2022年傅里葉變換分析信號(hào)的缺點(diǎn)

1、傅里葉變換分析信號(hào)的缺點(diǎn)基于傅里葉 Fourier變換的信號(hào)頻域表示 ,揭示了時(shí)間函數(shù)和頻譜函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系,在傳統(tǒng)的平穩(wěn)信號(hào)分析和處理中發(fā)揮了極其重要的作用 ,很多理論討論和應(yīng)用討論都把傅里葉變換當(dāng)作最基本的經(jīng)典工具來(lái)使用 .但是傅里葉變換存在著嚴(yán)峻的缺點(diǎn) :用傅里葉變換的方法提取信號(hào)頻譜時(shí) ,需要利用信號(hào)的全部時(shí)域信息 ,這是一種整體變換,缺少時(shí)域定位功能 ,因此必需對(duì)其加以改進(jìn) . 傅里葉變換的特點(diǎn)及其局限性設(shè)函數(shù) ft在-,+內(nèi)有定義 ,且使廣義積分ft 的傅里葉變換,記為都收斂 ,就稱 1式定義的廣義積分為函數(shù)Fft,2式定義的廣義積分為逆傅里葉變換,記為F ；傅里葉變換可以完成從

2、時(shí)域到頻域的轉(zhuǎn)換正變換 ,也可以完成從頻域到時(shí)域的轉(zhuǎn)換 逆變換 ,但不能同時(shí)具有時(shí)域和頻域信息；其核函數(shù)是 ,由于三角函數(shù)具有填滿整個(gè)空間的特性,其在物理空間中是雙向無(wú)限延長(zhǎng)的正弦波 ,在積分變換中表達(dá)為積分范疇從+到-；因此,傅里葉變換是先天的非局限性 ,它對(duì)信號(hào) ft中表達(dá)任何局部信息處理都是相 同的；而事實(shí)上 ,工程技術(shù)中的很多信號(hào) ,如:語(yǔ)音信號(hào)、地震信號(hào)、心 電圖和各種電脈沖 ,他們的信號(hào)值只顯現(xiàn)在一個(gè)短暫的時(shí)間間隔 t 內(nèi), 以后快速減為零 , t 以外是未知的 ,可能為零 ,也可能是背景噪音 ,假如用1式從信號(hào)中提取譜信號(hào)F ,就要取無(wú)限的時(shí)間量 ,使用過(guò)去的及將來(lái)的信號(hào)只為運(yùn)算

3、單個(gè)頻譜,不能反映出隨時(shí)間變化的頻率,實(shí)際上我們需要的是確定的某個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的頻譜；這就使人們想到改進(jìn)傅里葉變換使其能用來(lái)處理某個(gè)確定時(shí)間范疇內(nèi)的信號(hào)；Gabor 提出的窗口傅里葉變換就是一個(gè)有效的方法；另外,傅里葉變換之所得到廣泛應(yīng)用與透鏡能實(shí)現(xiàn)傅里葉變換是分不開的；由公式其中物平面為 ,焦平面為 ,d0 為物距 ,d1 為象平面；要使=F,即精的確現(xiàn)傅里葉光學(xué)變換,只有在=f時(shí)才能實(shí)現(xiàn) ,否就將顯現(xiàn)位相彎曲；并且,只有正透鏡才能實(shí)現(xiàn)傅里葉變換,這些限制給工程技術(shù)中無(wú)疑增加了困難；這使得人們不得不尋求新得的方法 ,分?jǐn)?shù)傅立葉變換不要求嚴(yán)頻譜面 空域信息也包括空頻域信息的平面上進(jìn)行處理具敏捷性

