「第二節(jié)對坐標(biāo)的曲線積分」

1、第二節(jié)對坐標(biāo)的曲線積分教學(xué)目的:了解對坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)，理解和掌握對坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法和應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)：對坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算教學(xué)難點(diǎn):對坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算教學(xué)時間：2課時教學(xué)過程:一、對坐標(biāo)的曲線積分定義和性質(zhì)1.引例變力沿曲線所作的功設(shè)一個質(zhì)點(diǎn)在xOy面內(nèi)在變力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用下從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L移動到點(diǎn)B,試求變力F(x,y)所作的功.將L分成n個小弧段:L1,L2,-,L；變力在L.上所作的功近似為尸化，3)御(.，ni)Ax，+Q(i,hpAy.AS.=Ax.,Ay.表示從L.的起點(diǎn)到其終點(diǎn)的的向量，As.表示As匚的模.變力在L上所作的功近

2、似為為P(g,n.)Ax.+Q(g,n.)Ay；IIIIIII變力在L上所作的功的精確值為W=lim為P(g.,q)Ax.+Q(g.,r|.)Ay,IIIIII10Z=1其中尢是各小弧段長度的最大值.2對坐標(biāo)的曲線積分定義定義設(shè)函數(shù)P(x,y),Q(X,y)在有向光滑曲線L上有界.把L分成n個有向小弧段L1，L2,，L”；小弧段L.的起點(diǎn)為(x._1?y._1),終點(diǎn)為g,y.),Axi=xi-x,_1?Ayi=yiy1；(gi,為Li上任意一點(diǎn)，尢為各小弧段長度的最大值.如果極限lim工P(g,n)Ax總存在，則稱此極限為函數(shù)P(x,y)在有向曲線L上對坐iiiZ=1標(biāo)x的曲線積分，記作JP

3、(x,y)dx,即LJP(x,y)dx=lim工P(g,n)Ax，Liii如果極限lim工Q(g，耳)Ay總存在，則稱此極限為函數(shù)Q(x,y)在有向曲線L上對iii坐標(biāo)y的曲線積分，記作JQ(x,y)dy,即LJQ(x,y)dy二lim工Q(g,耳)AyLiiii=1其中P(x,y),Q(x,y)稱為被積函數(shù)，L稱為積分弧段，對坐標(biāo)的曲線積分也叫第二類曲線積分.同樣可以定義積分弧段為空間有向曲線弧r的情形:JP(x,y,z)dx=lim工P(g，耳,匚)AxL心i=1iiiiJQ(x,y,z)dy=lim工Q(g，耳,匚)AyTOC o 1-5 h zLi=1JR(x,y,z)dz=lim工R

4、G,n,C.)Az.L九TO.,iii1i=1常記JP(x,y)dx+JQ(x,y)dy=JP(x,y)dx+Q(x,y)dyLLLJP(x,y,z)dx+JQ(x,y,z)dy+JR(x,y,z)dz=JP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz.rrrr例如，變力F=P(x,y)i+Q(x,y)j在l上所作的功為W=JP(x,y)dx+Q(x,y)dyL3對坐標(biāo)的曲線積分的存在性當(dāng)P(x,y)Q(x,y)在有向光滑曲線弧L上連續(xù)時，對坐標(biāo)的曲線積分JP(x,y)dxjQ(x,y)dy都存在.LL4對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)L為有向曲線弧，L-為L與方向相反的曲線，則JP(

5、x,y)dx=-JP(x,y)dx，JQ(x,y)dy=-JQ(x,y)dyLL-LL-設(shè)L=L+L，則JPdx+Qdy=JPdx+Qdy+JPdx+Qdy12LL1L2此性質(zhì)可推廣到L=Li+L2+組成的曲線上、對坐標(biāo)的曲線積分計(jì)算定理設(shè)P(x,y),Q(x,y)在L上有定義，且連續(xù)，L的參數(shù)方程為x=P(t),y二屮(t),當(dāng)t單調(diào)地從a變到卩時，點(diǎn)M(x,y)從L的起點(diǎn)A沿L變到終點(diǎn)B，且Q(t),p(t)在以a,卩為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且P2(t)+屮S(t)豐0JP(x,y)dx+Q(x,y)dy存在，且LJP(x,y)dx+Q(x,y)dy=fpPp(t)，屮(t)p(

6、t)+Qp(t)，屮(t加(t)dtLa注意：a為L起點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)，卩為L終點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)，a不一定小于卩;思考：(i)若L由y=y(x)給出，L起點(diǎn)為a,終點(diǎn)為卩，貝JPdx+Qdy=.?提示(2)提示:JPdx+Qdy=JpPx,y(x)+Qx,y(x)y(x)dx.La若空間曲線廠由參數(shù)方程：x=pt),y=屮(t)，z=(t)給出，那么曲線積分JP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=?rJP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dzrL卩Pp(t),屮(t),rn(t)p(t)+Qp(t),屮(t),(t)M(t)+Rp(t),屮(t),e(t

