專(zhuān)題11 隱圓問(wèn)題(原卷版)

1、專(zhuān)題11隱圓問(wèn)題直線與圓是高中數(shù)學(xué)的C級(jí)知識(shí)點(diǎn)，是高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn)但有些時(shí)候，在條件中沒(méi)有直接給出圓方面的信息，而是隱藏在題目中的，要通過(guò)分析和轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)圓（或圓的方程），從而最終可以利用圓的知識(shí)來(lái)求解，我們稱(chēng)這類(lèi)問(wèn)題為“隱形圓”問(wèn)題類(lèi)型一利用圓的定義（到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡）確定隱形圓典例1如果圓(x2a)2(ya3)24上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_類(lèi)型二由圓周角的性質(zhì)確定隱形圓典例2已知圓O:x2y25,A,B為圓O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AB2,M為弦AB的中點(diǎn)，C22,a,D22,a2.當(dāng)A,B在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有CMD為銳角，則實(shí)數(shù)a的取值

2、范圍為_(kāi)類(lèi)型三兩定點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PAPB(0,1)確定隱形圓（阿波羅尼斯圓）典例3一緝私艇巡航至距領(lǐng)海邊界線l（一條南北方向的直線）3.8海里的A處，發(fā)現(xiàn)在其北偏東30方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍假設(shè)緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行（1）若走私船沿正東方向逃離，試確定緝私艇的追擊方向，使得用最短時(shí)間在領(lǐng)海內(nèi)攔截成功；（參考數(shù)6335.7446）據(jù)：sin173,（2）問(wèn)：無(wú)論走私船沿何方向逃跑，緝私艇是否總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截？并說(shuō)明理由1已知ABC中，ABAC3，ABC所在平面內(nèi)存在點(diǎn)P使得PB2PC23PA23

3、，則ABC3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C:x12y261和兩點(diǎn)Aa,2a,Ba,a2，且面積的最大值為_(kāi)2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B，C為圓x2y24上兩點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)，且ABAC，則線段BC的長(zhǎng)的取值范圍為_(kāi)2a1，若圓C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)P,Q，使得APBAQB90，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（1，0），B（1，0）均在圓C：x32y42r2外，且圓C上存在唯一一點(diǎn)P滿(mǎn)足APBP，則半徑r的值為_(kāi)5已知等邊ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P在線段AC上，若滿(mǎn)足等式PAPB的點(diǎn)P有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_6.已知圓O：x2y21，圓M：(xa)2(ya4

4、)21.若圓M上存在點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，使得APB60，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)B7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線l與圓C：x2y26x50相交于不同的兩點(diǎn)A，若點(diǎn)A恰為線段OB的中點(diǎn)，則圓心C到直線l的距離為_(kāi)8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)P(2，0)的直線與圓x2y21相切于點(diǎn)T，與圓(xa)2(y3)23相交于點(diǎn)R，S，且PTRS，則正數(shù)a的值為_(kāi)9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓M：(xa)2(ya3)21(a0)，點(diǎn)N為圓M上任意一點(diǎn)若以N為圓心，ON為半徑的圓與圓M至多有一個(gè)公共點(diǎn)，則a的最小值為_(kāi)10.已知線段AB的長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)C滿(mǎn)足CA

5、CB(為常數(shù))，且點(diǎn)C總不在以點(diǎn)B為圓心，為半徑的圓內(nèi)，滿(mǎn)足OCOAOB，則r的值為_(kāi)5312則實(shí)數(shù)的最大值是_B11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線yx2與圓x2y2r2(r0)交于A，兩點(diǎn)若圓上存在一點(diǎn)C，4412.已知圓M：(x1)2(y1)24，直線l：xy60，A為直線l上一點(diǎn)若圓M上存在兩點(diǎn)B，C，使得BAC60，則點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍是_13.已知點(diǎn)A(0，2)為圓M：x2y22ax2ay0(a0)外一點(diǎn)，圓M上存在點(diǎn)T使得MAT45，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O1，圓O2均與x軸相切且圓心O1，O2與原點(diǎn)O共線，O1，O2兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為6

