2022屆安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 18 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 頁2022屆安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1已知集合，則（）ABCD【答案】B【分析】首先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合，再根據(jù)并集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以；故選：B2若復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，且，則復(fù)數(shù) （）A BCD【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及對(duì)稱性，得出復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的除法法則即可求解.【詳解】由題意知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，因?yàn)閺?fù)數(shù)，在復(fù)平面

2、內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，即，則，故選：C3已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，則“是奇函數(shù)”是“是奇函數(shù)”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：若為奇函數(shù)，則，則為奇函數(shù)，故充分性成立；若是奇函數(shù)，令，則 ，此時(shí)無法得到，故必要性不成立，故“是奇函數(shù)”是“是奇函數(shù)”的充分不必要條件；故選：A4已知，則執(zhí)行如圖所示的框圖輸出的結(jié)果為（）AaBbCcD無法確定【答案】B【分析】按照程序框圖的流程圖進(jìn)行計(jì)算，得到結(jié)果.【詳解】令，令，輸出.故選：B5已知正項(xiàng)等比數(shù)列首項(xiàng)為1，且成等差數(shù)列，

3、則前6項(xiàng)和為（）A31BCD63【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】成等差數(shù)列，即，解得 或 ，又，故選：C.6非零向量滿足，則與的夾角為（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用向量夾角公式計(jì)算作答.【詳解】由得：，即，解得，因此，而，解得，所以與的夾角為.故選：B7已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象可能是（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與原函數(shù)極值點(diǎn)的關(guān)系即可判定圖像.【詳解】由題，導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)即原函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，只有B圖符合.故選：B.8五月初，受疫情影響線下課暫停，某校組織學(xué)生居家通過三種方式自主學(xué)習(xí)，每種學(xué)習(xí)方

4、式人數(shù)分布如圖1所示，解封后為了解學(xué)生對(duì)這三種學(xué)習(xí)方式的滿意程度，利用分層抽樣的方法抽取4%的同學(xué)進(jìn)行滿意率調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2所示 則下列說法中不正確的是（）A樣本容量為240B若，則本次自主學(xué)習(xí)學(xué)生的滿意度不低于四成C總體中對(duì)方式二滿意的學(xué)生約為300人D樣本中對(duì)方式一滿意的學(xué)生為24人【答案】B【分析】對(duì)A，根據(jù)總?cè)藬?shù)抽取4%的同學(xué)進(jìn)行計(jì)算判斷即可；對(duì)B，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算樣本總體滿意度進(jìn)行判斷即可；對(duì)C，根據(jù)方式二中總?cè)藬?shù)和樣本滿意度計(jì)算判斷即可；對(duì)D，根據(jù)滿意率計(jì)算即可【詳解】對(duì)A，由餅圖可得總?cè)藬?shù)為，故樣本容量為，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，滿意的人數(shù)為，故滿意度為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，總體中

5、對(duì)方式二滿意的學(xué)生約為人，故C正確；對(duì)D，樣本中對(duì)方式一滿意的學(xué)生為人，故D正確；故選：B9已知，點(diǎn)滿足方程，且有，則的取值范圍是（）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義，得到點(diǎn)的軌跡表示以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，進(jìn)而求得雙曲線的漸近線方程，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，點(diǎn)且滿足，根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)的軌跡表示以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，其中，可得，則，可得雙曲線的漸近線方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)滿足方程，即，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，可得，即的取值范圍是.故選：B.10已知函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（）ABCD【答案】B【分析】由題知最小正周期為，即，進(jìn)而得，故或，再

6、結(jié)合得，再整體代換求解單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸方程為，故令得，得，所以，是函數(shù)相鄰的兩條對(duì)稱軸，所以，其最小正周期為，即，所以，由于是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，所以，所以或，所以或，因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：B11如圖，在三棱柱中，過的截面與AC交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，該截面將三棱柱分成體積相等的兩部分，則（）ABCD【答案】D【分析】利用棱柱，棱臺(tái)的體積公式結(jié)合條件即得.【詳解】由題可知平面與棱柱上，下底面分別交于，則，顯然是三棱臺(tái)，設(shè)的面積為1，的面積為S，三棱柱的高為h，解得，由，可得.故選：D.12已知函數(shù)f，若函數(shù)的圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)，滿足，

