節(jié)、利用連帶勒讓德多項式Pn(x)得出方程(15.1)的解(15.1)和(15.2)的解m確定出定解問題四、章節(jié)練習(xí)題（一）計算題一個半徑為a的球殼上的電勢分布為usin2，試計算ra與ra兩區(qū)域的電勢分布。其0中u為常數(shù)。0第

38、十六章貝塞爾函數(shù)柱函數(shù)一、章節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.柱面問題定解條件2.階貝塞耳微分方程的形式3.貝塞耳函數(shù)前兩項的表達式4.理解塞耳函數(shù)的母函數(shù)及其遞推公式5掌握貝塞耳函數(shù)的母函數(shù)、主要遞推公式、正交性、展開定理及其應(yīng)用。6.掌握u0在柱坐標(biāo)系中的分離變量的解，并用之于具體的物理問題。二、章節(jié)重點、要點本部分學(xué)習(xí)的主要容包括貝賽耳微分方程及貝賽耳函數(shù)、貝賽耳函數(shù)的母函數(shù)及其遞推公式、按貝賽耳函數(shù)展開、第二類和第三類貝賽耳函數(shù)、變形（或虛變量）貝賽耳函數(shù)和貝賽耳函數(shù)的漸近公式五個方面的容。了解柱面問題定解條件ttua2(uu)0 x2y2l2,t0 xxyyut016.2x2y2l2016.1(0 x2

39、y2l2),u(x,y,0)(x,y),u(x,y,0)(x,y)t16.3其中l(wèi)為已知正數(shù),和為已知函數(shù).這個定解問題因與z坐標(biāo)無關(guān),故又稱為柱面問題.-可修遍-.了解階貝塞耳微分方程的形式v20,16.10r2RrR(k2r2v2)R0,16.11R(l)0.16.12dx16.13d2ydy2xx(x2y2)y0,dx2方程(16.11)和(16.13)都稱為v階貝塞耳微分方程。掌握貝塞耳函數(shù)前兩項的表達式xv(1)kx2kJ(x),2k!(vk1)2vk0稱為v階貝塞耳函數(shù).(16.19)J(x)12(2!)22(3!)220 x21x41x6,J(x)22!22!3!21x1x31x

40、5.掌握貝塞耳函數(shù)的母函數(shù)、主要遞推公式、正交性、展開定理及其應(yīng)用。貝塞耳函數(shù)的母函數(shù)G(x,z)e貝塞耳函數(shù)的遞推公式x1(z)2zddxxvJv(x)xvJv1(x).ddxxvJv(x)xvJv1(x).vJ(x)xJ(x)xJvvv1(x),vJ(x)xJ(x)xJvvv1(x).u0在柱坐標(biāo)系中的分離變量的解，并用之于具體的物理問題。三、章節(jié)考試大綱第一節(jié)、貝賽耳微分方程的導(dǎo)出冪級數(shù)解和貝賽耳函數(shù)的定義第二節(jié)、貝賽耳函數(shù)的母函數(shù)貝賽耳函數(shù)的積分表達式貝賽耳函數(shù)的遞推公式半奇數(shù)階貝塞爾函數(shù)第三節(jié)、貝賽耳函數(shù)的零點貝賽耳函數(shù)的正交性貝賽耳函數(shù)的歸一性展開定理的敘述圓膜振動問題四、章節(jié)練習(xí)

41、題（一）計算題.-可修遍-uu，求柱體穩(wěn)定的溫度分布。-.一個半徑為a高為h的圓柱體，下底和側(cè)面保持溫度為零度，上底的溫度分布為0考試樣題（2套）數(shù)學(xué)物理方法試卷A卷得分評卷人一、選擇題（每小題2分，共10分）1.復(fù)變函數(shù)在奇點展開時沒有主要部分，奇點是何種類型A本性奇點B非孤立奇點2由對數(shù)函數(shù)的定義有C可去奇點D極點。AzLnzLnzLnz1212BLnz22LnzzDLnzLnz0CLnz12LnzLnz123.下列方程是波動方程的是Aa2uuttxxf；Bua2uftxx；Cuta2uxx；Dutta2ux。4用分離變量法求解偏微分方程定解問題的一般步驟是A分離變量解單變量本征值問題得單

