小升初六年級數(shù)學比和比例專題講解教師版1

1、PAGE |初一數(shù)學基礎-提高-精英學生版| 第1講 第頁第二講 比和比例教學目標：1、比例的基本性質2、熟練掌握比例式的恒等變形及連比問題3、能夠進行各種條件下比例的轉化，有目的的轉化；4、單位“1”變化的比例問題5、方程解比例應用題知識點撥：比例與百分數(shù)作為一種數(shù)學工具在人們?nèi)粘Ｉ钪刑幚矶嘟M數(shù)量關系非常有用，這一部分內(nèi)容也是小升初考試的重要內(nèi)容.通過本講需要學生掌握的內(nèi)容有：一、比和比例的性質性質1：若a: b=c：d，則(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；性質2：若a: b=c：d，則(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；性質3：若a: b=c：d，則(a +

2、x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x為常數(shù))性質4：若a: b=c：d，則ad = bc；(即外項積等于內(nèi)項積)正比例：如果ab=k(k為常數(shù))，則稱a、b成正比；反比例：如果ab=k(k為常數(shù))，則稱a、b成反比二、主要比例轉化實例 ； ； ； ； (其中)； ； ； ， ； 的等于的，則是的，是的三、按比例分配與和差關系按比例分配例如：將個物體按照的比例分配給甲、乙兩個人，那么實際上甲、乙兩個人各自分配到的物體數(shù)量與的比分別為和，所以甲分配到個，乙分配到個.已知兩組物體的數(shù)量比和數(shù)量差，求各個類別數(shù)量的問題例如：兩個類別、，元素的數(shù)量比為(這里)，數(shù)量差為，那么的元素數(shù)量為，的

3、元素數(shù)量為，所以解題的關鍵是求出與或的比值四、比例題目常用解題方式和思路解答分數(shù)應用題關鍵是正確理解、運用單位“l(fā)”。題中如果有幾個不同的單位“1”，必須根據(jù)具體情況，將不同的單位“1”，轉化成統(tǒng)一的單位“1”，使數(shù)量關系簡單化，達到解決問題的效果。在解答分數(shù)應用題時，要注意以下幾點：題中有幾種數(shù)量相比較時，要選擇與各個已知條件關系密切、便于直接解答的數(shù)量為單位“1”。若題中數(shù)量發(fā)生變化的，一般要選擇不變量為單位“1”。應用正、反比例性質解答應用題時要注意題中某一數(shù)量是否一定，然后再確定是成正比例，還是成反比例。找出這些具體數(shù)量相對應的分率與其他具體數(shù)量之間的正、反比例關系，就能找到更好、更巧

4、的解法。題中有明顯的等量關系，也可以用方程的方法去解。賦值解比例問題例題精講：模塊一、比例轉化已知甲、乙、丙三個數(shù)，甲等于乙、丙兩數(shù)和的，乙等于甲、丙兩數(shù)和的，丙等于甲、乙兩數(shù)和的，求.由甲等于乙、丙兩數(shù)和的，得到甲等于三個數(shù)和的，同樣的乙等于甲、丙兩數(shù)和的，同樣的丙等于甲、乙兩個數(shù)和的 ，所以已知甲、乙、丙三個數(shù)，甲的一半等于乙的倍也等于丙的，那么甲的、乙的倍、丙的一半這三個數(shù)的比為多少？甲的一半、乙的倍、丙的這三個數(shù)的比為，所以甲、乙、丙這三個數(shù)的比為即，化簡為，那么甲的、乙的倍、丙的一半這三個數(shù)的比為即，化簡為.如下圖所示，圓與圓的面積之和等于圓面積的，且圓中的陰影部分面積占圓面積的，圓