7、則a的取值范圍為（）ABCD【答案】C【分析】確定函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，分析得出只能在軸同一側(cè)，然后不妨設(shè)兩點(diǎn)都在軸右側(cè)，不等式變形為，設(shè)，設(shè)，不等式即為，因此利用導(dǎo)數(shù)求得的圖象過原點(diǎn)的切線斜率后可得結(jié)論【詳解】由函數(shù)解析式，時(shí)，時(shí)，綜上，為偶函數(shù)，易知時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，顯然有，因此要使得成立，則，即兩點(diǎn)在的同側(cè)，由是偶函數(shù)，不妨設(shè)兩點(diǎn)都在軸右側(cè)，即在的圖象上，等價(jià)于存在使得，設(shè)，設(shè)的圖象過原點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，所以，解得，所以（）的圖象過原點(diǎn)的切線斜率為1，即（）的圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的最小值是1，設(shè)，則為()，要使得存在使得()式成立，則，又，所以故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

8、本題難點(diǎn)在于將不等式變形為，設(shè)，不等式轉(zhuǎn)化為能成立，需要學(xué)生有較強(qiáng)的等價(jià)轉(zhuǎn)化能力.二、填空題13的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是_【答案】【分析】將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)展開式的通項(xiàng)，可知當(dāng)時(shí)取得常數(shù)項(xiàng).【詳解】，展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)，即時(shí)，可得展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.14已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線m與E交于A，B兩點(diǎn)，的垂直平分線分別交l和x軸于P，Q兩點(diǎn).若，則_.【答案】【分析】根據(jù)題意可得，由于對(duì)角線與垂直，得四邊形是菱形，在由拋物線的定義即可得到為等邊三角形，可得直線的方程，把直線和拋物線進(jìn)行聯(lián)立，進(jìn)而求得答案.【詳解】垂直平分，在四邊形中，對(duì)角線與垂直，四邊形是菱形，由拋物線的

9、定義可得：故為等邊三角形故 故 故直線 故把直線與拋物線進(jìn)行聯(lián)立得，設(shè) ，則故答案為：.15正項(xiàng)數(shù)列滿足，記表示不超過的最大整數(shù)，則_【答案】18【分析】先求得，再利用放縮，再根據(jù)裂項(xiàng)相消求和求解即可【詳解】因?yàn)?，故，因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列，故.又，當(dāng)時(shí)，故.又對(duì)于都有，故，故，故故答案為：18三、解答題16已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為_【答案】0【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義計(jì)算作答.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影（含邊界），其中，目標(biāo)函數(shù)，即表示斜率為2，縱截距為z的平行直線系，畫出直線，顯然直線經(jīng)過點(diǎn)A，其縱截距是經(jīng)過陰影且斜率為2，縱截距為z的平行直線

10、系中最大的，所以的最大值為0.故答案為：017如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，(1)求邊的長；(2)設(shè)，求的值【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，結(jié)合余弦定理計(jì)算作答.（2）在ABC中，利用正弦定理求出，再利用誘導(dǎo)公式、差角的正弦公式計(jì)算作答.【詳解】(1)圓內(nèi)接四邊形ABCD中，在ACD中，由余弦定理得，所以邊的長是.(2)依題意，在ABC中，為鈍角，由正弦定理得：，即，而為銳角，則，所以.18如圖，菱形中，把沿折起，使得點(diǎn)至處(1)證明：平面平面；(2)若與平面所成角的余弦值為，求二面角的余弦值【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)，連接PO，證得，根據(jù)，證

