簡單期權(quán)離散模型定價策略

1、簡單期權(quán)離散模型定價策略單時期期權(quán)二叉樹模型基本假定：期末時期的資產(chǎn)股票的價格只有兩 種可能，即上漲(u)或下跌(d)SC期末時期股票價格期末時期期權(quán)價格單時期期權(quán)二叉樹模型基本思想：通過做多或做空操作使股票和期權(quán)形成一個組合使得不論股票價格如何變化，這個組合的價值在期末是固定不變的，那么這個組合的收益率一定等于無風(fēng)險(xiǎn)收益率，這樣就可以為期權(quán)確定價格單時期期權(quán)二叉樹模型數(shù)學(xué)推導(dǎo)：期初 ：賣出1份看漲期權(quán)、買入h股股票，此時組合的價值為期末 ：股票價格上漲時組合的價值股票價格下跌時組合的價值單時期期權(quán)二叉樹模型數(shù)學(xué)推導(dǎo)：組合在期末的價值是固定的，即 可得：h稱作套期保值率h含義：為對沖風(fēng)險(xiǎn)構(gòu)建一

2、個無風(fēng)險(xiǎn)組合，在這個無風(fēng)險(xiǎn)組合中每做空一份看漲期權(quán)所需要購買的股票的數(shù)量。單時期期權(quán)二叉樹模型數(shù)學(xué)推導(dǎo)：使用復(fù)利方法貼現(xiàn)，期權(quán)定價公式為其中 r為無風(fēng)險(xiǎn)利率 單時期期權(quán)二叉樹模型數(shù)學(xué)推導(dǎo)：使用連續(xù)復(fù)利方法貼現(xiàn)，期權(quán)定價公式為其中 單時期期權(quán)二叉樹模型結(jié)論：期權(quán)的價格 只與股票價格的波動率 相關(guān)，而與股票的期望收益率無關(guān)期權(quán)的價格與投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無關(guān)期權(quán)價格與股票價格上漲和下跌的概率無關(guān)舉例：股票當(dāng)前價格為100,無風(fēng)險(xiǎn)利率為0.051.2 0.9歐式看漲期權(quán)的執(zhí)行價格100資產(chǎn)組合期初價值期末價值股價120股價90買入h股股票+ h*100+ h*120+ h*90賣出1份期權(quán)- C-200

3、投資組合的凈價值h*100h*120-20h*90-0舉例：期末：即：得：期初組合的價值：期末組合的價值：期權(quán)價格：C = 9.53期權(quán)偏離均衡價格的套利上例中，期權(quán)的均衡價格為9.53若10，如何套利？資產(chǎn)組合期初成本期末價值股價120股價90買入0.6667股股票-66.678060賣出1份期權(quán)10-200以利率0.05借入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)56.7-59.535-59.535投資組合的凈價值00.4650.465期權(quán)偏離均衡價格的套利若9，如何套利？資產(chǎn)組合期初成本期末價值股價120股價90賣出0.6667股股票66.67-80-60買入1份期權(quán)-9200以利率0.05借出無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)-57.76

4、0.58560.585投資組合的凈價值00.5850.585兩時期二叉樹定價模型擴(kuò)展后期末時股票的價格共有三種可能 對應(yīng)的期權(quán)價格也有三種可能歐式期權(quán)不能提前執(zhí)行,采用倒推法， 先求得 和 ，再求得C兩時期二叉樹定價模型復(fù)利：連續(xù)復(fù)利：注：期權(quán)的價格就可以看作是其期末價格期望值的貼現(xiàn)值 120 90100接上例股票的三個月的看漲期權(quán)的執(zhí)行價為21美元 144108 81 13.605 24.762 3.810 44 8 0接上例套期保值率并不是一成不變的，是個動態(tài)的過程套期保值的動態(tài)過程多時期二叉樹定價模型定價公式推導(dǎo)當(dāng)股票的價格為 時, 對應(yīng)的期權(quán)價格為 ， 發(fā)生的概率為在 時期權(quán)價格的期望

