2019-2020學(xué)年人教A版必修-第一冊(cè)2.2-基本不等式-教案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.2 基本不等式（共2課時(shí)）（第1課時(shí)）本節(jié)課是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1第二章第二節(jié)基本不等式第1課時(shí)。從內(nèi)容上看學(xué)生原有知識(shí)的掌握情況為：初中的勾股定理知識(shí)及三角形相似的知識(shí)、圓的相關(guān)知識(shí)，會(huì)用作差比較法證明簡(jiǎn)單的不等式，所以在學(xué)法上要指導(dǎo)學(xué)生：從代數(shù)與幾何的角度理解基本不等式。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察幾何圖形，進(jìn)行幾何與代數(shù)的結(jié)合運(yùn)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)結(jié)合的思想觀點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。課程目標(biāo)學(xué)科

2、素養(yǎng)A. 推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)數(shù)相等；B.通過實(shí)例探究抽象基本不等式；通過多媒體體會(huì)基本不等式等號(hào)成立條件,進(jìn)一步掌握基本不等式；C. 積極倡導(dǎo)同學(xué)們進(jìn)行幾何與代數(shù)的結(jié)合運(yùn)用，發(fā)現(xiàn)各種事物之間的普遍聯(lián)系.a.數(shù)學(xué)抽象：將問題轉(zhuǎn)化為基本不等式；b.邏輯推理：通過圖形，分析法與綜合法等證明基本不等式；c.數(shù)學(xué)運(yùn)算：準(zhǔn)確熟練運(yùn)用基本不等式；d.直觀想象：運(yùn)用圖像解釋基本不等式；e.數(shù)學(xué)建模：將問題轉(zhuǎn)化為基本不等式解決；1.教學(xué)重點(diǎn)：從不同角度探索不等式的證明過程，會(huì)用此不等式求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的最值；2.教學(xué)難點(diǎn)：基本不

3、等式等號(hào)成立條件；多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)（一）、情景導(dǎo)學(xué)如圖是在北京召開的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，趙爽是為了證明勾股定理而繪制了弦圖。弦圖既標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就，又象一只轉(zhuǎn)動(dòng)的風(fēng)車，歡迎來自世界各地的數(shù)學(xué)家們。教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系思考1：這圖案中含有怎樣的幾何圖形？思考2：你能發(fā)現(xiàn)圖案中的相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？（二）、探索新知1探究圖形中的不等關(guān)系將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a,b（ab）,那么正方形的邊長(zhǎng)為這樣，4個(gè)直角三角形的面積

4、的和是2ab，正方形的面積為由于4個(gè)直角三角形的面積之和小于正方形的面積，我們就得到了一個(gè)不等式：當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有（通過幾何畫板演示當(dāng)a=b時(shí)的圖像）2得到結(jié)論（重要不等式）：一般的，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b，我們有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。3思考證明：你能給出它的證明嗎？（設(shè)計(jì)意圖：證明：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立4（1）基本不等式：如果a0,b0,我們用、分別代替a、b ，可得，通常我們把上式寫作：基本不等式（a0,b0)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）5.基本不等式：（1）在數(shù)學(xué)中，我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a、b的幾何平均

5、數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).此不等式又叫均值不等式。（2）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式如果學(xué)生類比重要不等式的證明給出證明，再介紹書上的分析法。用分析法證明：證明不等式證明：要證只要證只要證只要證顯然，是成立的當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，（3）中的等號(hào)成立（3）理解基本不等式的幾何意義探究：你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？在右圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC=a,BC=b過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD(1)AB表示什么?(2)表示哪個(gè)線段？(3)對(duì)應(yīng)哪個(gè)線段呢？（4）OD與CD的大小關(guān)系如何？易證tADtDB，那么D2AB即D

6、.這個(gè)圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即ab時(shí)，等號(hào)成立.因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”【歸納總結(jié)】1、由趙爽弦圖我們得到了重要不等式：通過換元我們得到了基本不等式：（2）兩個(gè)不等式的區(qū)別和聯(lián)系：區(qū)別： a,b范圍不同;聯(lián)系:等號(hào)成立的條件相同（3）從形的角度來看，基本不等式具有特定的幾何意義；從數(shù)的角度來看，基本不等式揭示了“和”與“積”這兩種結(jié)構(gòu)間的不等關(guān)系（三）典例解析利用基本不等式求最值解析：解析：基本不等式的使用條件解析：解: , 當(dāng)且僅當(dāng) 2x=(1-2x), 即時(shí), 取“=”號(hào).當(dāng)時(shí), 函數(shù)y=x(1-2x)的最大值是.跟蹤訓(xùn)練通

