一元二次方程與解法教案

1、第07講一元二次方程與解法（二）適用學(xué)科適用區(qū)域知識點(diǎn)初中數(shù)學(xué)全國1.公式法解一元二次方程適用年級初中三年級課時時長（分鐘）120分鐘2.因式分解法解一元二次方程3.一元二次方程根的判別式4.一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系教學(xué)目標(biāo)1.掌握公式法、因式分解法一元二次方程的方法2.熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系3.體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，靈活選擇解方程的方法教學(xué)重點(diǎn)1.求根公式的推導(dǎo)，公式的正確使用2.使學(xué)生能夠熟練而準(zhǔn)確的運(yùn)用公式法，因式分解法求一元二次方程的解3.積極探索方程不同解法，通過交流發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解法，獲得成功體驗(yàn)教學(xué)難點(diǎn)1.公式法的準(zhǔn)確運(yùn)用2.將整理成一般形式的方程左邊因式分解3.一元

2、二次方程的根與系數(shù)關(guān)系教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一元二次方程的定義及解法，接下來請同學(xué)們回憶一下：1.一元二次方程：只含有_個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是_，且二次項(xiàng)系數(shù)_，這樣的方程叫一元二次方程；它的一般形式是_。例如，（1）2x21x（2）x25x0（3）3x2122.一元二次方程的解法有_法、_法，解方程2x280 x22x20解：2x28x22x121，x24(x1)23，x2,x2x1312x113，x213.本節(jié)課還要學(xué)習(xí)的公式法，因式分解法。二、知識講解1公式法解一元二次方程：公式法是用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一般方法.（推導(dǎo)過程教師板書）ax

3、2bxc0a0的求根公式為xbb24acb24ac02a根的判別式：一元二次方程ax2bxc（a0）中，b24ac叫做一元二次方程ax2bxc（a0）的根的判別式，通常用“”來表示，即b24ac。2.因式分解法解一元二次方程：將方程的右邊化為0；將方程的左邊化成兩個一次因式的乘積；令每個因式等于0，得到一元一次方程，解一元一次方程，它們的解就是一元二次方程的解.3.一元二次方程根的判別式00如果方程ax2bxc（a0）的兩個實(shí)數(shù)根是1a，當(dāng)b24ac0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b24ac0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b24ac0時，方程無實(shí)數(shù)根。反之，若方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則b2

4、4ac0；若方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則b24ac0；若無實(shí)數(shù)根，則b24ac0。4.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系0 x,x2，那么xxb12a。xxc12也就是說，對于任何一個有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。5.根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求值常用的轉(zhuǎn)化關(guān)系：22xx12（2）x（1）x12x22xx1211xx1xxx12122(xa)(xa)xxaxxa2121212（3）；（4）x1x2=x1x22=x1x224xx124考點(diǎn)/易錯點(diǎn)1使用判別式之前一定要先把一元二次方程化為一般形式，以便正確

5、找出a、b、c的值?？键c(diǎn)/易錯點(diǎn)2根的判別式b24ac的使用條件是在一元二次方程中，而非別的方程中。因此，解題過程中要注意隱含條件a0?？键c(diǎn)/易錯點(diǎn)3對于一元二次方程ax2bxc0而言，當(dāng)滿足a0、0時，才能用韋達(dá)定理?？键c(diǎn)/易錯點(diǎn)4根據(jù)一元二次方程的特點(diǎn)，如何靈活選用最合適的解方程的方法：首先考慮是否滿足最直接開平方法的條件，其次觀察項(xiàng)數(shù)，考慮能否用因式分解法，用哪一種因式分解法，后考慮公式法和配方法。三、例題精析【例題1】【題干】解方程4x2x30【答案】x3,x112【解析】解：a4,b1,c3b24ac1244(3)490 x14917248x34，x1【變式練習(xí)】【題干】用公式法解方