6、，設(shè)圓O1與圓O2相交于P，Q兩點(diǎn)，直線l：2xy80，則點(diǎn)P與直線l上任意一點(diǎn)M之間的距離的最小值為_(kāi)15.已知直線l過(guò)點(diǎn)P(1，2)且與圓C：x2y22相交于A，B兩點(diǎn)，ABC的面積為1，則直線l的方程為_(kāi)16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2(y1)25，A為圓C與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過(guò)A作圓C的弦AB，記線段AB的中點(diǎn)為M.若OAOM，則直線AB的斜率為_(kāi)17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：(x1)2(y6)225，圓C2：(x17)2(y30)2r2.若圓C2上存在一點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P可作一條射線與圓C1依次交于點(diǎn)A、B，滿(mǎn)足PA2AB，則半徑r的取值范圍是_18.直角坐標(biāo)系

7、xOy中，圓C的方程為(x1)2(y1)29，直線l：ykx3與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，M為弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心，2為半徑的圓與圓C總有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)19平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：(xa)2(ya2)21，點(diǎn)A(0，2)，若圓C上存在點(diǎn)M，滿(mǎn)足MA2MO210，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_20.平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x1)2y24，P為圓C上一點(diǎn)若存在一個(gè)定圓M，過(guò)P作圓M的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，使得APB恒為60，則圓M的方程為_(kāi)專(zhuān)題11隱圓問(wèn)題直線與圓是高中數(shù)學(xué)的C級(jí)知識(shí)點(diǎn)，是高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn)但有些時(shí)

8、候，在條件中沒(méi)有直接給出圓方面的信息，而是隱藏在題目中的，要通過(guò)分析和轉(zhuǎn)化，發(fā)現(xiàn)圓（或圓的方程），從而最終可以利用圓的知識(shí)來(lái)求解，我們稱(chēng)這類(lèi)問(wèn)題為“隱形圓”問(wèn)題【答案】a0類(lèi)型一利用圓的定義（到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡）確定隱形圓典例1如果圓(x2a)2(ya3)24上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_65【解析】到原點(diǎn)的距離為1的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心的單位圓，轉(zhuǎn)化到此單位圓與已知圓相交求解621(02a)2(0a3)221a05類(lèi)型二由圓周角的性質(zhì)確定隱形圓典例2已知圓O:x2y25,A,B為圓O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AB2,M為弦AB的中點(diǎn)，C22,a,D22,a2.當(dāng)A

9、,B在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有CMD為銳角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)【答案】,20,【解析】由題意得OM512，點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，半徑為2的圓上設(shè)CD的中點(diǎn)為N，則N22,a1，且CD2當(dāng)A,B在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有CMD為銳角，以O(shè)為圓心，半徑為2的圓與以N22,a1為圓心，半徑為1的圓外離22a1223，整理得a121，解得a2或a0實(shí)數(shù)a的取值范圍為,20,類(lèi)型三兩定點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PAPB(0,1)確定隱形圓（阿波羅尼斯圓）典例3一緝私艇巡航至距領(lǐng)海邊界線l（一條南北方向的直線）3.8海里的A處，發(fā)現(xiàn)在其北偏東30方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊已知緝私艇的最大航速

10、是走私船最大航速的3倍假設(shè)緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行（1）若走私船沿正東方向逃離，試確定緝私艇的追擊方向，使得用最短時(shí)間在領(lǐng)海內(nèi)攔截成功；（參考數(shù)6335.7446）據(jù)：sin173,（2）問(wèn)：無(wú)論走私船沿何方向逃跑，緝私艇是否總能在領(lǐng)海內(nèi)成功攔截？并說(shuō)明理由【答案】（1）略（2）能【解析】：（1）略（2）如圖乙，以A為原點(diǎn)，正北方向所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy則B(2,23)，設(shè)緝私艇在P(x，y)處（緝私艇恰好截住走私船的位置）與走私船相遇，則PA3PB3,xy3即x2y2(x2)2(y23)292929444,3到領(lǐng)海邊界線l：x3.8的距離為1.55，大于圓半

11、徑因?yàn)閳A心9944所以緝私艇能在領(lǐng)海內(nèi)截住走私船321已知ABC中，ABAC3，ABC所在平面內(nèi)存在點(diǎn)P使得PB2PC23PA23，則ABC面積的最大值為_(kāi)【答案】52316【解析】設(shè)BC2a，以BC所在直線為x軸、其中垂線OA所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系（如圖所示），則Ba,0,Ca,0,A0,3a2，設(shè)Px,y，由PB2PC23PA23，得3即x2y2a22，x2y223a2y3a2172a223a2y2則，3a21y3a21則23a223a223a2y23a223a2，(xy2(xy23x2(y1，即23a223a2722a223a223a2，解得a234，即S152322a3a23a2

