投資學(xué)之因子模型和套利定價(jià)理論課件

1、 投資學(xué) 第八講因子模型和套利定價(jià)理論組合選擇理論的一個(gè)缺陷 馬科維茨的Portfolio Selection理論說(shuō)明了如何在給定風(fēng)險(xiǎn)水平下獲得最大的資產(chǎn)組合收益。但是在有效邊界的確立上，需要做大量的變量估計(jì)，對(duì)計(jì)算能力的要求非常高。 假定分析人員需要分析n種股票，則按照均值方差模型的要求需要估計(jì)：n個(gè)期望收益n個(gè)方差 (n2-n)/2個(gè)協(xié)方差若n50，總共為1325個(gè) 若n100，總共為 5150個(gè) 若n3000，總共要估計(jì)超過(guò)450萬(wàn)個(gè)變量8.1 因子模型 （Factor model）定義：因子模型是假設(shè)資產(chǎn)的收益是由某個(gè)收益生成過(guò)程所決定的（而不是根據(jù)Markowitz方法），而這個(gè)生成

2、過(guò)程則可以通過(guò)某個(gè)收益率統(tǒng)計(jì)公式線性地表述出來(lái)。依據(jù)因子的數(shù)量，可以分為單因子模型和多因子模型。8.1.1 單因子模型若把經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的所有相關(guān)因素作為一個(gè)總的宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)。假設(shè)：（1）證券的回報(bào)率主要取決于該指數(shù)的變化；（2）除此以外的因素是公司特有風(fēng)險(xiǎn)：殘余風(fēng)險(xiǎn)例如，GDP增長(zhǎng)率是影響證券回報(bào)率的主要因素。 因子模型回歸年份IGDPt（%）股票A收益率（%）15.7 14.326.4 19.23 8.923.44 8.015.65 5.1 9.26 2.913.04%圖中，橫軸表示GDP的增長(zhǎng)率，縱軸表示股票A的回報(bào)率。圖上的每一點(diǎn)表示：在給定的年份，股票A的回報(bào)率與GDP增長(zhǎng)率。通過(guò)線性回

3、歸，我們得到一條符合這些點(diǎn)的直線為 通過(guò)分析上面這個(gè)例子，可歸納出單因子模型的一般形式：對(duì)時(shí)間t 的任何證券i 有時(shí)間序列 其中：rit在時(shí)期 t 證券 i 的回報(bào)ai零因子ft是t 時(shí)期公共因子的取值bi證券i對(duì)公共因子f的敏感度(sensitivity),或因子載荷（factor loading）eit在時(shí)期t證券i的特有回報(bào) （8.1） 如果只考慮在某個(gè)特定的時(shí)間的因子模型，可以省掉角標(biāo)t，從而（8.1）式變?yōu)椴⑶壹僭O(shè)（8.2） 假設(shè)(1)：因子f具體取什么值對(duì)e沒(méi)有影響，即因子f與e是獨(dú)立的，這樣保證了因子f是回報(bào)率的惟一因素。 假設(shè)(2)：一種證券的e對(duì)其余任何證券的e沒(méi)有影響，兩種

4、證券之所以相關(guān)，僅是由于它們具有共同因子f所致。 如果上述假設(shè)不成立，則單因子模型不準(zhǔn)確，應(yīng)該考慮增加因子或者其他措施。對(duì)于證券i，由（8.2）其回報(bào)率的均值（期望值）為 其回報(bào)率的方差因子風(fēng)險(xiǎn)非因子風(fēng)險(xiǎn)對(duì)于證券i和j而言，它們之間的協(xié)方差為（8.3）用因子模型簡(jiǎn)化組合選擇過(guò)程單因子模型：n個(gè)期望收益，n個(gè)bi，n個(gè)殘差 ，一個(gè)因子f方差 ，共3n1個(gè)估計(jì)值若n50，之前1325個(gè)，現(xiàn)在151若n100，之前 5150個(gè)，現(xiàn)在301若n3000，之前450萬(wàn) ，現(xiàn)在9001一個(gè)特殊的因子模型 證券收益可以用預(yù)期到的收益和未預(yù)期到的收益兩個(gè)部分來(lái)解釋，構(gòu)成了未預(yù)期到的因子變化包含已知信息的預(yù)期回

