專題11 隱圓問題(原卷版)

1、專題11隱圓問題直線與圓是高中數(shù)學的C級知識點，是高中數(shù)學中數(shù)形結合思想的典型體現(xiàn)但有些時候，在條件中沒有直接給出圓方面的信息，而是隱藏在題目中的，要通過分析和轉化，發(fā)現(xiàn)圓（或圓的方程），從而最終可以利用圓的知識來求解，我們稱這類問題為“隱形圓”問題類型一利用圓的定義（到定點的距離等于定長的點的軌跡）確定隱形圓典例1如果圓(x2a)2(ya3)24上總存在兩個點到原點的距離為1，則實數(shù)a的取值范圍是_類型二由圓周角的性質確定隱形圓典例2已知圓O:x2y25,A,B為圓O上的兩個動點，且AB2,M為弦AB的中點，C22,a,D22,a2.當A,B在圓O上運動時，始終有CMD為銳角，則實數(shù)a的取值

2、范圍為_類型三兩定點A、B，動點P滿足PAPB(0,1)確定隱形圓（阿波羅尼斯圓）典例3一緝私艇巡航至距領海邊界線l（一條南北方向的直線）3.8海里的A處，發(fā)現(xiàn)在其北偏東30方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍假設緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行（1）若走私船沿正東方向逃離，試確定緝私艇的追擊方向，使得用最短時間在領海內攔截成功；（參考數(shù)6335.7446）據：sin173,（2）問：無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇是否總能在領海內成功攔截？并說明理由1已知ABC中，ABAC3，ABC所在平面內存在點P使得PB2PC23PA23

3、，則ABC3在平面直角坐標系xOy中，已知圓C:x12y261和兩點Aa,2a,Ba,a2，且面積的最大值為_2在平面直角坐標系xOy中，已知B，C為圓x2y24上兩點，點A(1,1)，且ABAC，則線段BC的長的取值范圍為_2a1，若圓C上存在兩個不同的點P,Q，使得APBAQB90，則實數(shù)a的取值范圍為_4在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，0），B（1，0）均在圓C：x32y42r2外，且圓C上存在唯一一點P滿足APBP，則半徑r的值為_5已知等邊ABC的邊長為2，點P在線段AC上，若滿足等式PAPB的點P有兩個，則實數(shù)的取值范圍是_6.已知圓O：x2y21，圓M：(xa)2(ya4

4、)21.若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得APB60，則實數(shù)a的取值范圍為_B7.在平面直角坐標系xOy中，已知過原點O的動直線l與圓C：x2y26x50相交于不同的兩點A，若點A恰為線段OB的中點，則圓心C到直線l的距離為_8.在平面直角坐標系xOy中，過點P(2，0)的直線與圓x2y21相切于點T，與圓(xa)2(y3)23相交于點R，S，且PTRS，則正數(shù)a的值為_9.在平面直角坐標系xOy中，圓M：(xa)2(ya3)21(a0)，點N為圓M上任意一點若以N為圓心，ON為半徑的圓與圓M至多有一個公共點，則a的最小值為_10.已知線段AB的長為2，動點C滿足CA

5、CB(為常數(shù))，且點C總不在以點B為圓心，為半徑的圓內，滿足OCOAOB，則r的值為_5312則實數(shù)的最大值是_B11.在平面直角坐標系xOy中，設直線yx2與圓x2y2r2(r0)交于A，兩點若圓上存在一點C，4412.已知圓M：(x1)2(y1)24，直線l：xy60，A為直線l上一點若圓M上存在兩點B，C，使得BAC60，則點A橫坐標的取值范圍是_13.已知點A(0，2)為圓M：x2y22ax2ay0(a0)外一點，圓M上存在點T使得MAT45，則實數(shù)a的取值范圍是_14.在平面直角坐標系xOy中，已知圓O1，圓O2均與x軸相切且圓心O1，O2與原點O共線，O1，O2兩點的橫坐標之積為6

