九年級同步第4講：相似三角形的判定(一) - (1)(教案教學(xué)設(shè)計導(dǎo)學(xué)案)

1、相似三角形的判定是九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第一章第三節(jié)的內(nèi)容，本講主要講解相似三角形的定義、相似三角形判定定理1和相似三角形判定定理2；重點(diǎn)是根據(jù)已知條件靈活運(yùn)用這兩種判定定理，以及這兩者之間的相互結(jié)合1、相似三角形的定義如果一個三角形的三個角與另一個三角形的三個角對應(yīng)相等，且它們各有的三邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形叫做相似三角形如圖，是的中位線，那么在與中， ， ，；由相似三角形的定義，可知這兩個三角形相似用符號來表示，記作，其中點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與點(diǎn)分別是對應(yīng)頂點(diǎn)；符號“”讀作“相似于”用符號表示兩個相似三角形時，通常把對應(yīng)頂點(diǎn)的字母分別寫在三角形記號“”后相應(yīng)的位置上根據(jù)相似三角形的定義，可以

2、得出：（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；兩個相似三角形的對應(yīng)邊的比，叫做這兩個三角形的相似比（或相似系數(shù)）（2）如果兩個三角形分別與同一個三角形相似，那么這兩個三角形也相似2、相似三角形的預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似如圖，已知直線與的兩邊、所在直線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，則3、相似三角形判定定理1如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似可簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似如圖，在與中，如果、，那么常見模型如下：【例1】根據(jù)下列條件判定與是否相似，并說明理由；如果相似，那么用符號表示出來（1），；（2），【難度】

3、【答案】（1）相似，；（2）相似，【解析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和，可得，又，根據(jù)相似三角形判定定理1，確立對應(yīng)關(guān)系，即可判定；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和，可得，又，根據(jù)相似三角形判定定理1，確立對應(yīng)關(guān)系，即可判定【總結(jié)】考查相似三角形判定定理1，部分角度一定的情況下，可根據(jù)三角形內(nèi)角和進(jìn)行求解【例2】如圖，是平行四邊形的邊延長線上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)圖中 有哪幾對相似三角形？【難度】【答案】，【解析】由，可得：，根據(jù)相似三角形預(yù)備定理，可得：，進(jìn)而可得：，即這三個三角形兩兩相似【總結(jié)】考查相似三角形預(yù)備定理，同時考查相似三角形的傳遞性【例3】如圖，那么圖中相似的三角形有哪幾對？【難度】【答案】，【解析】

4、根據(jù)，同時有公共角必相等，根據(jù)相似三角形判定定理1，可得，；同時由，可得：，進(jìn)而，又，根據(jù)相似三角形判定定理1，可得：【總結(jié)】考查相似三角形判定定理1，同時要注意根據(jù)題目條件推出一些其它角相等的條件，注意不要遺漏【例4】如圖，、分別是的邊、上的點(diǎn)，且求證：【難度】【答案】略【解析】證明：，即【總結(jié)】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的定義，各邊對應(yīng)成比例，先判定再應(yīng)用即可得出結(jié)論【例5】如圖，在中，于點(diǎn)，且，求的值【難度】【答案】【解析】，即，又，可得又，設(shè)，則，代入可得：【總結(jié)】考查基本模型的建立，直角三角形斜邊上的高線分出的兩個三角形與原三角形兩兩相似，稱作“子母三角形”，是一種常用的數(shù)

5、學(xué)模型【例6】如圖，中，是中點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)，則相似于【難度】【答案】【解析】，即，又，即，又為斜邊中點(diǎn)，由，【總結(jié)】對于相等有公共角的兩角，可推出相等，同時注意直角三角形斜邊中線的應(yīng)用把直角三角形分成了兩個等腰三角形【例7】如圖，于點(diǎn)，求的長【難度】【答案】【解析】，根據(jù)面積法，可知，解得又，可得，代入可得：，代入得：【總結(jié)】考查對于“子母三角形”的認(rèn)識，初步建立可將相似三角形中可將對應(yīng)邊之比轉(zhuǎn)化為同一三角形中邊長比的思想，實(shí)際上這個這個圖形中包含5個直角三角形，全部都是兩兩相似【例8】如圖，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，若與相似，求的值【難度】【答案】或2【解析】（1）時，則應(yīng)有由，可得：；（2）時，則

