平穩(wěn)金融時間序列：AR模型課件

1、金融計量學(xué)張成思 第三章 平穩(wěn)金融時間序列：AR模型3.1 基本概念3.2 一階自回歸模型 AR（1）3.3 二階自回歸模型 AR（2）3.4 p階自回歸模型 AR（p） 3.1 基本概念 3.1.1 隨機(jī)過程與數(shù)據(jù)生成過程 隨機(jī)過程： 從隨機(jī)概率論的概念出發(fā)，隨機(jī)過程是一系列或一組隨機(jī)變量的集合，用來描繪隨機(jī)現(xiàn)象在接連不斷地觀測過程中的實(shí)現(xiàn)結(jié)果。對于每一次觀測，得到一個觀測到的隨機(jī)變量。 如果使用數(shù)學(xué)語言來定義隨機(jī)函數(shù)，給定一個時間域T，對于T中每一個參數(shù)t，都有一個取值于確定集合W的隨機(jī)變量 ，其中s屬于一個特定的樣本區(qū)間。所以對于一個給定的t， 是一個隨機(jī)變量。對于一個確定的樣本s， 就

2、是在s上的一組實(shí)現(xiàn)值,而集合 就是一個隨機(jī)過程。 數(shù)據(jù)生成過程: 利用下面的回歸模型來說明，即： 假設(shè)模型中所有系數(shù)已知或者是已經(jīng)設(shè)立了的，那么給定解釋變量 的一組觀測值，回歸模型就可以生成對應(yīng)的一組 值，則模型就是一個數(shù)據(jù)生成過程。 DGP適用于理論上的問題與真實(shí)世界的事例之間的比較。 例如:中國國際股票指數(shù)和隨機(jī)游走過程看上去相似嗎？股票的收益率序列符合白噪音過程嗎？圖3.1 數(shù)據(jù)生成過程（右側(cè)坐標(biāo)）與現(xiàn)實(shí)中的金融隨機(jī)變量圖3.1 數(shù)據(jù)生成過程（右側(cè)坐標(biāo)）與現(xiàn)實(shí)中的金融隨機(jī)變量 3.1.2 自協(xié)方差與自相關(guān)函數(shù) 假定 是一個隨機(jī)變量，自協(xié)方差定義的是 與其自身滯后期之間的協(xié)方差，即“自身的

3、協(xié)方差”。常見的協(xié)方差的基本定義是： 其中： 表示期望。從而可以知道， 與其自身滯后j期 之間的協(xié)方差定義為： 對于均值保持不變的隨機(jī)過程來說， 時，即為方差： 隨機(jī)變量x和y的相關(guān)系數(shù)模型為： 自相關(guān)函數(shù)，即 與 的自相關(guān)函數(shù)定義為： 一般將 相對于滯后期數(shù)j繪制出的圖示稱為自相關(guān)圖。 3.1.3 弱平穩(wěn)與嚴(yán)平穩(wěn)的定義 弱平穩(wěn)（weakly stationarity）有時也叫協(xié)方差平穩(wěn)（covariance-stationarity） 或二階平穩(wěn)（ second-order stationarity)。 弱平穩(wěn)的定義： 對于隨機(jī)時間序列 ，如果其期望值、方差以及自協(xié)方差均不隨時間t變化而變化

4、，則稱 為弱平穩(wěn)隨機(jī)變量，即對于所有時間t， 必須滿足以下條件： (i) 為不變的常數(shù)； (ii) 為不變的常數(shù)； (iii) 平穩(wěn)還暗示著： 對于一個弱平穩(wěn)過程 ，自相關(guān)函數(shù)并且： 嚴(yán)平穩(wěn)的定義： 如果對于任何 ，隨機(jī)變量的集合 只依賴于不同期之間的間隔距離 而不依賴于時間t，那么這樣的集合稱為嚴(yán)格平穩(wěn)過程或簡稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程，對應(yīng)的隨機(jī)變量稱為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)變量。3.1.4 白噪音過程（white noise process） 一個隨機(jī)過程如被稱為白噪音過程，則組成該過程的所有隨機(jī)序列彼此互相獨(dú)立，并且均值為0，方差為恒定不變值。 即對于所有時間t， 如果滿足下列條件 (i) (ii) (iii

