2014高中數(shù)學(xué) 答疑解惑 回歸分析 北師大版選修2-3

1、 word回歸分析答疑解惑一.回歸含義探究“回歸”一詞是由英國(guó)生物學(xué)家 F.Galton 在研究人體身高的遺傳問(wèn)題時(shí)首先提出的。如根據(jù)遺傳學(xué)的觀點(diǎn)，子輩的身高受父輩影響，以X 記父輩身高，Y 記子輩身高。雖然子輩身高一般受父輩影響，但同樣身高的父親，其子身高并不一致，因此，X 和 Y 之間存在一種相關(guān)關(guān)系。一般而言，父輩身高者，其子輩身高也高.依此推論祖祖輩輩遺傳下來(lái),身高必然向兩極分化，而事實(shí)上并非如此，顯然有一種力量將身高拉向中心，即子輩的身高有向中心回歸的特點(diǎn),“回歸”一詞即源于此。不過(guò)，現(xiàn)代回歸分析雖然沿用了“回歸”一詞，但內(nèi)容已有很大變化，它是一種應(yīng)用于許多領(lǐng)域的廣泛的分析研究方法，

2、在經(jīng)濟(jì)理論研究和實(shí)證研究中也發(fā)揮著重要作用。二.如何認(rèn)識(shí)相關(guān)關(guān)系研究?jī)蓚€(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系是學(xué)習(xí)本節(jié)的目的。對(duì)于相關(guān)關(guān)系我們可以從下三個(gè)方面加以認(rèn)識(shí)：（1）相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系不同。函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系。例如正2方形面積 S 與邊長(zhǎng) x 之間的關(guān)系 S x 就是函數(shù)關(guān)系。即對(duì)于邊長(zhǎng) x 的每一個(gè)確定的值，都有面積 S 的惟一確定的值與之對(duì)應(yīng)。相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系。例如人的身高與年齡；商品的銷(xiāo)售額與廣告費(fèi)等等都是相關(guān)關(guān)系.（2）函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系。例如有人發(fā)現(xiàn)，對(duì)于在校兒童，身高與閱

3、讀技能有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系。然而學(xué)會(huì)新詞并不能使兒童馬上長(zhǎng)高，而是涉及到第三個(gè)因素年齡，當(dāng)兒童長(zhǎng)大一些，他們的閱讀能力會(huì)提高而且由于長(zhǎng)大身高也會(huì)高些。（3）函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系之間有著密切聯(lián)系，在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化。例如正方形面積 S 與其邊長(zhǎng) x 間雖然是一種確定性關(guān)系，但在每次測(cè)量邊長(zhǎng)時(shí)，由于測(cè)量誤差等原因，其數(shù)值大小又表現(xiàn)出一種隨機(jī)性。而對(duì)于具有線性關(guān)系的兩個(gè)變量來(lái)說(shuō)，當(dāng)求得其回歸直線后，我們又可以用一種確定性的關(guān)系對(duì)這兩個(gè)變量間的關(guān)系進(jìn)行估計(jì)。相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在，從某種意義上講，函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模型，而相關(guān)關(guān)系是一種更為一般的情況。因此研究相關(guān)關(guān)系，不僅可使我們處理更

4、為廣泛的數(shù)學(xué)1 / 4 方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無(wú)意義。四應(yīng)用回歸分析解決問(wèn)題的一般步驟12345678身高/cm體重/kg1651756448解：1、選取身高為自變量 x，體重為因變量 y，作散點(diǎn)圖：2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫(huà)2 / 4 它們之間的關(guān)系。3、從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上如下圖，所以不能用一次函數(shù) y=bx+a 描述它們關(guān)系。中國(guó)GDP散點(diǎn)圖120000D199219931994199519961997199819992000200120022003年我們可以用線性回歸模型

5、來(lái)表示：y=bx+a+ ，其中 a 和 b 為模型的未知參數(shù)， 稱(chēng)為隨機(jī)誤差。根據(jù)最小二乘法估計(jì)a 和b 就是未知參數(shù) a 和 b 的最好估計(jì)，n x y nx yii 0.849 85.712a y bx于是有 b=i1n x nx22ii1 0.849 85.712.所以回歸方程是 yx所以，對(duì)于身高為 172cm 的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報(bào)其體重為y 0.849 72 85.712 60.316kg .對(duì)以上案例提出問(wèn)題問(wèn)題 1.身高為 172cm 的女大學(xué)生的體重一定是 60.316kg 嗎？答：身高為 172cm 的女大學(xué)生的體重不一定是 60.316kg，但一般可以認(rèn)為她的體重

6、在60.316kg 左右。問(wèn)題 2.產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng) 的原因是什么？隨機(jī)誤差 的來(lái)源(可以推廣到一般）：(1)、其它因素的影響：影響身高 y 的因素不只是體重 x，可能還包括遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長(zhǎng)環(huán)境等因素；(2)、用線性回歸模型近似真實(shí)模型所引起的誤差；(3)、身高 y 的觀測(cè)誤差.問(wèn)題 3. 線性回歸模型與一次函數(shù)的不同：事實(shí)上，觀察上述散點(diǎn)圖，我們可以發(fā)現(xiàn)女大學(xué)生的體重 和身高 之間的關(guān)系并不能yx3 / 4 用一次函數(shù) 來(lái)嚴(yán)格刻畫(huà)（因?yàn)樗械臉颖军c(diǎn)不共線，所以線性模型只能近似地刻y bx a畫(huà)身高和體重的關(guān)系）. 在數(shù)據(jù)表中身高為 165cm 的 3 名女大學(xué)生的體重分別為 48kg、57kg和 61kg，如果能用一次函數(shù)來(lái)描述體重與身高的關(guān)系，那么身高為165cm 的 3 名女在學(xué)生的體重應(yīng)相同. 這就說(shuō)明體重不僅受身高的影響還受其他因素的影響，把這種影響的結(jié)果 （稱(chēng) 為隨機(jī)誤差或殘差變量）引入到線性函數(shù)模型中，得到線性回歸模型 y bx a，其中變