6、應(yīng)有由，代入得：，解得：【總結(jié)】解決三角形相似問題時，一定要注意確立好對應(yīng)關(guān)系，題目沒有明確說明的前提下，則需要進(jìn)行分類討論【例9】如圖，是等邊三角形，求證【難度】【答案】略【解析】證明：是等邊三角形，又，即【總結(jié)】考查相似三角形的性質(zhì)和相關(guān)相似三角形判定定理1，先判定再應(yīng)用【例10】正方形中，是中點(diǎn)，于點(diǎn)，厘米，求的長【難度】【答案】【解析】四邊形是正方形，又，是中點(diǎn)，由勾股定理可得：，代入可得：【總結(jié)】考查正方形背景下的直角三角形相似，實(shí)際上由直角和平行很容易得到相等的角，根據(jù)相似三角形判定定理1可證相似【例11】如圖，在中，于點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，聯(lián) 結(jié)交于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)求證：【難度】【答案】

7、略【解析】證明：，又，【總結(jié)】考查利用“子母三角形”基礎(chǔ)模型證明角相等，根據(jù)同角的余角相等，證明角相等，再利用相似三角形判定定理1即可證明【例12】如圖，在中，是內(nèi)一點(diǎn)，且求證：【難度】【答案】略【解析】證明：，即，【總結(jié)】考查相似三角形的判定定理1，需要根據(jù)三角形內(nèi)角和進(jìn)行等角轉(zhuǎn)化【例13】如圖，在梯形中，/，且，點(diǎn)、分別是、的 中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)（1）求證：；（2）若，求【難度】【答案】（1）略；（2）【解析】（1）證明：，是的中點(diǎn)，又/，四邊形是平行四邊形，（2）解：，為中點(diǎn)，代入可得：【總結(jié)】考查相似三角形的預(yù)備定理，同時與三角形一邊平行線性質(zhì)定理結(jié)合運(yùn)用【例14】如圖，在中，/，點(diǎn)在邊

8、上，與相交于點(diǎn) ，且（1）求證：；（2）【難度】【答案】略【解析】證明：（1）/，（2），即，即【總結(jié)】考查相似三角形判定定理1，根據(jù)題目所求進(jìn)行相應(yīng)比例線段的轉(zhuǎn)化【例15】如圖，已知、均為等邊三角形，、分別在邊、上，請找出一個與相似的三角形，并加以證明【難度】【答案】【解析】、是等邊三角形，同理可證得：【總結(jié)】考查“一線三等角”模型的建立，根據(jù)外角可證相似【例16】如圖，矩形的對角線、相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)求證：【難度】【答案】略【解析】證明：四邊形是矩形，又，【總結(jié)】考查相似三角形判定定理1，根據(jù)題目所給條件綜合分析【例17】如圖，中，是中線，是上一點(diǎn)，過作/， 延長交于點(diǎn)

9、，交于點(diǎn)求證：【難度】【答案】略【解析】證明：連結(jié)，是底邊中線，/，【總結(jié)】考查相似三角形判定定理1，在有同角的情況下，再找出一個容易證明相等的角即可【例18】如圖，在中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在線段上， 且，的延長線與邊相交于點(diǎn)（1）求證：；（2）設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域【難度】【答案】（1）略；（2）【解析】（1）證明：，即（2），又，即，整理得：【總結(jié)】考查相似三角形判定定理1，往往由一對相似三角形性質(zhì)可推出其它相似的三角形，注意性質(zhì)與判定的轉(zhuǎn)換應(yīng)用1、相似三角形判定定理2如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似可簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾

10、角相等，兩個三角形相似如圖，在與中，那么【例19】如圖，四邊形的對角線與相交于點(diǎn)， 求證：與是相似三角形【難度】【答案】略【解析】證明：，與是相似三角形【總結(jié)】考查相似三角形判定定理2，對應(yīng)邊成比例且夾角相等【例20】如圖，點(diǎn)是的邊上的一點(diǎn)，且求證：【難度】【答案】略【解析】證明：，【總結(jié)】考查相似三角形判定定理2，根據(jù)題目條件進(jìn)行比例變形，對應(yīng)邊成比例夾角相等【例21】如圖，在與中，求證：【難度】【答案】略【解析】證明：，即，【總結(jié)】有公共角的兩角，加上或減去公共部分，仍相等，根據(jù)判定定理2，可判定相似【例22】下列說法一定正確的是（ ）（A）有兩邊對應(yīng)成比例且一角相等的兩個三角形相似（B）

11、對應(yīng)角相等的兩個三角形不一定相似（C）有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似（D）一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形相似【難度】【答案】C【解析】根據(jù)判定定理2可知A錯誤，C正確；根據(jù)判定定理1可知B錯誤，根據(jù)相似三角形預(yù)備定理可知只有直線與底邊平行時才相似【總結(jié)】考查相似三角形的判定定理掌握情況和相關(guān)條件【例23】在和中，由下列條件不能推出的是（ ）（A）， （B），（C）， （D），【難度】【答案】A【解析】C選項(xiàng)根據(jù)相似三角形判定定理2可知，B和D選項(xiàng)中三角形都是等腰三角形，一底角相等，可推知頂角相等，即兩腰夾角相等，根據(jù)相似三角形判定定理2可推知【總結(jié)】考查相似三角形判定定