7、過介紹第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)的背景，進(jìn)行設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生觀察分析，發(fā)現(xiàn)圖形中蘊(yùn)藏的基本不等式，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)，同時(shí)滲透數(shù)學(xué)文化，和愛國(guó)主義教育。通過圖形得到了重要不等式的幾何解釋，為了更準(zhǔn)確地感知和理解，再?gòu)臄?shù)學(xué)的邏輯方面給出證明，不僅培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度，而且還可以從中學(xué)習(xí)到分析法證明的大體過程，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)。從不同的側(cè)面理解不等式，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)。；通過典型例題的解析和跟蹤練習(xí)，讓學(xué)生明確運(yùn)用基本不等式的三個(gè)關(guān)鍵步驟；一正、二定、三相等，發(fā)展嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的思考習(xí)慣，訓(xùn)練思維的靈活性。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1下列不等

8、式中，正確的是()Aaeq f(4,a)4Ba2b24abC.eq r(ab)eq f(ab,2)Dx2eq f(3,x2)2eq r(3)解析：選D.a0，則aeq f(4,a)4不成立，故A錯(cuò)；a1，b1，a2b24ab，故B錯(cuò)，a4，b16，則eq r(ab)eq f(ab,2)，故C錯(cuò)；由基本不等式可知D項(xiàng)正確2若a1，則aeq f(1,a1)的最小值是()A2 BaC.eq f(2r(a),a1)D3解析：選D.a1，所以a10，所以aeq f(1,a1)a1eq f(1,a1)12eq r(（a1）f(1,a1)13.當(dāng)且僅當(dāng)a1eq f(1,a1)即a2時(shí)取等號(hào)3若a，b都是正數(shù)

9、，則eq blc(rc)(avs4alco1(1f(b,a)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(4a,b)的最小值為()A7 B8C9 D10解析：選C.因?yàn)閍，b都是正數(shù)，所以eq blc(rc)(avs4alco1(1f(b,a)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(4a,b)5eq f(b,a)eq f(4a,b)52eq r(f(b,a)f(4a,b)9，當(dāng)且僅當(dāng)b2a0時(shí)取等號(hào)4已知x0，y0，且eq f(1,x)eq f(9,y)1，則xy的最小值為_解析：xy(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(9,y)10eq f(y,x)eq

10、 f(9x,y)102eq r(f(y,x)f(9x,y)10616.即x4，y12時(shí)等號(hào)成立，所以xy的最小值為16.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生運(yùn)用基本不等式解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。四、小結(jié)本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2b22ab；基本不等式；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（），幾何平均數(shù)（）及它們的關(guān)系（）.它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù).它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用).五、作業(yè)1.習(xí)題2.21,2,4,5題2. 預(yù)習(xí)下節(jié)課內(nèi)容生學(xué)生根據(jù)課堂學(xué)

11、習(xí)，自主總結(jié)知識(shí)要點(diǎn)，及運(yùn)用的思想方法。注意總結(jié)自己在學(xué)習(xí)中的易錯(cuò)點(diǎn)；2.2.2基本不等式（第2課時(shí)）本節(jié)課是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1第二章第二節(jié)基本不等式第2課時(shí)。從內(nèi)容上看是對(duì)基本不等式在實(shí)際問題中應(yīng)用的學(xué)習(xí)，通過問題解決，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在學(xué)法上要指導(dǎo)學(xué)生：從實(shí)際問題中列出數(shù)量關(guān)系式，進(jìn)而運(yùn)用基本不等式解應(yīng)用題，數(shù)學(xué)建模能力也是本節(jié)要體現(xiàn)的重要素養(yǎng)。對(duì)例題的處理可讓學(xué)生先思考，然后師生共同對(duì)解題思路進(jìn)行概括總結(jié)，使學(xué)生更深刻地領(lǐng)會(huì)和掌握解應(yīng)用題的方法和步驟。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.能夠運(yùn)用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問題；B. 圍

12、繞如何引導(dǎo)學(xué)生分析題意、設(shè)未知量、找出數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解這個(gè)中心。例題的安排從易到難、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知水平；C.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)以及思維的創(chuàng)新性和深刻性.a.數(shù)學(xué)抽象：在實(shí)際問題中抽象出不等式；b.邏輯推理：運(yùn)用基本不等式求最值的條件；c.數(shù)學(xué)運(yùn)算：靈活運(yùn)用基本不等式求最值；d.直觀想象：運(yùn)用圖像解釋基本不等式；e.數(shù)學(xué)建模：將問題轉(zhuǎn)化為基本不等式解決；1.重點(diǎn)：在實(shí)際問題中建立不等關(guān)系，并能正確運(yùn)用基本不等式求最值；2.難點(diǎn)：注意運(yùn)用不等式求最大（?。┲档臈l件多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)（一）、小試牛刀1判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)對(duì)