4、；1 傅里葉變換缺乏時(shí)間和頻率的定位功能 傅里葉變換及其逆變換表示如下,可依據(jù)需要在既包含 ,這使光學(xué)信息處理更由以上兩式可知 ,傅里葉變換是一種整體變換,對(duì)信號(hào)的表征要么完全在時(shí)域內(nèi) ,要么完全在頻域內(nèi) , 和 t 是相互排斥的兩個(gè)變量 .用傅里葉變換的方法得到某一個(gè)頻率 0 的頻譜重量 S 0,必需從 -+ 的整個(gè)時(shí)間軸上進(jìn)行積分 .假如要從頻譜得到信號(hào)在某一時(shí)刻 t0 的值 st0,就需要對(duì) SX在整個(gè)頻率軸上進(jìn)行積分 .因此,傅里葉變換得到的是信號(hào) st在整個(gè)時(shí)間范疇內(nèi)的頻率特性,它不能告知人們?cè)谀扯螘r(shí)間里信號(hào)發(fā)生了什么變化 ,也無(wú)法獲得某一頻率顯現(xiàn)的時(shí)刻信息 ,因此 ,它不具有時(shí)間和

5、頻率的定位功能 . 2 傅里葉變換對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)的局限性信號(hào)的瞬時(shí)頻率 ,表示了信號(hào)的譜峰在時(shí)間-頻率平面上的位置及其隨時(shí)間的變化情形,一般平穩(wěn)信號(hào)的瞬時(shí)頻率為常數(shù),而非平穩(wěn)信號(hào)的瞬時(shí)頻率是時(shí)間t 的函數(shù) .從傅里葉變換變換的表達(dá)式可以看出,SX是單變量 X 的函數(shù) ,信號(hào)的傅里葉變換不隨時(shí)間的變化而變化 ,因此,傅里葉變換僅僅適用于平穩(wěn)信號(hào) 和處理的往往是時(shí)變的或非平穩(wěn)的信號(hào)化,其相關(guān)函數(shù)、功率譜等也是時(shí)變信號(hào).但是 ,在實(shí)際工作中 ,我們分析 ,它們的頻率隨時(shí)間變化而變,用傅里葉變換進(jìn)行分析 ,得到的信號(hào)頻譜反映的是整體信號(hào)中包含的某一頻率重量的平均值 .所以傅里葉變換不能反映信號(hào)瞬時(shí)頻率

6、隨時(shí)間的變化情形 ,僅僅適用于分析平穩(wěn)信號(hào) .對(duì)頻率隨時(shí)間變化的非平穩(wěn)信號(hào),傅里葉變換只能給出其總體成效 ,不能完整地把握信號(hào)在某一時(shí)刻的本質(zhì)特點(diǎn) . 3 傅里葉變換在時(shí)間和頻率辨論率上的局限性辨論率是信號(hào)處理的基本概念之一,包括頻率辨論率和時(shí)間辨論率 .在時(shí)域分析中 ,信號(hào)處理的目標(biāo)是盡可能地同時(shí)獲得高的時(shí)間 辨論率和頻率辨論率 .然而,可以證明時(shí)域窗和頻域窗乘積恒定且大于等于 1/2,也即不行能同時(shí)獲得高的時(shí)頻辨論率,這就是聞名的不確定性原理 .傅里葉變換在這方面的表現(xiàn)特殊不盡如人意 .傅里葉變換可以改寫成內(nèi)積的形式 ,即由于傅里葉變換等效于st和基函數(shù)做內(nèi)積 ,而對(duì)不同的構(gòu)成一族正交基

7、,因此 S 精確地反映了st在該頻率點(diǎn)的重量大小 .基函數(shù) 在頻域是位于 處的 函數(shù),因此,當(dāng)用傅里葉變換來(lái)分析信號(hào)的頻域特性時(shí) ,具有最好的頻率辨論率 .但是 , 在時(shí)域?qū)?yīng)的是正弦函數(shù) ,其在時(shí)域的連續(xù)時(shí)間是-+ 因此 ,其時(shí)域辨論率最差 .對(duì)于傅里葉逆變換 ,辨論率的情形正好相反 .這一結(jié)果既表達(dá)了信號(hào)的時(shí)頻不確定性原理 ,也反映了傅里葉變換在時(shí)域和頻域辨論率方面所固有的沖突 .明顯 ,傅里葉變換本身不行能依據(jù)信號(hào)的特性來(lái)自動(dòng)調(diào)劑時(shí)域和頻域的辨論率 . 時(shí)頻分析時(shí)頻分析（JTFA）即時(shí)頻聯(lián)合域分析（Joint Time-Frequency Analysis）的簡(jiǎn)稱,作為分析時(shí)變非平穩(wěn)信號(hào)

