抽樣理論與方法：分層隨機抽樣課件

1、分層隨機抽樣4.1 概述 一、分層抽樣（stratified sampling)、分層隨機抽樣(stratified random sampling)分層抽樣：將容量為N的總體分成L個不相重疊的子總體，子總體的大小分別為N1、 N2、 NL，皆已知，且 則每個子總體就稱為層。從每層中獨立地進行抽樣，這樣的抽樣方法稱為分層抽樣。分層隨機抽樣：在分層抽樣中，如果每層中的抽樣都是簡單隨機抽樣，則這樣的分層抽樣稱為分層隨機抽樣。二、分層抽樣的適用場合不僅需要估計總體參數(shù)，也需要估計各層參數(shù)。便于管理，按現(xiàn)成的地理分布或行政劃分來分層。希望樣本中能包含各個部分，以增加代表性。把一個內(nèi)部差異很大的總體分成

2、幾個內(nèi)部比較相似的子總體（層）進行分層抽樣，可以提高估計量的精度。如果有極端值，也可以把它們分離出來形成一層。即“層間方差大，層內(nèi)方差小”。三、進行分層抽樣時，應(yīng)注意的方面層內(nèi)抽樣設(shè)計的選擇。分層變量的選擇。各層樣本量的分配，樣本總量的確定。層數(shù)。層的分界。4.2 簡單估計量及其性質(zhì)對總體均值或總值的估計：例4.1 總體由1000人組成，按以往的收入情況將總體分成兩層：第一層（高收入層），20人；第二層（低收入層），980人。從第一層隨機抽取2人，調(diào)查上月收入，得數(shù)據(jù)（單位：元）1200及1600；從第二層隨機抽取8人，調(diào)查上月收入，得數(shù)據(jù)（單位：元）220、230、180、320、400、3

3、40、280、360。估計這1000人上月平均收入。解： 對比：一、分層抽樣中，例3. 調(diào)查某地區(qū)的居民奶制品年消費支出，以居民戶為抽樣單元，根據(jù)經(jīng)濟及收入水平將居民戶分為層，每層按簡單隨機抽樣抽取戶，調(diào)查數(shù)據(jù)如下，估計該地區(qū)居民奶制品年消費總支出及估計的標準差。樣本戶奶制品年消費支出解：（3）該地區(qū)居民奶制品年消費總支出的置信度為95%的置信區(qū)間為例3.3：某市進行家庭收入調(diào)查，分城鎮(zhèn)居民及農(nóng)村居民兩部分抽樣，在全部城鎮(zhèn)居民23560戶中隨機抽取300戶，在全部農(nóng)村居民148420戶中隨機抽取250戶，調(diào)查結(jié)果是城鎮(zhèn)年平均戶收入為15180元，標準差為2972元；農(nóng)村年平均戶收入為9856元

4、，標準差為2546元。求全市年平均戶收入的置信度為90%的置信區(qū)間。解：3、分層隨機抽樣中，總體比例P的簡單估計估計的性質(zhì)（1）（2）(3)(4)4例：在某行業(yè)技術(shù)人員中，按年齡分層，調(diào)查會使用計算機者所占的比例。數(shù)據(jù)如下： 試估計總體中會計算機者占的比例。解：3.3 各層樣本量的分配在分層隨機抽樣中，假設(shè)樣本量n固定1.比例分配：指按各層層權(quán)（各層單元數(shù)占總體單元數(shù)的比例）進行分配。例：假設(shè)某公司欲估計某類產(chǎn)品的用戶的每年平均支出。企劃人員擬就整個潛在用戶的名單，共8000戶。 采用分層隨機抽樣抽取樣本200戶，求按比例分配時各層樣本量。解：例. 某電視臺要在某地區(qū)的住戶中,調(diào)查該臺的晚間新

5、聞的收視率。該地區(qū)包括3個縣,共有67401家住戶。假定該電視臺采用等比例分層隨機抽樣分別從三個縣抽取住戶，樣本量為1500。每個縣的總戶數(shù)以及抽樣數(shù)據(jù)列表如下： 求該地區(qū)新聞收視率的95%的置信區(qū)間。解：分層隨機抽樣時，收視率P的估計為： 收視率P的置信度為95%的近似置信區(qū)間為：即有95%的把握可以認為，該地區(qū)的新聞收視率在22.1%26.5%之間。2.最優(yōu)分配：例.在例3.2中，樣本量仍為n=40，則按比例分配和Neyman分配時，各層的樣本量為多少？例. 在例3.3中，樣本量仍為n=550。 城鎮(zhèn)居民23560戶，農(nóng)村居民148420戶。 城鎮(zhèn)居民與農(nóng)村居民的年收入的標準差分別為S1=