6、程3x26x10代入求根公式，得x624【答案】解：a3,b6,c1，b24ac(6)243124.626.23633x1166,x1.23【例題2】【題干】因式分解法解方程3(x1)22(x1)【答案】x1,x512【解析】解：原方程可化為3(x1)22(x1)0(x1)(3x5)0 x10，或3x50 x1,x1253【變式練習(xí)】【題干】解方程(x5)249【答案】x12,x212【解析】解：原方程可化為(x5)2720(x12)(x2)0 x120，或x20 x12,x212【例題3】【題干】解一元二次方程：(1x)22(1x)40【答案】解：設(shè)1xy原方程化為：y22y40，解得：y1

7、5,y1512即1x15,1x15所以x25,x2512【解析】換元法解一元二次方程的能力。觀察方程由方程特點(diǎn)設(shè)1xy，然后整理原方程求解。換元法解方程可將方程化繁為簡，化難為易，是解方程的常用方法之一。換元法的應(yīng)用要根據(jù)方程特點(diǎn)來決定，因此要注意總結(jié)能夠應(yīng)用換元法解的方程的特點(diǎn).【例題4】【題干】下列四個結(jié)論中，正確的是（）A方程x1x2有兩個不相等的實(shí)數(shù)根1B方程x1有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1C方程x2有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1D方程xa（其中a為常數(shù)，且a2）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x【答案】D【解析】此題屬于不解一元二次方程，判斷（證明）根的情況類型的題目。把所給方程整理為一元二次方程的一般形

8、式，根據(jù)根的判別式判斷解的個數(shù)即可：A、整理得：x22x10，0，原方程有2個相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)錯誤；B、整理得：x2x10，0，原方程沒有實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)錯誤；C、整理得：x22x10eqoac(,，)0，原方程有2個相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)錯誤；D、整理得：x2ax10，當(dāng)a2時，a240，原方程有2個不相等的實(shí)數(shù)根，選項(xiàng)正確.Ak1由題意，得2k10，解得k且k0k0.【例題5】【題干】如果關(guān)于x的一元二次方程kx22k1x10有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是（）11111Bk且k0CkDk且k0222222【答案】D【解析】解決此題需要從三方面綜合考慮，一是由“一元二次方程”知k0，二是

9、由二次根式(的意義知2k10，三是由原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根知2k1)24k0，三者缺一不可同時，本題也是一道易錯題，部分學(xué)生會忽視2k1這一符號條件下的不等關(guān)系而錯選為B(2k1)24k0，1122【例題6】【題干】已知m、n是方程x222x10的兩根，則代數(shù)式m2n23mn的值為A9B3C3D5【答案】C【解析】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、完全平方公式、a2的化簡.根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：mn22，mn1.2m2n23mn=mn2mn=2213【例題7】【題干】如果x,x是方程x22x10的兩個根，那么xx的值為：1212A1B2C12D.12【答案】B【解析】本題

10、考查一元二次方程ax2bxc0的根與系數(shù)關(guān)系即韋達(dá)定理，兩根之和是bx216c，兩根之積是，易求出兩根之和是2.aa四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1.方程x3x1x3的解是（）A.x0B.x3C.x3或x1D.x3或x0【答案】D【解析】用因式分解法解一元二次方程的步驟是，把右邊的式子移到左邊，然后另每一個因式為0.2.解方程3x22x10【答案】解：a3,b2,c1b24ac(2)243(1)16024236x1,x1213【解析】選擇公式法較簡單3.解方程x27x0【答案】解：x(x7)0 x0，或x70 x0,x712【解析】選擇因式分解法較簡單4.解方程x24x449【答案】解：(x2)27x5

11、7，或x57x5,x912【解析】選擇直接開平方法較簡單5.若一元二次方程x22xm0有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是（）A.m1B.m1C.m4D.m12【答案】B【解析】由一元二次方程有實(shí)數(shù)根，得到根的判別式大于等于0，列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范圍：一元二次方程x22xm0有實(shí)數(shù)解，eqoac(,=)b24ac=224m0，解得：m1。m的取值范圍是m1。6.已知一元二次方程：x23x10的兩個根分別是x、x則x2xxx2的值為121212（）A.3B.3C.6D.6【答案】B【解析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。ax2+bx+c=0(a0)，x+x=cx1x

