2022屆北京市育才學(xué)校高三下學(xué)期仿真測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 17 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 17 頁(yè)2022屆北京市育才學(xué)校高三下學(xué)期仿真測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題1集合，則（）ABCD【答案】B【分析】本題首先可以確定集合與集合中所包含的元素，然后根據(jù)交集的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，即，所以，因?yàn)?，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查交集的相關(guān)性質(zhì)，交集是指兩個(gè)集合中都包含的元素所組成的集合，考查推理能力，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性，是簡(jiǎn)單題.2在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【答案

2、】B【詳解】，復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限故選B點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)的除法除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把的冪寫成最簡(jiǎn)形式3已知，則（）ABCD【答案】D【分析】三個(gè)數(shù)分別和1比較大小，再結(jié)合單調(diào)性比較，即可得三個(gè)數(shù)的大小.【詳解】，所以.故選：D4在的展開式中，的系數(shù)為（）A6B12C24D48【答案】B【分析】由展開式的通項(xiàng)，由得出的系數(shù).【詳解】展開式的通項(xiàng)為由，解得，則的系數(shù)為故選：B5設(shè)向量，則“”是“”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用平面向量的模長(zhǎng)公式、特殊值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論

3、.【詳解】充分性：取，則，此時(shí)，但，充分性不成立；必要性：若，則，所以，必要性成立.因此，“”是“”的必要而不充分條件.故選：B.6記為數(shù)列的前項(xiàng)和若，則（）A有最大項(xiàng)，有最大項(xiàng)B有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)C有最小項(xiàng)，有最大項(xiàng)D有最小項(xiàng)，有最小項(xiàng)【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析的最大項(xiàng)，再分析的符號(hào)，據(jù)此分析可得的最大項(xiàng)，即可得答案【詳解】解：根據(jù)題意，數(shù)列，對(duì)于二次函數(shù)，其開口向下，對(duì)稱軸為，即當(dāng)時(shí)，取得最大值，對(duì)于，時(shí)，最大；且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)或8時(shí)，最大，故有最大項(xiàng)，有最大項(xiàng)；故選：7已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是ABCD【答案】C【解析】由題意可知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于函

4、數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)果.【詳解】令，得，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知，兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為，故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：（1）直接法：直接求解函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，得到方程的根，即可得出結(jié)果；（2）數(shù)形結(jié)合法：先令，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程的根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象，即可得出結(jié)果.8已知直線經(jīng)過點(diǎn)，則原點(diǎn)到點(diǎn)的距離可以是（）ABCD【答案】B【分析】分析可知，點(diǎn)在圓上，利用圓的幾何性質(zhì)可求得的取值范圍，即可得

5、出合適的選項(xiàng).【詳解】由題意可得，即，即點(diǎn)在圓上，所以，原點(diǎn)在圓內(nèi)，如下圖所示：圓的圓心為，半徑為，由三角不等式可得，即，所以，B選項(xiàng)合乎要求.故選：B.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若點(diǎn)在圓內(nèi)，為圓上一點(diǎn)，則.9設(shè)是等差數(shù)列，且，則（）ABCD【答案】D【分析】先根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)公式，然后代入根據(jù)等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】解：由題意得：設(shè)的公差為又 又，故選：D10在直角坐標(biāo)系中,對(duì)于點(diǎn),定義變換:將點(diǎn)變換為點(diǎn),使得其中.這樣變換就將坐標(biāo)系內(nèi)的曲線變換為坐標(biāo)系內(nèi)的曲線.則四個(gè)函數(shù),在坐標(biāo)系內(nèi)的圖象,變換為坐標(biāo)系內(nèi)的四條曲線（如圖）依次是A,B,C,D,【答案】A【分析】用x，y表

6、示出a，b，根據(jù)反正切函數(shù)的單調(diào)性得出各自圖象的a，b的范圍及大小關(guān)系，從而得出答案【詳解】解：由可得，對(duì)于y3ex（x0），顯然y31，barctany3，y3對(duì)應(yīng)的圖象為；對(duì)于y4lnx（x1），aarctanxarctan1，y4對(duì)應(yīng)的圖象為；對(duì)于y1和y2，當(dāng)0 x2時(shí)，2xx2，arctan2xarctanx2，即當(dāng)0aarctan2時(shí)，arctany1arctany2，y1對(duì)應(yīng)的圖象為，y2對(duì)應(yīng)的圖象為故選A【點(diǎn)睛】本題考查了反正切函數(shù)的性質(zhì)，基本初等函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題二、填空題11已知拋物線：經(jīng)過點(diǎn)，則拋物線的準(zhǔn)線方程是_.【答案】【分析】先將點(diǎn)代入拋物線方程求出，然后即可得