5、報(bào)f是證券i的因子變化，它是不可預(yù)測(cè)的。若市場(chǎng)有效，則t-1時(shí)刻的信息集預(yù)測(cè)t時(shí)刻的價(jià)格無(wú)效，這等價(jià)于t-1時(shí)刻信息無(wú)法預(yù)測(cè)t時(shí)刻的因子，即對(duì)于因子的變化沒(méi)有任何傾向公平賭局（Fair game）價(jià)格（收益）的不可預(yù)測(cè)，本質(zhì)上是信息的不可預(yù)測(cè)。 單因素模型的簡(jiǎn)化是有成本的，它僅僅將資產(chǎn)收益簡(jiǎn)單地認(rèn)為僅與一個(gè)因子相關(guān)。因而難以把握公司對(duì)不同的宏觀經(jīng)濟(jì)因素的反應(yīng)。例：公用事業(yè)公司與航空公司，前者對(duì)GDP不敏感，后者對(duì)利率不敏感。8.1.2 多因子模型雙因素、三因素與五因素模型雙因素模型：經(jīng)濟(jì)周期GDP和利率IR是兩個(gè)最重要的系統(tǒng)因素. 三因素模型： Fama and French 除市場(chǎng)收益外,考

6、察了公司規(guī)模大小SIZE、托賓Q值比HML這兩個(gè)因素.五因素模型： 把宏觀經(jīng)濟(jì)因素分解為：行業(yè)生產(chǎn)變動(dòng)百分比IP 、預(yù)期通脹變動(dòng)百分比EI、非預(yù)期通脹變動(dòng)百分比UI 、長(zhǎng)期公司債券對(duì)長(zhǎng)期政府債券的超額收益CG、長(zhǎng)期政府債券對(duì)短期國(guó)庫(kù)券的超額收益GB.兩因子模型若只考慮一期的模型，則可以省略表示時(shí)間的下標(biāo)，從而兩因子模型方程為在兩因子模型下，對(duì)于證券i ，其收益率的均值 其收益率的方差對(duì)于證券i和j，其協(xié)方差為證券i對(duì)因子1的敏感度多因子模型對(duì)于n種證券相關(guān)的m（mn)個(gè)因子，證券i的收益可以表示為 CAPM：市場(chǎng)均衡條件下的最優(yōu)投資組合理論 APT：無(wú)套利均衡下因子模型 8.2 套利定價(jià)理論（

7、APT） 套利（Arbitrage）是利用證券定價(jià)之間的不一致，同時(shí)持有一種或者多種資產(chǎn)的多頭或空頭，從而在不承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的情況下鎖定一個(gè)正收益。 三要點(diǎn)： -零投入 -無(wú)風(fēng)險(xiǎn) -正收益.套利機(jī)會(huì)套利機(jī)會(huì)-如果可以持有自融資的投資組合并獲得確定的正收益arises if an investor can construct a zero investment portfolio with a sure profit. 如果市場(chǎng)是有效的,套利機(jī)會(huì)將立即消失. 因?yàn)槿魏瓮顿Y者,不考慮風(fēng)險(xiǎn)厭惡與財(cái)富狀況,均愿意盡可能多地?fù)碛刑桌M合的頭寸,大量頭寸的存在將導(dǎo)致價(jià)格上漲或下跌直至套利機(jī)會(huì)完全消除. 兩種套利

8、方法：當(dāng)前時(shí)刻凈支出為0，將來(lái)獲得正收入（收入凈現(xiàn)值為正）當(dāng)前時(shí)刻一系列能帶來(lái)正收入的投資，將來(lái)的凈支出為零（支出的凈現(xiàn)值為0）。假設(shè)現(xiàn)在6個(gè)月即期年利率為10%（連續(xù)復(fù)利，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6個(gè)月到1年期的遠(yuǎn)期利率定為11%，則有套利機(jī)會(huì)。套利過(guò)程是：交易者按10%的利率借入一筆6個(gè)月資金（假設(shè)1000萬(wàn)元）簽訂一份協(xié)議（遠(yuǎn)期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定該交易者可以按11%的價(jià)格6個(gè)月后從市場(chǎng)借入資金1051萬(wàn)元（等于1000e0.100.5）。按12%的利率貸出一筆1年期的款項(xiàng)金額為1000萬(wàn)元。1年后收回1年期貸款，得本息1127萬(wàn)元（等于1000e0.121），