6、，設圓O1與圓O2相交于P，Q兩點，直線l：2xy80，則點P與直線l上任意一點M之間的距離的最小值為_15.已知直線l過點P(1，2)且與圓C：x2y22相交于A，B兩點，ABC的面積為1，則直線l的方程為_16.在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2(y1)25，A為圓C與x軸負半軸的交點，過A作圓C的弦AB，記線段AB的中點為M.若OAOM，則直線AB的斜率為_17.在平面直角坐標系xOy中，圓C1：(x1)2(y6)225，圓C2：(x17)2(y30)2r2.若圓C2上存在一點P，使得過點P可作一條射線與圓C1依次交于點A、B，滿足PA2AB，則半徑r的取值范圍是_18.直角坐標系

7、xOy中，圓C的方程為(x1)2(y1)29，直線l：ykx3與圓C相交于A、B兩點，M為弦AB上一動點，以M為圓心，2為半徑的圓與圓C總有公共點，則實數(shù)k的取值范圍為_19平面直角坐標系xOy中，已知圓C：(xa)2(ya2)21，點A(0，2)，若圓C上存在點M，滿足MA2MO210，則實數(shù)a的取值范圍是_20.平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x1)2y24，P為圓C上一點若存在一個定圓M，過P作圓M的兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，當P在圓C上運動時，使得APB恒為60，則圓M的方程為_專題11隱圓問題直線與圓是高中數(shù)學的C級知識點，是高中數(shù)學中數(shù)形結合思想的典型體現(xiàn)但有些時

8、候，在條件中沒有直接給出圓方面的信息，而是隱藏在題目中的，要通過分析和轉化，發(fā)現(xiàn)圓（或圓的方程），從而最終可以利用圓的知識來求解，我們稱這類問題為“隱形圓”問題【答案】a0類型一利用圓的定義（到定點的距離等于定長的點的軌跡）確定隱形圓典例1如果圓(x2a)2(ya3)24上總存在兩個點到原點的距離為1，則實數(shù)a的取值范圍是_65【解析】到原點的距離為1的點的軌跡是以原點為圓心的單位圓，轉化到此單位圓與已知圓相交求解621(02a)2(0a3)221a05類型二由圓周角的性質確定隱形圓典例2已知圓O:x2y25,A,B為圓O上的兩個動點，且AB2,M為弦AB的中點，C22,a,D22,a2.當A

9、,B在圓O上運動時，始終有CMD為銳角，則實數(shù)a的取值范圍為_【答案】,20,【解析】由題意得OM512，點M在以O為圓心，半徑為2的圓上設CD的中點為N，則N22,a1，且CD2當A,B在圓O上運動時，始終有CMD為銳角，以O為圓心，半徑為2的圓與以N22,a1為圓心，半徑為1的圓外離22a1223，整理得a121，解得a2或a0實數(shù)a的取值范圍為,20,類型三兩定點A、B，動點P滿足PAPB(0,1)確定隱形圓（阿波羅尼斯圓）典例3一緝私艇巡航至距領海邊界線l（一條南北方向的直線）3.8海里的A處，發(fā)現(xiàn)在其北偏東30方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊已知緝私艇的最大航速

10、是走私船最大航速的3倍假設緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行（1）若走私船沿正東方向逃離，試確定緝私艇的追擊方向，使得用最短時間在領海內攔截成功；（參考數(shù)6335.7446）據：sin173,（2）問：無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇是否總能在領海內成功攔截？并說明理由【答案】（1）略（2）能【解析】：（1）略（2）如圖乙，以A為原點，正北方向所在的直線為y軸建立平面直角坐標系xOy則B(2,23)，設緝私艇在P(x，y)處（緝私艇恰好截住走私船的位置）與走私船相遇，則PA3PB3,xy3即x2y2(x2)2(y23)292929444,3到領海邊界線l：x3.8的距離為1.55，大于圓半

11、徑因為圓心9944所以緝私艇能在領海內截住走私船321已知ABC中，ABAC3，ABC所在平面內存在點P使得PB2PC23PA23，則ABC面積的最大值為_【答案】52316【解析】設BC2a，以BC所在直線為x軸、其中垂線OA所在直線為y軸建立直角坐標系（如圖所示），則Ba,0,Ca,0,A0,3a2，設Px,y，由PB2PC23PA23，得3即x2y2a22，x2y223a2y3a2172a223a2y2則，3a21y3a21則23a223a223a2y23a223a2，(xy2(xy23x2(y1，即23a223a2722a223a223a2，解得a234，即S152322a3a23a2