11、得，利用線面垂直的判定定理證得BD平面PAC，進(jìn)而證得平面PAC平面ABCD.（2）在平面內(nèi)，作，建立空間直角坐標(biāo)系，由為與平面所成角，求得，分別求得平面和平面的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】(1)證明：設(shè)，連接PO，在菱形ABCD中，O為BD中點(diǎn)，且，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，且PO，AC平面PAC，所以BD平面PAC，因?yàn)锽D平面ABCD，所以平面PAC平面ABCD.(2)解：在平面內(nèi)，作，以，為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，由（1）知平面平面，所以為與平面所成角，所以，可得，又由，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，

12、所以，搜易，由圖可知二面角為銳角，故其余弦值為.19已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與焦距；(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，記線段AB的中點(diǎn)為，證明：【答案】(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為；(2)證明見解析.【分析】（1）由已知可得，再由離心率求出a及半焦距c作答.（2）聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合平面向量數(shù)量積計(jì)算得，再利用直角三角形性質(zhì)推理作答.【詳解】(1)因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為，則，解得，半焦距，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為.(2)由得，設(shè)，則有，而，因此，于是得，即，而M為直角三角形ABN斜邊AB的中點(diǎn)，則，所以.20中國象棋歷史悠久，屬于二人智力對(duì)抗

13、性游戲，由于用具簡單趣味性強(qiáng)，成為流行極為廣泛的棋藝活動(dòng)馬在象棋中是“威風(fēng)八面”的棋子，有詩為贊：“馬起盤格勢(shì)，折沖千里余江河不可障，颯沓入敵虛”若將矩形棋盤視作坐標(biāo)系，棋盤的左下角為坐標(biāo)原點(diǎn)，則馬每一步從可移動(dòng)到或(1)如上左圖，若馬從處出發(fā)，等可能地向各個(gè)能到達(dá)（不離開棋盤）的方向移動(dòng)，求其2步以內(nèi)到達(dá)棋盤上位置的概率；(2)如上右圖，在一個(gè)更大的棋盤上，馬從處出發(fā)，每一步僅向軸的正方向移動(dòng)，最終到達(dá)棋盤右上角，若選擇每一條可行的道路是等可能的，求馬停留在線段上次數(shù)的數(shù)學(xué)期望【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出從出發(fā)2步以內(nèi)到達(dá)P（3，3）且不出棋盤的走法共有2種，再根據(jù)分布乘法原理，

14、即可求解；（2）先求出馬共走的步數(shù)，然后寫出隨機(jī)變量的所有可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率，從而可求得分布列，再根據(jù)期望公式求出期望即可.【詳解】(1)解：從出發(fā)2步以內(nèi)到達(dá)P（3，3）且不出棋盤的走法共有2種，記第i種路線的概率為，則：，因此總概率為；(2)解：設(shè)馬有m步從（x，y）走到，n步走到），則，解得，即馬共走了6步，總路徑數(shù)為，路徑上經(jīng)過的點(diǎn)可能在線段上的有（3，3），（6，6），（9，9）共3個(gè)，因此可取1，2，3，因此，所以馬停留在線段上次數(shù)X的分布列為：Xl23P所以X的數(shù)學(xué)期望.21已知函數(shù)的圖象在原點(diǎn)處與軸相切(1)求的值；(2)數(shù)列滿足：，求證：數(shù)列單調(diào)遞減參考數(shù)據(jù)：【答案】(1

15、)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，從而可得出答案；（2）構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，證明，即可得證.【詳解】(1)解：，函數(shù)的圖象在原點(diǎn)處與軸相切，；(2)解：因?yàn)?，所以，令，則，設(shè)，則，所以函數(shù)在上遞增，而，所以存在，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，而，所以，即當(dāng)時(shí)，而，所以是遞減數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值，考查了轉(zhuǎn)化思想，在求函數(shù)的最值時(shí)關(guān)鍵在于二次求導(dǎo).22如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. 圖中的心型曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）(1)求曲線的極坐標(biāo)方程；(2)若曲線與交于三點(diǎn)，求的值.【答案】(1)和或；(2)2.【分析】（1）先化為直角坐標(biāo)，在化為極坐標(biāo)方程即可求出答案.（2）寫出極坐標(biāo)系下點(diǎn)與的坐標(biāo)，再利用即可取出答案.【詳解】(1)曲