12、a4ABC16，即ABC面積的最大值為52316.2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B，C為圓x2y24上兩點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)，且ABAC，則線段BC的長(zhǎng)的取值范圍為_(kāi)【答案】62,62【解析】化簡(jiǎn)得xy，所以點(diǎn)M的軌跡是以,為圓心，為半徑的圓，所以AM的取值范圍是,，222223在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C:x12y261和兩點(diǎn)Aa,2a,Ba,a2，且設(shè)BC的中點(diǎn)為M(x,y)，,因?yàn)镺B2OM2BM2OM2AM2，所以4x2y2(x1)2(y1)2，1212322211326262所以BC的取值范圍是62,622a1，若圓C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)P,Q，使得APBAQB90，則實(shí)數(shù)a的取

13、值范圍為_(kāi)【答案】17a117【解析】原問(wèn)題等價(jià)于以A,B為圓心的圓與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)，AB中點(diǎn)坐標(biāo)為0,0，以A,B為圓心的圓的半徑Ra2a22，1且圓C的圓心為1,26，半徑為R1，2兩圓的圓心距為：d1245，結(jié)合a1可得關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式組：a2a2215a2a2215，求解關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式組可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為17a117.4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（1，0），B（1，0）均在圓C：x32y42r2外，且圓C上存在唯一一點(diǎn)P滿(mǎn)足APBP，則半徑r的值為_(kāi)【答案】4【解析】根據(jù)題意,點(diǎn)A(1,0),B(1,0)，若點(diǎn)P滿(mǎn)足APBP，則點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，設(shè)AB的中點(diǎn)為

14、M,則M的坐標(biāo)為(0,0)，|AB|=2，則圓M的方程為x2y21，若圓C上存在唯一一點(diǎn)P滿(mǎn)足APBP，則圓C與圓M只有一個(gè)交點(diǎn)，即兩圓外切，則有r+1=|MC|=32425，解可得r=4.35已知等邊ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P在線段AC上，若滿(mǎn)足等式PAPB的點(diǎn)P有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】104【解析】以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則0,0A1，,B1，,C0,3Px,y，AC：y3x3,1x02由PAPB得x21y2，11,12010102446.已知圓O：x2y21，圓M：(xa)2(ya4)21.若圓M上存在點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，使

15、得APB60，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)【答案】222，222【解析】設(shè)P(x，y)，sinOPAsin301x2y2，則x2y24.又P在圓M上，則(xa)2(ya2246x50，由題知x1x2,y1y2，由韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可得k2，即k，直線l的方程為y4210.已知線段AB的長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)C滿(mǎn)足CACB(為常數(shù))，且點(diǎn)C總不在以點(diǎn)B為圓心，為半徑的圓4【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，B(0，0)，A(2，0)，設(shè)C(x，y)，則CACBx(x2)y2，則(x1)242424)21.由得1a2（a4）23，所以a.7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線l與圓C：x2y26x50相交于不同的兩

16、點(diǎn)A，B，若點(diǎn)A恰為線段OB的中點(diǎn)，則圓心C到直線l的距離為_(kāi)36【答案】【解析】圓C1：x2y26x50，整理，得其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y24，圓C1的圓心坐標(biāo)為(3，0)；設(shè)直線l的方程為ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立(x3)2y24，ykx，消去y可得(1k2)x211315152255536x，由點(diǎn)到直線的距離公式知，所求的距離為.8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)P(2，0)的直線與圓x2y21相切于點(diǎn)T，與圓(xa)2(y3)23相交于點(diǎn)R，S，且PTRS，則正數(shù)a的值為_(kāi)【答案】4【解析】圓x2y21半徑為1，PO2，則直線PT的傾斜角為30，則直線方程為x3y

17、20，PT3，RS3，圓(xa)2(y3)23的半徑為3，則圓(xa)2(y3)23的圓心(a，3)到直線PT的3距離為，由點(diǎn)到直線距離公式得|a1|3，則正數(shù)a4.9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓M：(xa)2(ya3)21(a0)，點(diǎn)N為圓M上任意一點(diǎn)若以N為圓心，ON為半徑的圓與圓M至多有一個(gè)公共點(diǎn)，則a的最小值為_(kāi)【答案】3【解析】根據(jù)題意，圓M與以N為圓心的圓的位置關(guān)系是內(nèi)切或內(nèi)含則dMNdON1，即1dON1.所以dON2恒成立因?yàn)镹在圓M上運(yùn)動(dòng)，所以dON的最小值為dOM1，即dOM12，所以a2（3a）23，解得a3，所以a的最小值為3.12內(nèi)，則實(shí)數(shù)的最大值是_3【答案】y2