12、理2的運(yùn)用【例24】如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，是外一點(diǎn)， 求證：【難度】【答案】略【解析】證明：，即，【總結(jié)】考查相似三角形判定定理2，先判定相似再應(yīng)用性質(zhì)得出相關(guān)結(jié)論證明相似，進(jìn)行性質(zhì)和判定的相互轉(zhuǎn)化【例25】已知，在中，、是的兩條高，、交于點(diǎn)求證：（1）；（2）【難度】【答案】略【解析】證明：（1），即（2），即，又，【總結(jié)】考查“雙高型”模型的建立，該圖中共有8對相似三角形【例26】如圖，點(diǎn)是的垂心（垂心即三角形三條高所在直線的交點(diǎn)），聯(lián)結(jié)交 的延長線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)交的延長線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)求證：【難度】【答案】略【解析】證明：是的垂心，即，【總結(jié)】考查“雙高型”模型的建立，在鈍角三角形中仍成立，該圖中共有

13、8對相似三角形，注意進(jìn)行相似三角形性質(zhì)和判定的轉(zhuǎn)換【例27】如圖，點(diǎn)、分別對應(yīng)點(diǎn)、求證：【難度】【答案】略【解析】證明：，【總結(jié)】考查相似三角形性質(zhì)和判定的轉(zhuǎn)換，題目中出現(xiàn)一對相似三角形往往與之關(guān)聯(lián)的三角形也是一對相似三角形【例28】如圖，在正方形中，為的中點(diǎn)，以為頂點(diǎn)作， 交于點(diǎn)，求證：【難度】【答案】略【解析】證明：延長、相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，四邊形是正方形，設(shè)，則，又，又，【總結(jié)】考查正方形和相似三角形的性質(zhì)，由對應(yīng)邊比例關(guān)系轉(zhuǎn)化到一個三角形中邊的比例關(guān)系，推導(dǎo)結(jié)論【例29】如圖，在中，是邊上的高，點(diǎn)在線段上， ，垂足分別為、求證：（1）；（2）【難度】【答案】略【解析】證明：（1），

14、是邊上的高，（2），四邊形是矩形，是邊上的高，即有，即，【總結(jié)】考查相似三角形判定定理1與定理2和相似三角形性質(zhì)綜合題，需要根據(jù)題目需求進(jìn)行變形，找準(zhǔn)題目所求結(jié)論，然后根據(jù)性質(zhì)和判定進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)換【例30】如圖，在中，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)、在邊上，點(diǎn)、 分別在、上，且求證：（1）；（2）【難度】【答案】略【解析】證明：（1）四邊形是正方形，（2）四邊形是正方形，又，由（1）可得，即【總結(jié)】過點(diǎn)D向AB作垂線，也可解答，可視作考查“子母三角形”與正方形性質(zhì)相結(jié)合題型，出現(xiàn)兩兩相似【例31】如圖，是斜邊上的垂直平分線，垂直為點(diǎn)，并交直角邊于 點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且是與的比例中項(xiàng)求證：（1）；（2）是等腰直角三

15、角形【難度】【答案】略【解析】證明：（1），即（2），即，又是的垂直平分線，即證是等腰直角三角形【總結(jié)】考查三角形中的等比例轉(zhuǎn)化，根據(jù)判定證明相似再根據(jù)相似的性質(zhì)得出結(jié)論再證明相似，先判定再應(yīng)用【例32】如圖，厘米，厘米，動點(diǎn)、分別以2厘米/秒和1厘米/秒的 速度同時開始運(yùn)動，其中點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊一直移動到點(diǎn)為止，點(diǎn)從點(diǎn)出 發(fā)沿邊一直移動到點(diǎn)為止經(jīng)過多長時間后，與相似？【難度】【答案】或【解析】設(shè)兩動點(diǎn)運(yùn)動時間為，則，（1）時，則有，即，解得：（2）時，則有，即，解得：【總結(jié)】解決三角形相似問題時，一定要注意確立好對應(yīng)關(guān)系，題目沒有明確說明的前提下，則需要進(jìn)行分類討論，三角形比例關(guān)系不確定，且有