9、并用1110萬(wàn)元（等于1051e0.110.5）償還半年期的債務(wù)后，交易者凈賺17萬(wàn)元（1127萬(wàn)元-1110萬(wàn)元）。這是哪一種套利？ 套利不僅僅局限于同一種資產(chǎn)（組合），對(duì)于整個(gè)資本市場(chǎng)，還應(yīng)該包括那些“相似”資產(chǎn)（組合）構(gòu)成的近似套利機(jī)會(huì)。無(wú)套利原則（Non-arbitrage principle)：根據(jù)一價(jià)定律，兩種具有相同風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)（組合）不能以不同的期望收益率出售。8.2.1 APT的基本假設(shè)1、市場(chǎng)是充分競(jìng)爭(zhēng)的、無(wú)摩擦的（Perfectly competitive and frictionless capital markets）；2、投資者是非滿足的：只要有套利機(jī)會(huì)就會(huì)不斷套利，

10、直到無(wú)利可圖為止。 不必對(duì)投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好作假設(shè)3、資產(chǎn)的回報(bào)可以用因子模型表示。 APT的基本原理：由無(wú)套利原則，在因子模型下，具有相同因子敏感性（b）的資產(chǎn)（或組合）應(yīng)提供相同的期望收益率。 8.2.2 構(gòu)建套利組合 Arbitrage portfolio1、零投資：套利組合中購(gòu)買證券的資金由賣出別的證券來(lái)提供，即自融資（Self-financing）。2、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)：在因子模型條件下，因子波動(dòng)導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)，因此，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)就是套利組合對(duì)任何因子的敏感度為0。3、正收益：套利組合的期望收益大于零。用數(shù)學(xué)表示就是Well Diversified PortfolioRecall the return on

11、a portfolioremainscan approach 0 with diversificationRisk associated with f is systematic or non-diversifiableRisk associated with the eis is diversifiable.We say that a portfolio is well diversified if The Effect of DiversificationAssume(i.e. all errors have the same var)LetThe error is reduced by

12、a factor of n. As Lets take a look at the error term8.2.3 套利定價(jià)模型假設(shè)投資者構(gòu)造這樣的資產(chǎn)組合：（1）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借入1元錢；（2） 1元錢投資在兩種資產(chǎn)，這樣構(gòu)造一個(gè)自融資組合。若不存在套利機(jī)會(huì)，則該套利組合的收益為0根據(jù)條件（2），一般形式的證明見附錄APT的意義若bi0，則上式退化為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，則意味著若bi0，則期望回報(bào) 隨著 的增加而增大風(fēng)險(xiǎn)因子載荷APT的意義若給定等投資額的證券h多頭和證券l空頭，則形成套利組合。投資者為獲利必定盡可能地購(gòu)入證券h，從而使其價(jià)格上升，預(yù)期收益率下降，最終到達(dá)APT定價(jià)線。在均衡時(shí)，所有的證

13、券都落在套利定價(jià)線上，只要證券偏離APT定價(jià)線就會(huì)有套利機(jī)會(huì)。APT定價(jià)線8.2.4 APT的另一種表達(dá) 則稱該組合p為純因子組合(類似于CAPM的市場(chǎng)組合)在兩因子模型下，我們有即第1因子的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格第2因子的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格這樣可將APT的表達(dá)式可以改寫為8.3 APT與CAPM的比較APT與CAPM的一致性若只有一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因子，且純因子組合是市場(chǎng)組合，則當(dāng)APT與CAPM均成立時(shí)有1、CAPM是一種理論上非常完美的模型，但假設(shè)條件太多、太嚴(yán)格。其中關(guān)鍵的假設(shè)是同質(zhì)性假設(shè)和一般均衡。 APT假設(shè)少得多。基本假設(shè)是：個(gè)體是非滿足，不需要風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的假設(shè)！只要一個(gè)人套利，市場(chǎng)就會(huì)出現(xiàn)均衡CAPM與APT的區(qū)

