專接本高等數(shù)學(xué)題

1、專接本 高等數(shù)學(xué)題河北省普通高等學(xué)校?？平颖究平逃舱n考試 高等數(shù)學(xué)題型分類與例題解析 第一章 函數(shù) 極限 連續(xù) 一、函數(shù) 1、求函數(shù)值 方法 將給定的自變量值代入函數(shù)解析式。 (1)初等函數(shù)的函數(shù)值 例1 設(shè)函數(shù)求。 解 因為。 2)分段函數(shù)的函數(shù)值 (方法分段函數(shù)求函數(shù)值時首先確定屬于函數(shù)表達式中自變量哪一段變化范圍然后再將代入該段相應(yīng) 的表達式中。 例2 設(shè)函數(shù)求。 解 因為。 (3)隱函數(shù)的函數(shù)值 方法將自變量值代入確定隱函數(shù)的方程,解得就是所求的函數(shù)值。 例3 設(shè)方程確定函數(shù)求。 解 將代入方程式解得即為所求。 2、求初等函數(shù)的定義域 思路利用基本初等函數(shù)的定義域和以下原則:兩個函

2、數(shù)之和,差,的定義域是各自定義域的交集。 例4 求以下函數(shù)的定義域。 解 ,1,由不等式組 得解集就是所求定義域。 ,2,。 說明 題,2,中不等式如果化為將增加解題的難度。 例5 函數(shù)的定義域是, ,。 分析 本題可以采用單項選擇題的“特例排除法”求解。注意4個備選答案的區(qū)別僅在于區(qū)間的端點因此只需檢查-1和1是否在函數(shù)的定義域內(nèi)。 解 使得表達式中分母為零使得表達式中對數(shù)的真數(shù)為零可見這兩點都不在函數(shù)的定義域內(nèi)排除,B, ,C,D,選擇,A,。 例6 設(shè)函數(shù)的定義域是-44求函數(shù)的定義域。 分析 本題其實就是求不等式組的解集。 解 。 例7 設(shè)函數(shù)的定義域是,03,求函數(shù)的定義域。 分析

3、參看例6只需求各自定義域的交集。 解 由不等式組得解集,12,即為所求。 3、判斷函數(shù)的相同 思路兩函數(shù)相同的充要條件是它們的定義域相同且對應(yīng)法則也相同,即對于定義域中的每個自變量值按照兩個對應(yīng)法則所得到的因變量值都相同,。 兩函數(shù)不相同的充要條件是它們的定義域不同或值域不同或?qū)?yīng)法則不同。 例8 以下函數(shù)中與函數(shù)相同的函數(shù)是 。 解 只有(3)。注意(2)、(4)和(5)的定義域都不是全體實數(shù)與的定義域不同,(1)和(6)的值域都不是全體實數(shù) 與的值域不同。 4、判斷函數(shù)的奇偶性 方法(1,用定義:則是偶函數(shù),則是奇函數(shù)。,2,用函數(shù)圖像 的對稱性:奇,偶,函數(shù)的圖像關(guān)于原點,y軸,對稱。,

4、3,利用基本初等函數(shù)的已知奇偶性和以下結(jié)論:兩個奇,偶,函數(shù)的和還是奇,偶,函數(shù),兩個奇,偶,函數(shù)的積是偶函數(shù),一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù),兩個奇函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù),一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)或兩個偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是偶函數(shù)。 注意,1,常數(shù)函數(shù)是唯一的既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)。,2,奇函數(shù)與偶函數(shù)之和如果不恒等于零則它既非奇 函數(shù)又非偶函數(shù)。,3,定義域不是關(guān)于原點對稱的區(qū)間的函數(shù)一定既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)。 例9 判斷以下函數(shù)的奇偶性。 解(1)兩個奇函數(shù)之積是偶函數(shù)。(2)奇函數(shù)與偶函數(shù)之和非奇非偶函數(shù)。(3)定義域不關(guān)于原點對稱非奇 非偶。(4),但是 :奇函數(shù)。 5、

