2020高考中點弦問題

1、圓錐曲線的中點弦問題一：圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達(dá)定理”或“點差法”求解.在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率；在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率；在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率。注意：因為0是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時，務(wù)必別忘了檢驗0！1、以定點為中點的弦所在直線的方程例1、過橢圓x2y21內(nèi)一點M(2,1)引一條弦，使弦被M點平分，求這條弦所在直線的方程。164例2、已知雙曲線x2y21，經(jīng)過點M(1,1)能否作一條直線l，使l與雙曲線交于A、B，且點M2是線段AB的中點。若存在這樣的直線l，求出它的方程，若不存在，說

2、明理由。2、過定點的弦和平行弦的中點坐標(biāo)和中點軌跡例3、已知橢圓y2x21的一條弦的斜率為3，它與直線x1的交點恰為這條弦的中點M，求75252點M的坐標(biāo)。例4、已知橢圓y2x21,求它的斜率為3的弦中點的軌跡方程。75253、求與中點弦有關(guān)的圓錐曲線的方程例5、已知中心在原點，一焦點為F(0,50)的橢圓被直線l:y3x2截得的弦的中點的橫坐標(biāo)為1，求橢圓的方程。所求橢圓的方程是y2x21275254、圓錐曲線上兩點關(guān)于某直線對稱問題例6、已知橢圓x2y21，試確定的m取值范圍，使得對于直線y4xm，橢圓上總有不同43的兩點關(guān)于該直線對稱。例7、已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為

3、（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點，為上一點,且證明：，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差注意的問題1）雙曲線的中點弦存在性問題；（2）弦中點的軌跡應(yīng)在曲線內(nèi)。利用點差法求解圓錐曲線中點弦問題，方法簡捷明快，結(jié)構(gòu)精巧，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美，而且應(yīng)用特征明顯，是訓(xùn)練思維、熏陶數(shù)學(xué)情感的一個很好的材料，利于培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和解題興趣答案：1.解：設(shè)直線與橢圓的交點為(2,1)為AB的中點又A、B兩點在橢圓上，則兩式相減得(x12x22)4(y12于是(x1x2)(x1x2)4(y1A(x1,y1)、B(x2,y2)x1x24y1y22x24y216，x24y2161122y22)0y2)(y1y2)0y1

4、y2x1x241x1x24(y1y2)422即kAB1，故所求直線的方程為y11(x2)，即x2y40。222.解：設(shè)存在被點M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)則x1x22，y1y22x12y121，x22y22122兩式相減，得(x1x2)(x1x2)1(y1y2)(y1y2)0kABy1y222x1x2y12(x1)消去y，得2x2故直線AB:y12(x1)由x2y214x302(4)242380這說明直線AB與雙曲線不相交，故被點M平分的弦不存在，即不存在這樣的直線l。評述：本題如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結(jié)果，請務(wù)必小心。由此題可看到中點弦問題中判斷點的M位置

5、非常重要。（1）若中點M在圓錐曲線內(nèi)，則被點M平分的弦一般存在；（2）若中點M在圓錐曲線外，則被點M平分的弦可能不存在。3.解：設(shè)弦端點P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中點M(x0,y0)，則x012y12x1222x1x22x01，y1y22y0又1，y2x2175257525兩式相減得25(y1y2)(y1y2)75(x1x2)(x1x2)0即2y0(y1y2)3(x1x2)0y1y23x1x22y0ky1x1y2333，即y01點M的坐標(biāo)為(1,1)。x22y02224.解：設(shè)弦端點x1x2兩式相減得P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中點M(x,y)，則y12x12

6、222x，y1y22y又1，y2x217525752525(y1y2)(y1y2)75(x1x2)(x1x2)0即y(y1y2)3x(x1ky1y23x1x2xy0由y2x21，得7525點M在橢圓內(nèi)5.解：設(shè)橢圓的方程為x2)0y1y23x，即x2yx13x3，即xy0yP(53,53)Q(53,53)2222它的斜率為53533的弦中點的軌跡方程為xy0(2x)y2x221，則a2b250a2b2設(shè)弦端點P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中點M(x0,y0)，則x013x021x1x22x01，y1y22y01，y0222222又y1x11，y2x21a2b2a2b2兩式相減得b

7、2(y1y2)(y1y2)a2(x1x2)(x1x2)0即b2(y1y2)a2(x1x2)0y1y2a2a23x1x2b2b2聯(lián)立解得a275，b2256.解：設(shè)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)為橢圓上關(guān)于直線y4xm的對稱兩點，P(x,y)為弦P1P2的中點，則3x24y212，3x24y2121122兩式相減得，3(x12x22)4(y12y22)0即3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0 x1x22x，y1y22y，y1y21y3xPPPy4xmx1x24這就是弦軌跡方程。它與直線的交點必須在橢圓內(nèi)12中點聯(lián)立y3x，得xm則必須滿足y233x2，y4xmy3m4即(3m)233m2，解得213m213413137、【解析】分析：（1）設(shè)而不求，利用點差法進(jìn)行證明。（2）解出m,進(jìn)而求出點P的坐標(biāo)，得到,再由兩點間距離公式表示出，得到直的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程由韋達(dá)定理進(jìn)行求解。詳解：（1）設(shè)，則.兩式相減，并由得.由題