12、a4ABC16，即ABC面積的最大值為52316.2在平面直角坐標系xOy中，已知B，C為圓x2y24上兩點，點A(1,1)，且ABAC，則線段BC的長的取值范圍為_【答案】62,62【解析】化簡得xy，所以點M的軌跡是以,為圓心，為半徑的圓，所以AM的取值范圍是,，222223在平面直角坐標系xOy中，已知圓C:x12y261和兩點Aa,2a,Ba,a2，且設BC的中點為M(x,y)，,因為OB2OM2BM2OM2AM2，所以4x2y2(x1)2(y1)2，1212322211326262所以BC的取值范圍是62,622a1，若圓C上存在兩個不同的點P,Q，使得APBAQB90，則實數(shù)a的取

13、值范圍為_【答案】17a117【解析】原問題等價于以A,B為圓心的圓與圓C有兩個交點，AB中點坐標為0,0，以A,B為圓心的圓的半徑Ra2a22，1且圓C的圓心為1,26，半徑為R1，2兩圓的圓心距為：d1245，結合a1可得關于實數(shù)a的不等式組：a2a2215a2a2215，求解關于實數(shù)a的不等式組可得實數(shù)a的取值范圍為17a117.4在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，0），B（1，0）均在圓C：x32y42r2外，且圓C上存在唯一一點P滿足APBP，則半徑r的值為_【答案】4【解析】根據題意,點A(1,0),B(1,0)，若點P滿足APBP，則點P在以AB為直徑的圓上，設AB的中點為

14、M,則M的坐標為(0,0)，|AB|=2，則圓M的方程為x2y21，若圓C上存在唯一一點P滿足APBP，則圓C與圓M只有一個交點，即兩圓外切，則有r+1=|MC|=32425，解可得r=4.35已知等邊ABC的邊長為2，點P在線段AC上，若滿足等式PAPB的點P有兩個，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】104【解析】以AB中點為坐標原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系，則0,0A1，,B1，,C0,3Px,y，AC：y3x3,1x02由PAPB得x21y2，11,12010102446.已知圓O：x2y21，圓M：(xa)2(ya4)21.若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使

15、得APB60，則實數(shù)a的取值范圍為_【答案】222，222【解析】設P(x，y)，sinOPAsin301x2y2，則x2y24.又P在圓M上，則(xa)2(ya2246x50，由題知x1x2,y1y2，由韋達定理化簡可得k2，即k，直線l的方程為y4210.已知線段AB的長為2，動點C滿足CACB(為常數(shù))，且點C總不在以點B為圓心，為半徑的圓4【解析】建立平面直角坐標系，B(0，0)，A(2，0)，設C(x，y)，則CACBx(x2)y2，則(x1)242424)21.由得1a2（a4）23，所以a.7.在平面直角坐標系xOy中，已知過原點O的動直線l與圓C：x2y26x50相交于不同的兩

16、點A，B，若點A恰為線段OB的中點，則圓心C到直線l的距離為_36【答案】【解析】圓C1：x2y26x50，整理，得其標準方程為(x3)2y24，圓C1的圓心坐標為(3，0)；設直線l的方程為ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立(x3)2y24，ykx，消去y可得(1k2)x211315152255536x，由點到直線的距離公式知，所求的距離為.8.在平面直角坐標系xOy中，過點P(2，0)的直線與圓x2y21相切于點T，與圓(xa)2(y3)23相交于點R，S，且PTRS，則正數(shù)a的值為_【答案】4【解析】圓x2y21半徑為1，PO2，則直線PT的傾斜角為30，則直線方程為x3y