42、變量解得分離變量解；B分離變量得單變量解解單變量本征值問題得分離變量解；C解單變量本征值問題得單變量解分離變量得分離變量解；D解單變量本征值問題分離變量得單變量解得分離變量解。5一函數(shù)序列的序參量n趨于某值a時有na(x)f(n,x)dx(x)f(x)dx則我們稱Af(n,x)收斂于f(x)；Bf(n,x)絕對收斂于f(x)；Cf(n,x)弱收斂于f(x)；Df(n,x)條件收斂于f(x)。得分模為。評卷人二、填空題（將正確答案寫在橫線上，每一空2分，共20分。）1.復(fù)數(shù)1i的幅角為，.-可修遍-.2.就奇點的類型而言，z是函數(shù)fzcoszz的奇點。resf。13一維波動方程的齊次邊界條件為。

43、4熱傳導(dǎo)方程的齊次初值條件為5已知P(x)1,P(x)x,則P(x)0126勒讓德多項式P(x)的模Nll71P(x)P(x)dx51102得分評卷人三、簡答題（每小題10分，共40分。）1.計算積分Rezdz，其中積分路徑如下圖示，c（1）C為連結(jié)O點到1i點的直線段（2）C為連結(jié)O點到1點再到1i點的折線cz21，此處C是z2。2.計算積分Idz3.將函數(shù)f(z)1(z1)(z2)在（1）z1（2）1z2展成羅朗級數(shù)。ttu(x,0)x,u(x,0)0,0 xl4.求(xa)（a是常數(shù)）的付里葉變換；得分評卷人四、計算題（每小題15分，共30分。）1.利用付里葉級數(shù)法求解定解問題u(x,t

44、)a2u(x,t),0 xl,t0 xxu(0,t)0,u(l,t)0,t0t2.半徑為a的球殼上電勢分布為usin2，u為常數(shù)，試計算球殼的電勢00分布。數(shù)學(xué)物理方法試卷A卷答案一、選擇題（每小題2分，共10分）1.C2.C3.A4.A5.C二、填空題（將正確答案寫在橫線上，每一空2分，共20分。）.-可修遍-.42k,k0,1,21.;2;2.本性奇點;resf1;P(x)dx;2;7.0;15.(3x21);6.22Rezdzt(1i)dt1iRezdzRezdzRezdztdtidt1i2以為半徑作兩個圓周C,C，將上述2cz21c2z21。3.(0)0,(l)0；4.u(x,0)(x

45、)(0 xl)1121l2l1三、簡答題（每一小題10分，共40分。）1.解：（1）C可表為z(1i)t,0t1故Rezt，dz(1i)dt。1c02（2）C分為兩段為：C:zt.0t1，1C:z1ti.0t1211cC1C2002.解：在圓z2，函數(shù)1除z21z1外均為解析。今以z1為中心112定理應(yīng)用于復(fù)圍線CCC即得12dzdzdzc1z21;2iiz212c1z1c1z12又c1dz1dzdz12ii，最后可得212c2z1c2z12c2zdz1dzdz1cz21c2z21ii03.解：（1）在z1，f(z)dzdzdzc1z21111z2z11z1z2(1)2.-可修遍-.z1znn

46、0n22nn0(11)zn2n1n0z2111zz21（2）在1z2，f(z)11z11121z1zn1122zznn0n0u(x,0)x,u(x,0)0,0 xl，（3）根據(jù)（2）式可得u(x,t)T(t)sinnx（,4）llll（5）lDsin4.解：F()(xa)eixdxeia,四、計算題（每小題15分，共30分。）u(x,t)a2u(x,t),0 xl,t0（1）ttxx1解：u(0,t)0,u(l,t)0,t0，（2）tnn1將（4）代入（1）得：T(t)(na)2T(t)sinnx0,nnn1natnatT(t)Ccos,nnn將（5）代入（4）得：u(x,t)Ccosl（6）

47、natnlDnsinn1由（3）和（6）得：natlsinnx,lln1Csinnxx,nn1nalDsinnx0,nn,D0（7）2lnx2(1)n1lldxl0故Cnnxsin,u(x,t)2l(1)n1n1cos2u(r,)0,ra,0（1）,u(a,)u0sin2,0（2）,將（7）代入（6）中得：natnxlsinl02.解：當(dāng)ra時，該問題可化為如下定解問題limu(r,)有限值，（3）r0滿足（1）（3）式的解的普遍形式是：.-可修遍-u(r,)ArlP(cos)（4）,由（2）（4）得：u(a,)AalP(cos)usin2（5）,-.lll0ll0l0usin2u(1cos2

