2022屆湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 18 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 頁(yè)2022屆湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題一、單選題1若全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)圖象判斷出陰影部分為，由此求得正確答案.【詳解】，由圖象可知，陰影部分表示.故選：A2在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

2、為，在第一象限.故選：A.3在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則該展開(kāi)式中的的系數(shù)是（）A60B160C180D240【答案】B【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和公式，結(jié)合二項(xiàng)式通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，解得.二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，令，解得，所以的系數(shù)是.故選：B.4圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)題意作出軸截面圖，求出圓臺(tái)母線長(zhǎng)，利用側(cè)面積公式求解.【詳解】因?yàn)閳A臺(tái)下底面半徑為5，球的直徑為，所以圓臺(tái)下底面圓心與球心重合，底面圓的半徑為，畫出軸截面如圖， 設(shè)圓臺(tái)上底面圓的半徑，

3、則所以球心到上底面的距離，即圓臺(tái)的高為3，所以母線長(zhǎng)，所以，故選：C.5設(shè)等比數(shù)列滿足，則的最大值為（）A64B128C256D512【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得.又，得.故.由，得，得，且.故當(dāng)或4時(shí)，取得最大值，即.故選：A.6已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)?，由雙曲線的定義可得，所以，；因?yàn)?由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線的定義是入手點(diǎn)，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解

4、的關(guān)鍵.7已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則（）A函數(shù)的最小正周期是B函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱C函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D函數(shù)在區(qū)間上的最大值是【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的部分圖像得出周期求出，將代入即可求出的值，進(jìn)而得出的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)稱軸對(duì)稱中心對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的特征進(jìn)行分析即可求解.【詳解】由函數(shù)圖像可知，所以，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；又函數(shù)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，解得，因?yàn)椋裕?，?dāng)時(shí)，故不是函數(shù)的對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，所以，故D正確；故選：D.8已知函數(shù)與函數(shù)的值域相同，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）ABCD【答案】B【分析】由分析知的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，要使的值域?yàn)?/p>

5、，則，且，即可求出a的取值范圍.【詳解】因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋缘闹涤驗(yàn)?當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，若，即，此時(shí)不滿足條件.若，即，此時(shí)的值域不可能為.若，即，要使的值域?yàn)椋瑒t，即解得：或，又因?yàn)椋?故選：B.二、多選題92022年北京冬奧會(huì)成功舉辦.中國(guó)冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，冰雪運(yùn)動(dòng)人數(shù)快速上升，冰雪運(yùn)動(dòng)市場(chǎng)需求得到釋放，將引領(lǐng)相關(guān)戶外用品行業(yè)市場(chǎng)增長(zhǎng).下面是2015年至2021年中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次（萬(wàn)/人次）與同比增長(zhǎng)率（與上一年相比）的統(tǒng)計(jì)情況，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A2016年至2021年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次的同比增長(zhǎng)率逐年下降B2016年至2021年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次逐年增加C2016年與2021年，中

6、國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次的同比增長(zhǎng)率近似相等，所以同比增長(zhǎng)人數(shù)也近似相等D2016年至2021年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次增長(zhǎng)率為12.6%【答案】ACD【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，結(jié)合上升和下降的情況以及數(shù)據(jù)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：2016年至2018年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次的同比增長(zhǎng)率逐年增加，2018年至2021年同比增長(zhǎng)率逐年下降，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由條形圖可知，2016年至2021年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次逐年增加，故B正確；對(duì)于C：由條形圖可知，2016年與2021年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次的同比增長(zhǎng)率近似相等，但是2015年滑雪人次為800萬(wàn)，2020年滑雪人次為1750萬(wàn)，同比增長(zhǎng)基數(shù)差距大，同比增長(zhǎng)人數(shù)不相等，