5、判斷函數(shù)的周期性，求周期函數(shù)的周期 方法,1,用定義:若存在非零實數(shù)使得則是以為周期的周期函 數(shù),2,求三角函數(shù)的周期時可將其化為形如 的函數(shù)其周期分別是, ,。 注意 通常所說的周期是指最小正周期。 例10 函數(shù)的最小正周期是, ,。 解 因而的周期是則周期是。選,。 說明 常數(shù)函數(shù)以任何非零實數(shù)為周期。 例11 以下函數(shù)中哪些是周期函數(shù),并寫出其最小正周期。 。 解 ,1,不是周期函數(shù),2,借助于函數(shù)的圖像可知周期是,3,將表達式化為 易知周期為。 例12 關(guān)于函數(shù)有以下4個命題:?它是單調(diào)函數(shù),?它是奇函數(shù),?它是周期函數(shù),?它是有界函數(shù)。其中真 命題是 。 解 應(yīng)填?和?。 6、函數(shù)的

6、復(fù)合 例13 設(shè)求 解 7、已知復(fù)合函數(shù)的表達式和的表達式，求的表達式 方法(1,先作變量代換求出的表達式。,2,將寫成的函數(shù)再作變量代換。 例14 已知求。 解1 令則,代入題設(shè)函數(shù)式:則。 解2 ，即。 例15 已知求。 解 。 (二)極限 1、極限的定義與性質(zhì) 例1 數(shù)列的極限, ,。 ,A,等于0 ,B,等于1 ,C,等于0或1 ,D,不存在 分析 一個數(shù)列如果有兩個子數(shù)列趨于不同的極限該數(shù)列極限一定不存在。 解 選,D,。 例2 ,1,如果數(shù)列收斂、發(fā)散則一定發(fā)散嗎,也一定發(fā)散嗎,2,如果數(shù)列、 都發(fā)散則也發(fā)散嗎, 解,1,必發(fā)散否則由極限運算法則存在。矛盾。但是不一定 發(fā)散:當收斂

7、但極限不是零時仿,1,可證明一定發(fā)散,但是當收斂于零時有可能收斂 如也有可能發(fā)散如。 ,2,不一定發(fā)散。例如都發(fā)散但是收斂。 2、求數(shù)列的極限 (1)如果數(shù)列的通項公式能夠?qū)懗觯瑒t得出通項公式再求極限。 例3 求以下極限。; 。 解,1, 則 原式。 ,2,由等差數(shù)列求和公式:原式。 ,3,原式。其中用到等比數(shù)列求和公式。 (2)利用極限存在的夾逼準則 思路將數(shù)列分別適當放大和縮小到容易求出極限且極限相等的兩個數(shù)列。 例4 求極限。 分析:本例的數(shù)列中不能表示為初等函數(shù)當自變量取自然數(shù)的特例因此不能用洛必達法則?？紤]用夾逼準則計算就 是將數(shù)列適當?shù)胤趴s成兩個容易求出極限的數(shù)列。 解 注意而。由

8、夾逼準則 (3)利用初等函數(shù)的極限 思路如果數(shù)列可以表示為其中是實變量函數(shù)且,或,或 ,則。 參看例7,2,例8,1,。 3、初等函數(shù)的極限 (1)利用初等函數(shù)的連續(xù)性 方法設(shè)在連續(xù)則。 例如等。 (2)利用無窮小與無窮大的倒數(shù)關(guān)系 例5 求極限 分析 當時,另一方面函數(shù)當時極限分別存在但不相等。因此本題 要分別計算左、右極限。 解:可見極限不存在。 (3)運用極限的四則運算法則 例6 求極限。 分析 這兩個極限的共同特點是當時分式的分子、分母同時趨于零原因是分子、分母中都含有零因式 因此只需將這個公因式分離出來并且約分即可。 解,1,原式。 ,2,將分子有理化則原式。 說明 分子分母同時趨于

9、零的極限屬于型未定式也可以用洛必達法則求解。 例7 求極限。 分析 題,1,的特點是分式的分子、分母同時趨于無窮大。這類極限的一般形式是 可以用所謂“無窮小量析出法”求解即用分子、分母中最高次冪 同時去除所有的項。結(jié)果有3種可能: ,1,時，原式;(2)時，原式;(3)時，原式。 解,1,用遍除分子、分母各項或直接用上述結(jié)論,2,:原式=3/2。 說明 題,1,屬于型未定式也可以用洛必達法則求解。 ,2,用遍除分式的每一項原式。 說明 題,2,也可以用去除分子和分母的各項。 例8 求極限。 分析 可以將視為的次冪。因此題,1,可將分子、分母同除以,題,2,在有理化之后同除以。 解,1,原式。

