剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

1、關(guān)于剛體定軸轉(zhuǎn)動定律第一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月復(fù) 習(xí)質(zhì)點的角動量力矩角動量定理角動量守恒定律若第二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月本章主要內(nèi)容1 剛體的運動2 剛體的角動量3 剛體受到的力矩4 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律5 剛體的動能定理6 剛體的角動量守恒定律第三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月6.1 剛體的運動與描述 質(zhì)點的運動只代表物體的平動，物體實際上是有形狀、大小的，它可以平動、轉(zhuǎn)動，甚至更復(fù)雜的運動。因此，對于機(jī)械運動的研究，只限于質(zhì)點的情況是不夠的。 剛體是一種特殊的質(zhì)點系，無論在多大外力作用下，系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點間的距離始終保持不變。即物體的形狀、大

2、小都不變的固體稱為剛體（rigid body ）。 剛體考慮了物體的形狀和大小，但不考慮它的形變，剛體同質(zhì)點一樣，也是一個理想化模型。第四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月一、剛體的運動 固聯(lián)在剛體上的任一條直線，在各個時刻的位置始終保持彼此平行的運動，叫做剛體的平動。 1.平動 剛才的動畫演示了一個圓柱體的平動。在運動過程中，我們看到，剛體中所有質(zhì)點的位移都是相同的。 而且在任何時刻，各個質(zhì)點的速度和加速度也都相同。這時我們可以選取剛體上任一點的運動來代表剛體的運動。 第五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月2.轉(zhuǎn)動 如果剛體上所有各點繞同一直線（轉(zhuǎn)軸）作圓周運動，則稱為剛體的

3、轉(zhuǎn)動。 轉(zhuǎn)動時，軸外各點在同一時間間隔內(nèi)走過的弧長雖然不一樣，但角位移全同。第六張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月固定轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸不隨時間變化 剛體定軸轉(zhuǎn)動瞬時轉(zhuǎn)軸：轉(zhuǎn)軸隨時間變化 一般轉(zhuǎn)動第七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月3.剛體的一般運動 例如，一個車輪的滾動，可以分解為車輪隨著轉(zhuǎn)軸的平動和整個車輪繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動。 在研究剛體一般運動時，我們一般將它分解為質(zhì)心的平動（應(yīng)用質(zhì)心運動定理）和剛體繞過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動（應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律）。第八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月一個汽車輪子在地上的滾動A、B、C、各點的運動都不相同繞過o 軸的轉(zhuǎn)動oABCo o輪子的平動ABCoAB

4、CoABABCCo剛體的運動平動轉(zhuǎn)動平動：剛體上所有點運動狀態(tài)都相同轉(zhuǎn)動：各質(zhì)元均作圓周運動第九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月二. 剛體平動的描述 剛體的平動可用質(zhì)心運動來代表整體的運動1。質(zhì)心的位矢設(shè)N個質(zhì)點m1,m2,mN， 對應(yīng)的位矢定義：質(zhì)心的位矢質(zhì)心 重心第十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月2。質(zhì)心運動定理質(zhì)心的速度：質(zhì)心的加速度：設(shè)mi 受力則：對所有質(zhì)點求和：0 質(zhì)心運動定理即：質(zhì)心運動如同一質(zhì)點，只是將質(zhì)量全部集中于該點， 所受的力是質(zhì)點系受的所有外力。注：質(zhì)心上可能既無質(zhì)量，又未受力。2第十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月角位置角速度角加速度

5、pro轉(zhuǎn)動平面三. 剛體（定軸）轉(zhuǎn)動的角量描述第十二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月6.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律一. 剛體定軸轉(zhuǎn)動所受力矩 力矩一般定義：此處即可是對某點也可是對某軸而言當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，力矩就可以用標(biāo)量來表示。oo習(xí)慣上把定軸用z表示力矩表示為第十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月oo.P1） 在垂直oo 的平面內(nèi)2） 不在垂直oo 的平面內(nèi)oo.P對剛體繞oo軸轉(zhuǎn)動無貢獻(xiàn)計算力矩時只需考慮 的力矩 總可分解成兩個分量：5合外力矩第十四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月oo1 。一個質(zhì)點的情況 法向力對軸的矩為零切向力對軸的矩二. 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律

6、見右下平面圖第十五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月（剛體類似于多質(zhì)點系）設(shè)某剛體繞固定軸Z軸轉(zhuǎn)動Zmi取質(zhì)量元mi，其到轉(zhuǎn)軸的距離 ri受力如圖示，根據(jù)牛頓定律：各質(zhì)元加速度不同，但角加速度相同用 ri乘以上式：將所有質(zhì)元相加：fifj0ro2。連續(xù)質(zhì)量分布剛體的情況第十六張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月定義剛體對定軸（z 軸）的 轉(zhuǎn)動慣量則有定軸轉(zhuǎn)動定律由與牛頓定律比較：或J mm 反映質(zhì)點的平動慣性J 反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性第十七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月3。理解注意是合外力矩 這條定律表明，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，它的角加速度與作用于剛體上的合外力矩成正比，與剛