16、相等夾角時，實(shí)際上只需要將相應(yīng)比例關(guān)系順序變換一下即可【習(xí)題1】如圖，在中，如果/，/，那么你能找出哪幾對相似三角形？【難度】【答案】，【解析】/，/，【總結(jié)】考查相似三角形預(yù)備定理，同時建立兩兩相似的概念【習(xí)題2】如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，則 的長為【難度】【答案】2【解析】，代入可得：【總結(jié)】考查相似三角形的判定定理1并進(jìn)行相似三角形性質(zhì)應(yīng)用【習(xí)題3】根據(jù)下列條件，判斷和是否是相似三角形；如果是，那么用符號表示出來（1），；（2），；（3），【難度】【答案】（1）相似，；（2）相似，；（3）不相似【解析】根據(jù)相似三角形判定定理2即可知對應(yīng)邊成比例，且夾角相等即相似，（1）（2）均符合題意，但

17、需確立好對應(yīng)關(guān)系；（3）中相等兩角非夾角，不相似【總結(jié)】考查相似三角形判定定理2的條件，尤其注意是對應(yīng)成比例邊的夾角【習(xí)題4】如圖，中，平分，若， 則【難度】【答案】3【解析】平分，同時又，由勾股定理可得：，代入即為：，解得：，3【總結(jié)】考查相似三角形判定定理1和相似三角形的性質(zhì)，注意根據(jù)對應(yīng)邊相似關(guān)系轉(zhuǎn)化到一個三角形中邊的對應(yīng)比例關(guān)系【習(xí)題5】如圖，/，圖中共有對相似三角形【難度】【答案】6【解析】根據(jù)/，由相似三角形預(yù)備定理，可知圖中有6對相似三角形，分成“”字型和“”字型兩個類別【總結(jié)】考查相似三角形的一些常見模型，由相似三角形預(yù)備定理可推知，如“”字型和“”字型【習(xí)題6】如圖，在矩形中

18、，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，且，那么【難度】【答案】【解析】四邊形是矩形，設(shè)，則，由此可得：，【總結(jié)】考查“子母三角形”基本圖形，同時考查比例中項(xiàng)比值的求法【習(xí)題7】如圖，是直角三角形，于點(diǎn)，是的中點(diǎn)， 的延長線與的延長線交于點(diǎn)求證：【難度】【答案】略【解析】證明：，即，是中點(diǎn)，【總結(jié)】考查“子母三角形”基本模型的建立，同時與直角三角形斜邊中線分直角三角形為兩等腰三角形知識點(diǎn)相結(jié)合，推出角相等，根據(jù)相似三角形判定定理1可證相似【習(xí)題8】如圖，在中，點(diǎn)在中線上，求證：（1）；（2）【難度】【答案】略【解析】證明：（1），即（2），即，【總結(jié)】考查相似三角形的判定定理2和相似三角形的性質(zhì)，證明過程中注意公共線

19、段的充分利用，往往可以作為中間量【習(xí)題9】如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，、 分別是邊、上的一點(diǎn)，與的延長線相交于點(diǎn)（1）在不添加字母和線段的情況下，寫出圖中一定相似的三角形，并證明其中的一對；（2）聯(lián)結(jié)，當(dāng)時，求的長【難度】【答案】（1），；（2）【解析】（1）例證，證明過程如下；證明：，（2），又為中點(diǎn)，由（1）得，即，解得：，根據(jù)勾股定理得：【總結(jié)】考查“一線三等角”基本模型的建立，由外角可證相似三角形【習(xí)題10】如圖，中，平分，交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上， （1）求證：；（2）如果點(diǎn)在上，求證：【難度】【答案】略【解析】證明：（1），又平分，（2），又，又，即【總結(jié)】考查相似三角形判定定理1和2綜

20、合題型，再運(yùn)用相似三角形性質(zhì)進(jìn)行證明【作業(yè)1】如圖，已知，且交于點(diǎn)，試寫出圖中所有的相似三角形【難度】【答案】【解析】根據(jù)垂直和共用一個角，由相似三角形判定定理1可知這4個直角三角形兩兩相似，共形成6對相似三角形【總結(jié)】考查相似三角形中的基本模型，“雙高形”，也可稱作“飛鏢形”，分出的4個三角形兩兩相似【作業(yè)2】如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，且，聯(lián)結(jié)求證：【難度】【答案】略【解析】證明：，【總結(jié)】考查相似三角形的判定定理2，根據(jù)題目條件變形應(yīng)用【作業(yè)3】如圖，中，為上一點(diǎn)，在下列四個條件下，；，組合起來能得出：的是（）（A）、（B）、（C）、（D）、【難度】【答案】D【解析】由相似三角形判定定理1，加上公共角，可知可判斷相似；由相似三角形判定定理2，變形即為，加上公