2014高三數(shù)學(xué)-知識點精析精練27-導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、PAGE PAGE - 12 -2014高三數(shù)學(xué)知識點精析精練27：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用【復(fù)習(xí)要點】一、導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)是中學(xué)限選內(nèi)容中較為重要的知識，本節(jié)內(nèi)容主要是在導(dǎo)數(shù)的定義，常用求等公式.四則運算求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則等問題上對考生進行訓(xùn)練與指導(dǎo).1.深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念，了解用定義求簡單的導(dǎo)數(shù).表示函數(shù)的平均改變量，它是x的函數(shù)，而f(x0)表示一個數(shù)值，即f(x)=，知道導(dǎo)數(shù)的等價形式：.2.求導(dǎo)其本質(zhì)是求極限，在求極限的過程中，力求使所求極限的結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)化為已知極限的形式，即導(dǎo)數(shù)的定義，這是順利求導(dǎo)的關(guān)鍵.3.對于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡，再求導(dǎo)的基本原則，求導(dǎo)時，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而

2、且要特別注意求導(dǎo)法則對求導(dǎo)的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤.4.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，像鏈條一樣，必須一環(huán)一環(huán)套下去，而不能丟掉其中的一環(huán).必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成的，分清其間的復(fù)合關(guān)系.二、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大(小)值，求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間a,b上的最大最小值，或利用求導(dǎo)法解決一些實際應(yīng)用問題是函數(shù)內(nèi)容的繼續(xù)與延伸，這種解決問題的方法使復(fù)雜問題變得簡單化，因而已逐漸成為新高考的又一熱點.本節(jié)內(nèi)容主要是指導(dǎo)考生對這種方法的應(yīng)用.1.f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若f(x)0,則f(x)是增函數(shù)；若f(x)0,則f(x)是減

3、函數(shù).2.求函數(shù)的極值點應(yīng)先求導(dǎo)，然后令y=0得出全部導(dǎo)數(shù)為0的點，(導(dǎo)數(shù)為0的點不一定都是極值點，例如：y=x3,當(dāng)x=0時，導(dǎo)數(shù)是0，但非極值點)，導(dǎo)數(shù)為0的點是否是極值點，取決于這個點左、右兩邊的增減性，即兩邊的y的符號，若改變符號，則該點為極值點；若不改變符號，則非極值點，一個函數(shù)的極值點不一定在導(dǎo)數(shù)為0的點處取得，但可得函數(shù)的極值點一定導(dǎo)數(shù)為0.3.可導(dǎo)函數(shù)的最值可通過(a,b)內(nèi)的極值和端點的函數(shù)值比較求得，但不可導(dǎo)函數(shù)的極值有時可能在函數(shù)不可導(dǎo)的點處取得，因此，一般的連續(xù)函數(shù)還必須和導(dǎo)數(shù)不存在的點的函數(shù)值進行比較，如y=|x|,在x=0處不可導(dǎo)，但它是最小值點.【例題】已知曲線C

4、：y=x33x2+2x,直線l:y=kx,且l與C切于點(x0,y0)(x00)，求直線l的方程及切點坐標(biāo).解：由l過原點，知k=(x00),點(x0,y0)在曲線C上，y0=x033x02+2x0,=x023x0+2y=3x26x+2,k=3x026x0+2又k=,3x026x0+2=x023x0+22x023x0=0,x0=0或x0=由x0,知x0=y0=()33()2+2=k=l方程y=x 切點(，)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解：(2)解：y=3,=axbsin2x,=avbyv=x,y=sin =xy=(3)=32=32(avby)=32(avby)=32(avby)=3(axbsin2x)2(a

5、bsin2x)(3)解法一：設(shè)y=f(),=,v=x2+1,則yx=yvvx=f()v2x=f()2x=解法二：y=f()=f()()=f()(x2+1)(x2+1)=f()(x2+1) 2x=f()已知二次函數(shù)f(x)滿足：在x=1時有極值； 圖象過點(0,3)，且在該點處的切線與直線2x+y=0平行（1）求f(x)的解析式；（2）求函數(shù)g(x)=f(x2)的單調(diào)遞增區(qū)間解：（1）設(shè)f(x)=ax2+bx+c，則f (x)=2ax+b由題設(shè)可得：即，解得所以f(x)=x22x3（2）g(x)=f(x2)=x42x23，g (x)=4x34x=4x(x1)(x+1)列表：x(,1)1(1,0)

6、0(0,1)1(1,+)f(x)0+00+f(x)由表可得：函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,0)，(1,+)已知f(x)=x2+c,且ff(x)=f(x2+1)(1)設(shè)g(x)=ff(x),求g(x)的解析式；(2)設(shè)(x)=g(x)f(x),試問：是否存在實數(shù),使(x)在(,1)內(nèi)為減函數(shù)，且在(1，0)內(nèi)是增函數(shù).解：(1)由題意得ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+cf(x2+1)=(x2+1)2+c,ff(x)=f(x2+1)(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,x2+c=x2+1,c=1f(x)=x2+1,g(x)=ff(x)=f(x2+1)=(x2+1)2+1(2)(x