7、故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由統(tǒng)計(jì)圖可知，2016車至2021年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人次的增長(zhǎng)率約為，故D錯(cuò)誤，故選：ACD.10已知向量，則下列命題正確的是（）A存在，使得B當(dāng)時(shí)，與垂直C對(duì)任意，都有D當(dāng)時(shí)，【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，利用向量平行及三角函數(shù)恒等變換得到方程，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，利用垂直得到方程，求出正切值；C選項(xiàng)，計(jì)算出兩向量的模長(zhǎng)，得到，C錯(cuò)誤；利用向量的數(shù)量積列出，平方后得到，求出正切值.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，則，即，所以不存在這樣的，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若，則，即，得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：，兩邊同時(shí)平方得，化簡(jiǎn)得，等式兩邊同除以得，即，所以，故

8、D正確.故選：BD.11已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，過(guò)F的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）AC的準(zhǔn)線方程為B若，則C若，則l的斜率為D過(guò)點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，若x軸平分，則【答案】BC【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，所以，所以拋物線方程為，則焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，故A錯(cuò)誤；若，則，所以，所以，故B正確；可設(shè)，直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，消去x，可得，可得，由拋物線的定義可得，即，即，解得，則直線的斜率為，故C正確；對(duì)于D，若x軸平分，則，又軸，所以，所以，所以，即，所以，故D錯(cuò)

9、誤；故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.12已知正方體的邊長(zhǎng)為2，M為的中點(diǎn)，P為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是（）AB平面C與所成角的余弦值為D動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為【答案】BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間夾角公式、空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，所以，由平面，得，即，化簡(jiǎn)可得：，所以動(dòng)點(diǎn)P在直線上，對(duì)于選項(xiàng)A：，所以與不垂直，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：平面平面，所以平面，B選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，C選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D：動(dòng)點(diǎn)P在直線上，且P為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，則P在線段上，所以，D選項(xiàng)正確；

10、故選：BCD.三、填空題13已知函數(shù)是奇函數(shù)，則_.【答案】1【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，整理得到，故.故答案為：1.14從分別標(biāo)有1，2，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張.記事件A為“抽取到的兩張卡片上的數(shù)奇偶性相同”，事件B為“兩張卡片上的數(shù)字均為偶數(shù)”，則_.【答案】【分析】利用條件概率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，故答案為：15已知a，b為正實(shí)數(shù)，直線將圓平分，則的最小值是_.【答案】8【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€過(guò)圓心，所以，因?yàn)閍、b為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，故

11、答案為：8四、雙空題16已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（a為常數(shù)），則_；設(shè)函數(shù)且，則_.【答案】 2； 【分析】根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系、等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合輔助角公式、構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，顯然成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差，所以.又因?yàn)?令，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，因?yàn)?，所以在R上單調(diào)遞增.由題意得，因?yàn)閿?shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，其中，則，假設(shè)，.因?yàn)樗?假設(shè)，同理可得，綜上，.故答案為：2；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：構(gòu)造新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.五、解答題17在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，(1)求角A的

12、大?。?2)請(qǐng)?jiān)?兩個(gè)條件任選一個(gè)，求的面積.（如果分別選擇多個(gè)條件進(jìn)行解答.按第一個(gè)解答過(guò)程計(jì)分）【答案】(1);(2)選 ，選 .【分析】（1）根據(jù)正弦定理轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)，利用二倍角公式、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可得解；（2）選 由正弦定理求出a, 再由余弦定理求出c, 利用三角形面積公式求解；選 直接由余弦定理求出c，再由三角形面積公式求解.【詳解】(1)由可得：，即，即，因?yàn)?，所以，所以?即, .(2)選 ：，由正弦定理可得，即，解得，由余弦定理可得，即，解得(負(fù)值舍)，所以.選 ：，由余弦定理可得，即，解得，所以.18已知數(shù)列滿足，.(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