8、的有力工具,成為現(xiàn)代信號(hào)處理研究的一個(gè)熱點(diǎn), 它作為一種新興的信號(hào)處理方法,近年來(lái)受到越來(lái)越多的重視； 時(shí)頻分析方法供應(yīng)了時(shí)間域與頻率域的聯(lián)合分布信息,清楚地描述了信號(hào)頻率隨時(shí)間變化的關(guān)系；時(shí)頻分析的基本思想是：設(shè)計(jì)時(shí)間和頻率的聯(lián)合函數(shù),用它同時(shí)描述信號(hào)在不同時(shí)間和頻率的能量密度或強(qiáng)度；時(shí)間和頻率的這種聯(lián)合函數(shù)簡(jiǎn)稱為時(shí)頻分布； 利用時(shí)頻分布來(lái)分析信號(hào), 能給出各個(gè)時(shí)刻 的瞬時(shí)頻率及其幅值, 并且能夠進(jìn)行時(shí)頻濾波和時(shí)變信號(hào)討論；信號(hào) 時(shí)頻分析具有重要的意義； 我們很有必要對(duì)信號(hào)的時(shí)頻進(jìn)行討論分析；常用的時(shí)頻分析方法 時(shí)間和頻率是描述信號(hào)的兩個(gè)最重要的物理量,信號(hào)的時(shí)域和 頻域之間具有緊密的聯(lián)系；

9、 依據(jù)時(shí)間和頻率之間的關(guān)系, 信號(hào)的時(shí)頻分析的主要方法有：窗口傅立葉變換（Gabor 變換）；小波變換；希爾伯特黃變（ Hilbert-Huang Transform,HHT ）；窗口傅里葉變換窗口傅里葉變換亦稱短時(shí)傅里葉變換,它是由 Gabor 第一系統(tǒng)地使用的；其基本想法為：傅里葉變換是頻域分析的基本工具,為了達(dá)到時(shí) 間域上局部化, 在傅里葉分析中的基本變換函數(shù)之前乘上一個(gè)時(shí)間上有限的時(shí)限函數(shù),即窗口函數(shù)tg,然后再用它們來(lái)作傅里葉分析,這樣 tje -起頻限作用, tg 起到時(shí)限作用,合起來(lái),就可起到時(shí)頻 雙限制作用；其中 tg 是有緊支集（即窗口外數(shù)據(jù)為零）的函數(shù)；tx為被分析的信號(hào)；

10、隨著 的位置變動(dòng), tg 所確定的“ 時(shí)間窗”在 t 軸上移動(dòng),使 tx 逐步進(jìn)入被分析的狀態(tài)；窗口函數(shù) tg,一般為實(shí)的偶函數(shù),窗口外數(shù)據(jù)為零（緊支集）或很快趨于零；這時(shí)傅里葉變換結(jié)果不再為 X,而是* GX,這里, xG 大致反映了 tx 在時(shí)刻 時(shí)頻率為 的“ 信號(hào)成分” 的相對(duì)含量；時(shí)頻局部化就是期望 找一種信號(hào)的表示方法, 它能同時(shí)供應(yīng)時(shí)域和頻域的局部化信息；而這種變換的確能反映函數(shù)在窗口內(nèi)部（ 鄰近）的頻譜特點(diǎn)；窗口傅里葉變換可使信號(hào)達(dá)到局部平穩(wěn) ,更好地討論局部范疇的特性；窗口函數(shù)tg 的傅里葉變換,它在有限區(qū)間之外數(shù)據(jù)恒等于零；用 -tg乘tx,即在 鄰近開窗口,為窗口傅里葉變

