微積分第三版教學(xué)課件第二章第五節(jié)

1、第五節(jié) 函數(shù)的微分與函數(shù)的線性逼近一、微分的定義本節(jié)要點(diǎn)二、微分的計(jì)算三、微分的意義與應(yīng)用溫度變化的影響, 其邊長(zhǎng)從 一、微分的定義 1.引例 首先我們來看一個(gè)具體的例變化到 問此薄片的面 分析: 當(dāng)邊長(zhǎng)為 時(shí), 相應(yīng)的積改變了多少？子:一塊正方形的金屬薄片受而當(dāng)邊長(zhǎng)增加到 時(shí), 薄片面積的改變量為從中可以看出 由兩部分構(gòu)成: 第一部分 是變量可以近似地用第一部分來代替. 由于第一部分是線性函數(shù), 而且當(dāng) 越小時(shí), 近似程度也越好. 這給的線性函數(shù): 第二部分 當(dāng) 是 的高階無(wú)窮小. 由此可見: 如果邊長(zhǎng)的改變很微小, 則面積的改近似計(jì)算帶來了很大的方便.面積為 還有其它許多具體問題中的出現(xiàn)的

2、函數(shù) 都具有這樣的特征: 與自變量的增量 相對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量 可以表達(dá)為 的線性函數(shù) 與 的高階無(wú)窮小 的兩部分和. 由此, 我們引入以下概念. 2.微分的定義定義 設(shè)函數(shù) 在 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義, 當(dāng)自變量在 處取得增量 （點(diǎn) 仍在該鄰域 ）時(shí),高階無(wú)窮小（當(dāng) ）, 那么稱函數(shù) 在點(diǎn)是可微的, 稱為函數(shù) 在點(diǎn) 相應(yīng)于自變量其中 是與 有關(guān)的而與 無(wú)關(guān)的常數(shù), 是 的如果相應(yīng)的函數(shù)增量 可以表示為的增量 微分, 記為 即 3.可微的條件定理 函數(shù) 在點(diǎn) 處可微的充要條件是函數(shù)證 必要性: 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處可微分, 則由定義, 對(duì)給定的自變量的增量 相應(yīng)函數(shù)的增量為即 在點(diǎn) 處可導(dǎo)且有注意到 即

3、有 充分性: 設(shè)函數(shù) 在 處可導(dǎo)，即有由極限與無(wú)窮小的關(guān)系: 得其中 為無(wú)窮小. 從而即: 函數(shù) 在 處可微分, 且有 如果函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)每一點(diǎn)可微, 則稱分就稱為函數(shù)的微分, 也記為 由前公式得:通常把自變量 的的增量稱為自變量的微分, 記為 上式兩端除以自變量的微分, 得:為區(qū)間內(nèi)的可微函數(shù): 函數(shù) 在 內(nèi)的任意一點(diǎn)微于是函數(shù)的微分可記為因此, 導(dǎo)數(shù)又稱為微商.二、微分公式與運(yùn)算法則 由前面的可微的充分必要條件, 可得下面的基本公式: 1.基本公式 導(dǎo)數(shù)公式微分公式 2.運(yùn)算法則（表中 、 ） 函數(shù)的和、積、商的求導(dǎo)法則 函數(shù)的和、積、商的微分法則 3.復(fù)合函數(shù)的微分法則 設(shè) , 則復(fù)合

4、函數(shù) 的所以復(fù)合函數(shù)的微分為由于 故上式又可寫成:導(dǎo)數(shù)為:總是正確的, 這一性質(zhì)稱為微分形式不變性.比較兩式, 可以看到無(wú)論 是中間變量或是直接變量, 表達(dá)式例1 求函數(shù) 在 處的微分.解 因函數(shù)為初等函數(shù), 故為可微函數(shù). 由計(jì)算公式得:例2 求函數(shù) 當(dāng) 時(shí)的微分.解 例3 求函數(shù) 的微分.解 由微分公式三、微分的幾何意義 由微分的定義, 當(dāng)函數(shù) 在 處可微時(shí), 有當(dāng) 時(shí), 并且誤差僅是 的高階無(wú)窮小. 注意到當(dāng) 時(shí), 故此即說明 是 的主要部分, 故稱微分 是 的線性主部.當(dāng) 很小時(shí)，因此, 曲線 從圖中可以看到, 對(duì)取定的 值, 當(dāng)自變量 有微小的增量 時(shí), 得到曲線 上的相應(yīng)點(diǎn) 是曲線

5、T）在 處的切線, 由此得:在點(diǎn) 附近的局部范圍可由它在這點(diǎn)處的切線近似代替.四、近似計(jì)算 由微分公式得到如下的近似計(jì)算公式:或注意到, 若記 則有(5)因此(5)式的右端就是曲線 在點(diǎn)處的切線表達(dá)式因此(5)或(5)通常稱為函數(shù) 的一次近似或線性近似, 其近似誤差 是 的高階無(wú)窮小. 越小, 則近似程度就越高.例4 在 的鄰近, 求解 在(5)中, 取 即有因 由此得的一次近似.下面的圖形表明了上述問題.下面的圖形表明了上述問題.當(dāng) 很小時(shí), 還可得到其它函數(shù)的一次近似式. 我們把常用的幾個(gè)函數(shù)的一次近似式列于下表:例5 近似計(jì)算 解 由上面的一次近似式, 此時(shí) 因而有解 鍍層的體積等于兩個(gè)同心球體的體積之差. 故故要用的銅大約為例6 在半徑為 的金屬球表面上鍍一層厚度為的 銅, 估計(jì)要用銅多少克(銅的密度為 )? 在生產(chǎn)實(shí)踐中, 需要測(cè)量各種數(shù)據(jù). 但是有的數(shù)據(jù)不易直接測(cè)量, 此時(shí)就需要通過測(cè)量其它數(shù)據(jù)后再經(jīng)過計(jì)算得出所需要的數(shù)據(jù). 由于測(cè)量?jī)x器的精度, 測(cè)量的條件與方法等諸因素的限制, 測(cè)得的數(shù)據(jù)往往都帶有一定的誤差, 相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果也會(huì)產(chǎn)生一定的誤差. 這種誤差稱為間接測(cè)量誤差. 下面討論如何利用函數(shù)的微分來估計(jì)間接測(cè)量誤差. 絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差 設(shè)某個(gè)量的精確值為 其近似值為 稱 為 設(shè)某個(gè)量的精確值為 測(cè)量值為 若能確定數(shù)值使 則 稱為絕對(duì)