5、的陰影部分面積占圓面積的，圓的陰影部分面積占圓面積的求圓、圓、圓的面積之比設與的共同部分的面積為，與的共同部分的面積為，則根據(jù)題意有，于是得到，這條式子可化簡為，所以.最后得到.某俱樂部男、女會員的人數(shù)之比是，分為甲、乙、丙三組已知甲、乙、丙三組的人數(shù)比是，甲組中男、女會員的人數(shù)之比是，乙組中男、女會員的人數(shù)之比是求丙組中男、女會員人數(shù)之比以總人數(shù)為1，則甲組男會員人數(shù)為，女會員為，乙組男會員為，女會員為；丙組男會員為，女會員為；所以，丙組中男、女會員人數(shù)之比為一項公路的修建工程被平均分成兩份承包給甲、乙個工程隊建設，兩個工程隊建設了相同多的一段時間后，分別剩下、的任務沒有完成，已知兩個工程隊

6、的工作效率(建設速度)之比，求這兩個工程隊原先承包的修建公路長度之比.(法一)甲工程隊以倍乙工程隊建設速度，僅完成了的承包任務，而乙工程隊完成了，所以甲工程隊承包任務的等于乙工程隊承包任務的，所以甲工程隊的承包的任務是乙工程隊承包任務的，所以兩個工程隊承包的修建公路長度之比為(法二)兩個工程隊完成的工程任務(修建公路長度)之比等于工作效率之比，等于，而他們分別完成了各自任務的和，所以兩個工程隊承包的修建公路長度之比為某團體有名會員，男女會員人數(shù)之比是，會員分成三組，甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，各組男女會員人數(shù)之比依次為、，那么丙組有多少名男會員？會員總人數(shù)人，男女比例為，則可知男、女會

7、員人數(shù)分別為人、人；又已知甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多，則可知甲組人數(shù)為人，乙、丙人數(shù)之和為人，可設丙組人數(shù)為人，則乙組人數(shù)為人，又已知甲組男、女會員比為，則甲組男、女會員人數(shù)分別為人、人，又已知乙、丙兩組男、女會員比例，則可得：，解得即丙組會員人數(shù)為人，又已知男、女比例，可得丙組男會員人數(shù)為人某次數(shù)學競賽設一、二、三等獎已知：甲、乙兩校獲一等獎的人數(shù)相等；甲校獲一等獎的人數(shù)占該校獲獎總人數(shù)的百分數(shù)與乙校相應的百分數(shù)的比為；甲、乙兩校獲二等獎的人數(shù)總和占兩校獲獎人數(shù)總和的；甲校獲三等獎的人數(shù)占該校獲獎人數(shù)的；甲校獲二等獎的人數(shù)是乙校獲二等獎人數(shù)的倍那么，乙校獲一等獎的人數(shù)占該校獲獎總人數(shù)

8、的百分數(shù)等于多少？由、可知甲、乙兩校獲獎總人數(shù)的比為，不妨設甲校有60人獲獎，則乙校有50人獲獎由知兩校獲二等獎的共有人；由知甲校獲二等獎的有人；由知甲校獲一等獎的有人，那么乙校獲一等獎的也有12人，從而所求百分數(shù)為模塊二、按比例分配與和差關系（一）量倍對應一些蘋果平均分給甲、乙兩班的學生，甲班比乙班多分到個，而甲、乙兩班的人數(shù)比為，求一共有多少個蘋果？一共有個蘋果.小新、小志、小剛三人擁有的藏書數(shù)量之比為，三人一共藏書本，求他們?nèi)烁髯缘牟貢鴶?shù)量.根據(jù)題意可知，他們?nèi)烁髯缘牟貢鴶?shù)量分別占三人藏書總量的、，所以小新?lián)碛械牟貢鴶?shù)量為本，小志擁有的藏書數(shù)量為本，小剛擁有的藏書數(shù)量為本.在抗洪救災