48、)u(1x2)000又因為uP(x)P(x)P(x)20032130uP(x)P(x)0332220故比較（5）式兩邊系數(shù)可得：30u,A0,當(dāng)l0,2時。（6）3a20A2u,A022l將（6）代入（4）得：33a20u(r,)22uP(cos)ur2P(cos)0022r230au1P(cos)2數(shù)學(xué)物理方法試卷B卷得分評卷人一、選擇題（每小題2分，共10分）1.復(fù)變函數(shù)在奇點展開時沒有主要部分，奇點是何種奇點A本性奇點B非孤立奇點2下列積分不為零的是C可去奇點D極點。A1z0.5zdz；B1z0.5z2dz；C1z0.5zdz；Dz1dzz21。3二維拉普拉斯方程的定解問題是A哥西問題；

49、B狄拉克問題；C混合問題；D狄里克雷問題。4下列表述中不正確的是sinzAz3在z0處是二階極點；B某復(fù)變函數(shù)在開復(fù)平面有有限個奇點，所有這些奇點的殘數(shù)之和為零；C殘數(shù)定理表明，解析函數(shù)的圍線積分為復(fù)數(shù)；.-可修遍-.D某復(fù)變函數(shù)在某處為m階極點，則其倒函數(shù)在該奇點處為m階零點。zz2z315級數(shù)1!2!3!znn!的收斂半徑為AB0C1Dn1!n!。得分評卷人二、填空題（將正確答案寫在橫線上，每一空2分，共20分。）1.已知函數(shù)f(z)x33xy2i(3x2yy3)，則f(z)的實部是2.就奇點的類型而言，z0為zsin2z的則zn為zsin2z的在z0處的殘數(shù)為則積分3.coszcoszz

50、3z1z3dz12.計算積分dz(C:z2)。4.已知P(x)1,P(x)x,則P(x)0125.勒讓德多項式P(x)的模Nll6.寫出三維直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯方程7.1P(x)P(x)dx51102得分評卷人三、簡答題（每一小題10分，共40分。）1.已知u3x2yy3,f(i)1，求解析函數(shù)f(z)uiv。2z2z1c(z1)23.將函數(shù)f(z)1在（1）z1（2）1z2展成羅朗級數(shù)。(z1)(z2)4.求下列函數(shù)的拉普拉斯變換（1）.sint（2）.cost得分評卷人四、計算題（每一小題15分，共30分。）1.利用分離變量法求解定解問題.-可修遍-u(x,0)usin,u(x,0)0,

51、0 xll-.ua2u,0 xl,t0ttxxu(0,t)0,u(l,t)0,t03x0t2.半徑為a的球殼，球殼上電勢保持usin2cos2，u為常數(shù)，試求球殼00的電勢分布。0,01（Y1,0481,13,Ysinei,Y1,134cos,Y38sinei2,2152,1sincosei,Y2,0(cos21)155Ysin2ei2,Y328162,12,2Y158sincosei,Y1532sin2ei2,）數(shù)學(xué)物理方法試卷B卷答案一、選擇題（每小題2分，共10分）1.C2.C3.D4.C5.A二、填空題（將正確答案寫在橫線上，每一空2分，共20分。）1.f(z)x33xy2)；2.一階

52、極點；二階極點；3.11；i；4.(3x21)22;2uuu05.1P(1l2x)dx12;2l1；6.xxyyzz;7.0;1.解：因u6xy,3x23y2，又因6xy故v3xy2(x)。v三、簡答題（每一小題10分，共40分。）uvuxyyxu3y2(x)3y23x2xy(x)3x2，故(x)x3cv(x,y)3xy2x3cf(z)uiv3x2yy3i(3xy2x3c)又f(i)1,zi，即，x0,y1.-可修遍-.f(i)(uiv)zi1ic1，c=0f(z)3x2yy3i(3xy2x3)2ic(z)(n1)d可知2.解：根據(jù)解析函數(shù)的無限次可微性，f(n)(z)n!f()(z1)2dz

53、2if(z)2i(2z2z1)2i*36i2z2z1cz23.解：（1）在z1，f(z)11z111z1z2(1)2z2n(11znn0n2n0n012n1)znz21z1zn（2）在1z2，f(z)11122zznn0n01z111112z12(1z)LeitLeit2i4.解：（1）LsintL2ieiteit12ipi111pip22LeitLeit2（2）LcostL212pipiua2u,0 xl,t0，（1）l,u(x,0)0,0 xl，（3）u(x,0)usineiteit111pp22四、計算題（每一小題15分，共30分。）ttxx1.解：u(0,t)0,u(l,t)0,t0，