6、3000元,S2=2500元。 對城鎮(zhèn)居民與農(nóng)村居民抽樣平均每戶的費用比為1：2。 試求城鎮(zhèn)與農(nóng)村兩層比例分配與最優(yōu)分配的樣本量。又若不考慮費用因素，那么最優(yōu)分配的結(jié)果如何？解：例3.：調(diào)查某地區(qū)的居民奶制品年消費支出，以居民戶為抽樣單元，根據(jù)經(jīng)濟及收入水平將居民戶分為層，每層按簡單隨機抽樣抽取戶，調(diào)查數(shù)據(jù)如下，估計該地區(qū)居民奶制品年消費總支出及估計的標準差。表：樣本戶奶制品年消費支出解：按比例分配時， 對于Neyman分配，例：在例3.3中，樣本量仍為n=550，城鎮(zhèn)居民與農(nóng)村居民年收入的標準差估計分別為3000元和2500元，對城鎮(zhèn)居民與農(nóng)村居民抽樣品均每戶的費用比為1：2，試求（1）城鎮(zhèn)

7、與農(nóng)村兩層比例分配樣本量；（2）最優(yōu)分配的樣本量。解：（1）按比例分配時， （2）對于Neyman分配，4.4 樣本總量的確定1.在分層隨機抽樣中，影響樣本總量n的因素：（1）只討論對總體參數(shù)的精度要求；（2）樣本量的分配形式。2.在估計總體均值時，若精度要求給定，樣本總量n的確定公式：證明：*例：某流水線生產(chǎn)了1500件產(chǎn)品，為估計產(chǎn)品的合格率，將產(chǎn)品按早、中、晚班分成三層。各班產(chǎn)量分別為：早班550件，中班500件，晚班450件。根據(jù)以往的情況，每班合格率均在95%左右。若要求以95%的把握使估計量的絕對誤差不超過2%，分別確定按比例配置和按Neyman配置時總樣本量和各層樣本量。解：例：

8、（續(xù)例3.2）如果要求在置信度95%下，相對誤差不超過10%，則按比例分配和Neyman分配時，總樣本量分別為多少？解：3.在估計總體均值時，若總費用給定，精度最高時，樣本總量n的確定公式：4.5 分層時的若干問題1.抽樣效果分析（1）分層隨機抽樣與簡單隨機抽樣的比較 在相同的樣本量下，比較二者的估計量的方差的大小。分層隨機抽樣以比例分配為代表。 （2）最優(yōu)分配（以Neyman為例）與比例分配在精度上的比較 理論上講，最優(yōu)分配的精度應(yīng)高于相同樣本量的任何其他分配。當然，也高于比例分配的精度。但最優(yōu)分配在精度上的改進有多大呢？*最優(yōu)分配對于估計總體比例P的情形較少使用。（除非特別小或特別大）2.

9、層的劃分（）層的劃分原則一種原則是僅為滿足估計部分（即子總體）參數(shù)的需要或為了組織實施的便利。另一種原則是盡可能提高抽樣精度，減少估計量的方差。需要選擇恰當?shù)淖兞孔兞孔鳛榉謱訕酥尽?分層標志的選擇：可以是調(diào)查指標的前期值可以是與調(diào)查指標有較大線性相關(guān)的指標。例如交通運輸量的調(diào)查中，車輛的噸位是與其兩個主要指標：運量與周轉(zhuǎn)量密切相關(guān)的。（2）層權(quán)對估計量的影響 （3）最優(yōu)分層如何確定各層的分點：下面介紹一種確定層界的快速近似法累積平方根法。它是由Dalenius和Hodges提出的。其做法：將分層變量的分布的累積平方根進行等分來獲得最優(yōu)分層，所以成為累積平方根法。例：某地區(qū)電信部門在對利用電話上網(wǎng)的居民家庭安裝ADSL意愿進行調(diào)查時，以轄區(qū)內(nèi)最近三個月有電話上網(wǎng)支出的居民用戶為總體（上網(wǎng)電話費為0.02元/分鐘），并準備按上網(wǎng)電話費支出（記為x）進行分層，試確定各層的分點。居民家庭上網(wǎng)電話費支出分布如下頁表所示 *計算累積頻數(shù)時,應(yīng)注意x的取值區(qū)間不是等長的。30元以下，以5元為間距，計算時，按 累積；30-100元，以10元為間距，計算時，按 累積；100元以上，以50元為間距，計算時，按 累積。解：若取層數(shù)為4，則應(yīng)每隔2712.949/4=678.237分一層。 分點應(yīng)使得累積 最接近678.237， 2* 678.237 =1356.474，3* 678.2