中考專題四四邊形

1、1、23456789123456、專題四：四邊形復(fù)習(xí)目標(biāo)掌握四邊形內(nèi)角和與外角和都等于360的性質(zhì)；了解四邊形的不穩(wěn)定性的應(yīng)用及放止不穩(wěn)定性的措施。理解多邊形的有關(guān)概念；理解多邊形的內(nèi)角和定理及其推論，會用多邊形內(nèi)角和定理、外角和定理進(jìn)行計算。會用平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的性質(zhì)和判定進(jìn)行計算和證明，能夠計算平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的面積。了解中心對稱和中心對稱圖形的概念，掌握中心對稱的性質(zhì)，并且能夠解釋現(xiàn)實(shí)生活中的有關(guān)現(xiàn)象。掌握梯形、等腰梯形、直角梯形等概念，掌握等腰梯形“同一底上的兩角相等和兩條對角線相等”的性質(zhì)，掌握等腰梯形的判定定理，并且能夠熟練地應(yīng)用這些知識進(jìn)行

2、有關(guān)的計算和證明。掌握平行線等分線段定理及其推論，會用它等分一條已知線段，掌握梯形中位線定理，會用它們進(jìn)行有關(guān)的計算和證明。會用割、補(bǔ)等方法計算特殊四邊形的面積和不規(guī)則圖形的面積。知道任意一個三角形、四邊形和正六邊形可以密鋪，并且運(yùn)用這幾種圖形進(jìn)行簡單的密鋪設(shè)計。本專題重點(diǎn)考查方程思想、對稱思想及轉(zhuǎn)化思想，并且考查識別圖形的能力、動手操作的能力、運(yùn)用幾何知識解決實(shí)際問題的能力以及探索問題、發(fā)現(xiàn)問題的能力。知識要點(diǎn)：四邊形的有關(guān)概念：（1）四邊形的定義：在平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形。（2）凸四邊形：把四邊形的任何一邊向兩方延長，如果其他各邊都在延長線的同一

3、旁，這樣的四邊形都是凸四邊形。（3）、四邊形的對角線：在四邊形中，連接不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段叫四邊形的對角線。（4）、四邊形的內(nèi)角：四邊形不相鄰的兩邊所組成的角叫做四邊形的內(nèi)角。（5）、四邊形的外角：四邊形角的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做四邊形的外角。（1）、四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于360。（2）、多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）.180（1）、四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360。（2）、多邊形的外角和定理：n邊形的外角和等于360。多邊形的對角線：（1）從n邊形的一個頂點(diǎn)可以引（n-3）條對角線，并且將n邊形分成（n-2）個三角形。（2）n邊形共有

4、n（n-3）條對角線。平行四邊形的定義：2（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。（2）表示：平行四邊形用符號“”來表示。平行四邊形的性質(zhì)：邊角-兩組對邊分別平行且相等。對角相等、鄰角互補(bǔ)。（3）對角線對角線互相平分。7、平行四邊形的面積：（1）計算公式：5=底乂高（2）等底等高的平行四邊形面積相等，等底等高的三角形的面積是平行四邊形的面積的一半。8、平行四邊形的判定：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。（1）邊兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。（2）角兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。（3）對角線對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

5、9、矩形：（1定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。廠邊：矩形的對邊平行且相等（2）性質(zhì)：矩形有平行四邊形的一切性質(zhì)角：矩形的四個角都是直角匚對角線：對角線互相平分且相等10：菱形：（1）定義：有義組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。廠邊：對邊平行、四邊相等（2）性質(zhì)角：對角相等、鄰角互補(bǔ)-對角線：互相垂直平分、每一條對角線平分一組內(nèi)角四邊相等的四邊形是菱形有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形-對角線互相垂直的平行四邊形11、正方形：（1）定義：有一個角是直角并且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫正方形邊：對邊平行、四邊相等（2）性質(zhì)：角：四個角是直角一對角線：互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組內(nèi)角有一