10、,2,原式。 例9 求極限。 分析 這是所謂型未定式需要將“差”化為“商”再求解通分即可。 解 原式 。 例10 已知求的值。 解 由題設(shè)。參看例7的分析可知必有 。 (4)利用“有界變量與無窮小的乘積是無窮小” 例11 以下極限計算錯誤的是, ,。 分析 (A)、(B)、(D)題都是有界變量與無窮小的乘積結(jié)果應(yīng)是0。(C)題經(jīng)變量代換化為正是重要極 限等于1。 解 選,A,。 (5)利用兩個重要極限 依據(jù) 例12 求極限。 解 原式其中用到重要極限和有界量與無窮小的乘積。 例13 求下列極限。. 解,1,原式. 說明 一般地有.此外注意極限 ,是常數(shù),。 ,2,原式. ,3,原式. 說明 兩

11、個重要極限分別屬于和型未定式也可以用洛必達法則求解。 (6)等價無窮小代換 依據(jù)如果在同一極限過程中是等價無窮小:則 常用的等價無窮小:當時, 等。 例14 求極限。 分析 這兩題都都可以用洛必達法則求解,不過這里用等價無窮小代換求解更為簡便。 解,1,當時,則原式 ,2,原式 (7)未定式極限:洛必達法則 ,見第二章,。 說明 使用變量代換的技巧有時可以使極限的計算更為簡便。 例15 求極限。 解 令則且當時有。則 原式。 4、分段函數(shù)在分段點處的極限 思路如果分段函數(shù)在分段點兩側(cè)不是同一表達式求極限時要分別計算左右極限,否則直接計算極限 。 例15 設(shè)為何值時極限存在, 解 例16 極限,

12、 ,。 ,A,等于1 ,B,等于-1 ,C,等于-1或1 ,D,不存在 解 因為則。選,D,。 5、無窮小的比較 依據(jù)用定義:設(shè)在同一極限過程中都是無窮小且極限,則時是比高 階的無窮小記為,時是比低階的無窮小,時是與同階的 無窮小其中當時與是等價無窮小記為。 例17 當時以下無窮小與相比哪些是高階的、同階但不等價的、等價的, 解 。 則當時(1)和(2)是比高階的無窮小,(3)與同階但不等價,(4)和(5)是與等價的無窮小。 說明 以上題(1),(2),(3),(5)在求極限時都用到等價無窮小代換。 例18 當時以下函數(shù)與為等價無窮小的是, ,。 分析 (D)不是無窮小;(A)是與同階但不等價

13、的無窮小;(B)是比低階的無窮小。 解 選,C,:用等價無窮小代換有 。 (三)函數(shù)的連續(xù)性 1、分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性 依據(jù)函數(shù)在點連續(xù)存在且存在并等于。 例1 已知函數(shù) 在連續(xù)求的值。 解 。 由題意和連續(xù)性定義必有。 例2 討論函數(shù)的連續(xù)性。 解 可見在處是連續(xù)的, 在:在連續(xù)。 因此在定義域上連續(xù)。 2、函數(shù)的間斷點及分類 依據(jù)(1)如果函數(shù)在點無定義或極限不存在或該極限雖存在但不等于則是 的間斷點。,2,初等函數(shù)若在某點無定義但在該點兩側(cè)有定義則該點是它的間斷點。,3,若是的間斷點 且在的左右極限都存在稱是的第一類間斷點其中當左右極限相等時稱是的可去間 斷點,凡不是第一類間斷點的

14、間斷點稱為第二類間斷點。 例3 是函數(shù)的, ,。 ,A,連續(xù)點 ,B,可去間斷點 ,C,第一類不可去間斷點 ,D,第二類間斷點 解 函數(shù)在無定義排除,A,極限,有界變量與無窮小的乘積,選,B,. 例4 求函數(shù)的全部間斷點并指出其類型。 解 這是初等函數(shù)通過求定義域可知間斷點有。 是可去間斷點, 都不存在和都是第二類間斷點。 函數(shù)的間斷點的個數(shù)為, ,。 例5 ,A,0 ,B,1 ,C,2 ,D,3 分析 這是初等函數(shù)求出它的定義域就能找到間斷點。 解 函數(shù)的定義域是則間斷點是。選,C,. 3、求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間 思路,1,函數(shù)的定義區(qū)間與其間斷點集合的差集就是它的連續(xù)區(qū)間。,2,初等函數(shù)的定義區(qū)

