分圓多項式的性質(zhì)

1、 分圓多項式的性質(zhì)1引言在多項式理論及其應用中，分圓多項式具有重要的作用，分圓多項式的研究是一項很有意義的工作.對分圓多項式有兩種常見的定義方法：（1）設n次本原單位根為1, 2M卜 ，則稱6（x）二（x -）（X-$）|H（X-&（n）為分圓多項式.其中 %）為歐拉函數(shù).（2）設p是一個素 數(shù).多項式f（x） xp 1 xp 2 HI X 1叫做分圓多項式.文章分析了分圓多項式在有理數(shù)域上的 不可約性，以及報告了近年來學者們對分圓多項式系數(shù)全為0或 1的充分必要條件的討論現(xiàn)狀.2分圓多項式的定義一個復數(shù)是n次單位根，當且僅當它具有下列形式:,2，|cos k n由于2 cos k n2,1|

2、2+ i sin k = ( cos nn故若命(2)21+ i sin 一 n則一個復數(shù)是n次單位根，當且僅當它是 的整數(shù)次方.由此可見,所有n次單位根在乘法下作成一個循環(huán)群，（2）所規(guī)定的f是它的一個生成元素.在（1）中取k 0,1,2, |,n 1,我們得到n個n次單位根:，?，l|，sn-1這n個單位根的幅角都是見的整倍數(shù)；用平面上的點代表復數(shù)，把代表這nn個單位根的點用線段聯(lián)結(jié)起來便成為單位圓的一個內(nèi)接正n邊形.可見，（3）式中n個n次單位根都不同.f是n次單位根，當然，二1 .所以（的周期恰等于n .有了這些知識做基礎，我們給出分圓多項式的定義：復數(shù)域中恰有n個n次單位根.它們在乘

3、法下作成一個n元循環(huán)群，（2）所規(guī)定的f是一個生成元素.這個 n元循環(huán)群的生成元素稱為 n次 本原單位根，我們知道，n元循環(huán)群共有 歹（n）個生成元素.所以，共有 夕（n）個n次本原單位根，假定它們是n（X）稱為分圓多項式.1時，生成元;2時,3時,n(x)二(x 1)(x -cos 一 1+ i sin1(x) xcos+ i sin2(x) x+ i sin+ i sin$)IH(x_sC(n) -=1 ,(1)=1 ，=-1 ， ? =1 ，(4)-1 +、-31 V 3 , W (3)=2 ,另一個生成元為:21-1-x323(x)二(x-；)(x-；2)-1 + -3(x -丁)(x

4、4時,一 L 2生成兀I cos+ i sin、4端=i = =i4夕=2 ,另一個生成元為：（L i ,1(x)二(x-f)(x-f3)二(xi)(xi)常見的分圓多項式的定義還有另一種:定義1（ P76）設p是一個素數(shù).多項式f (x) xp1III叫做一個分圓多項式.由于定理1(P76)多項式f(x) xP 1證明令(x 1)f(x)xpIIIx 1在有理數(shù)域上不可約.所以yf(y 1) (y i)p 1yp c；yp1 c2yp2 I c；1y于是g(y) f(y 1) yp1 cpyp2 cp 2y c；1.當0 k p時，Ck P(P 1)|(P k 1)pk!因為Cp是整數(shù)，但k

5、!與p互素，所以k!|(p 1)|(p k 1),因此p|Cp,又由于p |1 , p2 |C； 1 故由曰senstein 判別法知g( y)在有理數(shù)域上不可約.因此f (x)在有理數(shù)域上也不可約.例分解多項式F(x)在整數(shù)范圍內(nèi)可分解為F(x)15x 15105(x5 1)(x x5 1)3Lx 1/ 4328(x x x x 1)(xx3 x 1).這兩個多項式都是分圓多項式.我們也可以用初等的方法證明一,、，432，、，87f1(x)(xxx x 1)和 f2(x)(xx543x x x x 1)在整數(shù)范圍內(nèi)不可約.1515f(x)和f2(x)都是x15 1的因子，x15 1除了 1之

6、外沒有其他實根,而1不是f(x)和f2(x)的根，所以f(x)和f2(x)沒有實數(shù)根.于是它們不可能有奇數(shù)次因子.如果f(x)和f2(x)有二次因子，形如 x2 2cos -2k x 1(1 k 7, k 5),而這時 cos2k x 0、 151512k-1,所以 2cos-不是整數(shù)，因此f(x)和f2(x)不可能只有二次因子，這樣我們就證明了f(x)不可約.而f2(x)如果能分解只能是f2(x) (x4 ax3 bx2 ax 1)(x43. 2cx dx cx 1),(兩個二2 一 2k 次因式x 2cos x 1相乘得到的四次因子一定是上述形式) 15比較等式兩邊的系數(shù)，可得 TOC o