13、任意的a，bR，若a與b的和為定值，則ab有最大值()(2)若xy4，則xy的最小值為4.()(3)函數(shù)f(x)x2eq f(2,x21)的最小值為2eq r(2)1.()答案：（1） （2） （3） 2已知xy1且x0，y0，則eq f(1,x)eq f(1,y)的最小值是()A2B3C4 D6解析：法一：eq f(1,x)eq f(1,y)eq f(xy,xy)eq f(1,xy)eq f(1,blc(rc)(avs4alco1(f(xy,2)2)4，當(dāng)且僅當(dāng)xyeq f(1,2)時(shí)取等號(hào)，法二：eq f(1,x)eq f(1,y)eq f(xy,x)eq f(xy,y)2eq f(y,x

14、)eq f(x,y)4，當(dāng)且僅當(dāng)xyeq f(1,2)時(shí)取等號(hào)答案：C（二）、探索新知問題1.用籬笆圍成一個(gè)面積為100m的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？ABDC解：（1）設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為 m,寬為 m,則籬笆的長(zhǎng)為2（）m由，可得，2（）等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬為10 m時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆為40m結(jié)論1：兩個(gè)正變量積為定值，則和有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)兩變量值相等時(shí)取最值.簡(jiǎn)記“積定和最小”.問題2.用段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？解：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為 m,寬為 m

15、,則2（）=36，=18，矩形菜園的面積為，由可得,可得等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為9 m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積為81結(jié)論2：兩個(gè)正變量和為定值，則積有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)兩變量值相等時(shí)取最值.簡(jiǎn)記“和定積最大”.（三）典例解析均值不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用例1、某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方形無蓋貯水池，其容積為4800深為3 m。如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低造價(jià)為多少元？分析：若底面的長(zhǎng)和寬確定了，水池的造價(jià)也就確定了，因此可轉(zhuǎn)化為考察底面的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，水池的總造價(jià)最低。解：設(shè)底面的長(zhǎng)為m,寬為 m, 水池總造價(jià)為元

16、，根據(jù)題意，有由容積為4800可得由基本不等式與不等式性質(zhì)，可得即，可得等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)所以,將水池的地面設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為40 m的正方形時(shí)總造價(jià)最低,最低造價(jià)為元跟蹤訓(xùn)練1.某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個(gè)矩形綜合性休閑廣場(chǎng)，其總面積為3 000 m2，其中場(chǎng)地四周(陰影部分)為通道，通道寬度均為2 m，中間的三個(gè)矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地(其中兩個(gè)小場(chǎng)地形狀相同)，塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地占地面積為S平方米(1)分別寫出用x表示y和S的函數(shù)關(guān)系式(寫出函數(shù)定義域)；(2)怎樣設(shè)計(jì)能使S取得最大值，最大值為多少？解析(1)由已知xy3 000,2a6y，則yeq f(3 000,

17、x)(6x500)，S(x4)a(x6)a(2x10)a(2x10)eq f(y6,2)(x5)(y6)3 0306xeq f(15 000,x)(6x0,b0,a+b=1,所以1+1a=1+a+ba=2+ba,同理1+1b=2+ab,故1+1a1+1b=2+ba2+ab=5+2ba+ab5+4baab=5+4=9.所以1+1a1+1b9當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí),等號(hào)成立跟蹤訓(xùn)練1.已知：a，b，cR，求證：eq f(bc,a)eq f(ca,b)eq f(ab,c)abc.證明：由基本不等式：eq f(bc,a)eq f(ca,b)2 eq r(f(bc,a)f(ca,b)2c，同理：eq f

18、(ca,b)eq f(ab,c)2a，eq f(ab,c)eq f(bc,c)2b.三式相加即得：eq f(bc,a)eq f(ca,b)eq f(ab,c)abc(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取“”)【歸納總結(jié)】利用不等式a2b22ab和ab2eq r(ab)(a0，b0)時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)式子恰當(dāng)?shù)刈冃危侠碓斐伞昂褪健迸c“積式”的互化，必要時(shí)可多次應(yīng)用通過課堂小測(cè)，了解學(xué)生對(duì)基本不等式的掌握情況，暴露問題及時(shí)糾正。通過解題培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過簡(jiǎn)單的應(yīng)用性問題，讓學(xué)生體會(huì)在實(shí)際問題中運(yùn)用基本不等式的步驟。培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過典型例題解析，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。；通過典型例題的解析和跟蹤練習(xí)，讓學(xué)生總結(jié)歸納，運(yùn)用基本不等式解決應(yīng)用問題的基本步驟。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1已知正數(shù)a、b滿足ab10，則ab的最小值是()A。10 B2