7、拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】解：由題意得：拋物線：經(jīng)過點(diǎn)，解得準(zhǔn)線方程為故答案為：12設(shè)，為雙曲線：（）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，那么雙曲線的離心率為_.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線定義知，再由雙曲線參數(shù)關(guān)系求得，即可求離心率.【詳解】由題意，則，又，則，所以雙曲線的離心率為.故答案為：13如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的序號(hào)是_.平面平面；的取值范圍是；三棱錐的體積為定值；.【答案】【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系判斷，舉反例判斷，利用體積公式，判斷，利用垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化判斷.【詳解】平面，平面平面，正確；若是上靠近的一個(gè)四等分點(diǎn)，此時(shí)，此時(shí)為鈍角，錯(cuò)；由于，則

8、平面，因此的底面是確定的，高也是定值，其體積為定值，正確；而，所以，且,，所以平面,平面，因此，正確故答案為：三、雙空題14已知是的邊的中點(diǎn)，則_；_【答案】 3 -0.75【分析】利用數(shù)量積的定義可得，利用向量的線性表示及數(shù)量積的運(yùn)算即得.【詳解】，又是的邊的中點(diǎn)，.故答案為：3；.15已知函數(shù)在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)在上存在_個(gè)極小值點(diǎn)，請(qǐng)寫出一個(gè)符合要求的正整數(shù)的值_.【答案】 1 3【分析】首先求的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象，確定極小值點(diǎn)個(gè)數(shù)，以及根據(jù)端點(diǎn)值，列不等式求的范圍.【詳解】，由條件可知在區(qū)間有3個(gè)零點(diǎn)，由函數(shù)圖象可知：有1個(gè)極小值點(diǎn)，兩個(gè)極大值點(diǎn)，且，解得：,其中滿足條件的

9、一個(gè)正整數(shù)是3.故答案為：1；3四、解答題16在中，_，_，求和的值.從以下三個(gè)條件中選兩個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中使得三角形存在，并回答問題.條件；條件；.【答案】答案見解析.【分析】先由條件求出的值；若選根據(jù)得出，再由條件可分析不滿足條件；由條件可求出的值，從而得出角，若選先求出再由正弦定理，和面積公式得出答案; 若選,先求出，再由正弦定理，和面積公式得出答案.【詳解】由，則若選由 ，則，解得由，則，與相矛盾，故滿足條件的三角形不存在.由，則，則 所以,若選則由條件，則由正弦定理,得 即，則由正弦定理可得,所以若選由上可得，又由，則由正弦定理可得, 則17如圖，梯形ABCD所在的平面與等腰梯形

10、ABEF所在的平面互相垂直，.(1)求證：平面BCE；(2)求二面角的余弦值；(3)線段CE上是否存在點(diǎn)G，使得平面BCF？請(qǐng)說明理由.【答案】(1)見解析；(2)；(3)不存在，理由見解析.【分析】(1)證明然后證明平面(2)在平面內(nèi)，過作，建立空間直角坐標(biāo)系求出平面的法向量，平面的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可(3)解法一：求出平面的法向量通過，說明平面與平面不可能垂直解法二：假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得平面，設(shè)，其中，通過平面，得方程組，判斷方程組無解，說明假設(shè)不成立【詳解】(1)，且， 四邊形為平行四邊形，平面，平面(2)在平面內(nèi)，過作 平面平面，平面平面，又平面，平面，如圖建立空

11、間直角坐標(biāo)系：由題意得，0，4，2，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，平面的一個(gè)法向量為，則 二面角的余弦值(3)線段上不存在點(diǎn)，使得平面，理由如下：解法一：設(shè)平面的法向量為，則,即令，則，平面與平面不可能垂直，從而線段上不存在點(diǎn)，使得平面解法二：線段上不存在點(diǎn)，使得平面，理由如下：假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得平面，設(shè)，其中，設(shè)，則有，從而，平面，有，上述方程組無解，假設(shè)不成立線段上不存在點(diǎn)，使得平面18在某地區(qū)，某項(xiàng)職業(yè)的從業(yè)者共約8.5萬人，其中約3.4萬人患有某種職業(yè)病.為了解這種職業(yè)病與某項(xiàng)身體指標(biāo)（檢測(cè)值為不超過6的正整數(shù)）間的關(guān)系，依據(jù)是否患有職業(yè)病，使用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取了100名從

