數(shù)值分析第四章函數(shù)逼近與擬合講義課件

1、第四章函數(shù)逼近數(shù)值分析 函數(shù)逼近 三個問題問題一已知一個函數(shù)的數(shù)值表xx1x2xmyy1y2ym能否找到一個簡單易算的 p(x) ，使得 p(xi) = yi 。問題二 函數(shù) f(x) 的表達式非常復(fù)雜，能否找到一個簡單易算的 p(x) ，使得p(x) 是 f(x) 的一個合理的逼近。問題三 問題一的表中的數(shù)值帶有誤差，能否找到一個簡單易算的 p(x) ，可以近似地表示這些數(shù)據(jù)。逼近標(biāo)準(zhǔn) 度量 p(x) 與 f(x) 的近似程度的常用兩種標(biāo)準(zhǔn)使 盡可能地小。使 盡可能地小。一致逼近平方逼近預(yù)備知識預(yù)備知識 線性空間、線性相關(guān)、線性無關(guān) 基、維數(shù)、有限維空間與無限維空間 常見線性空間：Rn 、H

2、n、Ca, b、 Cma, bWeierstrass 定理設(shè) f(x)Ca, b ，則對 0，總存在一個多項式 p(x) ，使得在 a, b 上一致成立。 范數(shù)范數(shù)與賦范線性空間設(shè) S 為線性空間，xS，若存在唯一實數(shù) | |，滿足 正定性：|x| 0，等號當(dāng)且僅當(dāng) x = 0 時成立 齊次性：|x| = | |x|， R 三角不等式：| x+y | | x | + | y | 則稱 | | 為 S 上的范數(shù)，(S, | |) 稱為賦范線性空間 賦范線性空間賦范線性空間 Rn線性空間 Rn，x = (x1, x2, , xn)TRn 1-范數(shù)：2-范數(shù)：-范數(shù)：（最大范數(shù)）賦范線性空間賦范線性

3、空間 Ca, b線性空間 Ca, b ，f(x)Ca, b 1-范數(shù)：2-范數(shù)：-范數(shù)：內(nèi)積空間內(nèi)積空間設(shè) X 是數(shù)域 K (R 或 C) 上的線性空間，對 u, v X 有 K 中的一個數(shù) (u, v) 與之對應(yīng)，且滿足 ，等號當(dāng)且僅當(dāng) u = 0 時成立稱 (u, v) 為 X 上的內(nèi)積，定義了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空間 u, v 正交(u, v) = 0內(nèi)積空間定理設(shè) X 是一個內(nèi)積空間，對 u, v X 有Cauchy-Schwarz 不等式定理設(shè) X 是 內(nèi)積空間，u1, u2, , un X ，定義矩陣則 G 非奇異當(dāng)且僅當(dāng) u1, u2, , un 線性無關(guān)。 Gram 矩陣內(nèi)積

4、例：Rn 上的內(nèi)積：內(nèi)積導(dǎo)出范數(shù)：導(dǎo)出的范數(shù)為 加權(quán)內(nèi)積給定正實數(shù) 1, 2, , n, 定義正實數(shù) 1, 2, , n 稱為加權(quán)系數(shù)內(nèi)積例：Cn 上的內(nèi)積：加權(quán)內(nèi)積 1, 2, , n 為正實數(shù)例： Ca, b 上的內(nèi)積：權(quán)函數(shù)權(quán)函數(shù)設(shè) (x) 是 a, b 上的非負(fù)函數(shù)，滿足 ，存在且為有限值 對 a, b 上的任意非負(fù)函數(shù) g(x) ，則稱 (x) 是 a, b 上一個權(quán)函數(shù) a, b 可以是無限區(qū)間，即 a, b 可以是無窮大 權(quán)函數(shù)與定義區(qū)間有關(guān)若 ， 則常見的權(quán)函數(shù) 常見的權(quán)函數(shù)帶權(quán)內(nèi)積帶權(quán)內(nèi)積設(shè) (x) 是 a, b 上的權(quán)函數(shù)， f(x), g(x) Ca, b導(dǎo)出范數(shù)性質(zhì)設(shè)