6、組鄰邊相等的矩形是正方形（3）判定：有一個角是直角的菱形是正方形對角線互相平分且相等的四邊形是正方形1-有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形13、中心對稱：（1）定義：把一個圖形圍繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點(diǎn)成中心對稱。這個點(diǎn)叫做對稱中心。關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形關(guān)于中心對稱的兩個圖形，其對稱點(diǎn)的連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點(diǎn)對稱14、梯形：（1）定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形。2）梯形的分類：梯形一般梯形r

7、直角梯形特殊梯形有一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形是梯形（3）梯形的判定L一組對邊平行但不相等的四邊形是梯形廠邊：兩底平行、兩腰相等（4）等腰梯形的性質(zhì)角：同一底上的兩個角相等對角線：對角線相等匸等腰梯形是軸對稱圖形，底邊的中垂線是對稱軸5）等腰梯形的判定：廠兩腰相等的梯形是等腰梯形同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形丄對角線相等的梯形是等腰梯形6）梯形常見的輔助線：15、平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。推論1：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線必平分另一腰推論2：經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平行第三邊16、梯形的中

8、位線：（1）定義：連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫梯形的中位線（2）定理：梯形的中位線平行于兩底并且等于兩底和的一半（3）梯形的面積：梯形的面積等于中位線與高的積三、考點(diǎn)分析：四邊形的知識是中考的重要內(nèi)容，幾乎覆蓋了全國各地的每一份中考試卷，試題的形式涉及填空題、選擇題、解答題等多種形式，試題的內(nèi)容大多數(shù)都聚集在平行四邊形、矩形和梯形，伴有菱形、正方形、多邊形和中心對稱問題。這部分內(nèi)容大多以考查基礎(chǔ)知識為主，在中考試卷中，很多試題都是由教材中的例題或練習(xí)題改造加工變形而來，由于這部分試題源于課本，所以難度不大，考生都能接受。但是，也由一些試題不容忽視，例如與四邊形有關(guān)的開放探索性問題、與相似形、一元二

9、次方程、三角函數(shù)、圓、函數(shù)等知識構(gòu)建起的綜合題。近兩年來，四邊形知識在中考中所占的比例由所上升，分值由2002年的8%左右上升到2003年的10%左右。據(jù)分析，2004年中考有關(guān)四邊形的試題將在保持原有的題型的基礎(chǔ)上，還將會在歸納、猜想、方案設(shè)計、閱讀、開放、探索的題型上加大力度，增強(qiáng)操作性，體現(xiàn)應(yīng)用性。四、例題分析：例1：一個多邊形的每一個內(nèi)角都等于144，求這個多邊形的邊數(shù)。分析：次題可以反用多邊形的內(nèi)角和定理，也可以用多邊形的外角和定理來求解解法一：設(shè)所求的邊數(shù)為n根據(jù)多邊形內(nèi)角和定例，得（n-2）.180=144。.n解得n=10解法二：因?yàn)槎噙呅蔚耐饨鞘桥c它有公共頂點(diǎn)的內(nèi)角的鄰補(bǔ)角,

10、所以這個多邊形的每個外角是180-144=36設(shè)所求的邊書為n，根據(jù)多邊形的外角和定理,得36.n=360解得n=10例2：（2003年四川省中考試題）下列命題中，真命題是（）A：有兩個邊相等的平行四邊形是菱形B：有一個角是直角的四邊形是矩形C：四個角相等的菱形是矩形D：兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形分析：由各類平行四邊形的判定方法可知，A、B、D都不對。其中（A）缺少了“兩鄰邊”的條件；（B）缺少了“平行四邊形”的條件；（D）缺少了“對角線互相平分”的條件；（C）中四邊形的四個角相等均為90,所以一定是矩形，既是矩形又是菱形的四邊形當(dāng)然是正方形。因此應(yīng)該選（C）例3：如圖所示各圖中