7、)Q(t)dt,a其中a對應(yīng)于G的起點(diǎn)，卩對應(yīng)于r的終點(diǎn).例1計(jì)算:J(2a-y)dx-(a-y)dyL:擺線x=a(t-sint)，y=a(1-cost)從點(diǎn)L0(0,0)到點(diǎn)B(2ka,0)。原式=J2兀2a一a(1一cost)a(1一cost)一a-a(1一cost)asintdt0=J2k-a(1+cost)a(1一cost)一a2costsintdt0=a2(J2兀一a01-cos2t2a(1-cost)-a2costsintdt)112兀=a2(t一一sin2t一一sin21)=ka2420J(2a-y)dx-(a-y)dy=-ka2L-例2Jxy2dx+(x+y)dyLL：(1)

8、曲線y=x2起點(diǎn)為(0,0)，終點(diǎn)為(1,1).圖102-11)到點(diǎn)B(0,0,0)的直線段(2)折線Li+L2起點(diǎn)為(0,0)，終點(diǎn)為(1，1).解(1)原式=x-x4+(x+x2)dx=03(2)原式=J+J=f1ydy+J*1xdx=1L1l200故一般來說，曲線積分當(dāng)起點(diǎn)、終點(diǎn)固定時，與路徑有關(guān)例3.計(jì)算Jx3dx+3zy2dy-x2ydz,其中廠是從點(diǎn)A(3,2,rAB解：直線AB的參數(shù)方程為x=3t,y=2t,x=t,t從1變到0.所以所以I二J0(3t)33+3t(2t)22-(3t)22tdt二87f013dt二87.114例4設(shè)有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受重力作用在鉛直平面上沿某一曲

9、線從點(diǎn)A移動到點(diǎn)B，求重力所作的功。圖10-2-3解:取水平直線為x軸，y軸鉛直向上，則重力在兩坐標(biāo)軸上的投影分別為卩(x，y)二0,Q(x，y)二-mg，這里g是重力加速度，于是，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從A(x0,y0)移動到點(diǎn)B(X，Y)時，重力所作的功為W=JPdx+Qdy=J(-mg)dy=-Jymgdy=-mg(Y-y)=mg(y-Y)ABAB0y0這結(jié)果表明，這里重力所作的功與路徑無關(guān),而且僅取決于下降的距離.例6.計(jì)算Jy2dx.L(1)L為按逆時針方向繞行的上半圓周x2+y2=a2;(2)從點(diǎn)A(a,0)沿x軸到點(diǎn)B(-a,0)的直線段.解(1)L的參數(shù)方程為x=acos0,y=asin0,q

10、從0變到兀.因此Jy2dx=Ja2sin20(-asin0)d0=a3J兀(1-cos20)dcos0=4a3.L003(2)L的方程為y=0,x從a變到一a.因此Jy2dx=J-a0dx=0.La三、兩類曲線積分的關(guān)系x二x(s)y二y(s)設(shè)有向曲線弧L的起點(diǎn)A終點(diǎn)B取弧長AM=s為曲線弧L的參數(shù)。若x(s),y(s)在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，P,Q在L上連續(xù)，則JPdx+QdyLTOC o 1-5 h z=J1Px(s),y(s)dx+Qx(s),y(s)dyds圖10-2-4odsds=J1Px(s),y(s)cosa+Qx(s),y(s)sinPds0dxdy其中cosa=,sinP=是

11、L的切線向量的方向余弦，且切線向量與L的方向一致,dsds又J(Pcosa+Qsinp)ds=J1Px(s),y(s)cosa+Qx(s),y(s)sinPdsL0JPdx+Qdy=J(Pcosa+QsinP)dsLL類似地有JPdx+Qdy+Rdz=JPcosa+Qcosp+Rcosyds,rrJAdr=JA-tds=JAds.rrrcosa,cosy為有向曲線弧r上點(diǎn)(x,y,z)處單At為向量A在向量t上的投影.其中A=P,Q,R,T=cosa,cosp,位切向量，dr=Tds=dx,dy,dz,小結(jié)與思考：1.對坐標(biāo)的曲線積分概念和性質(zhì)JP(x,y)dx+JQ(x,y)dy=lim(P

12、(,q)Ax.+Q(g.,q)Ay.)LL匚0i=12.對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算方法:化為定積分計(jì)算若平面曲線L的參數(shù)方程為:X=(t),y=屮(t),Z=O(t)JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=JpPQ(t)，屮(t)p(t)+QQ(t)，屮(t加(t)dtLa若空間曲線r的參數(shù)方程為:x=(t),y=屮(t),z=(t)JP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dzr卩PQ(t),屮(t),(t)”(t)+Q(t),屮(t),(W(t)+RQ(t),屮(t)g(t)Q(t)dt,a兩類曲線積分的關(guān)系JPdx+Qdy=J(Pcosa+Qsinp)dsLLJPdx+Qdy+Rdz=JPcosa+Qcosp+Rcosydsrr啟發(fā)與討論計(jì)算Jx2dy+2xydx.，其中L為L(1)拋物線y=x2上從0(0,0)到B(1,1)一段弧。(2)拋物線x二y2上從0(0,0)到B(1,1)的一段弧。(3)有向折線OAB，這里O,A,B依次是點(diǎn)(0,0),(1,0),(1,1)解.(1)化為對x的積分.L:y=x2,x從0變到1原式=A(2x-x2+x2-2x)dx=4J1x3dx00=1化為對y的積