18、1，得（x1）2y21，點(diǎn)C的軌跡是以(1，0)為圓心1為半徑的圓且與x2y242453滿(mǎn)足OCOAOB，則r的值為_(kāi)5322553925159【解析】OC2OAOBOA22OAOBOB2，即r2r2r2cosAOBr2，整理化簡(jiǎn)得cosAOB，過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線交AB于D，則cosAOB2cos2AOD1，得cos2AOD.又圓113外離或相切所以1，的最大值為.11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線yx2與圓x2y2r2(r0)交于A，B兩點(diǎn)若圓上存在一點(diǎn)C，44【答案】1044164416168163315552，所以cosAOD22，所以r210，r10.5rr心到直線的距離為OD22

19、21OD22512.已知圓M：(x1)2(y1)24，直線l：xy60，A為直線l上一點(diǎn)若圓M上存在兩點(diǎn)B，C，使得BAC60，則點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍是_【答案】1，5【解析】圓M：(x1)2(y1)24上存在兩點(diǎn)B，C，使得BAC60，說(shuō)明點(diǎn)A(x，y)到M(1，1)的距離小于等于4，即(x1)2(y1)216，而y6x，得x26x50，即1x5.點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍為1，513.已知點(diǎn)A(0，2)為圓M：x2y22ax2ay0(a0)外一點(diǎn)，圓M上存在點(diǎn)T使得MAT45，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】31a1【解析】點(diǎn)A(0，2)在圓M：x2y22ax2ay0(a0)外，得44a0，則a1

20、.圓M上存在點(diǎn)T使得MAT45，則AMr2a，即AM2a，(a2)2a24a2(a0)，解得31a.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍2是31a1.14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O1，圓O2均與x軸相切且圓心O1，O2與原點(diǎn)O共線，O1，O2兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為6，設(shè)圓O1與圓O2相交于P，Q兩點(diǎn)，直線l：2xy80，則點(diǎn)P與直線l上任意一點(diǎn)M之間的距離的最小值為_(kāi)85【答案】6【解析】設(shè)圓O1的方程為(xa)2(yka)2k2a2，圓O2的方程為xyaaa2626k236k2，1212366得2axax2akyakya2a20，即2x2yaa0.設(shè)P(x0，y0)，則(x0a)2(y0ka)2k2

21、a2，60000即x2y22ax02ay0a2，又2x02y0aa0，可得2ax02ay0a26，故x2y26，即點(diǎn)P的軌跡是54，圓x(y1)5與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)A(2，0)，OAOM222【解析】設(shè)點(diǎn)B(x0，y0)，則Mx02y022x2y0，即0PB所有位置最小，且是所有位置中最小，所以只要滿(mǎn)足2，即滿(mǎn)足題意，22x02y04.又x(y1)5，兩式相減得y2x4.而A(2，0)也滿(mǎn)2222000085以原點(diǎn)為圓心，半徑為6的圓，則點(diǎn)P與直線l上任意一點(diǎn)M之間的距離的最小值為6.15.已知直線l過(guò)點(diǎn)P(1，2)且與圓C：x2y22相交于A，B兩點(diǎn)，ABC的面積為1，則直線l的方程為_(kāi)【答

22、案】x10，3x4y501【解析】由eqoac(,S)ABC22sinACB1，sinACB1，ACB90，則點(diǎn)C(0，0)到直線l的距離為1，3設(shè)直線l的方程為y2k(x1)，利用距離公式可得k，此時(shí)直線l的方程為3x4y50，當(dāng)k不存在時(shí)，x10滿(mǎn)足題意16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2(y1)25，A為圓C與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過(guò)A作圓C的弦AB，記線段AB的中點(diǎn)為M.若OAOM，則直線AB的斜率為_(kāi)【答案】22222足y02x04，即直線AB的方程為y02x04，則直線AB的斜率為2.17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1：(x1)2(y6)225，圓C2：(x17)2(y30)2r2.若圓C2上存在一點(diǎn)