9、區(qū)活動中，甲、乙、丙三人一共捐了80元已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐資的和與乙、丙所捐資的和之比是，則甲捐 元，乙捐 元，丙捐 元由于甲比丙多捐18元，所以甲、乙所捐資的和比乙、丙所捐資的和多18元，那么甲、乙所捐資的和為：(元)，乙、丙所捐資的和為元所以，甲捐了(元)，乙捐了(元)，丙捐了(元)有個皮球，分給兩個班使用，一班分到的與二班分到的相等，求兩個班各分到多少皮球？根據(jù)題意可知一班與二班分到的球數(shù)比，所以一班分到皮球個，二班分到皮球個一班和二班的人數(shù)之比是，如果將一班的名同學調(diào)到二班去，則一班和二班的人數(shù)比變?yōu)榍笤瓉韮砂嗟娜藬?shù)原來一班的人數(shù)為兩班總人數(shù)的，調(diào)班后一班的人數(shù)是兩班人數(shù)的

10、，調(diào)班前后一班人數(shù)的比值為，所以一班原來的人數(shù)為人，二班原來的人數(shù)為人.幼兒園大班和中班共有32名男生，18名女生已知大班男生數(shù)與女生數(shù)的比為，中班男生數(shù)與女生數(shù)的比為，那么大班有女生多少名？由于男、女生人數(shù)有比例關系，而且知道總數(shù)，所以可以用雞兔同籠的方法假設18名女生全部是大班，則大班男生數(shù)：女生數(shù)，即男生應有30人，實際上男生有32人，相差2個人；又中班男生數(shù)：女生數(shù)，以3個中班女生換3個大班女生，每換一組可增加1個男生，所以需要換2組；所以，大班女生有(名)參加植樹的同學共有人，已知六年級與五年級人數(shù)的比是，六年級比四年級多人，三個年級參加植樹的各有多少人?假設四年級和六年級人數(shù)同樣多

11、，則參加植樹的同學共有人，四、五、六三個年級的人數(shù)比為，知道三個量的和及它們的比，就可以按比例分配，分別求出三個年級參加植樹的人數(shù)六年級：人；五年級：人；四年級：人圓珠筆和鉛筆的價格比是4：3，20支圓珠筆和21支鉛筆共用715元問圓珠筆的單價是每支多少元?設圓珠筆的價格為4，那么鉛筆的價格為3，則20支圓珠筆和21支鉛筆的價格為204+213=143，則單位“1”的價格為71.5143=0.5元所以圓珠筆的單價是O.54=2(元)甲、乙兩只螞蟻同時從點出發(fā)，沿長方形的邊爬去，結果在距點厘米的點相遇，已知乙螞蟻的速度是甲的倍，求這個長方形的周長兩只螞蟻在距點厘米的點相遇，說明乙比甲一共多走了(

12、厘米)又知乙螞蟻的速度是甲螞蟻的倍，相同時間內(nèi)乙螞蟻爬的路程與甲螞蟻爬的路程比為：1.2：16：5，所以甲爬的路程是(厘米)，乙爬的路程是(厘米)，長方形的周長為(厘米)甲乙兩車分別從 A， B兩地出發(fā)，相向而行出發(fā)時，甲、乙的速度比是54，相遇后，甲的速度減少20，乙的速度增加20，這樣，當甲到達B地時，乙離A地還有10千米問：A，B兩地相距多少千米？甲、乙原來的速度比是54，相遇后的速度比是：5（120）4（120）44856相遇時，甲、乙分別走了全程的和。設全程x千米，剩下的部分甲行的長度和乙行的長度之比為5：6，其中相遇后甲行駛了全長的4/9，所以乙行駛了全長的，所以乙一共行了全長，還