5、值為：多時期二叉樹定價模型定價公式推導(dǎo)（續(xù)）復(fù)利，r代表每一期的無風(fēng)險(xiǎn)利率：連續(xù)復(fù)利：這就是多時期歐式看漲期權(quán)的二叉樹定價公式 r?多時期二叉樹定價模型同理，歐式看跌期權(quán)的二叉樹定價公式：復(fù)利：連續(xù)復(fù)利：定價公式中u和d的確定現(xiàn)實(shí)中的股票價格可以用幾何布朗運(yùn)動來很好的模擬，在無套利市場中有如下的關(guān)系式：時間間隔 很小時，股票價格的方差：在風(fēng)險(xiǎn)中性的情況下還可以通過 來得到股票價格的方差：關(guān)系式：定價公式中u和d的確定聯(lián)立以上四式得：無風(fēng)險(xiǎn)利率r是時間t的函數(shù)利率的期限結(jié)構(gòu)并不總是在一條水平線上，而是隨著時間的增加不斷的上升或者下降，即是時間t的函數(shù)r(t)不會影響股票的二叉樹圖形的結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)中性

6、概率p會隨著r(t)的變化而變化 或者美式看漲期權(quán)的二叉樹定價模型美式期權(quán)可以在合約到期之前任何時間執(zhí)行美式期權(quán)定價方法倒推法注意：由于存在提前執(zhí)行的可能性，我們要在每個節(jié)點(diǎn)處比較立即執(zhí)行所得到的價值和繼續(xù)持有所得到的回溯價格的大小關(guān)系，選取二者中較大的值作為 節(jié)點(diǎn)處期權(quán)的價格將時期數(shù)擴(kuò)展到 n期i表示時期 , j表示股票價格上升的次數(shù)股票在() 處的價格為股票在() 處的價格為若期權(quán)在節(jié)點(diǎn)（）提前執(zhí)行，期權(quán)價格為：若期權(quán)在節(jié)點(diǎn)（）繼續(xù)持有，期權(quán)價格為：美式看漲期權(quán)的二叉樹定價模型美式看漲期權(quán)的二叉樹定價模型比較二者的大小，確定期權(quán)在節(jié)點(diǎn)（）處的價格復(fù)利：連續(xù)復(fù)利：美式看跌期權(quán)的二叉樹定價模型

7、：復(fù)利：連續(xù)復(fù)利：舉例： 股票的初始價格1001.15，0.9時期數(shù)2無風(fēng)險(xiǎn)利率0.02 115 90100接上例 132.25103.5 81 6.79（0）14.85（15） 1.37（0） 32.25 3.5 0美式看漲期權(quán)的執(zhí)行價格100有紅利支付的歐式看漲期權(quán)支付紅利的兩種方法：按固定比例a（紅利占股票價格的比例）支付按固定紅利數(shù)額D進(jìn)行支付 按固定比例支付紅利二叉樹的結(jié)構(gòu)并沒有發(fā)生變化，節(jié)點(diǎn)數(shù)也沒有增加舉例： 股票的初始價格為1001.1，0.9市場無風(fēng)險(xiǎn)利率為0.05歐式看漲期權(quán)的執(zhí)行價格100紅利支付比例0.05，并在2期期末時支付接上例股票價格的三時期二叉樹圖形接上例該股票對應(yīng)的期權(quán)的二叉樹圖形按固定數(shù)額支付紅利在支付紅利之后二叉樹的結(jié)構(gòu)將發(fā)生變化在之后的時期中二叉樹不能重疊在一起，使得節(jié)點(diǎn)數(shù)大大增加支付固定紅利股票的價格的三時期二叉樹圖形按固定數(shù)額支付紅利在支付紅利之后二叉樹的結(jié)構(gòu)將發(fā)生變化按固定數(shù)額支付紅利假設(shè)n期的模型中紅利支付日 只有一個,并且當(dāng)時期 ，假定股票的價格為當(dāng)時期 ，將紅利的貼現(xiàn)值從股價中剔 除就得到價格 其中， D為紅利額， S