15、間就是它的連續(xù)區(qū)間。 例6 求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。 解 這是初等函數(shù)定義域這就是函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。 4、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性定理最大最小值定理介值定理零點定理, 例7 如果函數(shù)在某個閉區(qū)間上連續(xù)則它在該區(qū)間上一定, ,。 ,A,可導(dǎo) ,B,可微 ,C,單調(diào) ,D,有界 解:由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理選,D,。 說明 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)、可微、單調(diào)例如。 5、方程實根的個數(shù)或位置的判斷 思路如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)且則方程在開區(qū)間內(nèi)至少有一個實 根。 說明 方程的實根就是函數(shù)的零點。 例8 證明方程至少有一個正根。 分析 構(gòu)造一個輔助函數(shù)使它在一個閉的正區(qū)間上連續(xù)且在區(qū)間兩端點異號

16、。 證 令則該函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且。由零 點存在定理存在即方程至少有一正根。 說明 (1)應(yīng)用零點存在定理只能證明某個方程在某個區(qū)間內(nèi)至少有一實根但是不能說明在區(qū)間內(nèi)至多有多少實根。,2,如果在證明了函數(shù)零點存在性之后還要證明其唯一性則只需證明函數(shù)是嚴格單調(diào)的函數(shù)。這需要用導(dǎo)數(shù)的符號來判斷,第二章,。 第二章 一元函數(shù)微分學(xué) (一)導(dǎo)數(shù) 1、導(dǎo)數(shù)的定義: 結(jié)論,1,函數(shù)在一點可導(dǎo)的充要條件是在該點的左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。,2,若函數(shù)在一點可導(dǎo)則函數(shù)在該點一定連續(xù)。 例1 已知在處可導(dǎo)且求。 提示 這類題目的一般解法是將所給極限式化為導(dǎo)數(shù)定義中的極限式與某個常數(shù)的乘積。 解 由題設(shè)所以。 例2 已

17、知在處可導(dǎo)則 提示 參看例1的提示。 解 原式 。 例3 確定的值使函數(shù) 在處可導(dǎo)。 提示 函數(shù)在一點可導(dǎo)則在該點必連續(xù)。 解 由題意函數(shù)在必連續(xù)則 ,*, 其次 由,*,式因此。 由可導(dǎo)的充要條件有,再由,*,式。 例4 若在處可導(dǎo)在處不可導(dǎo)那么, ,。 均在處不可導(dǎo) 均在處可導(dǎo) 在處不可導(dǎo)而在處未必不可導(dǎo) 在處可導(dǎo)而在處未必不可導(dǎo) 解 選,C,理由參看第一章,二,例2。 例5 在,-11,內(nèi)有定義且。則在, , ,A,極限不存在 ,B,極限存在但不等于零 ,C,不連續(xù) ,D,連續(xù) 分析 由題意可以得出即函數(shù)在可導(dǎo)因此必定連續(xù)從而極限 存在且等于零,即,。選,D,。 說明 本題主要考查“連續(xù)

18、是可導(dǎo)的必要條件”。 2、求函數(shù)的(一階)導(dǎo)數(shù) (1)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 思路運用基本求導(dǎo)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計算。 例6 求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 解 , ,3,先化簡 說明 (1,應(yīng)當作為結(jié)論直接使用,2,常見的冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)作為結(jié)論記憶和運用例如 等。,3,有時先將函數(shù)表達式化簡再求導(dǎo)數(shù)會簡便些如例6,3,題。 例7 設(shè)求。 解1 根據(jù)乘積的求導(dǎo)法則有其中 。由此可知 解2 因為則 例8 已知函數(shù)可導(dǎo)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 解 。 (2)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 方法(1)對確定隱函數(shù)的方程式兩邊同時求導(dǎo)。,2)用隱函數(shù)求導(dǎo)公式,見第五章, 例9 求由方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 解 方程兩邊同時對