12、2=axx3,xx1,x2xxx2xx(xx)(1)33121212121212【鞏固】1.一元二次方程x22x20的根的情況是（）A有兩個相等的實(shí)數(shù)根B有兩個不相等的實(shí)數(shù)根C只有一個實(shí)數(shù)根D無實(shí)數(shù)根【答案】D【解析】x22x20中，a=1，b=2，c=2，b24ac2241240。x22x20無實(shí)數(shù)根。12ba,2.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）x24x30；解：(x1)(x3)0 x10，或x30 x1,x312x（2）x5624；解：原方程可化簡為x2x60 x30，或x20 x3,x212（3）x322xx30解：(x1)(x3)0 x10，或x30 x1,x312（4）6x2x260解

13、：a6,b1,c26b24ac(1)246(26)49026x1491726x23216,x612【拔高】1.若x2xyy14，y2xyx28，則xy的值為【答案】xy7,或xy6【解析】將兩個式子相加得，x22xyy2xy42。xy2xy42xy2xy420設(shè)xym，則有m2m420解一元二次方程，(m7)(m6)0m7,m612即：xy7,或xy62.如果x2x10，那么代數(shù)式x32x27的值。【答案】-6【解析】由x2x10可得，x21xx32x27xx22x27x1x21x7xx222x7x5x2x51xx51x63.已知關(guān)于x的一元二次方程x2(m3)xm10(1)求證：無論m取何值

14、，原方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若x1、x2是原方程的兩根，且|x1x2|22，求m的值和此時方程的兩根?！敬鸢浮拷猓海?）證明：由關(guān)于x的一元二次方程x2(m3)xm10得eqoac(,=)（m+3）24（m+1）=（m+1）2+4，無論m取何值，（m+1）24恒大于0，原方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。（2）x1，x2是原方程的兩根，x1+x2=（m+3），x1x2=m+1。|x1x2|22，（x1x2）2=8，即（x1x2）24x1x2=8。（m+3）24（m+1）=8，即m22m3=0。解得：m1=3，m2=1。當(dāng)m=3時，原方程化為：x22=0，解得：x1=2，x2=2。當(dāng)m=1時

15、，原方程化為：x24x2=0，解得：x1=2+2，x2=22?！窘馕觥看祟}考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系。（1）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2(m3)xm10的根的判別式eqoac(,=)b24ac的符號來判定該方程的根的情況。（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得x1x2和x1x2，由已知條件|x1x2|22平方后可以得到關(guān)于x1x2和x1x2的等式，從而列出關(guān)于m的方程，通過解該方程即可求得m的值，最后將m值代入原方程并解方程。課程小結(jié)1.公式法解一元二次方程2.因式分解法解一元二次方程3.一元二次方程根的判別式4.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系5.根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求值常用的

16、轉(zhuǎn)化關(guān)系課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1.如果關(guān)于x的一元二次方程x26x+c=0（c是常數(shù)）沒有實(shí)根，那么c的取值范圍是?！敬鸢浮縞9?！窘馕觥筷P(guān)于x的一元二次方程x26x+c=0（c是常數(shù)）沒有實(shí)根，eqoac(,=)（6）24c0，即364c0，c9。2.方程(k1)x21kx10有兩個實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）4Ak1Bk1Ck1Dk1【解析】主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（根的判別式）當(dāng)b2-4ac時，一元二次方【答案】D，程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，同時不要忽略二次項(xiàng)系數(shù)不等于零及二次根式有意義的條件（被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)）。方程(k1)x21kx10有兩個實(shí)數(shù)根，所以k-10且，411-k0,(1