11、，每個正方形都是由四個邊長為1的小正方形組成，其中陰影部分面積為一的是（）2分析：方法一：求陰影部分面積，可以用正方形面積減去三角形面積得到A：S陰=S正方形-2丄=42X1-X1X2=22B：S陰=S正方形-2Sa=2C：S陰=S正方形S大-2S小厶=411=2D：S陰=S正方形一S大-所以應(yīng)該選擇（D）方法二：陰影部分面積為正方形面積減去一些三角形面積得到。經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)：A、B、C中減去的三角形面積都是正方形面積的一半A為左一半右一半B為一邊一半C為上一半下一半。只有D符合要求。所以應(yīng)該選擇D方法三：利用皮克公式即計算點(diǎn)陣多邊形面積公式（北師大七年級下冊教材第四頁讀一讀）S=a+-b12其

12、中a表示多邊形內(nèi)部的點(diǎn)的個數(shù)，b表示多邊形邊界上的數(shù)。A：a=1b=4S=1+12X41=2B：a=1b=4S=2C：a=1b=4S=21X5=5D：a=1b=5S=1+所以應(yīng)該選擇（D）22例4：一個正方形的邊角料如圖所示，已測得它的六個角均為120，四個邊AB=3，BC=2CD=1,DE=4，求EF、AF的長分析：解多邊形的問題通常是把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形的問題來解，此題可延長多邊形的不相鄰的三條邊，把六邊性轉(zhuǎn)化為三角形即可求得解：延長AB、CD、EF得AMNC由ZABC=ZBCD=120知ZNBC=NCB=60NBC為等邊三角形.NC=BN=BC=2,ZN=60同理：DG=EG=DE=4，

13、ZG=60.MNG為等邊三角形.MN=MG=NG=2+1+4=7MF=AF=AM=7ABBN=7-3-2=2EF=GMEGMF=742=1.EF=1AF=2例5：如圖，過正方形ABCD的頂點(diǎn)B作BE#AC，且作AE=AC,又CFAE。求證：ZE=2ZBCF分析：證明角的“倍分”問題，一般是采用“加倍”或“折半”的方法來證，但是，由于該題圖形的特殊性，不容易達(dá)到目的。但是容易發(fā)現(xiàn)AEFC是菱形，ZACE=45。如果結(jié)論成立，貝9ZACF=AEF=30。所以可利用正方形和菱形的性質(zhì)通過計算來證明CB證明：連結(jié)DB交AC于O,作AH丄EB于H。ABCD是正方形AC丄DB，AO=BOBEAC，AH丄E

14、B.AOBH為正方形AC=AE=2AH=2AO在RtAAEH中，易證ZE=30又BE#AC，CF#AE，AC=AEAEFC是菱形，ZACF=ZE=30,又ZBCF=45,ZBCF=15從而有ZE=2ZBCFPD例6：如圖在梯形ABCD中，ADBC,ZB=90,AD=24cm,AB=8cm,BC=24cm動點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿邊AD向D以1cm/s的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從C點(diǎn)開始沿CB邊向B以3cm/s的速度運(yùn)動，P、Q分別從A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到端點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，t分別為何值時，四邊形PQCD是：（1）平行四邊形？（2）等腰梯形？分析：這是一個集代數(shù)、幾何、物理于一

15、體的綜合題，該題利用到平行四邊形的判定、等腰梯形的判定、等腰梯形的性質(zhì)、物理學(xué)中的路程公式等內(nèi)容，滲透了數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想。解：（1）因?yàn)锳DBC，只要QC=PD，四邊形PQCD就是平行四邊形此時有3t=24-t,解得t=6（秒），所以當(dāng)t=6秒，四邊形PQCD是平行四邊形。（2）根據(jù)等腰梯形的定義，要使四邊形PQCD是等腰梯形，則必須有:PQ=CDPD工QC（如圖）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可知：EF=PD,QE=FC=26-24=2此時下底比上底長QE+FC=2+2=4因此有4=3t-（24-t）解得t=7（秒）所以t=7秒是，四邊形PQCD是等腰梯形五：方法引導(dǎo)：1、與多邊形的角度、邊數(shù)、對角