7、)=g(x)f(x)=x4+(2)x2+(2)若滿足條件的存在，則(x)=4x3+2(2)x函數(shù)(x)在(,1)上是減函數(shù)，當(dāng)x1時，(x)0即4x3+2(2)x0對于x(,1)恒成立2(2)4x2,x1,4x242(2)4,解得4又函數(shù)(x)在(1,0)上是增函數(shù)當(dāng)1x0時，(x)0即4x2+2(2)x0對于x(1,0)恒成立2(2)4x2,1x0,44x202(2)4,解得4故當(dāng)=4時，(x)在(,1)上是減函數(shù)，在(1,0)上是增函數(shù)，即滿足條件的存在.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在x=1時取得極值，且f(1)=1.(1)試求常數(shù)a、b、c的值；(2)試判斷x=1是函數(shù)的極

8、小值還是極大值，并說明理由.解：(1)f(x)=3ax2+2bx+cx=1是函數(shù)f(x)的極值點，x=1是方程f(x)=0,即3ax2+2bx+c=0的兩根.由根與系數(shù)的關(guān)系，得又f(1)=1,a+b+c=1（3）由解得a=,(2)f(x)=x3x,f(x)=x2=(x1)(x+1)當(dāng)x1或x1時，f(x)0當(dāng)1x1時，f(x)0函數(shù)f(x)在(,1)和(1,+)上是增函數(shù)，在(1，1)上是減函數(shù).當(dāng)x=1時，函數(shù)取得極大值f(1)=1,當(dāng)x=1時，函數(shù)取得極小值f(1)=1.在甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足

9、D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最??？解法一：根據(jù)題意知，只有點C在線段AD上某一適當(dāng)位置，才能使總運費最省，設(shè)C點距D點x km,則BD=40,AC=50 x,BC=又設(shè)總的水管費用為y元，依題意有：y=3a(50 x)+5a (0 x50)y=3a+,令y=0,解得x=30在(0,50)上，y只有一個極值點，根據(jù)實際問題的意義，函數(shù)在x=30(km)處取得最小值，此時AC=50 x=20(km)供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省.解法二：設(shè)BCD=，則B

10、C=,CD=40cot,(0),AC=5040cot設(shè)總的水管費用為f(),依題意，有f()=3a(5040cot)+5a=150a+40af()=40a令f()=0,得cos=根據(jù)問題的實際意義，當(dāng)cos=時，函數(shù)取得最小值，此時sin=,cot=,AC=5040cot=20(km),即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省.【導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用練習(xí)】一、選擇題1、y=esinxcos(sinx)，則y(0)等于( )A.0B.1C.1D.22、經(jīng)過原點且與曲線y=相切的方程是( )A.x+y=0或+y=0B.xy=0或+y=0C.x+y=0或y=0D.xy=0或y=03、設(shè)f(

11、x)可導(dǎo)，且f(0)=0,又=1,則f(0)( )A.可能不是f(x)的極值B.一定是f(x)的極大值C.一定是f(x)的極小值D.等于04、設(shè)函數(shù)fn(x)=n2x2(1x)n(n為正整數(shù))，則fn(x)在0,1上的最大值為( )A.0B.1C. D.二、填空題5、若f(x0)=2,=_.6、設(shè)f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),則f(0)=_.7、函數(shù)f(x)=loga(3x2+5x2)(a0且a1)的單調(diào)區(qū)間_.8、在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽開時它的面積最大.三、解答題9、已知曲線C1:y=x2與C2:y=(x2)2,直線l與C1、C2都相切，求直線l的方程

12、.10、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=(x22x+3)e2x；(2)y=.11、有一個長度為5 m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設(shè)其下端沿地板以3 m/s的速度離開墻腳滑動，求當(dāng)其下端離開墻腳1.4 m時，梯子上端下滑的速度.12、求和Sn=12+22x+32x2+n2xn1,(x0,nN*).13、設(shè)f(x)=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間.14、設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=alnx+bx2+x的兩個極值點.(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)試判斷x=1,x=2是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值，并說明理由.15、已知a、b為實數(shù)，且bae,其中e為自然對數(shù)的底，求證：

13、abba.16、設(shè)關(guān)于x的方程2x2ax2=0的兩根為、(),函數(shù)f(x)=.(1)求f()f()的值；(2)證明f(x)是，上的增函數(shù)；(3)當(dāng)a為何值時，f(x)在區(qū)間，上的最大值與最小值之差最?。繀⒖即鸢敢?、1.解析：y=esinxcosxcos(sinx)cosxsin(sinx),y(0)=e0(10)=1答案：B2.解析：設(shè)切點為(x0,y0),則切線的斜率為k=,另一方面，y=()=,故y(x0)=k,即或x02+18x0+45=0得x0(1)=3,x0(2)=15,對應(yīng)有y0(1)=3,y0(2)=,因此得兩個切點A(3，3)或B(15,),從而得y(A)= =1及y(B)=