54、（2）3x0t令u(x,t)X(x)T(t)分別代入（1）（2）中得：.-可修遍-T(t)a2T(t)0，（5）X(0)0,X(l)0，（6）l，（8）-.X(x)X(x)0，（4）（4）（6）構(gòu)成本征值問題，其本征值為n,n1,2,3，（7）l本征函數(shù)為X(x)sinnxnlBsinl，（9）將（7）代入（5）得：T(t)Acosnatnnnnatu(x,t)Acosl，（10）n1nnatnatnxlBnsinlsinAsinu(x,0)naBsinll由（10）和（3）得：u(x,0)nxtnn1n10,nnxlu0sin3xl,將A,B代入（10）得：u(x,t)ucos比較系數(shù)得Au

55、,A0,當(dāng)n3時30nB0,n1,2,nnn03at3xlsinl2u(r,)0,ra,0,02（1）u(a,)u0sin2cos2，2（2）limu(r,)有限值，2（3）2.解：該問題可化為定解問題00r0滿足（1）（3）的解的一般形式u(r,)ArlY(,),(4)lmlmlm由（2）（4）得.-可修遍-220-.u(a,)AalY(,)usin2cos2lmlm0lm1usin2ei21usin2ei2015Y(,)uu802,20815Y2,2(,)比較兩邊系數(shù)得,Aua215,A0,l2,m2時（5）A22u0a28152,20lm8u(r,)u8r215a將（5）代入（4）得Y(

56、,)Y0222,2(,)章節(jié)練習(xí)題答案第一章練習(xí)題答案（一）選擇題1.B2.C（二）填空題1.4，2；2.以原點為中心的單位圓：z1第二章練習(xí)題答案（一）計算1.解：因u6xy,u3x23y2，又因vu6xyxyyxx3y2(x)故v3xy2(x)。vuy3y23x2(x)3x2，故(x)x3cv(x,y)3xy2x3cf(z)uiv3x2yy3i(3xy2x3c)又f(i)1,zi，即，x0,y1f(i)(uiv)zi1ic1，c=02.解：arg12arg(z1),因為0arg(z1)2，所以.-可修遍-.arg(z1)0,(2)1,arg(z1)ziz23,(i)42e3i/8,4arg

57、(z1),(0)ei/2i,arg(z1)ziz05,(i)42e5i/8.4Rezdzt(1i)dt1iRezdzRezdzRezdztdtidt1i2fzlimfzlimlimi1第三章練習(xí)題答案（一）選擇題1.C（二）填空題1.0（三）計算題1.解：（1）C可表為z(1i)t,0t1故Rezt，dz(1i)dt。1c02（2）C分為兩段為：C:zt.0t1，1C:z1ti.0t1211cC1C200eizezz2.解：考慮函數(shù)的積分。因為eizezieizezz0z0z0z1所以z0為可去奇點，則有dxR0eixex2eiReieRei0 xReidRei0Rexeixixdix010e

58、xeixdixRexeixdxRix0 xR0cosxexisinxxdx2ReixexdxRcosxexisinxdx0 x0 x3.-可修遍-.20eiReieReidReieiRcosisineRcosisinRei2eRsineRcos2R042分故當(dāng)R時將（2）（4）諸式一并代入（1）式有20cosxexxdx0所以0cosxexxdx0以為半徑作兩個圓周C,C，將上述2cz21c2z21。3.解：在圓z2，函數(shù)1除z21z1外均為解析。今以z1為中心112定理應(yīng)用于復(fù)圍線CCC即得12dzdzdzc1z212iiz212c1z1c1z12又c1dz1dzdz12ii，最后可得z21

59、2c2z1c2z12c2dz1dzdz1cz21c2z21ii0dzdzdzc1z21第四章練習(xí)題答案（一）填空題1.全平面；2.本性奇點；resf13.z1（二）計算題1.解：z2.-可修遍-1-.1z25z61z3z21131z1()12.解：（1）在z1，f(z)11z3322n0n011321zznzn2()1z2z111z2(1)2z1znn22nn0n0(11)zn2n1n0（2）在1z2，f(z)1z2z11z21111112z1z1zn1122zznn0n0d124Res第五章練習(xí)題答案（一）填空題1.1；2.2e；3.1，-1，0；（二）計算題1.解203cosdzz1zz1

60、iz322dziz1z26z1dziz1(z322)(z322)1z322(z322)(z322)22.-可修遍-.2解：對照公式知，此處fz1,p1z24z5，奇點為z2i，且當(dāng)z時fz0，故有dx2iresf2iei2i2ixeixeiz|24x52z4z2ie12i2icos1isin12ieI從而有xsinxdxsin124x5e第七章練習(xí)題答案（一）選擇題1.A；2.A；3.C；（二）填空題1.(0)0,(l)02.諧波，波腹；3.n22a2（三）計算題1.解：所求問題是波動方程的混合問題，其付氏解為：u(x,t)(acoslll其中，n1nnananxtbsint)sinna()s