7、 1-5 h z ac1dacb0cadbca122acbd1由第二個方程乘2減去第四個方程得(d 2)(b 2) 1 ,因而(d 2)(b 2) 1,由第三個方程得出b 2.與假設矛盾，所以f2(X)不可約.3分圓多項式的性質(zhì)定理2( P8)我們有下列公式 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark14 o Current Document Xn -1=Q$d(X)證明 (5)式右邊表示讓d經(jīng)過n的所有正因數(shù)而取所有這些d(x)的乘積.設1, 2,II), n(6)是所有n次單位根，于是 HYPERLINK l bookmark16 o Current Docume

8、nt xn 1 二(X4)(X-02)|(X-,).(7)取一個d In .設0是一個d次本原單位根.于是，伊,因而Bn-l,可見。必出現(xiàn)在(6)中.這 就是說，所有，(d)個d次本原單位根都出現(xiàn)在(6)中，它們在(7)中所對應的一次式之積便是 g(X) .因之,(|)d(X)|Xn-1 .若d和d不同，則0d(X)和0d(X)沒有公共一次式.因為，前者的根是 d次本原單位根，后者的根是d次本原單位根，由此可見,(X )1 Xn-1.但(6)中的任意q必有一個周期d , d In ,因而q是d次本原單位根.這就是說，(10)中的任意一次式必出現(xiàn)在某個(x)之內(nèi)，其中d |n ,所以Xnd(X)

9、多不出什么，因而(5)成立.下面利用該定理重新計算例題中的0(X), 02(X), 03(X), $4(X).例 因為X-1 二。d(X) =|1(x),1(x)= X-1 .因為因為因為定理即P9)證明S) =X(x)2-二 x-1 . x-1x3 一1 二 Hd(x)二歸刈巾3(x)二1 - x3Oi(x) - x-11(x),x4 -1 d(x) zQ4(x)()2(x)$1(x)4(x)二Rx)W1(x)(x-1)(x - 1)n(x)是首項系數(shù)為1的整系數(shù)多項式.1(x)二x-1是整系數(shù)多項式.假定已知k n時,k(x)是整系數(shù)多項式，試證n(x)亦然.由(8),xn_1 二 0n(

10、x)d()d(x)|n此式右邊每個d(x)由歸納法假定都是整系數(shù)多項式，故其積為整系數(shù)多項式，且首系數(shù)為1.所以I 4d (x)是本原多項式，而xn1是整系數(shù)多項式，故知n(x)必為整系數(shù)多項式.4分圓多項式的根在任意域上，若n是特征p的倍數(shù)，設n kpm ,其中k不是p的倍數(shù)，則m,mf(x) xp 1(xk.1)p .這時xn1的根即是k次單位根，且f(x)的每個根都是pm重根.當n不是域F的特征的倍數(shù)時，方程在F中的根也稱為n次單位根，但未必都在F中.當n不是域F的特征的倍數(shù)時，如果 F分圓多項式.n(x)在F中有根，那么多項式 xn - 1在F中恰有n個n次單位根他們在乘法下作成一個n

11、元循環(huán)群，其中,(n)個生成元素恰是On (x)的所有根.但在任意域中，當n不是域F的特征的倍數(shù)時， xn，1的根未必都在F中.下面證明：若p是素數(shù)，np,且n p，1時，分圓多項式.n(x)在Fp 中一定有根，并給出了多項式xn|1在Fp中恰好有n個根的充分必要條件：定理i3(P67)設p是素數(shù)，若n( p且n p.1,則ln(x)在Fp中一定有根.證明 我們知道：xn 1 Ud(x)巾n(X) j 8(x).因為n|p 1，且由 xm 1| xn 1 當且僅當 m|n 得：xn 1| xp 1 1 , 從而 xn 1| x(xp 1 1) xp x .再由 曲3| xn.1知jn(x)|

12、xp x,于是得ln(x)在Fp中有根.定理23(P6 7)設p是素數(shù)，若n(p且xn.1在Fp中恰有n個n次單位根，則有n p.1 .證明 設a1,a2J|,an是xn.1在Fp中的n個根，則有an 1 0(modp).且g=4但,“，an是一個n階循環(huán)群. 因此存在3=Q 123 0n(x)的系數(shù)只能取0或16(P39 41).參考文獻：1張禾瑞，郝金丙新.高等代數(shù) M.北京：高等教育出版社，19972柯召，孫琦.數(shù)論講義M.北京：高等教育出版社， 19873馮貴蓮.Fp上分圓多項式的一個性質(zhì)J.青海師專學報，2005, 4, 6-74湯健兒.對關于分圓多項式既約因子的性質(zhì)一文的意見J.數(shù)學通報，1963, 10, 6-7莊凱關于分圓多項式既約因式n（x） 系數(shù)性質(zhì)的猜測 J 數(shù)學通報， 1991