13、剩1-，沒有走所以A、B全長為450千米.師徒二人加工一批零件，師傅加工一個零件用9分鐘，徒弟加工一個零件用15分鐘完成任務時，師傅比徒弟多加工100個零件，求師傅和徒弟一共加工了多少個零件？師傅與徒弟的工作效率之比是，工作時間相同，工作量與工作效率成正比，所以師傅與徒弟分別完成總量的和，師傅和徒弟一共加工了個零件師徒二人共加工零件個，師傅加工一個零件用分鐘，徒弟加工一個零件用分鐘完成任務時，師傅比徒弟多加工多少個零件？師傅與徒弟的工作效率之比是，而工作時間相同，則工作量與工作效率成正比，所以師傅與徒弟分別完成總量的和，師傅比徒弟多加工零件個一塊長方形鐵板，寬是長的從寬邊截去厘米，長邊截去以后

14、，得到一塊正方形鐵板問原來長方形鐵板的長是多少厘米?如果只將長邊截去，寬、長之比為，所以寬邊的長度為厘米，所以原來鐵板的長為厘米一個正方形的一邊減少，另一邊增加米，得到一個長方形，這個長方形的面積與原正方形面積相等原正方形的邊長是多少米?要保證面積不變，一邊減少，即是原來的，另一邊要變成原來的，即增加，所以原正方形的邊長為(米).（二）利用不變量統(tǒng)一份數(shù)有一個長方體，長和寬的比是，寬與高的比是表面積為，求這個長方體的體積.由條件長方體的長、寬、高的比，則長方體的所有視面，上面、前面、左面的面積比為，這三個面的面積和等于長方體表面積的二分之一，所以，長方體的上面的面積為，前面的面積為，左面的面積

15、為，而，所以即是長、寬、高的乘積，所以這個長方體的體積為有一個長方體，長與寬的比是，寬與高的比是已知這個長方體的全部棱長之和是厘米，求這個長方體的體積由條件寬與高的比為，所以這個長方體的長、寬、高的比為即，由于長方體的所有棱中，長、寬、高各有條，所以長方體的長為厘米，寬為厘米，高為厘米，所以這個長方形的體積為立方厘米.枚壹分硬幣摞在一起與枚貳分硬幣摞在一起一樣高，枚壹分硬幣摞在一起與枚伍分硬幣摞在一起一樣高用壹分、貳分、伍分硬幣各摞成一個圓柱體，并且三個圓柱體一樣高，共用了枚硬幣，問：這些硬幣的幣值為多少元？由題目條件壹分硬幣和貳分硬幣的數(shù)量比為，壹分硬幣和伍分硬幣的數(shù)量比為，所以壹分硬幣、貳

16、分硬幣以及伍分硬幣的數(shù)量比為，即，因此壹分硬幣的數(shù)量為枚，貳分硬幣的數(shù)量為枚，伍分硬幣的數(shù)量為枚，這些硬幣一共有分，即幣值為元某工地用種型號的卡車運送土方已知甲、乙、丙三種卡車載重量之比為，速度比為，運送土方的路程之比為，三種車的輛數(shù)之比為工程開始時，乙、丙兩種車全部投入運輸，但甲種車只有一半投入，直到天后，另一半甲種車才投入工作，一共干了天完成任務那么，甲種車完成的工作量與總工作量之比是多少？由于甲、乙、丙三種卡車運送土方的路程之比為，速度之比為，所以它們運送次所需的時間之比為，相同時間內(nèi)它們運送的次數(shù)比為：在前天，甲車只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的數(shù)量之比為由于三種卡車載重量之比為，所

17、以三種卡車的總載重量之比為那么三種卡車在前天內(nèi)的工作量之比為：在后天，由于甲車全部投入使用，所以在后天里的工作量之比為所以在這天內(nèi)，甲的工作量與總工作量之比為：袋子里紅球與白球的數(shù)量之比是放入若干只紅球后，紅球與白球數(shù)量之比變?yōu)椋辉俜湃肴舾芍话浊蚝?，紅球與白球數(shù)量之比變?yōu)橐阎湃氲募t球比白球少只那么原來袋子里共有 只球根據(jù)第一次操作白球的數(shù)量不變，把改寫成，改寫成第二次操作相對于第一次操作紅球數(shù)量不變，把改寫成，這時我們可以看出，經(jīng)過兩次操作后，紅球共增加了份，白球增加了份原來紅球有個，白球有個兩種球共個（三）利用等量關系列方程解比例某學校入學考試，參加的男生與女生人數(shù)之比是 結果錄取91人，