14、,由于切線過原點，故得切線：lA:y=x或lB:y=.答案：A3.解析：由=1,故存在含有0的區(qū)間(a,b)使當(dāng)x(a,b),x0時0,于是當(dāng)x(a,0)時f(0)0,當(dāng)x(0,b)時，f(0)0,這樣f(x)在(a,0)上單增，在(0,b)上單減.答案：B4.解析：fn(x)=2xn2(1x)nn3x2(1x)n1=n2x(1x)n12(1x)nx,令fn(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=時取得最大值，最大值fn()=n2()2(1)n=4()n+1答案：D二、5、解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義：f(x0)=(這時)答案：16、解析：設(shè)g(x)=(x+1)(x+2)(x+n

15、),則f(x)=xg(x),于是f(x)=g(x)+xg(x),f(0)=g(0)+0g(0)=g(0)=12n=n！答案：n!7、解析：函數(shù)的定義域是x或x2,f(x)=.(3x2+5x2)=,若a1,則當(dāng)x時，logae0,6x+50,(3x1)(x+2)0,f(x)0,函數(shù)f(x)在(,+)上是增函數(shù)，x2時，f(x)0.函數(shù)f(x)在(,2)上是減函數(shù).若0a1,則當(dāng)x時，f(x)0,f(x)在(,+)上是減函數(shù)，當(dāng)x2時，f(x)0,f(x)在(,2)上是增函數(shù)答案：(,2)8、解析：設(shè)圓內(nèi)接等腰三角形的底邊長為2x,高為h，那么h=AO+DO=R+,解得x2=h(2Rh),于是內(nèi)接

16、三角形的面積為S=xh=從而令S=0,解得h=R,由于不考慮不存在的情況，所在區(qū)間(0,2R)上列表如下：h(0,R)R(,2R)S+0S增函數(shù)最大值減函數(shù)由此表可知，當(dāng)x=R時，等腰三角形面積最大.答案：R三、9、解：設(shè)l與C1相切于點P(x1,x12),與C2相切于Q(x2,(x22)2)對于C1：y=2x,則與C1相切于點P的切線方程為yx12=2x1(xx1),即y=2x1xx12對于C2：y=2(x2),與C2相切于點Q的切線方程為y+(x22)2=2(x22)(xx2),即y=2(x22)x+x224兩切線重合，2x1=2(x22)且x12=x224,解得x1=0,x2=2或x1=

17、2,x2=0直線l方程為y=0或y=4x410、解：(1)注意到y(tǒng)0,兩端取對數(shù)，得lny=ln(x22x+3)+lne2x=ln(x22x+3)+2x (2)兩端取對數(shù)，得ln|y|=(ln|x|ln|1x|),兩邊解x求導(dǎo)，得11、解：設(shè)經(jīng)時間t秒梯子上端下滑s米,則s=5,當(dāng)下端移開1.4 m時，t0=,又s= (259t2)(92t)=9t,所以s(t0)=9=0.875(m/s)12、解：(1)當(dāng)x=1時，Sn=12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1),當(dāng)x1時，1+2x+3x2+nxn1=,兩邊同乘以x,得：x+2x2+3x2+nxn=兩邊對x求導(dǎo)，得Sn=12+22x2+

18、32x2+n2xn1=13、解：f(x)=3ax2+1若a0,f(x)0對x(,+)恒成立，此時f(x)只有一個單調(diào)區(qū)間，矛盾.若a=0,f(x)=10,x(,+),f(x)也只有一個單調(diào)區(qū)間，矛盾.若a0,f(x)=3a(x+)(x),此時f(x)恰有三個單調(diào)區(qū)間.a0且單調(diào)減區(qū)間為(,)和(,+)，單調(diào)增區(qū)間為(, ).14、解：f(x)=+2bx+1由極值點的必要條件可知：f(1)=f(2)=0,即a+2b+1=0,且+4b+1=0,解方程組可得a=,b=,f(x)=lnxx2+xf(x)=x1x+1,當(dāng)x(0,1)時，f(x)0,當(dāng)x(1,2)時，f(x)0,當(dāng)x(2,+)時，f(x)0,故在x=1處函數(shù)f(x)取得極小值,在x=2處函數(shù)取得極大值ln2.15、證法一：bae,要證abba,只要證blnaalnb,設(shè)f(b)=blnaalnb(be),則f(b)=lna.bae,lna1,且1,f(b)0.函數(shù)f(b)=blnaalnb在(e,+)上是增函數(shù)，