12、業(yè)者，記錄他們?cè)擁?xiàng)身體指標(biāo)的檢測(cè)值，整理得到如下統(tǒng)計(jì)圖：(1)求樣本中患病者的人數(shù)和圖中，的值；(2)在該指標(biāo)檢測(cè)值為4的樣本中隨機(jī)選取2人，求這2人中有患病者的概率；(3)某研究機(jī)構(gòu)提出，可以選取常數(shù)（），若一名從業(yè)者該項(xiàng)身體指標(biāo)檢測(cè)值大于，則判斷其患有這種職業(yè)??；若檢測(cè)值小于，則判斷其未患有這種職業(yè)病.從樣本中隨機(jī)選擇一名從業(yè)者，按照這種方式判斷其是否患有職業(yè)病.寫出使得判斷錯(cuò)誤的概率最小的的值及相應(yīng)的概率（只需寫出結(jié)論）.【答案】(1)樣本患病人數(shù)為人，；(2)；(3)，誤判概率為.【分析】（1）根據(jù)等比例原則求患者人數(shù)，由頻率和為1，列方程求a、b的值；（2）分別求出樣本中指標(biāo)檢測(cè)值為

13、4的未患病者、患病者人數(shù)，應(yīng)用對(duì)立事件概率求法求概率；（3）判斷且對(duì)應(yīng)的誤判率，即可得結(jié)果.【詳解】(1)由題設(shè)，患病者與未患病者的比例為，故患者人數(shù)為人；由直方圖知：，可得，可得.(2)由題意，指標(biāo)檢測(cè)值為4的未患病者有人，指標(biāo)檢測(cè)值為4的患病者有人；所以指標(biāo)檢測(cè)值為4的樣本中隨機(jī)選取2人，這2人中有患病者的概率的概率.(3)若為未患病者，為患病者，為體指標(biāo)檢測(cè)值為者，所以100名樣本中，未患病者62115963患病者00481216當(dāng)時(shí)，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為0、54，誤判率為；當(dāng)時(shí)，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為0、33，誤判率為；當(dāng)時(shí)，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為

14、4、18，誤判率為；當(dāng)時(shí)，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為12、9，誤判率為；當(dāng)時(shí)，患病者、未患病者被誤判的人數(shù)分別為3、24，誤判率為；綜上，當(dāng)時(shí)誤判概率最小為.19已知橢圓：（）上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，離心率為.(1)求橢圓的方程和短軸長(zhǎng)；(2)已知點(diǎn)，過左焦點(diǎn)且與不垂直坐標(biāo)軸的直線交橢圓于，設(shè)直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，連接，求證：平分.【答案】(1)，短軸長(zhǎng)；(2)證明見解析.【分析】（1）由橢圓定義、離心率可得，進(jìn)而求得，即可得橢圓方程和短軸長(zhǎng)；（2）將問題化為證明，令為聯(lián)立橢圓，應(yīng)用韋達(dá)定理、斜率兩點(diǎn)式并化簡(jiǎn)，即可證結(jié)論.【詳解】(1)由題意，則，故，則，所以，短軸長(zhǎng).(2

15、)要證平分，即，如下圖示，所以，只需證即可，由題意，設(shè)為，聯(lián)立橢圓并整理得：，所以，且，即，而，又，所以，故平分，得證.20已知函數(shù)（）.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；求函數(shù)的最小值；(2)設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，曲線與至多有一個(gè)交點(diǎn).【答案】(1)，；(2)證明見解析.【分析】（1）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷的單調(diào)性，進(jìn)而求最值；（2）將問題化為判斷時(shí)在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，討論a結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】(1)由題意且，則，由，故在處的切線方程；當(dāng)，可得，即在上遞增；當(dāng)，可得，即在上遞減；所以的極小值也是最小值為.(2)令且，則，當(dāng)時(shí)，則,，遞減；,，遞增；此時(shí)，即

16、在定義域上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則可得或，可得，所以在、上遞增，上遞減，則，而趨向時(shí)趨向負(fù)無窮，此時(shí)，在上存在一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上遞增且值域?yàn)镽，此時(shí)存在一個(gè)零點(diǎn)；綜上，當(dāng)時(shí)曲線與至多有一個(gè)交點(diǎn).21設(shè)n為正整數(shù)，集合A=對(duì)于集合A中的任意元素和，記M（）=（）當(dāng)n=3時(shí)，若，求M（）和M（）的值；（）當(dāng)n=4時(shí)，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意元素，當(dāng)相同時(shí)，M（）是奇數(shù)；當(dāng)不同時(shí)，M（）是偶數(shù)求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值； （）給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同的元素，M（）=0寫出一個(gè)集合B，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說明理由【答案】(1)2,1;(2) 最大值為4;(3) 【詳解】（），（）考慮數(shù)對(duì)只有四種情況：、，相應(yīng)的分別為、，所以中的每個(gè)元素應(yīng)有奇數(shù)個(gè)，所以中的