5、0, 1, , nCa, b，則 0, 1, , n 線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng) det(G) 0，其中函數(shù)逼近 記 Hn 為所有次數(shù)不超過 n 的多項式組成的集合，給定函數(shù) f(x)Ca, b，若 P*(x)Hn 使得則稱 P*(x) 為 f(x) 在 a, b 上的 最佳逼近多項式最佳逼近最佳一致逼近函數(shù)逼近最小二乘擬合尋找 P*(x) ，使得下面的離散 2-范數(shù)最小給定 f(x)Ca, b 的數(shù)據(jù)表xx0 x1xnyy0y1yn最佳平方逼近曲線擬合-最小二乘擬合多項式確定多項式 ，對于一組數(shù)據(jù)(xi, yi) (i = 1, 2, , n) 使得 達到極小，這里 n m。naaa10 實際上是 a

6、0, a1, , an 的多元函數(shù)，即=-+=miinininyxaxaaaaa121010.),.,(j在 的極值點應(yīng)有kiminjijijxyxa=-=102-=+njmikiimikjijxyxa0112記=mikiikmikikxycxb11,回歸系數(shù)正規(guī)方程組、法方程組定理L-S 擬合多項式存在唯一 (n 0, b 0 )線性化：由 可做變換xbay-lnlnbBaAxXyY-=,ln,1,lnBXAY+就是個線性問題將 化為 后易解 A 和B),(iiYX),(iiyx3最小二乘擬合已知 x1 xm ; y1 ym, 求一個簡單易算的近似函數(shù) P(x) f(x) 使得 最小。已知

7、a, b上定義的 f(x)，求一個簡單易算的近似函數(shù) P(x) 使得 最小。定義考慮一般的線性無關(guān)函數(shù)族= 0(x), 1(x), , n(x), ，其有限項的線性組合 稱為廣義多項式.常見多項式： j(x) = x j 對應(yīng)代數(shù)多項式 j(x) = cos jx 、 j(x) = sin jx j(x), j(x) 對應(yīng)三角多項式 j(x) = e kj x , ki kj 對應(yīng)指數(shù)多項式連續(xù)內(nèi)積、離散內(nèi)積nkyaknjjjk,.,0,),(),(0=jjj設(shè)則完全類似地有：)(.)()()(1100 xaxaxaxPnnjjj+=定理 Ba = c 存在唯一解 0(x), 1(x), ,

8、n(x) 線性無關(guān)。即：),(),(),(00yyaabnnjiijjjjj= c證明：若存在一組系數(shù) i 使得0.1100=+nnjajaja則等式兩邊分別與0, 1, , n作內(nèi)積，得到：即：B = 0 法方程組 例：用 來擬合 ，w 1解： 0(x) = 1， 1(x) = x， 2(x) = x27623)(463|484,|1=-=BcondBB例：連續(xù)型擬合中，取則若能取函數(shù)族= 0(x), 1(x), , n(x), ，使得任意一對i(x)和j(x)兩兩（帶權(quán)）正交，則 B 就化為對角陣！ 這時直接可算出ak =改進：Hilbert陣！常用的正交多項式（二） 正交多項式 記 是首

9、項系數(shù)為1的n次Chebyshev多項式. 記 為一切定義在，上首項系數(shù)為1的n次多項式的集合Chebyshev多項式最小模性質(zhì)正交多項式的構(gòu)造正交多項式的遞推關(guān)系式： 將正交函數(shù)族中的k 取為k 階多項式，為簡單起見，可取k 的首項系數(shù)為 1 。其中例：用 來擬合 ，w 1解：通過正交多項式 0(x), 1(x), 2(x) 求解設(shè))()()(221100 xaxaxayjjj+=1)(0=xj229),(),(0000=jjjya25),(),(00001=jjjjax25)()()(011-=-=xxxxjaj537),(),(1111=jjjya25),(),(11112=jjjjax45),(),(00111=jjjjb55)(45)()25()(2012+-=-=xxxxxxjjj21),(),(2222=jjjya（三）人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是