14、別2、在CAPM中，市場(chǎng)組合居于不可或缺的地位（若無(wú)此，則其理論瓦解）。 APT并不要求組合一定是市場(chǎng)組合，可以是任何風(fēng)險(xiǎn)分散良好的組合：純因子組合3、若純因子組合不是市場(chǎng)組合，則APT與CAPM不一定一致，CAPM僅僅是APT的特例。當(dāng)且僅當(dāng)純因子組合是市場(chǎng)組合時(shí)，CAPM與APT等價(jià)。CAPM與APT的區(qū)別注意二者并不一致由于市場(chǎng)組合在實(shí)際中不是總能得到，因此，在實(shí)際應(yīng)用中，只要投資基金等組合，即可滿足APT。所以APT的適用性更強(qiáng)！4、APT的推導(dǎo)以無(wú)套利均衡為核心，CAPM則以一般均衡 General Equlibrium 核心。5、 CAPM屬于單一時(shí)期模型，但APT并不受到單一時(shí)期

15、的限制。6、在CAPM中，證券的風(fēng)險(xiǎn)只與市場(chǎng)組合相關(guān)。APT承認(rèn)有多種因素影響證券價(jià)格，為識(shí)別證券風(fēng)險(xiǎn)的來(lái)源提供了分析工具。 1976 年羅斯(Stephen. A. Ross, 1944) 的套利定價(jià)理論 (APT, Arbitrage Pricing Theory) 。命題 ：假設(shè)n種資產(chǎn)其收益率m個(gè)因子決定（mn），即其中，i=1,2,n ，j=1,2,m，則附錄：APT的嚴(yán)格證明證明：假設(shè)在資產(chǎn)i上投資wi，構(gòu)造零投資且無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的組合，即wi滿足下列條件零投資無(wú)風(fēng)險(xiǎn)（2）（1）即，1、bj（j=1,2,m)線性無(wú)關(guān)。如果市場(chǎng)有效，則不會(huì)有套利均衡，即零投資、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的組合必然是無(wú)收益的，從

16、而只要（1）和（2）成立，則蘊(yùn)含(followed)這等價(jià)于，只要對(duì)于任意的W，必然有又由于非零向量1,b1,b2,bm線性無(wú)關(guān)，則 必定落在由1,b1,b2,bm張成的向量空間Rm+1中，也就是存在一組不全為零的數(shù) 使得證畢。理解： 必須落在Rm+1空間中，才能必然成立 1和bj是該空間的一組基abC在向量空間中，如果向量a、b正交于c，蘊(yùn)含著d正交與c，則d必須落在由a和b張成的二維空間上，d可以由a、b線性表示.0示意圖：向量空間生活中的辛苦阻撓不了我對(duì)生活的熱愛。8月-228月-22Sunday, August 21, 2022人生得意須盡歡，莫使金樽空對(duì)月。00:08:4800:08

17、:4800:088/21/2022 12:08:48 AM做一枚螺絲釘，那里需要那里上。8月-2200:08:4800:08Aug-2221-Aug-22日復(fù)一日的努力只為成就美好的明天。00:08:4800:08:4800:08Sunday, August 21, 2022安全放在第一位，防微杜漸。8月-228月-2200:08:4800:08:48August 21, 2022加強(qiáng)自身建設(shè)，增強(qiáng)個(gè)人的休養(yǎng)。2022年8月21日12:08 上午8月-228月-22精益求精，追求卓越，因?yàn)橄嘈哦鴤ゴ蟆?1 八月 202212:08:48 上午00:08:488月-22讓自己更加強(qiáng)大，更加專業(yè)，這才能讓自己更好。八月 2212:08 上午8月-2200:08August 21, 2022