5、) 則 是白噪音過程。圖3.3 白噪音過程的自相關(guān)圖 對于白噪音過程，總有如下等式成立： 以及 白噪音過程中的觀測值彼此之間互相獨(dú)立，白噪音過程不能由其以前的信息來預(yù)測，至少從線性角度看是這樣的。 如果一個白噪音過程還滿足正態(tài)分布的條件，即服從正態(tài)分布，這樣的過程稱為高斯白噪音過程。例如： 就是一個典型的樣本為T的白噪音過程。 3.2 一階自回歸模型:AR（1） 3.2.1 AR（1）過程的基本定義和性質(zhì) AR（1）模型可以寫成： 3.2.2 AR（1）過程的均值3.2.3 AR（1）過程的方差 平穩(wěn)序列的觀測值表現(xiàn)出一種向其均值水平回復(fù)的特征，這種特征在金融時間序列分析中稱“均值回復(fù)”，對應(yīng)

6、的英文名詞是“mean-reverting”。 圖3.4 AR（1）模擬生成的序列圖與相關(guān)統(tǒng)計量(a) 樣本=30 圖3.4 AR（1）模擬生成的序列圖與相關(guān)統(tǒng)計量(b) 樣本=1000 隨著樣本的增大，樣本均值和方差與理論上的真實(shí)值會越來越接近。通過比較圖3.4中不同樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的樣本均值和方差可以看出，只有30個觀測值的序列均值和方差分別為1.302和0.2342=0.055，與真實(shí)值之間有明顯的出入；而對于1000個觀測值的序列，其均值和方差分別是3.262和0.972=0.947，與理論真實(shí)值已經(jīng)非常接近了。3.2.4 AR（1）過程的自協(xié)方差 與自相關(guān)函數(shù) 所以， ，而對于 ，其取值

7、越靠近于1，則暗示 序列相鄰觀測值之間的相關(guān)性越強(qiáng)。很明顯，平穩(wěn)AR（1）過程的自相關(guān)函數(shù)圖應(yīng)該是隨著滯后期數(shù)的增加而呈現(xiàn)逐漸衰減的態(tài)勢。 3.2.5 一階自回歸系數(shù) 的影響 下面利用實(shí)際例子進(jìn)一步演示自回歸系數(shù) 取值不同對自相關(guān)系數(shù)以及 序列動態(tài)走勢的影響。圖3.5 AR（1）過程的自相關(guān)函數(shù)圖 圖3.6 AR（1）模型的自相關(guān)函數(shù)圖 圖3.7（a)圖3.7（b)圖3.7（c）圖3.7（d）3.3 二階自回歸模型:AR（2） 3.3.1 AR（2）過程的基本定義和性質(zhì) 3.3.2 AR（2）過程的均值3.3.3 AR(2)的方差、自協(xié)方差與自相關(guān)函數(shù) 因此， 又因?yàn)樽韵嚓P(guān)函數(shù)具有以下性質(zhì) 可

8、得自相關(guān)函數(shù)在前2期的解析表達(dá)式 進(jìn)而可推導(dǎo)出平穩(wěn)AR（2）模型的方差解析表達(dá)式：圖3.8 AR(2)模型生成的序列數(shù)據(jù)(a)圖3.8 AR(2)模型生成的序列數(shù)據(jù)(b)圖3.8 AR(2)模型生成的序列數(shù)據(jù)(c)3.4 p階自回歸模型:AR(p)3.4.1 AR(p)過程的基本定義和性質(zhì)3.4.2 AR(p)過程的均值3.4.3 AR（2）過程的方差和自協(xié)方差故有： （3.77）（1）如果自回歸系數(shù) 和白噪音的方差 已知，那么它們可以用來解出AR（p）過程的自協(xié)方差 。這里， 維列向量由下面 維矩陣的第一個列向量的p個值唯一確定：其中： 表示 維的單位矩陣，F(xiàn)是在第2章中定義的 維矩陣，符號 表示“克羅內(nèi)克”乘積。3.4.4 AR(p)過程的自相關(guān)函數(shù) ACF服從于勒-沃克等式（Yule-Walker equations ） 例子:在AR(2)過程里，實(shí)例應(yīng)用AR（2）過程：其特征根方程為：圖3.9圖3.10 需要注意，對于AR（2）模型來說，隨著滯后期j的增大，自相關(guān)函數(shù)（絕對值）不一定總是單調(diào)遞減的！這一點(diǎn)與AR（1）模型不同，因?yàn)閷τ谄椒€(wěn)AR（1）模型來說，自相關(guān)函數(shù)的絕對值一定是單調(diào)遞減的。 為了說明這一點(diǎn)，現(xiàn)