13、(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系，求出 的通項(xiàng)公式即可證明；（2）將 前2n項(xiàng)之和分為奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求和即可.【詳解】(1)因?yàn)?，?dāng)n為奇數(shù)時(shí)， ，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，且，所以，所以，所以為以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；(2)因?yàn)?，所以，所以?shù)列的前項(xiàng)和；綜上，所以，數(shù)列的前項(xiàng)和.19某食品企業(yè)與甲、乙兩超市簽訂了長(zhǎng)期供應(yīng)某種海鮮罐頭的合同，每月供應(yīng)一次，經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：每家超市的月需求量都只有兩種：400件或600件，且互相不受影響；甲、乙兩超市的月需求量為400件的概率分別為，.(1)求兩超市的月需求總量為1000件的概率；(2)已知企業(yè)對(duì)

14、此罐頭的供貨價(jià)格為30元件，生產(chǎn)此罐頭的成本為：800件內(nèi)（含800）為20元件，超過(guò)800件但不超過(guò)1000件的部分為15元件，超過(guò)1000件的部分為10元件.企業(yè)擬將月生產(chǎn)量X（單位：件）定為800或1000或1200.若兩超市的月需求總量超過(guò)企業(yè)的月生產(chǎn)量，則企業(yè)每月按月生產(chǎn)量供貨，若兩超市的月需求總量不超過(guò)企業(yè)的月生產(chǎn)量，則企業(yè)每月按月需求總量供貨.為保障食品安全，若有多余罐頭企業(yè)每月自行銷毀，損失自負(fù).請(qǐng)你確定的值，使該企業(yè)的生產(chǎn)方案最佳，即企業(yè)每月生產(chǎn)此罐頭的利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望最大，并說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)時(shí)，該企業(yè)每月生產(chǎn)此罐頭的利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望最大，理由見(jiàn)解析【分析】（1）確

15、定兩超市需求量為400件或600件的概率，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，可求答案；（2）分別計(jì)算企業(yè)生產(chǎn)量為800,1000,1200件時(shí)的利潤(rùn)的期望值，比較可得答案.【詳解】(1)由題意得，甲超市需求量為400件或600件的概率分別為，乙超市需求量為400件或600件的概率分別為，故兩超市的月需求總量為1000件的概率；(2)記兩超市月需求總量為，則，當(dāng)時(shí)，此時(shí)800件沒(méi)有剩余，故（元）；當(dāng)時(shí)，（元）；當(dāng)時(shí)，（元）；則當(dāng)時(shí)，該企業(yè)每月生產(chǎn)此罐頭的利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望最大.20已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)，.(1)證明：；(2)求當(dāng)面與面所成的二面角的正弦值最小時(shí)，

16、三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積坐標(biāo)表示公式進(jìn)行運(yùn)算證明即可；（2）利用空間向量夾角公式，結(jié)合三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)因?yàn)槿庵侵比庵?，所以底面，底面，所以，因?yàn)?，所以，又，平面，所以平?所以兩兩垂直.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.所以.由題設(shè).（1）因?yàn)?，所以，所以?2)設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，?令，則.因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則.當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為，所以，此時(shí)

17、，三棱錐的體積.21已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)設(shè)M，N是軌跡C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切.證明：M，N，三點(diǎn)共線的充要條件是.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由橢圓的定義判斷軌跡為橢圓，直接求方程即可；（2）分析直線的斜率不存在時(shí)不合題意，直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，由相切求出，聯(lián)立橢圓方程，由弦長(zhǎng)公式求解，再證當(dāng)時(shí)，求出直線方程可知過(guò)點(diǎn)，得證三點(diǎn)共線.【詳解】(1)因?yàn)?所以點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，所以軌跡C的方程為.(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線：，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，必要性：若三點(diǎn)共線，可設(shè)直線，即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立可得，所以，所以，所以必要性成立；充分性：設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以或，所以直線或，所以直線過(guò)點(diǎn)，M，N，三點(diǎn)共線，充分性成立；所以三點(diǎn)共線的充要條件是.22已知其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線為l，若l與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，求實(shí)數(shù)a的值(2)若，當(dāng)時(shí)，恒成立時(shí)，求a的最大值【答案】(1)或(2)3【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線在點(diǎn)處的切線方程，再求得l與兩坐標(biāo)軸的截距，進(jìn)而利用l與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積