17、20，PT3，RS3，圓(xa)2(y3)23的半徑為3，則圓(xa)2(y3)23的圓心(a，3)到直線PT的3距離為，由點到直線距離公式得|a1|3，則正數(shù)a4.9.在平面直角坐標系xOy中，圓M：(xa)2(ya3)21(a0)，點N為圓M上任意一點若以N為圓心，ON為半徑的圓與圓M至多有一個公共點，則a的最小值為_【答案】3【解析】根據題意，圓M與以N為圓心的圓的位置關系是內切或內含則dMNdON1，即1dON1.所以dON2恒成立因為N在圓M上運動，所以dON的最小值為dOM1，即dOM12，所以a2（3a）23，解得a3，所以a的最小值為3.12內，則實數(shù)的最大值是_3【答案】y2

18、1，得（x1）2y21，點C的軌跡是以(1，0)為圓心1為半徑的圓且與x2y242453滿足OCOAOB，則r的值為_5322553925159【解析】OC2OAOBOA22OAOBOB2，即r2r2r2cosAOBr2，整理化簡得cosAOB，過點O作AB的垂線交AB于D，則cosAOB2cos2AOD1，得cos2AOD.又圓113外離或相切所以1，的最大值為.11.在平面直角坐標系xOy中，設直線yx2與圓x2y2r2(r0)交于A，B兩點若圓上存在一點C，44【答案】1044164416168163315552，所以cosAOD22，所以r210，r10.5rr心到直線的距離為OD22

19、21OD22512.已知圓M：(x1)2(y1)24，直線l：xy60，A為直線l上一點若圓M上存在兩點B，C，使得BAC60，則點A橫坐標的取值范圍是_【答案】1，5【解析】圓M：(x1)2(y1)24上存在兩點B，C，使得BAC60，說明點A(x，y)到M(1，1)的距離小于等于4，即(x1)2(y1)216，而y6x，得x26x50，即1x5.點A橫坐標的取值范圍為1，513.已知點A(0，2)為圓M：x2y22ax2ay0(a0)外一點，圓M上存在點T使得MAT45，則實數(shù)a的取值范圍是_【答案】31a1【解析】點A(0，2)在圓M：x2y22ax2ay0(a0)外，得44a0，則a1

20、.圓M上存在點T使得MAT45，則AMr2a，即AM2a，(a2)2a24a2(a0)，解得31a.綜上，實數(shù)a的取值范圍2是31a1.14.在平面直角坐標系xOy中，已知圓O1，圓O2均與x軸相切且圓心O1，O2與原點O共線，O1，O2兩點的橫坐標之積為6，設圓O1與圓O2相交于P，Q兩點，直線l：2xy80，則點P與直線l上任意一點M之間的距離的最小值為_85【答案】6【解析】設圓O1的方程為(xa)2(yka)2k2a2，圓O2的方程為xyaaa2626k236k2，1212366得2axax2akyakya2a20，即2x2yaa0.設P(x0，y0)，則(x0a)2(y0ka)2k2

21、a2，60000即x2y22ax02ay0a2，又2x02y0aa0，可得2ax02ay0a26，故x2y26，即點P的軌跡是54，圓x(y1)5與x軸負半軸的交點A(2，0)，OAOM222【解析】設點B(x0，y0)，則Mx02y022x2y0，即0PB所有位置最小，且是所有位置中最小，所以只要滿足2，即滿足題意，22x02y04.又x(y1)5，兩式相減得y2x4.而A(2，0)也滿2222000085以原點為圓心，半徑為6的圓，則點P與直線l上任意一點M之間的距離的最小值為6.15.已知直線l過點P(1，2)且與圓C：x2y22相交于A，B兩點，ABC的面積為1，則直線l的方程為_【答

22、案】x10，3x4y501【解析】由eqoac(,S)ABC22sinACB1，sinACB1，ACB90，則點C(0，0)到直線l的距離為1，3設直線l的方程為y2k(x1)，利用距離公式可得k，此時直線l的方程為3x4y50，當k不存在時，x10滿足題意16.在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2(y1)25，A為圓C與x軸負半軸的交點，過A作圓C的弦AB，記線段AB的中點為M.若OAOM，則直線AB的斜率為_【答案】22222足y02x04，即直線AB的方程為y02x04，則直線AB的斜率為2.17.在平面直角坐標系xOy中，圓C1：(x1)2(y6)225，圓C2：(x17)2(y30)2r2.若圓C2上存在一點