18、其中男生與女生人數(shù)之比是未被錄取的學生中，男生與女生人數(shù)之比是 問報考的共有多少人？(法1)錄取的學生中男生有人，女生有(人)，先將未錄取的人數(shù)之比變成，又有(人)，所以每份人數(shù)是(人)，那么未錄取的男生有(人)，未錄取的女生有(人)所以報考總人數(shù)是 (人)(法2)設未被錄取的男生人數(shù)為人，那么未被錄取的女生人數(shù)為人，由于錄取的學生中男生有人，女生有(人)，則，解得所以未被錄取的男生有12人，女生有16人報考總人數(shù)是 (人)有甲、乙兩塊含銅率不同的合金，甲塊重千克，乙塊重千克，現(xiàn)在從甲、乙兩塊合金上各切下重量相等的一部分，將甲塊上切下的部分與乙塊的剩余的部分一起熔煉，再將乙塊上切下的部分與甲塊

19、的剩余的部分一起熔煉，得到的兩塊新合金的含銅率相同，求切下的重量為_設切下的部分重量為千克，則甲切下的千克與乙剩下的千克混合由于得到的兩塊新合金的含銅率相同，所以若將這兩塊新合金混合，得到的大塊合金的含銅率應與原來的兩塊新合金的含銅率相同，而這一大塊合金是由千克甲塊合金與千克乙塊合金混合而成的，所以千克甲塊合金與千克乙塊合金混合后的含銅率與千克甲塊合金與千克乙塊合金混合后的含銅率相同，而甲、乙兩塊合金含銅率不同，所以這兩種混合中甲、乙兩種合金的重量比相同，即，所以：，解得課后練習：右圖是一個園林的規(guī)劃圖，其中，正方形的是草地；圓的是竹林；竹林比草地多占地450平方米 問：水池占多少平方米? 正

20、方形的是草地，那如果水池占1份，草地的面積便是3份；圓的是竹林，水池占1份，竹林的面積是6份。從而竹林比草地多出的面積是（6-3=）3份。3份的面積是450平方米，可見1份面積是4503=150（平方米），即水池面積是150平方米。乙兩個班共種樹若干棵，已知甲班種的棵數(shù)的等于乙班種的棵數(shù)的，且乙班比甲班多種樹棵，甲、乙兩個班各種樹多少棵?甲、乙兩班種樹棵數(shù)之比為：，甲班種樹棵數(shù)為：(棵)，乙班種樹棵數(shù)為：(棵)甲本月收入的錢數(shù)是乙收入的，甲本月支出的錢數(shù)是乙支出的，甲節(jié)余240元，乙節(jié)余480元甲本月收入多少元？甲、乙本月收入的比是，分別節(jié)余240元和480元，支出的錢數(shù)之比是如果乙節(jié)余480元，甲節(jié)余元，那么兩人支出的錢數(shù)之比也是，現(xiàn)在甲只節(jié)余240元，多支出了60元，結果支出的錢數(shù)之比從變成了(即)，所以這60元就對應份，那么甲支出了元，所以甲本月收入為元甲、乙兩車分別從、兩地同時相向開出，甲車速度是千米小時，乙車速度是千米小時，當甲車駛過、距離的多千米時與乙車相遇，、兩地相距 千米在相同的時間內(nèi)，兩車行駛的路程比等于兩車的速度之比，由于兩車的速度之比等于，那么、距離的多千米即是、距離的，所以千米的距離相當于全程的，全程的距離為(千米)月測備選【備