(完整版)極值點(diǎn)偏移問題專題-對數(shù)平均不等式

1、 /6 /6極值點(diǎn)偏移對數(shù)平均不等式(本質(zhì)回歸)筆者曾在王挽瀾先生的著作建立不等式的方法中看到這樣一個(gè)不等式鏈：2aba+bbalblnba、；ab；eibalbIna1baJab丿不曾想，其中一部分竟可用來解極值點(diǎn)偏移問題對數(shù)平均不等式：對于正數(shù)a,b，且a豐b，定義為a,b的對數(shù)平均值，且lnalnb有祐bab凹，即幾何平均數(shù)對數(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)，簡記為lna一lnb2G(a,b)L(a,b)0,貝Uklnaklnb=ab,lnalnbklnaa=klnbb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=klnxx,貝0f(a)=f(b)由f(x)=一1得xf(k)=0，且f(x)在(0,k)上Z，在(k,+8)上,

2、x=k為f(x)的極大值點(diǎn)對數(shù)平均不等式即J喬k2k，這是兩個(gè)常規(guī)的極值點(diǎn)偏移問題，留給2Iab】，則.abablnalnba+bTb(t1)lntb(t+1)2t1t+1optolnt242lntb,ae(b,+8)，則,aba-bolna-lnb*-追olna-lnb-密+竺0ina-lnbJbJaJbJa0，得f(a)在(b,)上，有記f(a)=Ina-lnb-等+*f，(a)=1一1一L=-a2yjab2/a2Jabf(a)b，則由(Ilnaexdx)(Ilna(ex)2dx)(Il一a)2C2一b2)(lna一lnb)，lnblnblnb2a-ba+blna-lnb2由fja1dxI

3、bx丿adxIbx2丿a12dx)得(ina-lnb)2bf1-1(a-b),Iba丿，亦a-blna一lnb證法5(幾何圖示法)過f(x)=1上點(diǎn)x作切線，由曲邊梯形面積，大于直角梯形面積，可得(a-b)1Ia1dx=lna-lnb，即一出a+bbxlna一lnb22，即訪口lna一lnb如上右圖，由直角梯形面積大于曲邊梯形面積，可得Idx=InJab(ja-bx由對數(shù)平均不等式的證法1、2即可看出，它與極值點(diǎn)偏移問題間千絲萬縷的聯(lián)系，下面就用對數(shù)平均不等式再解前面舉過的例題再解例1:f(x)=f(x)即xe-x1=xe-x2,lnxx=lnxx，則士Z=112121122lnx-lnx12

4、（正數(shù)x,x的對數(shù)平均數(shù)為1）,于是1，得xx2.12再解例2:f(x)=(x-2)ex+a(x-1)z=0即(2-x)ex=a(x-1)z0；由f(x)=f(x)=0得(2一x1匕=a$1一t，兩式相減得1I(2一x)ex2a(x一1)2222+x一2)，2(2-x)ex1-(2-x)ex2=a(x-x)(x122T222121卜面用反證法證明x+x2.12右x+xn2，貝0(2x)exi(2x)ex21211220，(2-x)ex1(2-x)ex2，取對數(shù)得12In(2-x)+xln(2-x)+x，貝011ln(2-x)-ln(2-x)而由對數(shù)平均不等式得x-xln(2-x)-ln(211

5、，(2-x)-(2-x)12x)ln(2x)ln(2x)212(2-x)+(2-x)x+x矛盾再解例3：由xlnx11=xlnx=m得22x1lnx1mlnx2x-x+2lnx-lnx1x+x12lnxlnxlnx-lnx12m(lnx+lnx)12lnxlnx12Zlnxlnx12m+lnxlnx12-mm(lnx+lnxlnx+lnxln(xx)，得xx.121212e2由對數(shù)平均不等式得0,lnx0,lnx0)，1x-x再解練習(xí)1:由lnx-ax=lnx-ax得21122lnx-lnx121，則-1222-ae已證xxe2oInx+Inx2oax12121再解例4：同例1，不再詳述再解例

6、5:同例1得到xx2212xxVxx1+Ina1+InbIna一Inba一b再解例7(2):易得=g(0,1)，則1,則aba一blna一lnba+b1212f(x)=0即ex=ax=lna+ln(x-1)，貝0 x=lna+ln(x-1)x=lna+ln(x-1)2-得x一x=(x一l)-(x-1)=ln(x一1)-ln(x一1)，則121212(x一1)一(x一1)ln(x-1)-ln(x-1)12=1（正數(shù)x-1,x-1的對數(shù)平均數(shù)為1）.12于是,j(x-l)(x-1)132_，得(x-1)(x-1)4.12+得x+x=2lna+ln(x-1)(x-1)2lna，所以Jxx73lna，

7、由此1212V122可得f4,x+x，x+2x=(xx+x)+x4+2612,lnx-lnxa2a12a12122aaa121,a+b2.2再解例8:2lnx一ax=2lnx一ax,2(inx-lnx)=a(x-x)，得再解練習(xí)2:原題結(jié)論抄寫有誤，應(yīng)更正為廣xx4nx+x212124順帶地，也有號歲nxxx+xo1112(x-1)(x-1)1.12xx12極值點(diǎn)偏移問題，多與指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)有關(guān)，解題的關(guān)鍵有以下幾步：(1)根據(jù)f(x)=f(x)=0建立等量關(guān)系；12(2)等量關(guān)系中如果含有參數(shù)，可考慮消參；如果含有指數(shù)式，可考慮兩邊取對數(shù)；(3)通過恒等變形轉(zhuǎn)化出對數(shù)平均數(shù)(的值或仍用x,x表示)，代入對數(shù)平均不等式求12解.細(xì)心的讀者不難發(fā)現(xiàn)，用對數(shù)平均不等式來解極值點(diǎn)偏移問題的方法也有局限性，也不是萬能的(再解過程中漏掉了例6)，其中能否簡潔地表示出對數(shù)平均數(shù)是關(guān)鍵中的關(guān)鍵，最后再舉一例.例10設(shè)函數(shù)f(x)=Inx-ax2+(2-a)x的兩個(gè)零點(diǎn)是，x，求證：20，且f(x)在(0,|丿上z上不妨設(shè)-10ox+x1222，構(gòu)造函數(shù)aF(x)=f(x)-f-x可證.Ia丿證法2:由題意得lnx1-axi+(2-a)x1=0，兩式相減得Inxax2+12a丿x=0222lnx-lnx-a(x+x)(x-x)+(2-a)(x-x)=0，12121212lnx-l