11、換；Gabor 只做了高斯窗的傅里葉變換,它是窗口傅里變換的一種；盡管窗口傅里葉變換是一種時(shí)頻分析,是信號(hào)處理的重要工具, 并得到廣泛的應(yīng)用,但是窗口傅里葉變換的一個(gè)主要缺點(diǎn)是時(shí)域和頻域的采樣間隔都是常數(shù),即這種窗口大小和形狀與頻率無(wú)關(guān), 是固定不變的,不能使變換窗口大小隨頻率而變化；但在處理實(shí)際問題, 我們期望時(shí)域的采樣間隔隨著頻率的增高而減小,同時(shí)窗口傅里葉變換不管如何離散化均不能使它成為一組正交基；為此,J.Morlet 等人對(duì)窗口傅里葉變換進(jìn)行了改造,引入了小波變換；連續(xù)小波變換 小波變換時(shí)今年來(lái)在圖像處理中受到非常重視的新技術(shù),面對(duì)圖像壓 縮、特點(diǎn)測(cè)以及紋理分析等很多方法在時(shí)頻分析中

12、有重要的應(yīng)用；線 性系統(tǒng)理論中的傅立葉變換是以在兩個(gè)方向上都無(wú)限舒展的正弦曲（例如邊 線波作為正交基函數(shù)的； 對(duì)于瞬態(tài)信號(hào)或高度局部化的信號(hào) 緣）,由于這些成分并不類似于任何一個(gè)傅立葉基函數(shù),它們的變換 系數(shù)（頻譜）不是緊湊的,頻譜上出現(xiàn)出一幅相當(dāng)紛亂的構(gòu)成；這種情形下,傅立葉變換是通過(guò)復(fù)雜的支配,以抵消一些正弦波的方式構(gòu)造出在大部分區(qū)間都為零的函數(shù)而實(shí)現(xiàn)的；為了克服上述缺陷, 使用有限寬度基函數(shù)的變換方法逐步進(jìn)展起來(lái)了；這些基函數(shù)不僅在頻率上而且在位置上是變化的,它們是有限寬度的波并被稱為小波（wavelet）；基于它們的變換就是小波變換；全部小波是通過(guò)對(duì)基本 小波進(jìn)行尺度伸縮和位移得到的；

13、 基本小波是一具有特殊性質(zhì)的實(shí)值 函數(shù),它是震蕩衰減的,而且通常衰減得很快,在數(shù)學(xué)上滿意積分為 零的條件：而且其頻譜滿意條件：即基本小波在頻域也具有好的衰減性質(zhì)；有些基本小波實(shí)際上在某個(gè)區(qū)間外是零, 這是一類衰減最快的小波； 一組小波基函數(shù)是通過(guò)尺度 因子和位移因子由本小波來(lái)產(chǎn)生；連續(xù)小波變換定義為：小波分析的應(yīng)用是與小波分析的理論討論緊密地結(jié)合在一起地；現(xiàn)在,它已經(jīng)在科技資訊產(chǎn)業(yè)領(lǐng)域取得了令人矚目的成就；電子資訊技術(shù)是六大高新技術(shù)中重要的一個(gè)領(lǐng)域,它的重要方面是影像和信號(hào)處理；現(xiàn)今, 信號(hào)處理已經(jīng)成為當(dāng)代科學(xué)技術(shù)工作的重要部分,信 號(hào)處理的目的就是：精確的分析、診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞

14、 或儲(chǔ)備、精確地重構(gòu)（或復(fù)原） ；從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看,信號(hào)與影像處 理可以統(tǒng)一看作是信號(hào)處理（影像可以看作是二維信號(hào)）,在小波分 析地很多分析的很多應(yīng)用中,都可以歸結(jié)為信號(hào)處理問題；現(xiàn)在,對(duì)于其性質(zhì)隨實(shí)踐是穩(wěn)固不變的信號(hào),處理的抱負(fù)工具仍舊是傅立葉分析；但是在實(shí)際應(yīng)用中的絕大多數(shù)信號(hào)是非穩(wěn)固的,而特殊適用于非穩(wěn)固信號(hào)的工具就是小波分析；希爾伯特黃變換希爾伯特特?fù)Q變換的方法主要由2 個(gè)部分組成： :體會(huì)模態(tài)分解（empirical mode decomposition,簡(jiǎn)稱 EMD）和 Hilbert 譜分析；體會(huì)模態(tài)分解方法是一種自適應(yīng)的、高效的數(shù)據(jù)分解方法； 由于這種分解是以局部時(shí)間尺度為基礎(chǔ)

15、,因此,它適應(yīng)于非線性、非平穩(wěn)過(guò)程；通 過(guò)體會(huì)模型分解, 任何復(fù)雜的數(shù)據(jù)集都可以被分解為個(gè)數(shù)有限的、而且經(jīng)常是為數(shù)不多的幾個(gè)固有模函數(shù)intrinsic mode functions,簡(jiǎn)稱IMF的線性疊加；一個(gè)固有模態(tài)函數(shù)是滿意以下兩個(gè)條件的函數(shù) 1：（1）在整個(gè)數(shù)據(jù)區(qū)間內(nèi),極值點(diǎn)的數(shù)目與過(guò)零點(diǎn)的數(shù)目相等或至多相差 1 個(gè)；（2）在任意一點(diǎn)處,由局部極大值點(diǎn)定義的包絡(luò)以及由局部微小值點(diǎn)定義的包絡(luò)的均值為零；EMD方法通過(guò)不斷的剔出極大值和微小值連接上下包絡(luò)的均值將原信號(hào)分解為其中為一個(gè) IMF 重量,為殘余重量,一般為信號(hào)的平均趨勢(shì),為常數(shù)序列或單調(diào)序列； 從基函數(shù)理論的角度來(lái)看, EMD對(duì)不

16、同信號(hào)分解出的基函數(shù)是不同的,它不同傅里葉分解的基一系列恒定幅度與頻率的正余弦函數(shù) ,也不同于小波分解的基函數(shù)預(yù)先給定基函數(shù)的形式 ；因此,EMD 分解不僅改進(jìn)了信號(hào)分解的效率,而且使這種分解方法更有利于非平穩(wěn)數(shù)據(jù)處理；通過(guò)分解得到IMF 后,就可以對(duì)每一個(gè)重量做希爾伯特變換,得到其瞬時(shí)頻率和幅度；設(shè) IMF 重量為,就它的復(fù)解析信號(hào)為其中 at 為幅值函數(shù),表達(dá)式為 t為相位函數(shù),表達(dá)式為其中幅值函數(shù)表示信號(hào)每個(gè)采樣點(diǎn)的瞬時(shí)幅度能量；相位函數(shù)表示信號(hào)每個(gè)采樣點(diǎn)的瞬時(shí)相位,對(duì)其求導(dǎo)就得到瞬時(shí)頻率；對(duì)每個(gè)IMF 重量做 Hilbert 變換并忽視分解余項(xiàng),數(shù)據(jù)可以表示為 : 依據(jù)式（ 1）可以將幅度和瞬時(shí)相位作為時(shí)間的函數(shù)表示在三維平面中,幅度的這種時(shí)一頻分布被稱為希爾伯特幅度譜,簡(jiǎn)稱為希爾伯特譜；習(xí)慣上用幅度的平方來(lái)表示能量密度,這里假如用幅度平方代替希爾伯特幅度譜中的幅度,將得到希爾伯特能量譜； 對(duì)于希爾伯特能量譜,假如 EMD 分解得到的 IMF 重量彼此完全正交,那么信號(hào)的平方 : 式中的其次項(xiàng)為0,這對(duì)于時(shí)頻能量表示是非常有利的；雖然對(duì)于某些特殊的數(shù)據(jù), 相鄰的重量在不同的