17、k)24(k1)0，k1且k1,所以k1.43.已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的兩根，且x1+x2=3,x1x2=1,則a、b的值分別是A.a=3,b=1B.a=3,b=1C.a=32,b=1D.a=32,b=1【答案】D【解析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系。x1+x2=2a=3,a=32;x1x2=b=14.已知m和n是方程2x25x30的兩根，則11.mn5【答案】-3【解析】本題綜合考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是利用根與系數(shù)的關(guān)系整體代入化簡后的待求式.因?yàn)閙和n是方程2x2-5x-3=0得，m+n=525，mn=311mn-，

18、所以=2mnmn2-5.-3325.用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?x2x260【答案】解：a6,b1,c26b24ac(1)246(26)49026x1491726x23216,x612【解析】可選擇公式法【鞏固】1.已知：多項(xiàng)式x2kx+1是一個完全平方式，則反比例函數(shù)y=13【答案】y=或y=。xx【解析】多項(xiàng)式x2kx+1是一個完全平方式，對應(yīng)的一元二次方程x2kx+1=0根的判別式eqoac(,=0)。eqoac(,=)k2411=0，解得k=2。k1x的解析式為。把k=2分別代入反比例函數(shù)y=k113的解析式得：y=或y=。xxx2.在同一坐標(biāo)系中，直線yx1與雙曲線y的交點(diǎn)個數(shù)為（）1xA0

19、個B1個C2個D不能確定【答案】A【解析】本題考查直線與雙曲線的交點(diǎn)問題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，一元二次方程x直線yx1與雙曲線y有兩個交點(diǎn)。故選A。根的判別式。根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，聯(lián)立yx1和y1，整理，得x2x10。eqoac(,1)4=50，x2x10有兩不相等的實(shí)數(shù)根。1x3.關(guān)于x的一元二次方程x23xm10的兩個實(shí)數(shù)根分別為x,x.12（1）求m的取值范圍；（2）若2(xx)xx100，求m的值.1212【答案】解：（1）原方程有兩個實(shí)數(shù)根，=9-4(m-1)0，1x得，x1解之，得：m134.（2）已知a、b滿足a215a50，b215b50，求a的值；

20、（2）由韋達(dá)定理，得：x+x=-3，xx=m-1，12122(-3)+(m-1)+10=0，解之，得：m=-3.【解析】本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用需要注意的是當(dāng)題中沒有明確兩根是否相等時，應(yīng)兩種可能都要考慮，即0。（1）因?yàn)橐辉畏匠逃袃蓚€實(shí)數(shù)根，所以0，從而解出m的取值范圍；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可以用含有m的代數(shù)式所表示出(xx)及xx，代入12122(xx)xx100即可求出m的值。12124.設(shè)a，b是方程x2x20130的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，a22ab的值【答案】2012【解析】本題主要考查了一元二次方程的韋達(dá)定理、根的定義以及初數(shù)中整體思想，解決此類

21、題型的關(guān)鍵是熟悉相關(guān)的知識點(diǎn)及初數(shù)中常見思想方法解：因?yàn)閍，b是方程x2x20130的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故由韋達(dá)定理得a+b=-1，由根的定義得a2a20130，即a2a2013再由+得a22ab2012【拔高】1.如果方程x2pxq0的兩個根是x1，x2，那么x1x2p，x1x2q請根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：（1）已知關(guān)于x的方程x2mxn0(n0)，求出一個一元二次方程，使它的兩根別是已知方程兩根的倒數(shù)；bba（3）已知a、b、c均為實(shí)數(shù)，且abc0，abc16，求正數(shù)c的最小值【答案】解：（1）設(shè)x2mxn0(n0)的兩根為x1，x211xx，x1x2m，x1x2nxxxx12121211xxm1nn12所求一元二次方程為x2mx0，即nx2mx1047當(dāng)ab時，112a47或21nn（2）當(dāng)ab時，由題意知a，b是一元二次方程x215x50的兩根，ab15，ab5abababa2b2(ab)22ab152(5)ba5abbabba（