7、體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量成反比。 內(nèi)力矩成對抵消，不能改變剛體的角動量，因而不能改變剛體的角速度。這是角動量定理在剛體定軸轉(zhuǎn)動情形下的特例（1）（2）（3）第十八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 質(zhì)量連續(xù)分布 質(zhì)量離散分布 對剛體定義轉(zhuǎn)動慣量單質(zhì)點 單位：kgm2質(zhì)量元第 i 個質(zhì)點的質(zhì)量 到轉(zhuǎn)軸的距離 到轉(zhuǎn)軸的距離三. 轉(zhuǎn)動慣量及計算第十九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布、 分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布體分布面分布 只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體才能用積分計算出剛體的轉(zhuǎn)動慣量。第二十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2

8、022年6月 如圖套兩個質(zhì)點的細(xì)桿長l ， 桿繞空端轉(zhuǎn)動，分析整個系統(tǒng)繞 o 點的轉(zhuǎn)動慣量。將兩質(zhì)點換位再作計算。解：普通物理學(xué)教案例題1 ： o 2m m 由o m 2m 結(jié)論：第二十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月J 與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)J 與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān) 因為質(zhì)量分布是對轉(zhuǎn)軸而言的，上例也可看作質(zhì)心離轉(zhuǎn)軸越遠(yuǎn)轉(zhuǎn)動慣量越大。形狀和轉(zhuǎn)軸確定后，J 與剛體的質(zhì)量有關(guān)AlFe討論影響轉(zhuǎn)動慣量的因素第二十二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 求長為L、質(zhì)量為 m 的均勻細(xì)棒對端點軸和中垂軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：普通物理學(xué)教案例題2 ：ABL/2L/2Cx取如圖坐標(biāo)取質(zhì)量元ABLx第

9、二十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 求質(zhì)量為m 、半徑為R 的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解：普通物理學(xué)教案例題3 ：取質(zhì)量元Odm第二十四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 求質(zhì)量為m 、半徑為R 均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：普通物理學(xué)教案例題4 ：這樣的一個圓盤可以視為半徑不等的有寬度的圓環(huán)拼接而成。任取其中一環(huán)利用前例環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量結(jié)果Rrdr第二十五張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 內(nèi)半徑為 R1 外半徑為 R2 質(zhì)量為 m 的勻質(zhì)中空圓柱繞其對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：普通物理學(xué)教案例題5 ：第二十六張，PPT共三十六

10、頁，創(chuàng)作于2022年6月 質(zhì)量為m 半徑為R 的勻質(zhì)薄球殼繞過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：普通物理學(xué)教案例題6 ：在球面取一圓環(huán)帶，半徑第二十七張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 質(zhì)量為m 半徑為R 的勻質(zhì)球體繞過球心軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：普通物理學(xué)教案例題7 ：把球體看作無數(shù)個同心薄球殼的組合 第二十八張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 如圖所示，滑輪半徑為r 。 （設(shè)繩與滑輪間無相對滑動）若m2與桌面間的摩擦系數(shù)為，求系統(tǒng)的加速度a 及張力 T1 與 T2；若桌面光滑，再求。解：普通物理學(xué)教案例題8：力和力矩分析、方法1 按隔離法建坐標(biāo)對質(zhì)點用牛頓定律對剛體用轉(zhuǎn)動定律限制性條件第二十

11、九張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解得：若桌面光滑，摩擦力矩為零第三十張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月解法2由系統(tǒng)角動量定理取 m1 、m2 、 J 為系統(tǒng)外力矩系統(tǒng)的角動量（任一時刻）（對滑輪轉(zhuǎn)軸）第三十一張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月由角動量定理由解得：再由牛頓定律可得張力。這也是定軸轉(zhuǎn)動定律(整體分析方法)第三十二張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月一根均質(zhì)細(xì)桿（ m 、L ），一端可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。桿最初靜止在水平位置，由此下擺 角求角加速度和角速度。解：普通物理學(xué)教案例題9 ：odmgdm下擺過程重力矩做功以桿為對象取質(zhì)元當(dāng)桿處在下擺 角時，該質(zhì)量元所受重力對 o 點的矩為重力對整個棒的合力矩為：第三十三張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月代入轉(zhuǎn)動定律，可得：代入轉(zhuǎn)動動能定理第三十四張，PPT共三十六頁，創(chuàng)作于2022年6月 勻質(zhì)圓盤的質(zhì)量為 m，半徑為