19、求導(dǎo)得到 即。 說明 在對方程兩邊同時求導(dǎo)時實際上將視為中間變量例如。 例10 設(shè)函數(shù)由方程確定求。 解 方程兩邊對求導(dǎo): ,*, 將代入方程解得,再將代入,*,式整理得到。 說明 本題也可以由,*,式先整理出再將數(shù)值代入求解不過稍嫌繁瑣。 (3)參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 方法對于參數(shù)方程確定的函數(shù)有。 例11 設(shè) 求。 解 。 (4)取對數(shù)求導(dǎo)法 方法對于形如的所謂“冪指函數(shù)”和由多個因式的積、商、冪構(gòu)成的函數(shù)可以先對函數(shù)表達 式兩邊同時取自然對數(shù)然后用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)數(shù)。 例12 求 解,1,取對數(shù)等號兩邊同時求導(dǎo): 。 說明 冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可以借助對數(shù)恒等式求解例如本題的又一解法是:

20、。 ,2,取對數(shù)則 說明 由本題可以看出取對數(shù)的目的是使乘冪化為乘除、乘除化為加減。 3、求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) (1)初等函數(shù)的2階導(dǎo)數(shù) 例13 已知函數(shù)有2階導(dǎo)數(shù)求的2階導(dǎo)數(shù)。 解 例14 求的2階導(dǎo)數(shù)。 解 說明 求函數(shù)的2階導(dǎo)數(shù)是在1階導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上進行的因此求出1階導(dǎo)數(shù)后的化簡有時很重要。本題如果不對1階導(dǎo)數(shù)的結(jié)果進行化簡計算2階導(dǎo)數(shù)就將十分繁瑣。 (2)隱函數(shù)的2階導(dǎo)數(shù) 方法(1)對已整理出的一階導(dǎo)數(shù)表達式的兩邊繼續(xù)求導(dǎo)。,2,對確定隱函數(shù)的方程式兩邊連續(xù)求導(dǎo)兩次。 例15 對例7方程式確定的函數(shù)求。 解1 例7已求得。繼續(xù)求導(dǎo):。 解2 例7已求得 ,*,并得出 ,*,。 對方程,*,繼

21、續(xù)求導(dǎo):整理并將,*,代入: 。 (3)參數(shù)方程確定的函數(shù)的2階導(dǎo)數(shù) 方法將一階導(dǎo)數(shù)的結(jié)果記為則。 例16 設(shè) 求。 解 。 (4)求函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)的通項公式 思路通過求函數(shù)的前幾階導(dǎo)數(shù)歸納、猜測它的階導(dǎo)數(shù)的表達式。 例17 求階導(dǎo)數(shù)。 解 則 , 則 , 則 。 說明 嚴格地說通過歸納得到的的表達式還需用數(shù)學(xué)歸納法的證明本課對此未作要求因此至少應(yīng)求出34階導(dǎo) 數(shù)后再進行歸納而且在歸納出的表達式后最好將代如進行驗證。 (二)微分 1、微分的定義和性質(zhì) 依據(jù)當時函數(shù)在處可微微分。 當時是比高階的無窮小。 例1 當時是比高階的無窮小求。 提示 這是考查微分的定義。 解 依題意 2、求函數(shù)的微分

22、方法(1)利用微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系通過計算導(dǎo)數(shù)來得出微分,2,直接運用微分公式和法則計算微分, ,3,復(fù)合函數(shù)的微分也可用微分形式不變性計算。 一階微分形式不變性:不論是自變量還是中間變量都有。 例2 已知求。 解1 令,則 解 2 例3 設(shè)求。 提示 這是隱含數(shù)求微分。 解1 用隱函數(shù)求導(dǎo)法先求:先將方程左邊化為 , 求導(dǎo):整理得到 解2 用一階微分形式不變性。等號兩邊同時取微分: 化簡:。 (三)中值定理 1、羅爾定理，拉格朗日中值定理 例1 以下函數(shù)中在區(qū)間-11上滿足羅爾定理的是, ,。 解 在指定區(qū)間內(nèi),A,不連續(xù),B,不可導(dǎo),C,在區(qū)間端點的值不相等。則應(yīng)選,D,。 例2 函數(shù)在區(qū)間-13上滿足拉格朗日中值定理的 解 ,由拉格朗日中值定理 為所求的點。 例3 在上連續(xù),